17.1 平行四边形的性质（第4课时+平行四边形中周长和面积的计算）课件-2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦平行四边形周长和面积计算，以“妈妈切蛋糕”情境导入，通过回顾平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质搭建支架，衔接周长（例7）和面积（对角线分三角形面积、等面积法）计算知识点。 其亮点在于用生活情境培养数学眼光，将蛋糕问题抽象为几何模型，引导学生用数学思维推理对角线分四个三角形面积关系（等底同高），借等面积法（例8）体现模型意识。助力学生发展几何直观与推理能力，为教师提供结构化探究资源，提升教学效率。

17.1 平行四边形的性质 第4课时 平行四边形中周长 和面积的计算 第十七章 平行四边形 新课引入 小明正在读二年级，今天是她的生日，妈妈为小明准备了一个如图形状的蛋糕。在切蛋糕的时候，妈妈沿着对角线将蛋糕切成了4份，小明想选一块最大的给妈妈吃，他应该选哪块呢？ 怎样知道哪块最大呢？聪敏的你帮一帮小明吧！ ❶ ❷ ❸ ❹ 2 平行四边形的性质: A B D C ①平行四边形的对边______. ②平行四边形的对角______. ③平行四边形的邻角______. O ④平行四边形的对角线__________. 相等 相等 互补 互相平分 这节课我们就用这些性质解决平行四边形有关周长和面积的问题. 知识点 1 平行四边形的周长问题 例 7 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，其周长为 16，且△ AOB 的周长比 △BOC 的周长小 2 . 求边 AB 和 BC 的长. A B D C O AB + BC = 8 AB + OA + OB BC + OB + OC AB + 2 = BC 试着分析题干，你能得到哪些信息？ 解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分). ∵△AOB 的周长 + 2 = △BOC 的周长， ∴AB + OA + OB + 2 = BC + OB + OC， 即 AB + 2 = BC. 又∵ □ ABCD 的周长等于 16， ∴2(AB + BC) = 16，即 4AB + 4 = 16. ∴AB = 3，BC = 5. A B D C O 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AB ＝5．若 △AOB 的周长比 △BOC 的周长小 1， 则 BC 的长为______. AB + 1 = BC 6 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD，OA ＝ OC，BC ＝ AD ＝ 3， ∴∠OAE ＝ ∠OCF． 在△AOE 和△COF 中， ∵∠OAE ＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF (ASA)． 新知探究 平行四边形中与面积有关的计算 我们将蛋糕简化为如图的□，对角线、将平行四边形分为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 分析：分别作四个三角形的高， △以为底，为高； ； △以为底，为高； ； △以为底，为高； ； △以为底，为高； ； E F 8 新知探究 平行四边形中与面积有关的计算 分析：分别作四个三角形的高， △以为底，为高； ； △以为底，为高； ； △以为底，为高； ； △以为底，为高； ； E F 解：∵在平行四边形中，根据平行四边形的性质， 可得△ 所以 所以 （等底同高） 因此四块蛋糕的大小是一样的哦。 9 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD，OA ＝ OC，BC ＝ AD ＝ 3， ∴∠OAE ＝ ∠OCF． 在△AOE 和△COF 中， ∵∠OAE ＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF (ASA)． ∴AE＝CF，OE＝OF， ∴四边形 BCFE 的周长为 EF + CF + BC + BE ＝ EF + BC + AE + BE 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． ∴EF＝2OF＝2×1.3＝2.6， ＝ EF + BC + AB ＝2.6 + 3 + 4＝9.6． 知识点 2 平行四边形的面积问题 例 8 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC = 21 cm，BE ⊥ AC，垂足为点 E，且 BE = 5 cm，AD = 7 cm. 求 AD 与 BC 之间的距离. A B C D E x H 等面积法：同一个图形（或等底等高的图形）的面积相等，通过建立面积等式来求解未知量或证明几何关系. S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE 解 设 AD 与 BC 之间的距离为 x， 则 □ABCD 的面积等于 AD · x. ∵S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE， ∴AD · x = AC · BE，即 7x = 21×5. ∴ x = 15(cm). 即 AD 与 BC 之间的距离为 15 cm. A B C D E x H 归纳总结 ①平行四边形中，相对的两个三角形全等。 ②平行四边形的两条对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一。 即 ③平行四边形的一条对角线分平行四边形为两个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的二分之一。 即 平行四边形中与面积有关的计算 14 典例分析 例1 如图，在□中，对角线 cm，，垂足为点，且cm，cm. 求与之间的距离. 解：设 与 之间的距离为， 过点作，垂足为，即， 则的面积等于. ∵， ∴，即. ∴ (cm). 即与之间的距离为 15 cm. 平行四边形中与面积有关的计算 A B C D E x H 等面积法：通过两个图形的面积相等，建立面积等式来求解未知量或证明几何关系. 15 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 过点 O 的直线 EF 分别交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， S△AOE ＝3，S△BOF ＝7，则 □ABCD 的面积是 (　　) A. 48 B. 40 C. 32 D. 24 3 7 3 S□ ABCD = 4S△OBC B 2. 如图，在 □ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB，垂足为 点 E，过点 B 作 BF ⊥ AC，垂足为点 F．若 AB ＝6， AC ＝ 8，DE ＝ 4，求 BF 的长． 解: 在□ABCD 中，S△ABC ＝ S□ABCD ． 又∵ DE ⊥ AB，BF ⊥ AC， ∴ AC · BF ＝ AB · DE． ∵AB＝6，AC＝8，DE＝4， ∴ ×8BF＝ ×6×4． ∴BF＝3． 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ A B C D O 思考 1 解：相等. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ △ADO 与△ODC 等底同高， ∴ S△ADO = S△ODC. 同理可得S△ADO = S△ODC = S△BCO = S△AOB . ①平行四边形的对角线把平行 四边形分为四个面积相等的 三角形，且都等于平行四边 形面积的四分之一. ②相对的两个三角形全等. 归 纳 A B C D O 延伸拓展 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 议一议 ● A D C B E F O ● A D C B E F O 结论：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 20 A B D C O 新知探究 平行四边形中与周长有关的计算 例2 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，其周长为 16，且△ AOB 的周长比 △BOC 的周长小 2 . 求边 AB 和 BC 的长. 分析：试试用图中字母表示△AOB、△BOC、□ABCD 的周长. △ 的周长 △ 的周长 □ 的周长 解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分). ∵△AOB 的周长 + 2 = △BOC 的周长， ∴AB + OA + OB + 2 = BC + OB + OC， 即 AB + 2 = BC. 又∵ □ ABCD 的周长等于 16， ∴2(AB + BC) = 16， 即 4AB + 4 = 16. ∴AB = 3，BC = 5. 21 A B D C O 对应练习 平行四边形中与周长有关的计算 如图,在平行四边形中, 对角线相交于点,且, 的周长等于15,则______. 解：∵在▱ABCD中，AB=CD, OA=OC, OB=OD 又∵AC+BD=20， ∴OA+OB=10 ∴△AOB的周长=AB+OA+OB=AB+10=15 ∴AB=5 ∴CD=5 5 22 A B C D O E F 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 思考 2 A B C D O E F 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 把一个平行四边形分成 3 个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是 9 cm2 和 12 cm2，求平行四边形的面积． S1 S2 S3 S1 + S3 = S2 = S□ ABCD 解：( 9 + 12 )×2 = 21×2 = 42（cm2） 答：平行四边形的面积是 42 cm2． 【选自教材第86页 练习 第1题】 1. □ ABCD 的两条对角线AC与BD相交于点O， AB=8 cm， BC = 6 cm，△AOB 的周长是 18 cm，求 △AOD 的周长. 解: 如图. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB ＝OD，AD ＝ BC ＝ 6 cm. ∵ △AOB 的周长是 18 cm，AB ＝ 8 cm， ∴ OA + OB ＝ 18－8 ＝ 10 (cm). ∴ OA + OD ＝ OA + OB ＝10 (cm). ∴ △AOD 的周长为 OA + OD + AD ＝10 + 6 ＝ 16 (cm). 2. 如图，如果 △AOB 与 △AOD 的周长之差为 8，而 AB∶AD = 3∶2，那么 □ ABCD 的周长为多少？ 【选自教材第86页 练习 第2题】 解: ∵ AB ∶ AD ＝ 3 ∶ 2， ∴ 设 AB ＝3x，则 AD ＝2x . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OB ＝ OD. 又∵ △AOB 与△AOD 的周长之差为 8， ∴ AB－AD ＝8，即 3x－2x ＝8，∴ x ＝ 8. ∴ AB ＝ 3x ＝ 24，AD ＝2x ＝16， ∴ □ABCD 的周长为 2(AB + AD)＝ 2×(24 + 16)＝ 80. D A C B O 随堂练习 基础过关(P86) 3.在□中，两条对角线与相交于点，，，. 求△的周长. 解: 如图. 在□ 中，，， ∴ . 在△ 中，∵ ， ∴ ， ∴ △是直角三角形，且 ∴ . 在Rt△ 中，， ∴ △的周长为 D A C B O 27 通过这节课的学习，你会解决与平行四边形有关的周长和面积问题吗？ 平行四边形中周长与面积的相关计算 平行四边形的周长等于两邻边 和的 2 倍 巧用“等面积法”解决与平行四边形有关的面积问题 谢谢大家 $