专题01 坐标平面上的直线全章14大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 聚焦坐标平面直线核心知识，以14类题型系统覆盖倾斜角、斜率、方程、位置关系及距离等考点，形成从概念到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-4（14题）|含倾斜角定义、斜率计算及变化关系，覆盖常考点|从倾斜角几何意义到斜率代数表达，构建形数转化基础| |方程表示|题型5-7（10题）|涉及一般式辨析、互化及过定点问题，突出难点突破|以方程形式为纽带，连接概念与位置关系应用| |位置关系|题型8-10（11题）|聚焦平行垂直的参数求解及方程构建，强化重点应用|通过斜率关系实现平行垂直的代数化判定与应用| |距离与对称|题型11-14（17题）|包含点线距、平行线距及对称点问题，综合度高|从距离公式到对称变换，体现几何性质的代数运算|

专题01 坐标平面上的直线 题型1 直线的倾斜角（常考点） 题型8 已知直线平行求参数（重点） 题型2 直线斜率的定义 题型9 已知直线垂直求参数 题型3 斜率与倾斜角的变化关系 题型10 由两条直线垂直求方程 题型4已知两点求斜率（常考点） 题型11 求点到直线的距离 题型5 直线的一般式方程及辨析 题型12 已知点到直线距离求参数（难点） 题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型13 求平行线间的距离（重点） 题型7 直线过定点问题（难点） 题型14 求点关于直线的对称点 题型一 直线的倾斜角（共4小题） 1．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为______． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 2．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为______. 【答案】 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可得解. 【详解】因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 题型二 直线斜率的定义（共3小题） 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____. 【答案】 【知识点】直线斜率的定义 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·月考）若直线与直线的夹角为，则__________. 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、直线斜率的定义、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据题意，作出图象，找到所求角与直线的倾斜角的关系，利用诱导公式和同角的正余弦与正切之间的关系计算即得. 【详解】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 7．（22-23高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么__________. 【答案】1 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率，又，则，解得， 所以. 故答案为：1 题型三 斜率与倾斜角的变化关系（共3小题） 8．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、基本不等式求和的最小值 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 9．（24-25高二下·上海宝山·月考）直线的倾斜角的大小为_____ 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系即可得到答案. 【详解】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则， 因为，则. 故答案为：. 10．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________. 【答案】0 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率. 【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为0 故答案为：0 题型四 已知两点求斜率（共4小题） 11．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【答案】/ 【知识点】二倍角的正切公式、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为_____. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）经过点、的直线的斜率为_____. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 14．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 题型五 直线的一般式方程及辨析（共4小题） 15．（24-25高二下·上海·月考）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【答案】D 【知识点】点法向式方程、直线的一般式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】依次化简方程为点斜式方程、斜截式方程、一般式方程可判断ABC选项，再根据求点法式方程的方法求出点法式即可检验D选项. 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 16．（24-25高二下·上海·月考）直线在轴上的截距是_____. 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】在直线方程中，令即可得解. 【详解】在直线方程中，令，解得. 故答案为：. 17．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 18．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，点 (1)求过点P，且与夹角为的直线的一般式方程. (2)设直线m过点，与轴分别交于A，B，且P为A，B中点，求直线m的一般式方程． 【答案】(1)或； (2). 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直角坐标系中的基本公式的应用、两条直线的到（夹）角公式 【分析】（1）利用两条直线的夹角公式求出斜率，再借助直线点斜式方程求解即得. （2）设点，结合中点坐标公式及已知求出，再求出m的一般式方程. 【详解】（1）依题意，直线的斜率为1，所求直线斜率存在，设为， 则，解得或， 所以所求直线方程为或，即或. （2）设点，由是线段的中点，得， 又点在直线上，则，解得，即，直线轴， 所以直线的一般式方程为. 题型六 直线一般式方程与其他形式之间的互化（共3小题） 19．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 20．（24-25高二下·上海杨浦·期中）直线的斜率为______． 【答案】 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将直线的一般式转换成斜截式即可求解. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 21．（2024·上海）直线的倾斜角为______． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 题型七 直线过定点问题（共3小题） 22．（24-25高二下·上海静安·期末）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 23．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______. 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程化为，令，求出，的值即可. 【详解】因为直线可化为， 令，解得， 所以直线过定点， 故答案为：. 24．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【知识点】直线过定点问题、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的一般式方程及辨析、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 题型八 已知直线平行求参数（共4小题） 25．（23-24高二下·上海·阶段检测）设，若直线和直线平行，则________. 【答案】4 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】若直线和直线平行， 可得，解得， 则直线为，直线为， 显然两直线平行，故符合题意. 故答案为：4. 26．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为________． 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 27．（24-25高二下·上海·期末）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知直线平行求参数、直线的斜截式方程及辨析、已知两点求斜率 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. 28．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 题型九 已知直线垂直求参数（共4小题） 29．（24-25高二下·上海·期末）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、已知直线垂直求参数 【分析】根据求出，根据的取值进而验证即可求解. 【详解】当时，，解得， 所以，所以是直线的充分不必要条件. 30．（25-26高二下·上海·月考）若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】# 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 31．（24-25高二下·上海·月考）已知直线与垂直，则实数__________. 【答案】或 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 32．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【知识点】已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 题型十 由两条直线垂直求方程（共3小题） 33．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 34．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 35．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 题型十一 求点到直线的距离（共6小题） 36．（24-25高二下·上海·期末）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 37．关于直线，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，直线不过定点 B．平面内任给点，总存在，使得直线经过该点 C．当时，点到直线的距离最小值为 D．对任意，且有，则直线与的交点轨迹为一直线 【答案】ACD 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求直线交点坐标 【分析】根据的关系即可判断A，根据反例可判断B，根据点到直线的距离公式以及不等式可判断C，联立方程，根据的关系可判断D. 【详解】对于A，对任意随着的变化也在变化，所以无定点，故A正确， 对于B，平面内取一点，则，该方程无解，故B错误， 对于C，点到直线的距离为 ，当且仅当时，等号成立，故C正确， 对于D，联立直线与，得 ，由于，所以 ，故D正确， 故选：ACD 38．（24-25高二下·上海·期末）点 到直线的距离的最大值是_____ 【答案】3 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值. 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 39．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】求分式型目标函数的最值、求点到直线的距离、斜率公式的应用 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 40．（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)能， 【知识点】反三角函数、求点到直线的距离、直线的倾斜角 【分析】（1）借助倾斜角与斜率的关系分类讨论即可得； （2）借助点到直线的距离公式，可得、，分类讨论并计算即可得解. 【详解】（1）直线的斜率为， 当时，，倾斜角， 当时，，倾斜角， 当时，直线方程为，倾斜角； （2）当时，设，由，有， 化简得， 由，即，化简得， 分情况讨论： ①：，解得， 代入条件1，解得，，满足； ②：，解得，不符合， 将，代入，成立， 故点符合要求，即能找到，且坐标为. 41．如图，已知的三个顶点分别为． (1)若点为的中点，求直线与直线的夹角大小； (2)若的平分线为，求所在直线的直线方程． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】向量夹角的计算、求点到直线的距离 【分析】（1）根据中点坐标，结合与平面向量的夹角公式求解即可； （2）设上的任意一点，结合点到直线距离等于点到直线距离相等列式可得的方程即可. 【详解】（1）因为点为的中点，，故即，， 所以， 所以直线与直线的夹角大小为； （2）设上的任意一点，又直线方程为，直线的方程为， 点到直线距离等于点到直线距离，，则，解得，或. 由题意可得所在直线的直线斜率为正，所以角平分线所在直线方程为． 题型十二 已知点到直线距离求参数（共4小题） 42．已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 【答案】 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 43．直线关于点对称的直线的一般式方程为______． 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程、已知点到直线距离求参数 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 根据点到两条直线的距离相等， 则有，即，解得（舍）或. 所以对称直线的方程为. 故答案为：. 44．直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 45．（23-24高二下·上海·期末）根据下列条件，分别求直线的方程 (1)直线经过点，且与直线的夹角等于 (2)经过与的交点，且点到直线的距离为3 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数、两条直线的到（夹）角公式、求直线交点坐标 【分析】（1）先根据直线的夹角公式求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即得所求直线的方程. （2）先求出两直线的交点，再结合点到直线的距离公式分类求解方程. 【详解】（1）设所求直线的斜率为，又直线的斜率为， 由题意得，解得，， 直线经过点， 直线的方程为或， 即或. （2）联立，解得，可得两条直线的交点为． 由点到直线的距离为3，直线可为． 直线的斜率存在时，设方程为：，即， 则，解得， 直线的方程为，即， 综上可得直线的方程为：或． 题型十三 求平行线间的距离（共4小题） 46．（25-26高二下·上海·月考）直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 47．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 48．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 49．已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 【答案】(1)2； (2). 【知识点】已知直线垂直求参数、求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. （2）由两条直线平行求出，再利用平行线间距离公式计算即可. 【详解】（1）直线，即与直线垂直， 则，解得， 所以实数的值为2. （2）由这两条直线平行，得，解得， 则直线为， 所以这两条平行线间的距离. 题型十四 求点关于直线的对称点（共3小题） 50．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 51．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______ 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，利用斜率和中点坐标可得，根据点即可求解入射光线直线的方程． 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则， 解得 则入射光线所在直线的方程为：， 即 故答案为：． 52．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【知识点】求点关于直线的对称点、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 坐标平面上的直线 题型1 直线的倾斜角（常考点） 题型8 已知直线平行求参数（重点） 题型2 直线斜率的定义 题型9 已知直线垂直求参数 题型3 斜率与倾斜角的变化关系 题型10 由两条直线垂直求方程 题型4已知两点求斜率（常考点） 题型11 求点到直线的距离 题型5 直线的一般式方程及辨析 题型12 已知点到直线距离求参数（难点） 题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型13 求平行线间的距离（重点） 题型7 直线过定点问题（难点） 题型14 求点关于直线的对称点 题型一 直线的倾斜角（共4小题） 1．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为______． 2．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为_______． 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为______. 题型二 直线斜率的定义（共3小题） 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____. 6．（24-25高二下·上海·月考）若直线与直线的夹角为，则__________. 7．（22-23高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么__________. 题型三 斜率与倾斜角的变化关系（共3小题） 8．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海宝山·月考）直线的倾斜角的大小为_____ 10．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________. 题型四 已知两点求斜率（共4小题） 11．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 12．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为_____. 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）经过点、的直线的斜率为_____. 14．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 题型五 直线的一般式方程及辨析（共4小题） 15．（24-25高二下·上海·月考）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 16．（24-25高二下·上海·月考）直线在轴上的截距是_____. 17．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____. 18．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，点 (1)求过点P，且与夹角为的直线的一般式方程. (2)设直线m过点，与轴分别交于A，B，且P为A，B中点，求直线m的一般式方程． 题型六 直线一般式方程与其他形式之间的互化（共3小题） 19．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 20．（24-25高二下·上海杨浦·期中）直线的斜率为______． 21．（2024·上海）直线的倾斜角为______． 题型七 直线过定点问题（共3小题） 22．（24-25高二下·上海静安·期末）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 23．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______. 24．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 题型八 已知直线平行求参数（共4小题） 25．（23-24高二下·上海·阶段检测）设，若直线和直线平行，则________. 26．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为________． 27．（24-25高二下·上海·期末）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 28．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 题型九 已知直线垂直求参数（共4小题） 29．（24-25高二下·上海·期末）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 30．（25-26高二下·上海·月考）若直线与垂直，则实数_______________ 31．（24-25高二下·上海·月考）已知直线与垂直，则实数__________. 32．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 题型十 由两条直线垂直求方程（共3小题） 33．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 34．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 35．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 题型十一 求点到直线的距离（共6小题） 36．（24-25高二下·上海·期末）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 37．关于直线，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，直线不过定点 B．平面内任给点，总存在，使得直线经过该点 C．当时，点到直线的距离最小值为 D．对任意，且有，则直线与的交点轨迹为一直线 38．（24-25高二下·上海·期末）点 到直线的距离的最大值是_____ 39．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______. 40．（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 41．如图，已知的三个顶点分别为． (1)若点为的中点，求直线与直线的夹角大小； (2)若的平分线为，求所在直线的直线方程． 题型十二 已知点到直线距离求参数（共4小题） 42．已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 43．直线关于点对称的直线的一般式方程为______． 44．直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 45．（23-24高二下·上海·期末）根据下列条件，分别求直线的方程 (1)直线经过点，且与直线的夹角等于 (2)经过与的交点，且点到直线的距离为3 题型十三 求平行线间的距离（共4小题） 46．（25-26高二下·上海·月考）直线与直线间的距离为__________. 47．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 48．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 49．已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 题型十四 求点关于直线的对称点（共3小题） 50．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 51．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______ 52．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $