湖南岳阳市岳阳县一中2025-2026学年高一下期期中考试数学试题

岳阳县一中2025-2026学年高一年级下学期期中考试数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C B B B BD BCD 题号 11 答案 ACD 12．28 13． 14．2 15．(1) (2) (3) 16．(1)全面积为，体积为； (2).. 【详解】（1）在中且，即圆锥高为，底面半径为2． 圆锥的侧面积，圆锥的底面积， 故圆锥的全面积；体积为. （2）过D作交BO于点M，连接CM，则为异面直线AO与CD所成角． 因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC， 所以． 在中，所以． 由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，结合题设易知：． 在中，． 即异面直线AO与CD所成角的正切值为：. 17．(1) (2)，或， 【详解】（1）因为，所以， 则， 则，因为，所以， 因为，所以． （2）由面积公式得，于是， 由余弦定理得，则， 即，则，故， 解得，或，． 经验证，两种情况均为锐角三角形，符合题意. 18．(1)(2).(3). 【详解】（1） ，所以函数的最小正周期. （2）由题意得变换后的函数解析式为， 当， 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故， 解得，所以的取值范围为. （3）当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可，所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 19．(1)(2)(3) 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面，取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳县一中2025-2026学年高一年级下学期期中考试试题 数 学 满分：150分；时间：120分钟； 说明：※表示教材或作业上原题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则的虚部为（ ） A．i B． C．1 D．-1 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（ ） A． B． C． D． ※5．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 7．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭． A．5 B．10 C．15 D．20 8．已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列各式的值正确的是（ ） A． B． C． D． 10．若有一个，下面说法正确的是（ ） A．在中，若，则为等腰直角三角形 B．在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C．在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 11．在棱长为4的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A．当时，四棱锥外接球半径为3 B．当时，三棱锥的体积为 C．若，则点的轨迹长为 D．周长的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） ※12．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 13．已知平面向量，，且，则在上的投影向量为__________． 14．在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分13分）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求实数的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分）如图，在中，，斜边，是的中点；现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且； （1）求该圆锥的全面积和体积； （2）求异面直线与所成角的正切值； ※17．（本题满分15分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，的面积为，求，的值． 18．（本题满分17分）已知，，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分）如图：等边三角形和直角三角形，，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $