命题大赛 第七章复数单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦高一数学复数单元（人教A版必修二第七章），以原创通信信号传播情景题为主线，适配单元复习，强化数学眼光观察现实、数学思维解决问题及数学语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数概念、运算、几何意义|结合充要条件考查概念辨析，如纯虚数的条件判断| |填空题|4|复数几何意义、方程根|关联椭圆方程考查复数对应点位置，体现跨知识整合| |多选题|2|共轭复数、方程根的几何意义|选项涵盖代数运算与几何位置判断，培养逻辑推理| |解答题|3|复数运算、几何作图、轨迹问题|原创通信信号情景题，通过复数模求轨迹及最值，强化应用意识|

山西高一数学下学期阶段测试（人教A版必修二第七章） 评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 15 16 答案 C D B C C A C C CD AD 1．C 【难度】0.94 【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解。 【详解】， 故的虚部为. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的代数运算，考查计算能力，属于基础题. 2．D 【难度】0.94 【分析】首先得到，再化简复数. 【详解】 . 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题型. 3．B 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算化简，根据复数是纯虚数求得，从而求得. 【详解】， 由于是纯虚数，所以，解得， 所以. 故选：B 4．C 【难度】0.85 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数的运算法则计算得到答案. 【详解】. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力. 5．C 【难度】0.65 【知识点】充要条件、已知复数的类型求参数 【详解】分析：首先求得复数z为纯虚数时x是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数为纯虚数，则： ，即：，据此可知， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、复数的坐标表示 【分析】求出点的坐标，可得其关于直线的对称点的坐标，利用复数与复平面内的点一一对应可得结果. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点关于直线的对称点为， 所以向量对应的复数为，故选A． 【点睛】本题主要考查复数与复平面内的点一一对应关系以及点关于直线的对称点的求解方法，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 7．C 【难度】0.65 【解析】根据，可正可负也可为0，即可判定. 【详解】，不可能为实数，所以D错误； 对应的点在实轴的上方，又与对应的点关于实轴对称，对应的点在实轴的下方，所以C正确； ，对应的点在第二象限，所以A错误； ，可能为纯虚数，所以B错误； C项正确. 故选：C 【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围. 8．C 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设,再根据求出满足的方程,根据复数的几何意义求解的最小值即可. 【详解】设,因为,故,故 ,即.故在复平面内的轨迹是直线.又的几何意义为到复平面原点的距离,故其最小值为原点到的距离. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题. 9．0 【难度】0.94 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法运算法则求出，得出在复平面上对应点的坐标，代入椭圆方程即可. 【详解】，在平面内复数对应点的坐标为， 代入椭圆方程得. 故答案为:0. 【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题. 10． 【难度】0.85 【知识点】复数的有关概念、求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】分析：将复数化为代数形式，根据复数为纯虚数求得后可得的虚部． 详解：由题意得． ∵复数是纯虚数， ∴， ∴， ∴的虚部为1． 点睛：本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，解题时要准确的到复数的代数形式，同时要注意复数的虚部是，而不是． 11． 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出． 【详解】解：关于的方程有一个根，为虚数单位）． 则也是此方程的一个根． ，， 解得．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12． 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的四则运算得出，结合共轭复数的定义，即可得出答案. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题. 13．CD 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】由，根据复数的除法法则求出复数，即可判断A；根据复数模的计算公式求出，即可判断B；由复数得到其共轭复数，再根据复数的乘法法则求出，即可判断C；由复数得到其在复平面内对应的点的坐标，即可判断D. 【详解】因为，所以复数，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为复数，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确. 故选：CD 14．AD 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】根据给定条件，求出判断BD；借助韦达定理求出判断A；由复数的意义判断C. 【详解】由的两根为，且，则， 对于A，，即，因此，A正确； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B错误； 对于C，的虚部为，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 15．（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、复数的除法运算 【分析】（1）根据复数的除法运算可得结果. （2）利用配方可得，由此可得方程在复数范围内的根. 【详解】（1）. （2）∵， ∴， ∴或， ∴. 16．见解析 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】，，，对应复平面的坐标分别为，其表示的复数的向量分别为：，如下图所示： 17【难度】0.55 【知识点】复数模的几何意义、圆的轨迹方程、距离最值 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】 (1) 由 |z - (3 + 4i)| = 2 ，可知接收点 P 的轨迹是以 ( (3,4) 为圆心，2 为半径的圆。 设 \( z = x + yi \ (x,y \in \mathbb{R}) \)，则轨迹方程为(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 (2) 圆心到原点的距离 \( |z_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)， 故 \( |z|_{\max} = 5 + 2 = 7 \)，\( |z|_{\min} = 5 - 2 = 3 \)。 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西高一数学下学期阶段测试（人教A版必修二第七章）试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（     ） A． B． C． D． 3．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．“”是“复数为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为点，则向量对应的复数为 A． B． C． D． 7．设，其中，则以下结论正确的是（    ） A．对应的点在第一象限 B．一定不为纯虚数 C．对应的点在实轴的下方 D．一定为实数 8．已知复数满足：，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 9．已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于椭圆上，则________． 10．已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________． 11．若虚数是方程的一个根，则实数________ 12．若复数满足，则_______________. 三、多选题 13．已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第二象限 14．若的两根为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D． 四、解答题 15．（1）计算：； （2）在复数范围内解方程：. 16．在复平面上，作出表示下列复数的向量： ，，，． 17.（原创·情景型解答题） 某通信信号在复平面内传播时，信号源对应的复数为 z0 = 3 + 4i ，接收点 P 对应的复数为 z ，满足 |z - z0| = 2 。 (1) 说明接收点P 在复平面内的轨迹形状，并求出轨迹方程； (2) 求接收点 P 到原点 O 的距离 |z| 的最大值与最小值。 答案第6页，共7页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet5 题号 题型 分值 难度系数 核心考查知识点 1 单选题 5 0.94 复数的除法运算、复数的虚部概念 2 单选题 5 0.94 复数的四则混合运算 3 单选题 5 0.85 复数的除法运算、纯虚数的定义、复数的模 4 单选题 5 0.85 复数的乘方运算（i 的幂次周期性） 5 单选题 5 0.65 纯虚数的定义、充分必要条件的判断 6 单选题 5 0.65 复数的坐标表示、点关于直线的对称点求解 7 单选题 5 0.65 复数的实部与虚部、共轭复数的几何意义 8 单选题 5 0.65 复数的几何意义、复数模的轨迹问题、点到直线的距离 9 填空题 5 0.94 复数的乘法运算、复数的坐标表示、椭圆方程 10 填空题 5 0.85 复数的除法运算、纯虚数的定义、复数的虚部 11 填空题 5 0.65 实系数一元二次方程虚根成对原理、韦达定理 12 填空题 5 0.65 复数的四则运算、共轭复数的概念 13 多选题 5 0.85 复数的除法运算、复数的模、共轭复数的运算、复数的几何意义 14 多选题 5 0.65 复数范围内一元二次方程的根、韦达定理、复数的坐标表示、复数的虚部、复数的模 15 解答题 8 0.65 复数的除法运算、复数范围内一元二次方程的解法 16 解答题 8 0.65 复数的几何意义、复平面内向量的表示 17 解答题 14 0.65 复数模的几何意义、圆的轨迹方程、距离最值 知识点覆盖说明 本试卷全面覆盖人教A版必修二第七章复数的核心知识点，重点考查复数的四则运算、复数的基本概念（实部、虚部、纯虚数、共轭复数）、复数的几何意义以及复数范围内方程的解法，符合高一学生的认知水平和教学要求。 $