专题02期末复习《二元一次方程组应用》（小模块·微专题·大压轴）2025-2026学年鲁教版五四制数学七年级下学期

**基本信息** 以“挖井式”专题突破构建含参数二元一次方程组应用体系，通过“知识点-题型-变式-压轴”四层逻辑链，融合数学建模与应用意识，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|1例+3变式|相遇/追及等量关系建模|从速度公式到环形/顺水场景拓展| |利润问题|1例+3变式|进价-售价-利润关系式应用|结合打折/促销情境深化经济模型| |工程问题|1例+3变式|工作总量“1”的设定技巧|从单人效率到多主体协同计算| |分段计费|1例+3变式|分类讨论与分段函数思想|联系生活实际培养数据意识| |方案问题|1例+3变式|不等式组与最优解探究|综合方程与函数提升应用能力|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 学途漂泊孤行客 独伫挖井望彩虹 ----专题01期末复习《含参数的二元一次方程组》专题突破 【专辑简介】彩虹非天上垂落，而是“挖至泉涌”后的自然显现，真正的彩虹，从不在云层之上，而在你凿穿黑暗的那刻，自己照亮的天空里。屠呦呦团队历经190次失败提取青蒿素，是“挖井”式坚持的典范；独伫广袤，是主动选择的孤独，而非被动流离；走近“挖井人数学”（https://shop.xkw.com/165948），进入”专题式复习”，围绕一两个紧密相关的知识点或题型，直击薄弱环节，实现“以小见大”。通过聚焦核心考点和易错点，将碎片化知识串联成体系，强化知识间的关联，帮您构建系统化知识网络。安得五彩虹，挖井作长桥。仙人如爱我，举手来相招。 题型清单·图表导航 模块1 行程问题 模块8 几何问题 模块2 和差倍分问题 微专题1分段计费问题 模块3 年龄问题 微专题2幻方 模块4 古代问题 微专题3方案问题 模块5 分配问题 压轴1 图表信息问题 模块6工程问题 压轴2 三个“一次”的综合应用 模块7利润问题 知识梳理·基础溯源 知识点1 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 ①弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量; ②设未知数; ③根据找出的两个等量关系列出方程组; ④解方程组; ⑤检验所得的解是否符合题意; ⑥写出答案(包括单位). 知识点2 利润问题 单件商品的利润=单件商品的售价一单件商品的进价; 例如:某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件. 知识点3 增长率问题 知识点4 数的表示问题 1.用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b十a;如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a十b. 2.变换数位后多位数的表示 (1)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x,y表示这个四位数为10or+y.同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为10ov十x.(2)一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n+m 知识点5 行程问题 1.关系式 速度X时间一路程. 2.常见问题类型 (1)相遇问题:二者路程之和等于两点间距离. (2)追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离; ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等. ③环形追及问题:二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长。 ④列车问题:需考虑车自身长度. ⑤顺(逆)水问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度一静水速度一水流速度. 知识点6 工程问题 1.工作总量=工作时间X工作效率. 2.当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量. 模块通关·举一反 三 【模块一 行程问题】 【例1】（2026春•淄川区期中）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．若甲先走2h，则他们在乙出发2.5h时相遇；若乙先走2h，则他们在甲出发3h相遇．甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h，请完成下列表格： 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况（甲先走2h） 　4.5x 　2.5y 　4.5x+2.5y 第二种情况（乙先走2h） 　3x 　5y 　3x+5y 【变式1-1】（2025秋•沈北新区期末）火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度． 【变式1-2】（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度． 【变式1-3】（2026•天宁区校级模拟）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点A，星港街上的点B与点A的距离AB为1200m． （1）若甲从点B出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过3.75分钟或7.5分钟时，甲、乙两人与点A的距离相等．求甲、乙两人的速度； （2）若甲从点B先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发_________分钟，两人与点A的距离相等． 【模块二 和差倍分问题】 【例2】（2026春•潼南区期中）为丰富新学期校园文体生活，学校计划采购两类器材：A类：篮球，B类：羽毛球拍套装．根据预算，共需资金1636元．已知购买1个篮球和2副羽毛球拍共需236元；购买2个篮球和1副羽毛球拍共需208元． （1）购买一个篮球和一副羽毛球拍分别需要多少元？ （2）若学校计划购买的篮球数量比羽毛球拍套装数量的2倍多3个，且全部预算资金恰好用完，则学校购买篮球、羽毛球拍套装各多少个？ 【变式2-1】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法：①两根铁棒的长度和为；②其中一根铁棒长度为；③桶中水深；④其中一根铁棒露出水面的长度为．其中说法正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数． 【变式2-3】元宵节是我国的传统节日，人们素有吃元宵的习俗，在元宵节来临之际，某超市计划购进一批元宵进行销售． (1)若购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，求购进A、B两种品牌的元宵各多少袋？ (2)该超市采购员发现，1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，求A、B两种品牌的元宵进价分别为多少元？ 【模块三 年龄问题】 【例3】（2026春•朝阳区校级期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过8年，我的年龄就是你现在年龄的3倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【变式3-1】学生问老师：“您今年多大？”教师风趣地说：“我像你这么大时，你才5岁；你到我这么大时，我已经44岁了．”教师今年 岁． 【变式3-2】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【变式3-3】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【模块四 古代问题】 【例4】（2026•灞桥区校级模拟）·【较易】《孙子算经》之“甲乙持钱”问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”大意是：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的（太半），那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？ 【变式4-1】（2025•项城市三模）《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·江西南昌·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？ 【模块五 分配问题】 【例5】．（2026春•尧都区校级期中）·2026年哈尔滨亚洲冬季运动会期间，某车间90名工人承接了制作亚冬会专属丝巾的任务．已知每人每天平均生产手上丝巾1600条或者脖子上丝巾1200条，且一条脖子上的丝巾要搭配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产手上的丝巾，多少名工人生产脖子上的丝巾？ 【变式5-1】（2026春•房山区期中）每年的3月12日是植树节．某校七年级有183名学生参加植树节活动，在活动中男生平均每人挖3个树坑，女生平均每人种6棵树．这样恰好使挖好的树坑都能种上树．该年级参加植树的男、女生各有多少人？ 【变式5-2】（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 【变式5-3】某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 【模块六 工程问题】 【例6】（2026春•永春县期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条2000米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建150米，乙队每天修建100米，两队施工的总时间是16天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ （1）小红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是　甲工程队共修建道路的米数　 ，未知数y表示的是　乙工程队共修建道路的米数　 ． （2）小丽同学设甲工程队修建了m天，乙工程队修建了n天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【变式6-1】（2026春•韩城市期中）随着科技发展，高效安全的无人机农药喷洒受到了广大农户的欢迎．某公司有A，B两款无人机为农户提供农药喷洒服务，已知每架A款无人机每小时农药喷洒的土地面积比每架B款无人机多20亩，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求每架A，B两款无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【变式6-2】（2026春•海淀区校级期中）在我国大力推进的深空探测工程中，海量宇宙观测数据的处理至关重要．某航天飞行控制中心引进了两款由我国自主研发的超级计算系统：A型系统主要用于航天器轨道精密计算，B型系统主要用于星表高清图象渲染． 经过前期的性能测试发现：如果安排4套A型计算系统和3套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理240TB的深空探测数据；如果安排3套A型计算系统和4套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理250TB的相关数据． 问一套A型计算系统和一套B型计算系统，每小时分别能处理多少TB的深空探测数据？ 【变式6-3】（2026春•天河区校级期中）某校计划组织校园消防演练，李老师带领小组通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据表中信息，解答下列问题． 课题 紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带 地点 如图，共有5道门，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门 数据收集 通过预演，李老师得到如下数据： ①正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人：开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人； ②紧急情况下局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%． 相关情况 教学楼内有教师122位；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5min内（不考虑下楼时间）通过5个门安全撤离． （1）求正常情况下每道正门和侧门每分钟通过的人员数量； （2）紧急情况下，教学楼内全体师生撤离教学楼需要多少分钟？是否能安全撤离？ 【模块七 利润问题】 【例7】（2026春•莱阳市期中）·某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、标价如表： 型号 进价（元/只） 标价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按标价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯按标价的九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按标价售出了多少只？ 【变式7-1】（2026•海口模拟）新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利35%． 【问题解决】 （1）求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 （2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 【变式7-2】（2026春•长沙期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 （1）该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件？ （2）该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售？ 【变式7-3】（2026春•招远市期中）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 12 20 售价（元/件） 19 30 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【模块八 几何问题】 【例8】（2026春•同安区期中）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 【变式8-1】在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【变式8-3】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 专题攻坚·多题归一 【微专题一 分段计费问题】 【例9】（2026春•温岭市期中）·某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（b＞a）． （1）已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． （2）到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，如果当月用水量超过20吨，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 【变式9-1】为了鼓励市民节约用水，某市实行居民生活用水按阶梯式水价计费：下表是居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水价格 污水处理费 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 20吨及以下（包含20吨） 0.60 超过20吨但不超过30吨的部分 0.60 超过30吨的部分 3.60 0.60 （注：到户价格=自来水价格+污水处理费，如：超过30吨的部分的到户价格为（元），每户产生的污水量等于该户自来水用水量．） 若小王家3月份用水25吨，交水费64.50元；4月份用水30吨，交水费81.00元． （1）求，； （2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王家计划把7月份的水费控制在家庭收入的1.5%，若小王的月收入为9600元，则小王家7月份可用水多少吨？ 【变式9-2】我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额． （1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？ （2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？ （3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？ 2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用） 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% 4 超过25000元至35000元的部分 25% 5 超过35000元至55000元的部分 30% 【变式9-3】某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年 11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共 10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元． （1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？ （2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%， 12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？ 每瓶用量    饮料 甲 乙 （单位：千克） 0.9 0.2 （单位：千克） 0.8 0.4 （3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种 饮料的优惠方案分别如表2、表3． 某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？ 一次性购买甲饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500 所购饮料全部按九折优惠 超过500 所购饮料全部按八折优惠 一次性购买乙饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500的部分 不享受优惠方案 超过500但未超过1000部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 【微专题二 幻方】 【例10】（2025秋•路南区期末）幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x﹣y的值为 　　 ． 【变式10-1】在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数字之和相等； ②外圆两直径上的四个数字之和相等； 则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ． 【变式10-2】（2025秋•官渡区期末）“幻方”最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中，如图，每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则x+y+z的值为　 　 ． 【变式10-3】（2025秋•十堰期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为　　 ． 【微专题三 方案问题】 【例11】（2026春•裕华区校级月考）·为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备开展校级足球联赛，购进A，B两种品牌的足球共80个．已知购进60个A品牌足球和20个B品牌足球共花费4600元；购进50个A品牌足球和30个B品牌足球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的足球的单价分别是多少元？ （2）考虑到足球在使用过程中的损坏率，学校决定再次购进一批足球作为备用到正好赶上商场对足球的价格进行调整，每个A品牌足球的售价比第一次购买时提高了10元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的足球（两种足球均购买且钱正好花完），A，B两种品牌的足球多少个（列举出所有可行的方案）？ 【变式11-1】（2026春•青羊区校级期中）树德实验为“SDBA”篮球赛准备纪念品，在网上咨询到统一采购150支水性笔和300支铅笔，总费用为2400元，其中铅笔比水性笔每支便宜7元．请解决如下问题： （1）求水性笔和铅笔的单价各是多少元？ （2）某实体文具店推出两种优惠方案： 方案一：每购买1支水性笔，赠送1支铅笔； 方案二：所有商品全部打八折． 若学校在实体文具店购买水性笔150支和铅笔300支，请通过计算说明哪种方案更省钱？ 【变式11-2】（2023春·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【变式11-3】（2026春•思明区校级期中）·剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： （1）制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． （2）由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 压轴探究·素养提升 【压轴一 图表信息问题】 【例12】（2026春•海阳市期中）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 制作“校园文化节”礼品盒 背景 为迎接学校一年一度的“校园文化节”，给全体师生送上暖心文创礼品，该校手工社团承接了“校园文化节”礼品盒的制作任务．为确保礼品盒规格统一、美观实用，社团开展了相关实践活动． 实践材料 340张规格为170cm×40cm的标准纸板． 实践操作 （1）如图1，将300张标准纸板按裁法一裁剪，40张标准纸板按裁法二裁剪，得到若干张A型纸板及B型纸板（单位：cm）； （2）如图2，用A型纸板、B型纸板制成竖式有盖礼品盒和横式无盖礼品盒，所有A，B型纸板均无剩余． 问题解决 （1）求图1中a，b的值； （2）求制成的竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量． 【变式12-1】流感期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 温度计 消毒水    酒棈喷剂       消毒纸巾    医用口罩       合计 (1)小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件? (2)小李家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共件，且总价刚好元，则消毒水购买多少件? (3)小李家准备用元再次购买消毒纸巾和医用口罩，在元刚好用完的条件下，有哪些购买方案? 【变式12-2】如图1，是的方阵图，中国古代也叫“纵横图”，填写了一些数和表示数的代数式，使得每行的3个数、每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等． （1）求x，y的值； （2）在图2中完成此方阵图． 3 4 a c b 图1 3 4 图2 【变式12-3】根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量单位：台时 租金单位：元台时 甲型 乙型 素材 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元． 问题解决 任务 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务 确定保养费用 基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示． 【压轴二 三个“一次”的综合应用】 【例13】（2026•澧县一模）根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【变式13-1】（2025•长沙模拟）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【变式13-2】（2026•鲁山县一模）汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元． （1）求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． （2）为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【变式13-3】（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 通关检测·实战演练 1.一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 2.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 3..用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A点的坐标是（－2，5），则B点的坐标是（    ） A．（－，） B．（－，） C．（－6，5） D．（－6，4） 4.某商场2024年的总利润为100万元，2025年的总收入比2024年增加10%，总支出比2024年减少5%，2025年的总利润为140万元，则2024年的总收入和总支出分别是（    ） A．300万元，210万元 B．300万元，200万元 C．400万元，300万元 D．410万元，310万元 5.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为________件． 6.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行的时间之间的函数关系式如图中折线段所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论： ①甲、乙两地相距； ②两人出发后相遇； ③小丽步行的速度为，小明步行的速度为； ④小明到达甲地时，小丽离乙地还有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7垃圾对环境的影响日益严重，垃圾危机的警钟被再次拉响．我区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃圾分类投放．若购买A型12只、B型8只，共需4400元；若购买A型6只、B型14只，共需4700元． （1）求A型、B型垃圾分类回收箱的单价． （2）现计划用5000元去购买两种不同型号的垃圾分类回收箱，且恰好用完，问共有哪几种购买方案？ 8 .某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是________元． （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元． ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有________箱（直接写出答案）． 9.6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元． (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． 10.（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 学途漂泊孤行客 独伫挖井望彩虹 ----专题01期末复习《含参数的二元一次方程组》专题突破 【专辑简介】彩虹非天上垂落，而是“挖至泉涌”后的自然显现，真正的彩虹，从不在云层之上，而在你凿穿黑暗的那刻，自己照亮的天空里。屠呦呦团队历经190次失败提取青蒿素，是“挖井”式坚持的典范；独伫广袤，是主动选择的孤独，而非被动流离；走近“挖井人数学”（https://shop.xkw.com/165948），进入”专题式复习”，围绕一两个紧密相关的知识点或题型，直击薄弱环节，实现“以小见大”。通过聚焦核心考点和易错点，将碎片化知识串联成体系，强化知识间的关联，帮您构建系统化知识网络。安得五彩虹，挖井作长桥。仙人如爱我，举手来相招。 题型清单·图表导航 模块1 行程问题 模块8 几何问题 模块2 和差倍分问题 微专题1分段计费问题 模块3 年龄问题 微专题2幻方 模块4 古代问题 微专题3方案问题 模块5 分配问题 压轴1 图表信息问题 模块6工程问题 压轴2 三个“一次”的综合应用 模块7利润问题 知识梳理·基础溯源 知识点1 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 ①弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量; ②设未知数; ③根据找出的两个等量关系列出方程组; ④解方程组; ⑤检验所得的解是否符合题意; ⑥写出答案(包括单位). 知识点2 利润问题 单件商品的利润=单件商品的售价一单件商品的进价; 例如:某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件. 知识点3 增长率问题 知识点4 数的表示问题 1.用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b十a;如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a十b. 2.变换数位后多位数的表示 (1)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x,y表示这个四位数为10or+y.同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为10ov十x.(2)一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n+m 知识点5 行程问题 1.关系式 速度X时间一路程. 2.常见问题类型 (1)相遇问题:二者路程之和等于两点间距离. (2)追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离; ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等. ③环形追及问题:二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长。 ④列车问题:需考虑车自身长度. ⑤顺(逆)水问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度一静水速度一水流速度. 知识点6 工程问题 1.工作总量=工作时间X工作效率. 2.当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量. 模块通关·举一反 三 【模块一 行程问题】 【例1】（2026春•淄川区期中）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．若甲先走2h，则他们在乙出发2.5h时相遇；若乙先走2h，则他们在甲出发3h相遇．甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h，请完成下列表格： 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况（甲先走2h） 　4.5x 　2.5y 　4.5x+2.5y 第二种情况（乙先走2h） 　3x 　5y 　3x+5y 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】4.5x，2.5y，4.5x+2.5y，3x，5y，3x+5y． 【分析】利用路程＝速度×时间，可找出甲、乙的路程，二者相加可得出两人的路程之和，结合路程之和为36km，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：第一种情况（甲先走2h）：甲的路程为（2+2.5）x＝4.5xkm，乙的路程为2.5ykm， ∴甲、乙两人的路程之和为4.5x+2.5y＝36； 第二种情况（乙先走2h）：甲的路程为3xkm，乙的路程为（2+3）y＝5ykm， ∴甲、乙两人的路程之和为3x+5y＝36， ∴根据题意可列出方程组， 解得：． 答：甲的速度是6km/h，乙的速度是3.6km/h． 故答案为：4.5x，2.5y，4.5x+2.5y，3x，5y，3x+5y． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•沈北新区期末）火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】隧道的长度为1000m，火车的长度为200m． 【分析】设隧道的长度为xm，火车的长度为ym，根据题意列出方程组求解即可解答． 【解答】解：设隧道的长度为xm，火车的长度为ym， 依题意得， 解得． 答：隧道的长度为1000m，火车的长度为200m． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 【变式1-2】（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度． 【答案】甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒 【分析】设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒， 依题意，得： 解得： 答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1-3】（2026•天宁区校级模拟）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点A，星港街上的点B与点A的距离AB为1200m． （1）若甲从点B出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过3.75分钟或7.5分钟时，甲、乙两人与点A的距离相等．求甲、乙两人的速度； （2）若甲从点B先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发_________分钟，两人与点A的距离相等． 【考点】二元一次方程组的应用；垂线；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）甲的速度是240米/分钟，乙的速度是80米/分钟； （2）4或7． 【分析】（1）设甲的速度是x米/分钟，乙的速度是y米/分钟，根据“经过3.75分钟或7.5分钟时，甲、乙两人与点A的距离相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲出发t分钟，两人与点A的距离相等，分甲还未到点A及甲经过点A两种情况考虑，利用路程＝速度×时间，结合两人与点A的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲的速度是x米/分钟，乙的速度是y米/分钟， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：甲的速度是240米/分钟，乙的速度是80米/分钟； （2）设甲出发t分钟，两人与点A的距离相等， 当甲还未到点A时，1200﹣240t＝80（t﹣1）， 解得：t＝4； 当甲经过点A时，240t﹣1200＝80（t﹣1）， 解得：t＝7， ∴甲出发4或7分钟，两人与点A的距离相等． 故答案为：4或7． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及垂线，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【模块二 和差倍分问题】 【例2】（2026春•潼南区期中）为丰富新学期校园文体生活，学校计划采购两类器材：A类：篮球，B类：羽毛球拍套装．根据预算，共需资金1636元．已知购买1个篮球和2副羽毛球拍共需236元；购买2个篮球和1副羽毛球拍共需208元． （1）购买一个篮球和一副羽毛球拍分别需要多少元？ （2）若学校计划购买的篮球数量比羽毛球拍套装数量的2倍多3个，且全部预算资金恰好用完，则学校购买篮球、羽毛球拍套装各多少个？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）篮球60元，羽毛球拍88元； （2）篮球17个，羽毛球拍7套． 【分析】（1）设篮球、羽毛球拍单价为未知数，根据两组购买总价列二元一次方程组，求解单价； （2）设羽毛球拍数量为未知数，用关系式表示篮球数量，按总预算列一元一次方程求解数量． 【解答】解：（1）设一个篮球x元，一副羽毛球拍y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：一个篮球60元，一副羽毛球拍88元； （2）设购买羽毛球拍套装m副，则购买篮球（2m+3）个， 依题意列方程：60（2m+3）+88m＝1636， 120m+180+88m＝1636， 208m＝1456， 解得m＝7， 篮球个数：2×7+3＝17， 答：购买篮球17个，羽毛球拍套装7副． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意正确列方程． 【变式2-1】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法：①两根铁棒的长度和为；②其中一根铁棒长度为；③桶中水深；④其中一根铁棒露出水面的长度为．其中说法正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，根据“两根铁棒长度差为，且两根铁棒水下的长度相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，进而可得出其中一根铁棒长度为；将，值相加，可得出两根铁棒的长度和为；将的值代入中，可得出桶中水深；利用较短铁棒的长度水深，可得出其中一根铁棒露出水面的长度为． 【详解】解：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为， 根据题意得：， 解得：， 其中一根铁棒长度为，说法②正确； ， 两根铁棒的长度和为，说法①正确； ， 桶中水深，说法③正确； ， 其中一根铁棒露出水面的长度为，说法④正确， 说法正确的个数为4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式2-2】某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数． 【答案】第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人 【分析】设原来第一车间有x人，第二车间有y人．根据已知数量关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原来第一车间有x人，第二车间有y人． 由题意得， 解得：． 答：原来第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【变式2-3】元宵节是我国的传统节日，人们素有吃元宵的习俗，在元宵节来临之际，某超市计划购进一批元宵进行销售． (1)若购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，求购进A、B两种品牌的元宵各多少袋？ (2)该超市采购员发现，1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，求A、B两种品牌的元宵进价分别为多少元？ 【答案】(1)购进A种品牌的元宵670袋，购进B种品牌的元宵330袋 (2)A种品牌的元宵进价为9元，B种品牌的元宵进价为15元 【分析】（1）设购进A种品牌的元宵x袋，购进B种品牌的元宵y袋，由题意：购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种品牌的元宵进价为m元，B种品牌的元宵进价为n元，由题意：1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设购进A种品牌的元宵x袋，购进B种品牌的元宵y袋， 由题意得：， 解得：， 答：购进A种品牌的元宵670袋，购进B种品牌的元宵330袋； （2）解：设A种品牌的元宵进价为m元，B种品牌的元宵进价为n元， 由题意得：， 解得：， 答：A种品牌的元宵进价为9元，B种品牌的元宵进价为15元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【模块三 年龄问题】 【例3】（2026春•朝阳区校级期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过8年，我的年龄就是你现在年龄的3倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】小明现在的年龄是6岁，小亮现在的年级是10岁． 【分析】设小明现在的年龄是x岁，小亮现在的年级是y岁，根据“再过4年，小明就和小亮现在一样大；再过8年，小亮的年龄是小明现在年龄的3倍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明现在的年龄是x岁，小亮现在的年级是y岁， 根据题意得：， 解得：． 答：小明现在的年龄是6岁，小亮现在的年级是10岁． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式3-1】学生问老师：“您今年多大？”教师风趣地说：“我像你这么大时，你才5岁；你到我这么大时，我已经44岁了．”教师今年 岁． 【答案】31 【分析】设教师今年x岁，学生今年y岁，根据“我像你这么大时，你才5岁；你到我这么大时，我已经44岁了”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设教师今年x岁，学生今年y岁， 根据题意得：， 解得：． 故答案为31． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式3-2】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 【变式3-3】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【来源】【北师大版课时练习】八年级数学上册 总复习 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【模块四 古代问题】 【例4】（2026•灞桥区校级模拟）·【较易】《孙子算经》之“甲乙持钱”问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”大意是：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的（太半），那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？ 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】甲原来有36钱，乙原来有24钱． 【分析】设甲原来有x钱，乙原来有y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的（太半），那么乙也共有钱48文”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲原来有x钱，乙原来有y钱， 根据题意得：， 解得：． 答：甲原来有36钱，乙原来有24钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式4-1】（2025•项城市三模）《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意得： ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 【变式4-2】（2023春·江西南昌·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？ 【答案】上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗 【分析】设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗，根据题意“上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当”，列出二元一次方程并求解即可． 【详解】.解：设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗， 根据题意可得，解得． 答：上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 【变式4-3】（2025秋•安宁区校级期末）·《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，则共有　　 人，这个物品的价格是　　 钱． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】7，53． 【分析】设共有x人，这个物品的价格是y元，根据每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设共有x人，这个物品的价格是y元， 根据题意得：， 解得：， 即共有7人，这个物品的价格是53元， 故答案为：7，53． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【模块五 分配问题】 【例5】．（2026春•尧都区校级期中）·2026年哈尔滨亚洲冬季运动会期间，某车间90名工人承接了制作亚冬会专属丝巾的任务．已知每人每天平均生产手上丝巾1600条或者脖子上丝巾1200条，且一条脖子上的丝巾要搭配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产手上的丝巾，多少名工人生产脖子上的丝巾？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】分配54名工人生产手上的丝巾，36名工人生产脖子上的丝巾． 【分析】设分配x名工人生产手上的丝巾，则分配（90﹣x）名工人生产脖子上的丝巾，根据每人每天平均生产手上丝巾1600条或者脖子上丝巾1200条，且每天生产的丝巾刚好配套，列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：设分配x名工人生产手上的丝巾，则分配（90﹣x）名工人生产脖子上的丝巾， 由题可得1600x＝2（90﹣x）×1200， 解得：x＝54， 则90﹣x＝90﹣54＝36（名）， 答：分配54名工人生产手上的丝巾，36名工人生产脖子上的丝巾． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式5-1】（2026春•房山区期中）每年的3月12日是植树节．某校七年级有183名学生参加植树节活动，在活动中男生平均每人挖3个树坑，女生平均每人种6棵树．这样恰好使挖好的树坑都能种上树．该年级参加植树的男、女生各有多少人？ 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】该年级参加植树的男生有122人，女生有61人． 【分析】设该年级参加植树的男生有x人，女生有y人，根据参加植树的男女生共183人且一个树坑植一棵树，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设该年级参加植树的男生有x人，女生有y人， 依题意得：， 解得：． 答：该年级参加植树的男生有122人，女生有61人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式5-2】（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 【答案】生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套 【分析】设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．两个等量关系为：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数．再列方程求解即可． 【详解】解：设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套． 根据题意得 得． ． 把代入得． ． 答：该厂能生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数，列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系． 【变式5-3】某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名 【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 依题意，得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划， 依题意，得：4×30+2m＝200， 解得：m＝40． 答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键. 【模块六 工程问题】 【例6】（2026春•永春县期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条2000米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建150米，乙队每天修建100米，两队施工的总时间是16天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ （1）小红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是　甲工程队共修建道路的米数　 ，未知数y表示的是　乙工程队共修建道路的米数　 ． （2）小丽同学设甲工程队修建了m天，乙工程队修建了n天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】（1）甲工程队共修建道路的米数；乙工程队共修建道路的米数； （2）甲工程队修建了8天，乙工程队修建了8天． 【分析】（1）根据小红同学所列的方程组，可得出未知数x，y表示的意义； （2）根据甲、乙两工程队共用16天完成2000米道路的修建任务，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据所列方程组，可得出：未知数x表示的是甲工程队共修建道路的米数，未知数y表示的是乙工程队共修建道路的米数． 故答案为：甲工程队共修建道路的米数；乙工程队共修建道路的米数； （2）根据题意得：， 解得：， 答：甲工程队修建了8天，乙工程队修建了8天． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式6-1】（2026春•韩城市期中）随着科技发展，高效安全的无人机农药喷洒受到了广大农户的欢迎．某公司有A，B两款无人机为农户提供农药喷洒服务，已知每架A款无人机每小时农药喷洒的土地面积比每架B款无人机多20亩，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求每架A，B两款无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】每架A款无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒． 【分析】设每架A款无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“每架A款无人机每小时农药喷洒的土地面积比每架B款无人机多20亩，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”列方程组求解即可． 【解答】解：设每架A款无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 根据题意可得， 解得， 答：每架A款无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式6-2】（2026春•海淀区校级期中）在我国大力推进的深空探测工程中，海量宇宙观测数据的处理至关重要．某航天飞行控制中心引进了两款由我国自主研发的超级计算系统：A型系统主要用于航天器轨道精密计算，B型系统主要用于星表高清图象渲染． 经过前期的性能测试发现：如果安排4套A型计算系统和3套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理240TB的深空探测数据；如果安排3套A型计算系统和4套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理250TB的相关数据． 问一套A型计算系统和一套B型计算系统，每小时分别能处理多少TB的深空探测数据？ 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】一套A型计算系统每小时处理30TB，一套B型计算系统每小时处理40TB． 【分析】设一套A型系统每小时处理x TB，一套B型系统每小时处理y TB，根据题意列方程组即可． 【解答】解：设一套A型系统每小时处理x TB，一套B型系统每小时处理y TB，根据题意列二元一次方程组，， 解得， 答：一套A型计算系统每小时处理30TB，一套B型计算系统每小时处理40TB． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式6-3】（2026春•天河区校级期中）某校计划组织校园消防演练，李老师带领小组通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据表中信息，解答下列问题． 课题 紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带 地点 如图，共有5道门，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门 数据收集 通过预演，李老师得到如下数据： ①正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人：开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人； ②紧急情况下局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%． 相关情况 教学楼内有教师122位；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5min内（不考虑下楼时间）通过5个门安全撤离． （1）求正常情况下每道正门和侧门每分钟通过的人员数量； （2）紧急情况下，教学楼内全体师生撤离教学楼需要多少分钟？是否能安全撤离？ 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）正常情况下每道正门每分钟通过120人，每道侧门每分钟通过80人； （2）紧急情况下，教学楼内全体师生撤离教学楼需要4.5分钟，能安全撤离． 【分析】（1）设正常情况下每道正门每分钟通过x人，每道侧门每分钟通过y人，根据“正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用教学楼内全体师生撤离教学楼所需时间＝教学楼内全体师生人数÷紧急情况下5个门每分钟通过的人数之和，可求出教学楼内全体师生撤离教学楼所需时间，再将其与5分钟比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设正常情况下每道正门每分钟通过x人，每道侧门每分钟通过y人， 根据题意得：， 解得：． 答：正常情况下每道正门每分钟通过120人，每道侧门每分钟通过80人； （2）根据题意得： ＝4.5（分钟）， ∵4.5＜5， ∴能安全撤离． 答：紧急情况下，教学楼内全体师生撤离教学楼需要4.5分钟，能安全撤离． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【模块七 利润问题】 【例7】（2026春•莱阳市期中）·某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、标价如表： 型号 进价（元/只） 标价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按标价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯按标价的九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按标价售出了多少只？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）该商店购进60只甲型号节能灯，40只乙型号节能灯； （2）乙型号节能灯按标价售出了10只． 【分析】（1）设该商店购进x只甲型号节能灯，y只乙型号节能灯，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合该商店购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设乙型号节能灯按标价售出了m只，则按标价的九折售出了（40﹣m）只，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该商店购进x只甲型号节能灯，y只乙型号节能灯， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店购进60只甲型号节能灯，40只乙型号节能灯； （2）设乙型号节能灯按标价售出了m只，则按标价的九折售出了（40﹣m）只， 根据题意得：25×60+40m+40×0.9（40﹣m）﹣2600＝380， 解得：m＝10． 答：乙型号节能灯按标价售出了10只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式7-1】（2026•海口模拟）新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利35%． 【问题解决】 （1）求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 （2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； （2）B款书包的打九折出售． 【分析】（1）通过设A、B款书包的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设打m折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解． 【解答】解：（1）设每个A款书包的进价为x元，每个B款书包的进价为y元， 由题意，得， 解得， 即每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； 答：每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； （2）设B款书包实际销售时打m折出售， 由题意得：100（1+50%）×0.1m﹣100＝100×35%， 解得m＝9， 故B款书包打九折出售． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键． 【变式7-2】（2026春•长沙期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 （1）该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件？ （2）该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】（1）该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件； （2）9折． 【分析】（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件x件，“超超”摆件y件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打a折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件x件，“超超”摆件y件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打a折销售的，则 ， 解得a＝9， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式7-3】（2026春•招远市期中）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 12 20 售价（元/件） 19 30 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）该超市第一次购进150件甲商品，65件乙商品； （2）以五折售出的乙商品有120件． 【分析】（1）设该超市第一次购进x件甲商品，y件乙商品，根据“该超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为（65×4﹣m）件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该超市第一次购进x件甲商品，y件乙商品， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市第一次购进150件甲商品，65件乙商品； （2）设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为（65×4﹣m）件， 根据题意得：（19﹣12）×150+（30﹣20）（65×4﹣m）+（30×0.5﹣20）m＝1850， 解得：m＝120． 答：以五折售出的乙商品有120件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程 【模块八 几何问题】 【例8】（2026春•同安区期中）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】小长方形的长为15，宽为6． 【分析】设小长方形的长和宽分别为x和y，根据图形列出方程即可解答． 【解答】解：设小长方形的长和宽分别为x和y，由图可得 ， 解得， ∴小长方形的长为15，宽为6． 【点评】本题考查二元一次方程组，根据图形列出方程是解题关键． 【变式8-1】在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-2】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-3】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一 分段计费问题】 【例9】（2026春•温岭市期中）·某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（b＞a）． （1）已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． （2）到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，如果当月用水量超过20吨，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）a的值为2，b的值为3； （2）小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨． 【分析】（1）根据“小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家5月份用水x吨，则6月份用水（x+10）吨，根据小明家这两个月的水费总和为192元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即小明家5月份的用水量），再将其代入（x+10）中，即可求出小明家6月份的用水量． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：a的值为2，b的值为3； （2）设小明家5月份用水x吨，则6月份用水（x+10）吨， 根据题意得：【2×10+（3+1）×（20﹣10）+（3+2）（x﹣20）]+【2×10+（3+1）×（20﹣10）+（3+2）（x+10﹣20）]＝192， 解得：x＝22.2， ∴x+10＝22.2+10＝32.2（吨）． 答：小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式9-1】为了鼓励市民节约用水，某市实行居民生活用水按阶梯式水价计费：下表是居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水价格 污水处理费 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 20吨及以下（包含20吨） 0.60 超过20吨但不超过30吨的部分 0.60 超过30吨的部分 3.60 0.60 （注：到户价格=自来水价格+污水处理费，如：超过30吨的部分的到户价格为（元），每户产生的污水量等于该户自来水用水量．） 若小王家3月份用水25吨，交水费64.50元；4月份用水30吨，交水费81.00元． （1）求，； （2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王家计划把7月份的水费控制在家庭收入的1.5%，若小王的月收入为9600元，则小王家7月份可用水多少吨？ 【答案】（1）；（2）小王家7月份的用水量为45吨 【分析】（1）根据3月份用水25吨，交水费64.50元；2014年4月份用水30吨，交水费81.00元列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可； （2）首先确定用水范围，再根据阶梯水价计费模式求出当月水费即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：． （2）∵81＜9600×1.5%=144， ∴由题意得，20×2.4+10×3.3+（x-30）×4.2=144， 解得x=45． 答：小王家7月份的用水量为45吨． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 【变式9-2】我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额． （1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？ （2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？ （3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？ 2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用） 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% 4 超过25000元至35000元的部分 25% 5 超过35000元至55000元的部分 30% 【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元 【分析】（1）根据题意可以计算出该员工需缴纳的个人所得税； （2）根据题意减去专项扣除的常见项目；可计算技术专家需缴纳的个人所得税； （3）设该技术专家在三月份实际纳税额x，元捐赠了y元，公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，根据实际收入可计算出捐赠数； 【详解】解：（1）由题意可得，应纳税所得额为4000元 0-3000元部分：3000×3%=90 3000-4000元部分：（4000-3000）×10%=100 100+90=190元 答：该员工缴纳的税额是190元； （2）应纳税所得额=40000-5000-2000-2000-2×2000=27000 依据税率表分级计算： 0-3000元部分：3000×3%=90 3000-12000元部分：（12000-3000）×10%=900 12000-25000元部分：（25000-12000）×20%=2600 25000-27000元部分：（27000-25000）×25%=500 90+900+2600+500=4090元 答：该技术专家缴纳的税额是4090元. （3）设实际纳税额x元，公益捐赠了y元， 40000-33610=6390元 ∵y＞6390-4090=2300 ∴27000-y＜24700，即应纳税所得额不足25000元 由题意可列方程组 解得 答：技术专家在三月份捐赠了3000元． 【点睛】本题考查分类纳税，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，方程组的性质解答． 【变式9-3】某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年 11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共 10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元． （1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？ （2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%， 12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？ 每瓶用量    饮料 甲 乙 （单位：千克） 0.9 0.2 （单位：千克） 0.8 0.4 （3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种 饮料的优惠方案分别如表2、表3． 某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？ 一次性购买甲饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500 所购饮料全部按九折优惠 超过500 所购饮料全部按八折优惠 一次性购买乙饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500的部分 不享受优惠方案 超过500但未超过1000部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 【答案】（1）甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶；（2）4800瓶；（3）11730元 【分析】（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶，根据“去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，且去年11月份的销售额为7.1万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶，根据12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶，分0＜a≤500及500＜a＜1000两种情况考虑，根据饮料厂给出的优惠政策及两次实际共付给饮料厂11470元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，再利用获得的利润=销售总额-进货成本，即可求出结论． 【详解】解：（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：去年11月份饮料厂售出甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶． （2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶， 依题意得：12×3000×（1+40%）+5m-（0.9×4+0.8×3）×3000×（1+40%）-（0.2×4+0.4×3）×【3000（1+40%）+m]=31200， 整理得：3m-14400=0， 解得：m=4800． 答：去年12月份饮料厂实际售出乙饮料4800瓶． （3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶． 当0＜a≤500时，12×0.9a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470， 解得：a=400； 当500＜a＜1000时，12×0.8a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470， 解得：a=485（不合题意，舍去）． ∴18a+10（2000-a）-11470=11730（元）． 答：超市可赚11730元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【微专题二 幻方】 【例10】（2025秋•路南区期末）幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x﹣y的值为 　　 ． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】﹣2 【分析】先求出已知对角线上3个数的和，然后求y，再求x，最后代入x﹣y计算． 【解答】解：8+2+（﹣4）＝6， ∴y＝6﹣7﹣（﹣4）＝3，x＝6﹣2﹣3＝1， ∴x﹣y＝1﹣3＝﹣2． 故答案为：﹣2 【点评】本题考查了有理数加法和减法的应用，正确列出算式是解答本题的关键． 【变式10-1】在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数字之和相等； ②外圆两直径上的四个数字之和相等； 则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ． 【答案】 【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可． 【详解】解：设外圆空白数字为x，内圆空白数据为y， 根据题意得：； 整理得：，解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是解答本题的关键． 【变式10-2】（2025秋•官渡区期末）“幻方”最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中，如图，每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则x+y+z的值为　 　 ． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【答案】﹣5． 【分析】根据题意，由每个小三角形的三个顶点上的数字和都相等，可得出2+4+x＝2﹣3+3，求出x的值，再根据2﹣2+3＝x+5+y，求出y的值，由3+y+z＝2﹣2+3，求出z的值，最后根据有理数的加法运算法则计算即可得出答案． 【解答】解：由题意，得2+4+x＝2﹣3+3，2﹣3+3＝x+5+y，3+y+z＝2﹣3+3， ∴x＝﹣4， 把x＝﹣4代入2﹣3+3＝x+5+y，得2﹣2+3＝﹣4+5+y， ∴y＝1， 把y＝1代入3+y+z＝2﹣3+3，得3+1+z＝2﹣3+3， ∴z＝﹣2， ∴x+y+z＝（﹣4）+1+（﹣2）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【变式10-3】（2025秋•十堰期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为　　 ． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】﹣2、﹣6． 【分析】首先根据图②可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图③可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求出x，y的值． 【解答】解：由图②可知“九宫图”中各数字之间的关系： 4+9+2＝15， 3+5+7＝15， 8+1+6＝15， 4+3+8＝15， 9+1+5＝15， 2+7+6＝15， 4+5+6＝15， 2+5+8＝15， ∴“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图③中的第二行与第三列得： ， 解得：， ∴x、y的值分别为﹣2、﹣6． 故答案为：﹣2、﹣6． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组． 【微专题三 方案问题】 【例11】（2026春•裕华区校级月考）·为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备开展校级足球联赛，购进A，B两种品牌的足球共80个．已知购进60个A品牌足球和20个B品牌足球共花费4600元；购进50个A品牌足球和30个B品牌足球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的足球的单价分别是多少元？ （2）考虑到足球在使用过程中的损坏率，学校决定再次购进一批足球作为备用到正好赶上商场对足球的价格进行调整，每个A品牌足球的售价比第一次购买时提高了10元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的足球（两种足球均购买且钱正好花完），A，B两种品牌的足球多少个（列举出所有可行的方案）？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）A单价50元，B单价80元； （2）方案一：A买14个，B买5个； 方案二：A买8个，B买10个； 方案三：A买2个，B买15个． 【分析】（1）设两种足球单价为未知数，根据两组购买花费列二元一次方程组，求解得单价； （2）先算调价后单价，设数量列方程，化简求正整数解，列举所有购买方案． 【解答】解：（1）设A品牌足球单价x元，B品牌足球单价y元， 列方程组： ， 解得：， 答：A单价50元，B单价80元； （2）调价后：A单价：50+10＝60元， B单价：80×0.9＝72元， 设购进A种m个，B种n个，m、n为正整数：60m+72n＝1200， 即m， m，n为正整数，100﹣6n能被5整除且大于0， 6n末位为0，n是5的倍数， 可行正整数解：n＝5，m＝14； n＝10，m＝8； n＝15，m＝2； ∴方案一：A买14个，B买5个； 方案二：A买8个，B买10个； 方案三：A买2个，B买15个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【变式11-1】（2026春•青羊区校级期中）树德实验为“SDBA”篮球赛准备纪念品，在网上咨询到统一采购150支水性笔和300支铅笔，总费用为2400元，其中铅笔比水性笔每支便宜7元．请解决如下问题： （1）求水性笔和铅笔的单价各是多少元？ （2）某实体文具店推出两种优惠方案： 方案一：每购买1支水性笔，赠送1支铅笔； 方案二：所有商品全部打八折． 若学校在实体文具店购买水性笔150支和铅笔300支，请通过计算说明哪种方案更省钱？ 【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）水性笔的单价是10元，铅笔的单价是3元； （2）选择方案二更省钱． 【分析】（1）设水性笔的单价是x元，铅笔的单价是y元，根据“采购150支水性笔和300支铅笔，总费用为2400元，且铅笔比水性笔每支便宜7元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价＝单价×数量，结合文具店推出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设水性笔的单价是x元，铅笔的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：水性笔的单价是10元，铅笔的单价是3元； （2）选择方案一所需费用为10×150+3×（300﹣150）＝1950（元）； 选择方案二所需费用为10×0.8×150+3×0.8×300＝1920（元）， ∵1950＞1920， ∴选择方案二更省钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式11-2】（2023春·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标； （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． （2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【变式11-3】（2026春•思明区校级期中）·剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： （1）制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． （2）由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；推理能力． 【答案】（1）最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． 【分析】（1）设1张甲彩纸能剪窗花x朵，1张乙彩纸能剪窗花y朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸a张，乙彩纸b张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． 【解答】解：（1）设1张甲彩纸能剪窗花x朵，1张乙彩纸能剪窗花y朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸a张，乙彩纸b张， 由题意得5a+3b＝60， 整理得， ∵a，b是非负整数， ∴a＝3，b＝15或a＝6，b＝10或a＝9，b＝5或a＝12，b＝0； ∵买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸， ∴实际需要购买的乙彩纸数量为b﹣a （若b＞a），否则只需买甲彩纸； 方案1：a＝3，b＝15， 费用：3×4+（15﹣3）×3＝12+36＝48元； 方案2：a＝6，b＝10， 费用：6×4+（10﹣6）×3＝24+12＝36元； 方案3：a＝9，b＝5， 费用：9×4+0×3＝36元（因为b＝5＜a＝9，赠送的乙彩纸足够）， 方案4：a＝12，b＝0， 费用：12×4＝48元； ∴最低采购费用为36元，对应方案是买甲彩纸6张、乙彩纸10张或买甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1．窗花：5a+3b＝60 （同第一问）， 2．纸雕：3m+2n＝42， 3．总费用：4（a+m）+3（b+n﹣a﹣m）＜65， 4．余料最少：即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由3m+2n＝42，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：4（6+m）+3（10+n﹣6﹣m）＜65， 整理得m+3n＜29， 当时，8+3×9＝35＞29不满足； 当时，10+3×6＝28＜29满足； 此时，总费用4（6+10）+3（10+6﹣16）＝64+0＝64＜65， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，掌握二元一次方程的应用是解题的关键． 压轴探究·素养提升 【压轴一 图表信息问题】 【例12】（2026春•海阳市期中）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 制作“校园文化节”礼品盒 背景 为迎接学校一年一度的“校园文化节”，给全体师生送上暖心文创礼品，该校手工社团承接了“校园文化节”礼品盒的制作任务．为确保礼品盒规格统一、美观实用，社团开展了相关实践活动． 实践材料 340张规格为170cm×40cm的标准纸板． 实践操作 （1）如图1，将300张标准纸板按裁法一裁剪，40张标准纸板按裁法二裁剪，得到若干张A型纸板及B型纸板（单位：cm）； （2）如图2，用A型纸板、B型纸板制成竖式有盖礼品盒和横式无盖礼品盒，所有A，B型纸板均无剩余． 问题解决 （1）求图1中a，b的值； （2）求制成的竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量． 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）图1中a的值为60，b的值为40； （2）可以制成70个竖式有盖礼品盒，120个横式无盖礼品盒． 【分析】（1）根据标准纸板的长及两种裁法，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以制成m个竖式有盖礼品盒，n个横式无盖礼品盒，根据裁出的A，B型纸板均无剩余，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：图1中a的值为60，b的值为40； （2）设可以制成m个竖式有盖礼品盒，n个横式无盖礼品盒， 根据题意得：， 解得：． 答：可以制成70个竖式有盖礼品盒，120个横式无盖礼品盒． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式12-1】流感期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 温度计 消毒水    酒棈喷剂       消毒纸巾    医用口罩       合计 (1)小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件? (2)小李家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共件，且总价刚好元，则消毒水购买多少件? (3)小李家准备用元再次购买消毒纸巾和医用口罩，在元刚好用完的条件下，有哪些购买方案? 【答案】(1)酒精喷剂件，医用口罩件 (2)件 (3)一共有种方案：①购买消毒纸巾件，医用口罩件；②购买消毒纸巾件，医用口罩件；③购买消毒纸巾件，医用口罩件 【分析】（1）设小李家此次购买的酒精喷剂件，医用口罩件，根据总价单价数量，结合表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由表格内数据可知消毒水每件（元），设买消毒水件，则酒精喷剂件，根据总价单价数量，结合总价为元，即可得出关于的一元一次方程，求出结果即可； （3）设购买消毒纸巾件，医用口罩件，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为整数即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设小李家此次购买的酒精喷剂件，医用口罩件， 根据题意得：， 解得：， 答：小李家此次购买的酒精喷剂件，医用口罩件； （2）由表格内数据可知消毒水每件（元）， 设购买消毒水件，则酒精喷剂件， ， 解得：， 答：消毒水购买件； （3）设购买消毒纸巾件，医用口罩件， ， 整理得：， ，都是非负整数， ，或，或，， 一共有种方案：①购买消毒纸巾件，医用口罩件；②购买消毒纸巾件，医用口罩件；③购买消毒纸巾件，医用口罩件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式12-2】如图1，是的方阵图，中国古代也叫“纵横图”，填写了一些数和表示数的代数式，使得每行的3个数、每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等． （1）求x，y的值； （2）在图2中完成此方阵图． 3 4 a c b 图1 3 4 图2 【答案】（1）x=-1，y=2；（2）见解析 【分析】（1）要求x，y的值，根据表格中的数据，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程组即可； （2）根据（1）中求得的x，y的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等即可完成表格的填写． 【详解】解：（1）由题意，得 ， 解得； （2）如图， 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据方阵图中每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键 【变式12-3】根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量单位：台时 租金单位：元台时 甲型 乙型 素材 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元． 问题解决 任务 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务 确定保养费用 基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示． 【答案】任务1：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；任务2：共有种租用方案，:方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；任务3： 【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租用方案； 任务求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据“购买根弹簧和颗钢球，保养费用还缺元；购买根弹簧和颗钢球，保养费用还剩元”，可得出关于，的二元一次方程组此处将看成常数，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台； 任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均为正整数， 或或， 共有种租用方案， 方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机； 方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机； 方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机； 任务当，时，所需租金为元； 当，时，所需租金为元； 当，时，所需租金为元． ， 租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少． 所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， 元． 实际保养费用为元． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键． 【压轴二 三个“一次”的综合应用】 【例13】（2026•澧县一模）根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】任务1：A型80万元，B型60万元；任务2：买5台A型，5台B型． 【分析】任务1：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元，利用“买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元”和“买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元”列式求解即可； 任务2：设每天分拣快递的件数为w万件，购买A型号智能机器人a（a≥0，且a为整数）台，则购买B型号智能机器人（10﹣a）台，列出w关于a的一次函数，再利用“用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台”列出不等式，求出a的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【解答】解：任务1：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元，由“买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元”和“买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元”可得： ， ∴， 答：A、B两种型号智能机器人的单价分别为80万元、60万元； 任务2：设每天分拣快递的件数为w万件，购买A型号智能机器人a（a≥0，且a为整数）台， w＝22a+18（10﹣a）＝4a+180， ∵80a+60（10﹣a）≤700， ∴a≤5， ∴0≤a≤5， ∵w＝4a+180，4＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝5时，w取得最大值4×5+180＝200（万件）， 10﹣a＝5（台）， 即购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 【变式13-1】（2025•长沙模拟）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； （2）最多购进A种奖品40个． 【分析】（1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进（100﹣m）个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得， 所以每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； （2）解购进m个A种奖品，则购进（100﹣m）个B种奖品，由题意得： 36m+28（100﹣m）≤3120， 整理得，8m≤320， 解得m≤40， 答：最多购进A种奖品40个． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式是解题的关键． 【变式13-2】（2026•鲁山县一模）汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元． （1）求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． （2）为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元； （2）当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元． 【分析】（1）因为已知两种售卖组合的营收，所以可设甲、乙两种汴绣的售价分别为未知数，根据给出的两个营收条件列二元一次方程组，再用消元法或代入法求解方程组． （2）首先设购进甲种汴绣的数量为未知数，根据总数量表示出乙种的数量；因为乙的数量不超过甲的，所以可据此列出不等式，确定未知数的取值范围；然后根据进价和售价，列出利润关于该未知数的一次函数表达式；最后根据一次函数的增减性，结合未知数的取值范围求出最大利润及对应的进货方案． 【解答】解：（1）设甲种汴绣工艺品每件的售价为x元，乙种汴绣工艺品每件的售价为y元． 根据题意，得， 解得． 即甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元， 答：甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元， （2）设购进甲种汴绣工艺品m件，全部售出后的总利润为w元． 根据题意列一次函数得，w＝（200﹣100）m+（500﹣300）（60﹣m）＝﹣100m+12000． ∵， ∴m≥48． 又∵﹣100＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝48时，w取得最大值，最大值为﹣100×48+12000＝7200，此时购进乙种汴绣工艺品60﹣48＝12（件）． 答：当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 【变式13-3】（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)太阳帽每个进价15元，旅行包每个进价40元 (2)购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元，根据题意得到，整理得到，根据加减消元法求解即可； （2）设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，，总利润，由，得，分别得到，，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元， 根据题意，得方程组：， 第一个方程乘以5，第二个方程乘以3，得：， 得：， 代入得， 解得：， 即， 所以太阳帽进价15元，旅行包进价40元； （2）解：设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，， 太阳帽每个利润为10元，旅行包每个利润为20元， 总利润， 由，得， 代入得：，解得， 又∵， ∴， 将代入， 得， ∵， ∴w随b增大而增大， ∴当时，w最大， 此时， 元． 答：购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元． 通关检测·实战演练 1.一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 【答案】70 【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可． 【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁， 根据题意：， 解得：， 故答案为：70． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 2.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可以列出相应的方程组． 【详解】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元， 由现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可得方程，由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可得方程，故可得方程组， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 3..用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A点的坐标是（－2，5），则B点的坐标是（    ） A．（－，） B．（－，） C．（－6，5） D．（－6，4） 【答案】D 【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再结合点B所在的位置，即可得出点B的坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴2x＝6，x＋y＝4， ∴点B的坐标为（−6，4）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4.某商场2024年的总利润为100万元，2025年的总收入比2024年增加10%，总支出比2024年减少5%，2025年的总利润为140万元，则2024年的总收入和总支出分别是（    ） A．300万元，210万元 B．300万元，200万元 C．400万元，300万元 D．410万元，310万元 【答案】B 【分析】设2020年的总收入和总支出分别为，万元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设2020年的总收入和总支出分别为，万元，由题意可得： ，解得 故选：B 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程组． 5.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为________件． 【来源】人教版七年级下册第八章 二元一次方程组单元复习卷 【答案】     25     155 【分析】根据一天完成的工件数量与计划完成的工件数额之间的数量关系列出方程组，其中工件数量计算式为：工人数量×平均每人一天完成的件数． 【详解】解：设这队工人有x人，全队每天制造的工件数额为y件． 由题意得： 解得： 即：工人有25人，全队每天制造工件数额为155件． 故答案为 ：25；155 【点睛】本题考查了二元一次方程（组）在工程生产中的应用，根据工人完成的工件数量与计划完成的数额之间的数量关系为思路列出方程组，进而求出解． 6.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行的时间之间的函数关系式如图中折线段所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论： ①甲、乙两地相距； ②两人出发后相遇； ③小丽步行的速度为，小明步行的速度为； ④小明到达甲地时，小丽离乙地还有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①②直接从图象获取信息即可；③设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，根据图象和题意列出方程组，求解即可；④由图可知：点的位置是小明到达甲地，直接用总路程时间可得小明的时间，即，二人的距离即的纵坐标，由此可得小丽离乙地的距离． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两地相距，小丽与小明出发相遇， 故①②正确，符合题意； ③设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且， 则， 解得：， 小丽步行的速度为，小明步行的速度为；故③不符合题意； ④，， 点， 点表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距． ， 小明到达甲地时，小丽离乙地还有．故④不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键． 7垃圾对环境的影响日益严重，垃圾危机的警钟被再次拉响．我区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃圾分类投放．若购买A型12只、B型8只，共需4400元；若购买A型6只、B型14只，共需4700元． （1）求A型、B型垃圾分类回收箱的单价． （2）现计划用5000元去购买两种不同型号的垃圾分类回收箱，且恰好用完，问共有哪几种购买方案？ 【来源】浙江省衢州市衢江区实验中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题 【答案】（1）A型垃圾分类回收箱的单价为200元，B型垃圾分类回收箱的单价为250元；（2）共有4种购买方案，见解析 【分析】(1)设A型垃圾分类回收箱的单价为x元，B型垃圾分类回收箱的单价为y元，条件即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设购买A型垃圾分类回收箱m个，B型垃圾分类回收箱n个，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】(1)设A型垃圾分类回收箱的单价为x元，B型垃圾分类回收箱的单价为y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A型垃圾分类回收箱的单价为200元，B型垃圾分类回收箱的单价为250元； (2)设购买A型垃圾分类回收箱m个，B型垃圾分类回收箱n个， 依题意得：200m+ 250n= 5000， ， 又m，n均为正整数， 或 或 或， 共有4种购买方案， 方案1：购买A型垃圾分类回收箱20个，B型垃圾分类回收箱4个； 方案2：购买A型垃圾分类回收箱15个，B型垃圾分类回收箱8个； 方案3：购买A型垃圾分类回收箱10个，B型垃圾分类回收箱12个； 方案4：购买A型垃圾分类回收箱5个，B型垃圾分类回收箱16个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． 8 .某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是________元． （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元． ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有________箱（直接写出答案）． 【答案】（1）1650；（2）①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】解：（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． 9.6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元． (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． 【答案】(1)A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元 (2)购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元 【分析】（1）设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得出m的取值范围，求出总利润关于购买B种纪念品m件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时m的值，从而得出结论． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元； （2）解：根据题意，得， 解得， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值：， （件）， 故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键． 10.（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $