专题03 图形的平移与旋转（期末复习）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 图形的平移和旋转 ☆9大高频考点概览 考点01利用平移的性质求解 考点02平移坐标的变换 考点03平移或旋转作图 考点04找旋转中心、旋转角、对应点 考点05中心对称图形 考点06转坐标的变化 考点07利用旋转的性质求解 考点08转中的规律性问题 考点09根据中心对粉称的性质求解 1.(25-26八年级上陕西安康期末)如图，将ABC沿直线BC平移，得到aDEF,若DF=9,AG=3, 则cG的长为() A.9 B.7 C.6 D.3 2.(25-26七年级上·江苏南通·期末)如图，将一个直角三角形ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得 到直角三角形DEF,已知C-0,C4=6,S=ab,则FA的长度为() D A. 3a B. 6 C.2b D. 3.(23-24七年级下.福建厦门期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，将四边形 ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D',BC与CD相交于点E,若BC=8,CE=3,CE=2,则阴影 部分的面积为· 1/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D y 4.(24-25七年级下·甘肃天水期末)将ABC沿BC方向平移得到△DEF,若∠1=64°，∠2=52°，求 ∠A的度数， 5.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，ABC是等边三角形，CD⊥BC,垂足为C,E是AB的中点， DF是由CE沿CD方向平移得到的.已知DF过点A,BD交CE于点G. E G B (I)求∠BCE的大小； (2)求证：△CDG是等边三角形 目目 考点02 平移坐标的变换 6.(25-26八年级上·贵州毕节期末)在平面直角坐标系中，将点A(-2,3)先向右平移4个单位长度，再向 下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为() A.（-6,-2】 B.（3,-1 C.(1,-8 D.（2,-2 7.(25-26八年级上·浙江金华·期末)把点P(2a+1,a-3先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所 得的点P在直线y=-x上，则a的值为() A.1 B.5 c D.-11 8.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，已知点A-4,0),B(-1,0).将线段AB平移后得到线段CD, 点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为 2/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D BO 9.(25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位， 再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的y(m,x变换.如图，等边ABC的顶点A1,1,B(3,1).若 ABC经y(1,x)变换后得△ABC,△ABC经y(2,x变换后得△4B,C2,△4，B,C经y(3,x变换后得 △AB,C3...,△An-Bn-Cm-1经yn,x变换后得△4 B.Cn..,点A026的坐标是 2 1 1234方 10. (25-26八年级上·浙江宁波期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3a-13,a-3) ()若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标 (2)若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标. 目目 考点03 平移或旋转作图 11. （25-26九年级上·全国单元复习)如图， ABC的顶点A-1,4),B(-4,-1),C(1,1).若ABC向右 平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C',且点C的对应点坐标是C, 2 州 -2 -10 2 34 5 2 -3 3/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)画出aA'B'C',并直接写出点C的坐标： (2)若ABC内有一点P(a,b)经过以上平移后的对应点为P,直接写出点P的坐标； (3)求ABC的面积 12.（25-26九年级上河南洛阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是 A-3,0),B-6,-2),C(-2,-5).将三角形ABC向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到 三角形AB,C1. -r O (1)在平面直角坐标系中画出三角形AB,C,并写出点B的坐标； (2)求三角形AB,C,的面积： (3)若P(x,y)为三角形ABC中任意一点，则平移后对应点P的坐标为_， 13.(25-26九年级上新疆乌鲁木齐·期末)如图，在边长均为1的正方形网格中，ABC的顶点均在格点 上，O为直角坐标系的原点，ABC三个顶点坐标分别为A(1,2),B(0,1),C(2,0). 0 C (1)以O为旋转中心，将ABC逆时针旋转90°，请在网格中画出旋转后的△A,B,C,: (2)画出与ABC关于原点对称的△4，B,C2: (3)直接写出点A和点C,的坐标 4/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(25-26九年级上·甘肃张掖期末)如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组 成的网格中，ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,3),B(-1,I,C(-5,-3),在坐标系中画出ABC绕点B逆 时针旋转90°的ABC,,并写出点C的坐标. VA 15.(25-26九年级上·江西赣州期末)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，ABC的 三个顶点均在格点上 (1)点C关于原点对称点的坐标为 (②)画出ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB,C2,并写出点B、C,的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则PA+PC的最小值为 目目 考点04 找旋转中心、旋转角、对应点 16.(25-26九年级上广东中山期末)如图，点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上，若A0B可以由 △COD旋转得到，则下列旋转方式中正确的是(） B 5/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.绕点D逆时针旋转135 B.绕点O顺时针旋转90° C.绕点O逆时针旋转90° D.绕点B逆时针旋转135° 17.(25-26九年级上湖北恩施期末)如图，ABC绕点B逆时针方向旋转到△A'BC'的位置，若LA=15°， ∠C=20°，且A、B、C在同一直线上，则旋转角度是() A B A.159 B.20° C.35 D.145 18.(25-26九年级上北京期末)如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△MP'N', 则旋转中心可能是点 M 19.(24-25八年级下·北京·期末)如图，ABC绕某点旋转得到aDEF,则其旋转中心的坐标是 20.(24-25九年级上·湖北咸宁.期末)如图，ABC和ADE都是等边三角形，点D在BC上（不与B、 C重合)，连接CE. (I)由等边三角形的性质易证△ABD≌△ACE(不需证明)，将△ABD旋转可与△ACE重合，指出旋转中心， 旋转方向和旋转角： 旋转中心： 旋转方向： (填“顺时针”或“逆时针”) 6/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 旋转角： (填角度大小) (②)在(1)的基础上，当CD=CE时，求∠AEC的度数， 目目 考点05 中心对称图形 21.(25-26九年级下·辽宁丹东期末)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 22.(23-24九年级上·河南新乡·月考)中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中 国力量.下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是() 国探火 B 中国探月 中国火箭 D 中国行星探测 23 25-26九年级上·安徽期末)下列四个图形中，是中心对称图形的是（) 毫 B 24.(25-26九年级上河南濮阳·期末)“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立 春“惊蛰“清明“大雪”，其中是中心对称图形的是() 7/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8 D 69b, 069 25. (24-25九年级上·辽宁营口·期末)蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙已蛇年春晚以如图所示的“已 已如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”.“已已如意纹”是 图形.（填“轴对称”或“中心对称”) 目目 考点06 利用旋转的性质求解 26. (24-25九年级上浙江宁波期末)在平面直角坐标系中，将点A(-4,2)绕原点0顺时针旋转90°，则点 A的对应点A的坐标是() A.（2,4) B.（4,2 C.（-4,-2 D.-4,2 27.(24-25九年级上·重庆渝中期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后 得到aA'B'C',则旋转中心的坐标是() A.（-1,0 B.(0,-2 C.(0,-1 D.(1,-2) 28.(25-26九年级上·安微芜湖·期末)己知点P(a,b)与P(6,-3)关于原点对称，则a+b= 29.(25-26九年级上广西钦州期末)如图，在直角坐标系中，已知点A(5,4),将△AB0绕点0逆时针方 向旋转180°后得到△CDO,点A的对应点是点C,则点C的坐标是 8/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 30.(25-26九年级上·全国期末)如图，将等边三角形A0B放在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,0)， 点B位于第一象限.若再将等边三角形AOB绕点O顺时针旋转180°得到△AOB',则点B的坐标为 目目 考点07 旋转坐标的变化 31. (24-25七年级下·河南周口·期末)如图，将AOB按顺时针方向旋转后成为△COD，则下列说法错误 的是() B D A.旋转中心是点O B.旋转角等于∠AOD C.04=0C D.△AOB≌△C0D 32.(24-25九年级上湖北孝感期末)如图，在等边ABC中，AB=6,点D是BC的中点，将线段AD绕 点A逆时针旋转60°后得到AE,连接DE,那么线段DE的长为() A.25 B.6 C.3V5 D.4N2 33.(25-26九年级上·广东汕头期末)如图，将ABC绕点A逆时针旋转到ADE,点B的对应点D恰好 落在BC边上，若DE⊥AC,LCAD=25°，则旋转角Q的度数为 9/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E B D 34.(25-26九年级上·黑龙江绥化期末)如图，在矩形ABCD中，3AB=5BC,将矩形ABCD绕着点D逆 时针旋转得到矩形A,B,C,D,AB,与CD相交于点M,当点B落在BC延长线上时，若DM=17,则四边形 B,CDM的面积为 D A C B 35. (25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,点B落在 CD的延长线上. B D (1)求证：ABC为等边三角形； (2)求证：BD+BE=AB. 目目 考点08 旋转中的规律性问题 36. (25-26九年级上·安徽马鞍山期末)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0绕点A顺时针旋转到 △AB,C的位置，点B,O分别落在点B,C处，点B在x轴上，再将△AB,C,绕点B顺时针旋转到AB,C2 的位置，点C,在x轴上，将A,B,C2绕点C,顺时针旋转到△4，B,C,的位置，点4在x轴上，依次进行下去· 若点传小8102，则点e的华标() 10/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B A A C2 A2 A A.(6072,2) B.(6073.5,2) C.(6078,2) D.(6079.5,2) 37.(24-25九年级上·河南周口期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为 2’2 将线 段OP绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OR的2倍，得到线段OP,又将线段OP绕点O 按顺时针方向旋转45°长度伸长为OP的2倍，得到线段OP,如此进行下去，得到线段 OP,OP…,OPn,OPn1(n为正整数)，则△OP P的面积为() A.2 B.2+ C.√2x22m-3 D.22a+2 38.(25-26九年级上·广西柳州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点4A0,2),点B在第一象限内， A0=AB,∠0AB=120°，将AOB绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转后，点B的坐标 为 B 39.(25-26九年级上·甘肃临夏·期末)如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点0逆时针旋转45° 后得到正方形0A,B,C1,依此方式，绕点0连续旋转2026次得到正方形0A2o26B2026C2026,如果点A的坐标为 (1,0),那么点B226的坐标为 11/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 衣 40.(24-25九年级上·山东德州期末)如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB, ∠0AB=90°，直角边AO在x轴上，且A0=1.将RtaA0B绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形 A,0B,且A,0=2A0,再将Rt△A,OB,绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形4,0B,,且A,0=2A,O…依 此规律，得到等腰直角三角形A02,OB2o25,则点B225的坐标是 V B B OA B2 目目 考点09 根据中心对称的性质求解 41.(24-25九年级上·陕西西安期末)如图，△DEC与ABC关于点C成中心对称，AB=6,AC=4, ∠CAB=90°，则AE的长为() D ■ B A.7 B.8 C.9 D.10 42.(25-26九年级上·青海果洛期末)如图，ABC与△DEF关于点O对称，连接OB,OE,BD.若 BO⊥AC,DE=6,则BD的长为() 12/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E A.3 B.4 C.6 D.9 43.(25-26九年级上·陕西榆林期末)如图，正方形的对称中心为点O,点A,P,Q,M,N均在正方形的边 上，P,2,M,N四点中有一点是点A关于点O的对称点，则该对称点是() M A.点P B.点Q C.点M D.点N 44.(23-24九年级上广西河池期末)如图，ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3,AE=5, ∠BAD=90°，则点A到BE的距离是· D E B 45.(24-25八年级上·河北沧州期末)如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，点E,F分别在 GA、GC上，且AF=CE.求证：ED∥BF, D E B 46. (25-26八年级上江苏南通期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是边BC的中 点，点P是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边△PDQ,连接CQ,则CQ的最小 值为() 13/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.√5-1 C.2 D.1 47.(22-23八年级下·河南郑州·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,若M是BC边上任意一点，将 △MABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MW,则在下列结论中：①AB=AN, ②AB∥NC;③∠AMN=∠ACN,④MN⊥AC,一定正确的是() N B A.①③ B.③ C.①③④ D.①②③④ 48. (22-23九年级上·吉林期末)一副三角板按图1放置，0是边BC(DF)的中点，BC=8cm.如图2， 将ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G,则FG的长是 cm. B B(D (图1) (图2) 49.(25-26九年级上·四川广安期末)Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C,点A的对应点为A. B 图① 图② 图③ ()如图①，当∠ACB'=20°时，ABC绕点C顺时针旋转了 (2)如图②，当点B在AB上时，若A'B'∥BC,求∠A的度数： 14/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图③，当点P为AB的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在ABC绕点C顺时针旋转一周的过 程中，直接写出线段BP的最大值和最小值. 50.(23-24八年级上山东威海期末)如图1，已知点D是等边ABC内一点，且BD=3,AD=4, CD=5. 图1 图2 (1I)求∠ADB的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将△BDC绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将△ABD进行旋转； 丙：我是将△ACD进行旋转 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求∠ADB的度数； (2)若改成BD=6,AD=8,CD=10,∠ADB的度数=°，点A到BD的距离为； 类比迁移： (3)如图2，已知，LABC=90°，AB=BC,BE=1,CE=5,AE=√5，求∠BEC的度数. 15/15 专题03 图形的平移和旋转 9大高频考点概览 考点01利用平移的性质求解 考点02平移坐标的变换 考点03平移或旋转作图 考点04 找旋转中心、旋转角、对应点 考点05 中心对称图形 考点06 旋转坐标的变化 考点07 利用旋转的性质求解 考点08 旋转中的规律性问题 考点09 根据中心对称的性质求解 ( 地 城 考点01 利用平移的性质求解 ) 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）将沿方向平移得到，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平移的性质，求出的度数是解题的关键． 利用平移变换的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将沿BC方向平移得到， ， 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平移的性质及线段垂直平分线的判定与性质． （1）由等边三角形性质得出，再由E是的中点，根据等边三角形三线合一得出平分，从而求得结果； （2）由，结合得出的度数，再利用平移性质得到平行关系，紧接着证明，结合得垂直平分，从而求出的度数，最后证明的三个角均为，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由平移性质可得：， ∴，， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ( 地 城 考点02 平移坐标的变换 ) 6．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】掌握平移时点的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，即可计算求解． 【详解】解：将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为，即． 7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点的坐标，再利用点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解的值． 【详解】解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4 ∴平移后点的坐标为，即 ∵点在直线上 ∴点的横、纵坐标满足，即 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知点，．将线段平移后得到线段，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形的面积为9，则点C的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求的长度，再根据平行四边形面积公式求点的坐标，最后根据平移的性质求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 设点的纵坐标为． ∵四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为：时： 点的坐标为 故点坐标为： 当点的坐标为：时： 点的坐标为 故点坐标为： 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了点的平移，关于x轴对称的特点，点的坐标规律问题，解题的关键是找到坐标的变化规律． 写出前几次变换后的坐标得到坐标的变化规律，然后将代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，经变换后得，的坐标为； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标，即； ∴经变换后得，的坐标为 ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，平移的性质，正确掌握相关特征是解题的关键． （1）根据第二象限中点的符号特点，列出不等式，解得a的取值范围，再根据横、纵坐标都是整数，即可求解； （2）根据平移的性质，易得平移后点的坐标为，再根据横纵坐标相等，列出方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：点位于第二象限， ，， ， 横、纵坐标都是整数， ， ，， 的坐标为； （2）将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 横纵坐标相等， ，解得， 点． ( 地 城 考点0 3 平移或旋转作图 ) 11．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析，； (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图并写出平移后坐标即可； （2）根据平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，即可得到坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作，点的坐标为； （2）解：若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为； （3）解：的面积． 12．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，，．将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到三角形． (1)在平面直角坐标系中画出三角形并写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若为三角形中任意一点，则平移后对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】 本题主要考查了作图－平移变换，割补法求图形的面积，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据坐标平移的方法，向上平移纵坐标加上平移的单位长度，向右平移横坐标加上平移的单位长度，找到三个顶点对应的点即可作出，根据图写出的坐标即可； （2）利用割补法求出面积即可； （3）根据平移的方法即可写出的坐标． 【详解】（1）解：如图， 即为所求，的坐标为． （2）解：． （3）解：∵将向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到， ∴若为中任意一点，则平移后对应点的坐标为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； （2）找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据所作图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：点和点的坐标分别为，． 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点坐标分别为，在坐标系中画出绕点逆时针旋转的，并写出点的坐标． 【答案】图见详解； 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，再依次连接可得到；再写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求： 由上可得点的坐标为． 15．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)点C关于原点对称点的坐标为___________； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． 【详解】（1）解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． ∴如图1所示； （3）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 找旋转中心、旋转角、对应点 ) 16．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到， 故旋转方式是绕点顺时针旋转． 故选：B． 17．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质可得，再结合旋转的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得旋转角度是， 故选：C． 18．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转角相等，解答即可． 【详解】解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 19．（24-25八年级下·北京·期末）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案． 【详解】解：绕某点旋转，得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为， ，旋转中心的坐标是， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 【答案】(1)点A；逆时针； (2) 【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键， （1）根据旋转图形的特征作答即可； （2）由，得，再证，从而得，即可得解。 【详解】（1）解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：点； 旋转方向：逆时针； 旋转角：； 故答案为：点A；逆时针； （2）解： 又 是等边三角形， ∴ ( 地 城 考点0 5 中心对称图形 ) 21．（25-26九年级下·辽宁丹东·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 22．（23-24九年级上·河南新乡·月考）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国探月 C．中国火箭 D．中国行星探测 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合， 故选：C． 23．（25-26九年级上·安徽·期末）下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故D正确． 24．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形． 25．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． ( 地 城 考点0 6 利用旋转的性质求解 ) 26．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点， 由旋转的性质可知，，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 27．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上是解题关键．找出线段和的垂直平分线的交点即可得． 【详解】解：由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心． ∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，    ∴旋转中心的坐标是， 故选：B． 28．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）已知点与关于原点对称，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内关于原点对称的两个点的坐标关系．由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点与关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·全国·期末）如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点B作轴于点G，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则两点关于原点对称，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵将等边三角形绕点顺时针旋转得到， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为：． ( 地 城 考点0 7 旋转坐标的变化 ) 31．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 32．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质可得，由线段中点的定义可得，由三线合一可得，则，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，由此可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：是等边三角形， ， 又是的中点， ，， ， ， 将线段绕点逆时针旋转后得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三线合一，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 33．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据垂直得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据旋转的性质得出对应边相等和对应角相等，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为_________． 【答案】315 【分析】先连接、，由旋转性质得，再由等腰三角形三线合一得，进而通过求证，得的长，并表示出的三边，根据勾股定理列出等量关系式，求出、的长，最后根据梯形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接、， 设，由得， 四边形是矩形， ，，， 矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形， ，，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得：（舍去）或， ，， 四边形是直角梯形， ， 故答案为：315． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算求解． 35．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． ( 地 城 考点0 8 旋转中的规律性问题 ) 36．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解． 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 故选：C． 37．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转的规律性问题．理解题意，掌握探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出，如此下去即可得出，即可求出的底和高．再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得出，…，． ∴的底为，高为． ∴． 故选：C 38．（25-26九年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 39．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 40．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、， ∴点， 故答案为：． ( 地 城 考点 09 根据中心对称的性质求解 ) 41．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 42．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 43．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的性质(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分)来分析点关于点的对称点． 【详解】解：正方形的对称中心是对角线的交点， 关于点成中心对称的两个点，需要满足连线经过且被平分， 观察图形，点在正方形的底边，其关于的对称点应在正方形的顶边，对应图中的点． 故选：C． 【点睛】 44．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是____． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过点作于点，先根据中心对称图形的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵与关于点成中心对称，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离是， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 46．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 47．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 48．（22-23九年级上·吉林·期末）一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】交于点N，由题意得，，，，，，根据锐角三角函数即可得，，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，交于点N， 由题意得，，，，，， 根据是边的中点，可得： ∵绕点O顺时针旋转60°，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，   ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度． 49．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 50．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，4. (3) 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 乙：如图2，同理可得，，， ； 丙：如图3同理可得，，， ； （2）同理（1）可得：， ∴， 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4. （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $