湖北省襄阳市樊城区高一数学下学期阶段测试2025-2026学年(人教A版必修第二册第七章)

**基本信息** 本卷为人教A版必修二第七章复数单元卷，含8道原创题，覆盖复数概念、运算及几何意义，通过复平面图形、向量旋转等情境设计，培养数学抽象、逻辑推理与几何直观素养，适配高一下单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|纯虚数判断（1题）、共轭复数象限（2题）、复平面轨迹（5题）|原创题占7题，如第8题结合棣莫弗定理考查复数乘方，体现数学文化| |填空题|3题/15分|复数模的最值（12题）、三点共线（13题）|第13题将复数与向量共线结合，培养几何直观| |解答题|5题/77分|复数相等与共轭（15题）、新定义运算证明（19题）|19题以新定义为载体，考查逻辑推理与数学表达，呼应核心素养|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的基本概念（虚部、纯虚数判断、复数相等） 0.85 2 单选题 5 共轭复数的定义与计算 0.8 3 单选题 5 复数的四则运算（加减乘除基础运算） 0.75 4 单选题 5 复数的模的计算与几何意义 0.75 5 单选题 5 复平面内复数与点、向量的对应关系 0.7 6 单选题 5 复数的乘方运算（i的幂次、棣莫弗定理基础） 0.65 7 单选题 5 复数方程的求解（实系数方程虚根成对定理） 0.6 8 单选题 5 复数的模的最值问题（几何轨迹基础） 0.55 9 多选题 6 复数的运算性质（共轭复数性质、模的不等式） 0.7 10 多选题 6 复数的几何意义（点的轨迹、区域判断） 0.65 11 多选题 6 复数与充分必要条件的综合判断 0.6 12 填空题 5 复数的三角形式与旋转运算 0.7 13 填空题 5 复数方程根与系数关系（韦达定理应用） 0.65 14 填空题 5 复数的模的不等式与几何意义 0.55 15 解答题 13 复数四则运算综合（除法、模、共轭的混合运算） 0.8 16 解答题 15 复平面内的轨迹问题（轨迹方程、图形形状判断） 0.7 17 解答题 15 含参数复数方程的求解与分类讨论 0.65 18 解答题 17 复数与向量、三角函数的综合应用 0.5 19 解答题 17 复数几何意义综合（面积计算、最值与恒成立问题） 0.35 $ 湖北省襄阳市樊城区高一下学期阶段测试 （人教A版必修二第七章）（原卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、下列说法正确的是（    ） A．是纯虚数 B． C．复数的充要条件是 D．满足的复数只有 【答案】C 【详解】A：当是实数 故A错误； B：，复数中的虚数不可以比大小，故B错误； C：，则其虚部为0，故C正确． D：，模为1的复数对应的点落在圆上，有很多，故D错误； 2、复数的共轭复数对应的点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】因为，且，（-2，1）在第二象限故选项B正确. 3、（原创）在复平面内，复数满足，则的虚部为（   ） A．2i B．2 C．0 D．不存在 【答案】C 【详解】由可得，所以，所以的虚部为0. 故选：C 4、在复平面内，四边形ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，D三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则C对应的复数是（ ） A．-4i B．4i C．2i D．-2i 【答案】B 【详解】A（1，1），B（-2，3），D（3，2）则利用平行四边形性质, 可得，C(0,4),C对应复数是4i 5、(原创)复数在复平面内满是，则复数对应的点的集合所形成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，则表示点到点（0，1）的距离小于或等于3， 所以复数对应的点的集合所形成的图形是以（0，1）为圆心，3为半径的圆面，则圆的面积为. 6、（原创）命题p:复数z=i，命题q:复数满足，i为虚数单位，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设， 则即，解得， 所以，是充要条件故选：C 【详解】由实系数一元二次方程根的性质可知，另一个根为 ，依旧满足韦达定理， ，所以，所以 7、(原创)设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【详解】由已知，对应的点在第一象限，对应的角度为， 所以绕原点顺时针旋转，得到新向量的模和它相等，对应角度为，将此向量绕原点顺时针旋转，则得到向量模为2，对应角度为，所以面积为故选：B. 8、（原创）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，，则（    ） A． 0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】由 , 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、（原创）已知方程,则 (　　) A、该方程所有根的和为4 B、该方程所有根的积为-9 C、所有根的模的和为 D、所有根的虚部之和为2 【答案】ABC 【详解】由，得 由根与系数关系可得 虚部之和为0 10、（原创）（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（    ） A． + =2 B、 =1-2i C、 D、 【答案】AB 【详解】，令， 所以+ =2 ， =1-2i ，， 11、以下命题中，正确的有（    ） A．若向量，满足，则 B．若复数，满足，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，则， 即，解得，故A正确； 对于B，设，，则， ，由， 则，化简可得， ，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，设，， 由 ，则， 可得，即，无论哪种情况都可得，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、复数满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 13．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为 【答案】B 【详解】由题意，，，， 由三点共线可得，，化简可得， 又，， ， 当且仅当，即时等号成立. 14、设（且），方程在复数集C内的三个根为，可以将上述方程变形为，展开得到，比较该方程与方程，可以得到．已知（i是虚数单位），且是的三个实根，则 【详解】依题意，，即，而且， 则，， ，， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（13分）已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,求满足下列条件的实数m的值或取值范围. (1)复数z与复数2-12i相等; (2)复数z与复数12+16i互为共轭复数; (3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方. 【详解】（1）根据复数相等的充要条件，得， （4分） 解得. （5分） （2） 根据共轭复数的定义，得， （9分） 解得. （10分） （3）由题意，知，解得或， （12分） 故实数m的取值范围为. （13分） 16、已知复数满足． (1)求； (2)若复数满足且，求． 【详解】(1)设， 则 （2分） 所以， (4分) 解得，所以. （6分） (2)设，，则 （10分） 因为且，所以 （14分） 解得或 所以或 （15分） 17、已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限. (1)求的值； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 【详解】（1）解：由复数且， 可得， （3分） 即，解得， （5分） 又由在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，故有. （6分） （2）解：由复数对应的向量分别是，可得，（8分） 则且， （11分） 因为为与的夹角，可得， （13分） 又因为，所以. （15分） 18、已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【详解】（1），，且， ，，即，， （2分） 又，故. （4分） （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， （6分） 又，则. （7分） 当时，取最大值为，当时，取最小值为，（9分） 的取值范围为； （10分） （ⅱ），， ， （11分） 又，则， 化简得，， （13分） ，由小问（ⅰ）的结论可知， （15分） ，解得或， （17分） 综上所述，的取值范围为：. 19、对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 【详解】（1）由，得，（2分） 由得，从而，， （3分） 解得，此时，； （4分） 故，. （5分） （2）设，， 则 （8分） 又， 所以， （10分） 所以. （11分） （3）由题意得，， 因为，，， 所以， （13分） 所以令，，，则有， 当取不同值时，也有相应的不同值，故存在这样的，但不唯一. （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市樊城区高一下学期阶段测试 （人教A版必修二第七章）（原卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、下列说法正确的是（    ） A、是纯虚数 B、 C、复数的充要条件是 D、满足的复数只有 2、复数的共轭复数对应的点在第（   ）象限 A、一 B、二 C、三 D、四 3、（原创）在复平面内，复数满足，则的虚部为（   ） A、2i B、2 C、0 D、不存在 4、在复平面内，四边形ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，D三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则C对应的复数是（ ） A、-4i B、4i C、2i D、-2i 5、(原创)复数在复平面内满是，则复数对应的点的集合所形成的图形的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 6、（原创）命题p:复数z=i，命题q:复数满足，i为虚数单位，则p是q的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 7、(原创)设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 8、（原创）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，，则（    ） A、 0 B、、 C、 D、1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、（原创）已知方程,则 (　　) A、该方程所有根的和为4 B、该方程所有根的积为-9 C、所有根的模的和为 D、所有根的虚部之和为2 10、（原创）（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（    ） A． + =2 B、 =1-2i C、 D、 11、以下命题中，正确的有（    ） A．若向量，满足，则 B．若复数，满足，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、复数满足，则的最大值为________. 13、已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为 14、设（且），方程在复数集C内的三个根为，可以将上述方程变形为，展开得到，比较该方程与方程，可以得到．已知（i是虚数单位），且是的三个实根，则 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（13分）已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,求满足下列条件的实数m的值或取值范围. (1)复数z与复数2-12i相等; (2)复数z与复数12+16i互为共轭复数; (3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方. 16、（15分）已知复数满足． (1)求； (2)若复数满足且，求． 17、（15分）已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限. (1)求的值； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 18、（17分）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 19、（17分）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $