专题01 三角形的证明及其应用（期末复习）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦三角形证明及应用，以12大高频考点为框架，构建从基础性质到动态综合的递进训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角和与外角和|5题|角度计算、多边形镶嵌|从三角形到多边形，体现转化思想| |等腰（等边）三角形|15题|性质应用、判定综合、动点问题|性质→判定→动态探究，层层递进| |特殊线性质|10题|垂直平分线、角平分线应用|从线的性质到距离转化，强化应用意识| |综合创新|10题|折叠、新定义、跨知识综合|静态证明到动态变化，培养创新思维|

专题01 三角形的证明及其应用 12大高频考点概览 考点01利用三角形的内角和定理求解 考点02多边形的内角和与外角和问题 考点03三角形中的折叠问题 考点04 利用等腰（等边）三角形的性质求解 考点05 含30°的直角三角形性质的应用 考点06 利用垂直平分线的性质求解 考点07 利用角平分线的性质求解 考点08 全等三角形与HL综合问题 考点09 等腰三角形性质和判定的综合问题 考点10 等边三角形性质和判定的综合问题 考点11 等腰（等边）三角形中的动点问题 考点12 等腰（等边）三角形有关的新定义问题 ( 地 城 考点01 利用三角形的内角和定理求解 ) 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等．利用对顶角相等算出，利用三角形的外角性质求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）将一副直角三角板按如图所示摆放，已知直线，点E在直线上，点M、N在直线上，点P在上，，，则的度数为______． 【答案】/75度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长交于点，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形高的定义以及直角三角形的性质．解题的关键是利用三角形高的定义得到直角，结合三角形内角和定理进行角度推导． 先由三角形内角和求出的度数，再在中求出，最后利用直角三角形性质和邻补角关系求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵，分别是边，上的高， ． 在和中， ， ， ． 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）过点作，根据平行公理的推论，可得，再根据平行线的性质，可得，，即可求出； （2）过点作，设，，根据平行公理的推论，易得，再根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，再根据互补和三角形内角和，可得，从而得到； （3）过点、分别作，，设，，根据平行公理的推论可得，根据题意分两种情况讨论，再根据角平分线的定义和平行线的性质，可用含、的式子表示和，计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， 则的度数为； （2）， 理由如下，如图2，过点作， 设，， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ，， ， ，， ， 与互补， ，即，则， ，即，则， ， ； （3）或 情况1，如图3，过点、分别作，， 设，， 是的角平分线，是的角平分线， ，，，， ，，， ， ，，，， ，与， ； 情况2，如图， 由情况1，可得， ，，，， ，， ； 综上，或． 【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，角的运算等知识点，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． ( 地 城 考点02 多边形的内角和与外角和问题 ) 6．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，先根据公式求出五边形的内角和，再除以多边形的内角个数得到每个内角的度数． 【详解】解：∵n边形内角和公式为，五边形边数， ∴五边形内角和为， ∵五边形每个内角都是，且共有5个内角， ∴， 故选：A． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式：，解题的关键是熟练掌握此公式．根据多边形内角和公式直接计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在七边形中，的延长线交于点0，若，，，对应的邻补角和等于，求的度数 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和、三角形的内角和及其外角性质，先根据多边形的外角和为求得，进而利用三角形的外角性质得到，然后根据三角形的内角和为求解即可． 【详解】解：延长交于，七边形中，1，2，3，4对应的邻补角和等于 ∴，，三角的外角和为： ∴ 又， ∴ ∴． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答． （1）利用内角的整数倍能等于即可； （2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系求解即可； 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵正三角形的内角和为， ∴正三角形的每一个内角为． ∵， ∴正三角形能镶嵌成一个平面图形． （2）解：能，理由如下： ∵正十二边形的内角和为， ∴正十二边形的每一个内角为． ∵， ∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形． ( 地 城 考点0 3 三角形的折叠问题 ) 11．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 13．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴ 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：A、D关于对称， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知：A、D关于对称，， ∴， 故答案为：50； （3）解：∵，， ∴ ， 又，， ∴． 15．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． ( 地 城 考点0 4 利用等腰（等边）三角形的性质求解 ) 16．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数． 【详解】解：∵，，于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A 17．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 18．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 19．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）利用等腰三角形三线合一的性质进行证明即可； （2）通过构造辅助线，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质进行线段的等量代换和计算． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 5 含30°的直角三角形性质的应用 ) 21．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（    ） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角的直角三角形，角平分线，点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 过点D作于点E，先求出，推导出，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，， ∴， ∵平分，交 于点D， ∴， ∴， ∴点D到的距离是4． 故选：A． 22．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，等边三角形的边长是，动点M，N分别从A，C两点同时出发，沿，边匀速运动，M，N的运动速度分别是，，当点N到达点B时，M，N两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为（   ） A．2 B．3 C．或2 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和判定． 设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可． 【详解】解：设t秒后，是直角三角形， 则，， ∴． 若时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即N到达B点时； 同理可得若时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得：当或时，是直角三角形． 故选：D． 23．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 24．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，然后根据全等三角形的判定定理即可得证． （2）根据全等三角形的性质得到，进一步得到，再根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ， ， ． ∴， ∵， ∴． 25．（25-26八年级上·河南开封·期末）【活动初探】在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F．求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为射线上一动点（点E不与点A，C重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，请直接写出、、的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到平分，再利用角平分线的性质证明即可； （2）由等腰三角形的性质得到，再根据等边三角形的性质得到，进而得到、，从而得到结论即可； （3）在上截取，连接，，易得到，根据等腰三角形的性质得到，垂直平分，进而证得是等边三角形，则，易证得，进而得到，据此可得到，进而得到，从而得到结论． 【详解】解：（1），点为中点， 平分， 于点，于点， ； （2）， ， 和分别为等边三角形， ， ，即， ， 点G在的垂直平分线上， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分， 点为中点， （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接，， ， ， ； 点为中点， ，垂直平分， ，， ， ， ； ， ， ， ； ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． ( 地 城 考点0 6 利用垂直平分线的性质求解 ) 26．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 27．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 28．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据作图过程可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后通过角度的和差关系即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 30．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质，得，结合题意证为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一，即可求证； （2）根据，，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 点为的中点． （2）解：，的周长为， ， ，， ， ． ( 地 城 考点0 7 利用角平分线的性质求解 ) 31．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 32．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 33．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 34．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 35．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． ( 地 城 考点0 8 全等的性质与HL综合问题 ) 36．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 37．（25-26八年级上·广西贵港·期末）在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 38．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为_____ ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 先求出，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 40．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）56 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，利用证明三角形全等即可； （2）过点作，垂足为，借助（1）证明，得出，利用等角对等边得出等腰三角形，然后根据三线合一即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，借助（1）证明，得出相等的边，根据给出三角形的面积求出，表示出相关线段的长度，然后求出相关图形的面积即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． ， ， ． 在和中， ； （2）如图1，过点作，垂足为． 同（1）得， ． ， ， ， ； （3）如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得， ． ， 是等腰直角三角形， ． 的面积为20， ． ， ， ， ， ， ． ( 地 城 考点0 9 等腰三角形性质与判定的综合问题 ) 41．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在同一条直线上时，为最小，即为最小， 当点在同一条直线上时，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 当为最小时，， 故选：A 42．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为边上的高，的平分线交于点E，过点E作于与交于点G，对于下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，设，根据等边对等角求出，进而求出的度数，判断①，求出，得到当时，，判断②，证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进而求出判断③，根据斜边大于直角边，三角形的面积公式，判断④即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴；故①正确； ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， 当，即，解得时，， 此时，除此外不能得到；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 在中，， ∴， ∵，， ∴；故④错误； 故选A． 43．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________． 【答案】 【分析】 连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ． 44．（25-26八年级上·山西晋中·期末）在中，是边上的高，，是边上一点，是的中点，连接，，若，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意易证得，则，设，则及，进而得到、，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，据此列方程求解即可． 【详解】解： 是的外角 设，则 、 是边上的高 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： 解得或（舍去） 故答案为：4． 45．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，由角平分线的性质可得，，从而得到，命题得证； （2）先根据角平分线的性质，计算出，再根据平行线的性质计算得．由对顶角相等可得，，根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． ( 地 城 考点 10 等边三角形性质与判定的综合问题 ) 46．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后求出，证明出是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 47．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为边，分别在形外作等边三角形，连接交于点O．以下结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理的综合应用．解题的关键是通过证明，以此为核心推导后续角度与线段关系． 先利用等边三角形性质证，再依次推导、、平分，最后验证与无法全等，从而找出错误结论． 【详解】解：选项A： 因为和是等边三角形， 所以，，． 由，得． 根据可证，因此对应边，该结论正确． 选项B： 由得． 在中，， 结合对顶角与三角形内角和，可推得 根据邻补角性质，，该结论正确． 选项C：过点作于，于． 由可知二者面积相等， 结合， 可得． 根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可知平分，该结论正确． 选项D： 已知，为公共边，但与无必然相等的几何依据，无法证得，该结论错误． 故选D． 48．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知：如图，P、Q是边上两点，且，则___________度． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 49．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，已知：，点、、在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， 同理可得：， ∴， ， ， …， 则的边长为． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图，若为的中点，，求的长． (2)如图，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）结合等边三角形性质、三线合一定理得出，，再结合等边对等角、三角形外角的性质可得，由等角对等边即可得解； （2）先结合等边对等角、平行线的性质证明是等边三角形，再结合等边三角形性质推得，由全等三角形性质可证； （3）过点作交延长线于点，先证是等边三角形，再结合等边三角形性质推得，得出，后，再证，可得． 【详解】（1）解：等边中，为的中点， ，， ，， ， ， 是的外角， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ，是等边三角形， ， ， 即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作交延长线于点， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ，由平行线可得：， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， 等边中，， ， 在和中， ， ， ， ， ． ( 地 城 考点 11 等腰（等边）三角形中的动点问题 ) 51．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）在等边三角形中，，点E在边上以的速度由点B向点C运动，同时，点F在边上由点C向点A运动，连接，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得与全等，则点F的运动速度是（   ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的对应边相等的性质、等边三角形的性质等知识点，根据对应边分情况讨论是解题的关键． 设点E、F的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况求解即可． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴，， 设点E、F的运动时间为，， ∴ 若与全等．则有： ①当时，，解得：， ∴， 故点F的运动速度为：； ②当时，， ∴，解得：． 故点F的运动速度为． 所以，点F的运动速度为或． 故选：C． 52．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（   ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，数形结合，分类讨论，①如图所示，；②如图所示，；由此即可求解，解题的关键是正确分类，熟练等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：∵，， ∴，则， ①如图所示，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，，即是等腰三角形，    ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故选：D 53．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为______． 【答案】3或 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 54．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒． 【答案】或4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可． 【详解】解：当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为或4． 故答案为：或4． 55．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：； （2）解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （3）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． ( 地 城 考点 12 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 ) 56．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． ∴的周长= 故答案为：． 57．（25-26八年级上·上海普陀·期末）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化，为的高，由等腰三角形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，最后得到边的高比系数． 【详解】解：如图，为的高， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边的高比系数， 故答案为：． 58．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)用三角板拼出如图所示的上述4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_______．（填序号） (2)如图，在中，，，，，N为上一点．且四边形是邻等对补四边形，连接，求的长及的度数． 【答案】(1)②④ (2)， 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式，新定义的理解是解题的关键． （1）根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义逐个判断即可； （2）先根据直角三角形的性质和勾股定理求出，，如图，过点B作于点D，求解，再结合题意求出，证明，接下来根据勾股定理求出，以及． 【详解】（1）解：观察可知，图①和图③不存在对角互补，所以不符合题意；图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形； 故答案为：②④； （2）解：如图，过点B作于点D， 在中，, ∴． 根据勾股定理，得． ∴  ， ∴， ∵， ∴， ∴． 由四边形是邻等对补四边形得， ∴ ∴在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，的度数为． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题主要考查的新定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理的运用，理解新定义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 三角形的证明及其应用 ☆12大高频考点概览 考点01利用三角形的内角和定理求解 考点02多边形的内角和与外角和问题 考点03三角形中的折叠问题 考点04利用等腰（等边）三角形的性质求解 考点05含30的直角三角形性质的应用 考点06利用垂直平分线的性质求解 考点07利用角平分线的性质求解 考点08全等三角形与HL综合问题 考点09等腰三角形性质和判定的综合问题 考点10等边三角形性质和判定的综合问题 考点11等腰（等边）三角形中的动点问题 考点12等腰（等边）三角形有关的新定义问题 1.(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，直线a∥b,直线c⊥d,若∠2=a,则∠1的度数为() A.a+90° B.a-90 C.180°-a D.2a-1809 2.(25-26八年级上安徽阜阳·期末)如图，△ABC≌△DEF,点A、E、B、D在同一直线上，若 ∠A=45°，∠F=65°，则∠CBE的度数为() B A.65 B.70° C.75 D.80° 3.(25-26八年级上陕西咸阳期末)将一副直角三角板按如图所示摆放，己知直线AB∥CD,点E在直 线AB上，点M、N在直线CD上，点P在GF上，∠GEF=60°，∠MNP=45°，则∠BEF的度数为· CM 1/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4.(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，在ABC中，∠ABC=63°，∠ACB=57°，BE,CF分别是边 AC,AB上的高，它们交于点H,求∠ACF、∠BHC的度数. 5.(25-26八年级上·四川达州期末)己知，直线AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线 AB与CD外一点，连接PE、PF. A B D C D 图1 图2 备用图 (I)如图1，若∠AEP=45°，LDFP=105°，求∠EPF的度数； (②)如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M,∠DFP的角平分线FN交EM的反向延 长线交于点N,若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线 于点N,请直接写出∠EPF与LENF的数量关系 目目 考点02 多边形的内角和与外角和问题 6. (25-26八年级上江苏南通·期末)若一个五边形的每个内角都是x°，则x的值是() A.108 B.90 C.72 D.60 7.(25-26八年级上山东烟台期末)公园的一段甬道是由完全相同的五边形ABCDE密铺而成，其部分密 铺图案如图所示，若LC=LE=90°，∠A=∠B=∠D,则∠A的度数为 B 8.(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形， 呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”.该底座所有内角之和为 度 2/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25八年级下河北保定期末)如图，在七边形ABCDEFG中，AB,ED的延长线交于点0，若∠1， ∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于220°，求∠BOD的度数 B D 10.(24-25八年级上福建厦门期末)相信很多人家里都有巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐 垫，图2是某学校操场铺的地砖.它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成 的图案严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆 盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌)的问题. 图1 图2 ()如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (②)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何 搭配进行平铺，请说明理由， 目目 考点03 三角形的折叠问题 11. (25-26八年级上安微六安期末)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处， ∠1+∠2=100，则∠A的度数是() 3/17 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.55° B.50° C.70 D.65 12.(24-25八年级上江西赣州期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落 在AC边上的点E处，若∠A=21°，则∠BDC等于() A A.42 B.63° C.66° D.76° 13.(23-24八年级上山东日照期末)如图，ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D为边BC上一点，将 △ABD沿直线AD折叠后，点B落到点B处，恰有B'D∥AC,则∠ADB的度数为· B B' 14.(24-25八年级上·河北邢台·期末)如图，把ABC按如图的方式进行折叠使点A落到BC上， ∠A=50°. B (I)连接AD,EF与AD的位置关系是 (2ZEDF= (3)计算∠1+∠2的度数， 15.(23-24八年级上·湖北襄阳期末)在ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不 同的折叠得。C'DE，对折叠后产生的夹角进行探究： 4/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D DC G DA 2 E B E B E B (1) (2) (3) (I)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； (2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A,则求∠1+∠2的和； (3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠I、∠2、∠C的关系. 目目 考点04 利用等腰（等边）三角形的性质求解 16.(25-26八年级上安微阜阳期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于D,点 E在直线AB上，且DE=DB,则LDEC的度数为() A.60° B.75° C.80 D.90 17.(24-25八年级上·四川绵阳期末)如图，点P是等边三角形ABC边BC上一点，PM⊥AB于点M, PN⊥AC于点，若BM=1,CN=2,则AN=· B 18.(25-26八年级上陕西安康·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为边CD上一点，AE, BE分别平分∠DAB,∠CBA,延长AE交BC的延长线于点F. 5/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：△ABF是等腰三角形； (2)若AD=2,BC=4,求AB的长. 19.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)己知：在ABC中，AB=AC,点D,点E分别在BC,，AC上， 连接AD,BE,交于点F,∠BFD=60°，∠ABE=∠DAC. G 图1 图2 图3 (1)如图1，证明ABC为等边三角形； (②)如图2，过点B作BH⊥AD于点H,求证：AD=EF+2FH; (③)如图3，在2)的条件下，过点C作CG∥BE交D延长线于点G,若CG-4,HF-子，求4G的长. 20.(25-26八年级上湖北荆门期末)如图，点D,E在ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE. D E 图1 图2 (1)如图1，求证：BD=CE; (②)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M,如果DM=3,求CD-BD的值. 目目 考点05 含30°的直角三角形性质的应用 6/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 21.(25-26八年级上·广东湛江期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D. ∠B=30°，AD=8,则点D到AB的距离是() C D A.4 B.2 C.3 D.6 22.（25-26八年级上·广西贵港·期末)如图，等边三角形ABC的边长是6cm,动点M,N分别从A,C两 点同时出发，沿AC,CB边匀速运动，M,N的运动速度分别是lcm/s,2cm/s,当点N到达点B时，M, N两点均停止运动.当△MCN是直角三角形时，点M的运动时间s的值为() B N←C A.2 B.3 c.号a2 D.3或号 23.(25-26八年级上广东珠海期末)如图，等边ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于点E,EC=2, 则AE=」 A B 24.(25-26八年级下·辽宁鞍山开学考试)如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且 AE=BD,CE与AD相交于点P,CQ⊥AD于点Q. B D (I)求证：△ABD≌aCAE; (2)若PC=6,求P2的长. 7/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 25.（25-26八年级上河南开封期末)【活动初探】在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用 等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中 边与角的数量关系 D B D 图1 图2 图3 (I)如图1，在ABC中，AB=AC,点D为BC中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证： DE=DF. 【变式再探】 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,△CFA和△BEA分别为等边三角形，CF与BE相交于点G,连接 AG并延长，交BC于点D,求证：点D为BC中点. 【类比深探】 (3)在ABC中，AB=AC,点D为BC中点，LABC=30°，点F为直线AD上一动点，点E为射线CA 上一动点（点E不与点A,C重合），FB=FE,连接BE,如图3，当点F在点A上方时，请直接写出 AC、AE、DF的数量关系. 目目 考点06 利用垂直平分线的性质求解 26. (25-26八年级上·吉林长春期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在BC上，D点在 AB的中垂线上，AD=√5，则BC的长为() A.V5-1 B.V3+1 C.5+1 D.5-1 27.(24-25八年级上·山西阳泉·期末)如图，ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E, 交BD于点F,连接CF,若∠A=80°，∠ABD=20°，则∠ACF的度数是() 8/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.20° B.40° C.45 D.60° 28.(25-26八年级上·湖南郴州期末)如图，在ABC中，∠A=40°，∠B=35°，分别以点B,C为圆心， 以大于三BC长为半径画弧，交于点M,N,连接MN交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为 29.(25-26八年级上湖北十堰·期末)如图，在等边ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点， AD=8cm,点P是AD边上的一个动点，当PC+PE最小时，求∠CPE=°. B 30.(25-26八年级上山东聊城期末)如图，ABC中，EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, AD⊥BC,垂足为D,且AB=EC,连接AE. B D E (I)求证：点D为BE的中点； (2)若AC=10,ABC的周长为26，求CD的长： 目目 考点07 利用角平分线的性质求解 31.(24-25八年级上·云南德宏期末)如图，在ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E, 9/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 DF1AC于F,AB=9cm,DF=4cm,则△ABD的面积是() B A.12cm2 B.13cm2 C.18cm2 D.36cm2 32.(25-26八年级上江苏南通期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论 不一定正确的是() B D A.DC=DE B.AC=AE C.AD=BD D.∠BAC=∠BDE 33.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，在∠A0B中，PC10A于点C,PD⊥0B于点D,PC=PD, 若∠A0B=44°，则LA0P的度数为· A P D B 34.(25-26七年级下·全国单元测试)如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和LBCD,AD过点E, 且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD=8,则PE的最小值为 D 35. (25-26八年级上·甘肃天水·期末)如图，DE1AB于E,DF1AC于F,若BD=CD,BE=CF. B (I)求证：AD平分∠BAC; 10/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知AD=13,DE=5,CF=3,求AB的长. 目目 考点08 全等的性质与L综合问题 36. (25-26八年级上·贵州遵义期末)如图，在ABC和aDEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE,若用“斜 边、直角边(HL)”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF,则还需补充的条件是() B A.BC=EF B.AC=DF C.∠B=∠E D.∠ACB=∠DFE 37.(25-26八年级上·广西贵港·期末)在ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=55°，则∠BAC的度数等于 38.(25-26八年级上·浙江绍兴期末)一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，D,F在边AB上，点 C在边DE上，EF,AC相交于点G,LA=30°，∠E=45°，则∠FGA的度数为· E G D 39.（25-26八年级上·陕西西安期末)如图，在△ABC,AC=BC.分别过A,B作过C的直线1的垂线， 垂足分别为M、N,且AM=CN. M (①)求证：ABC为直角三角形： (2)若AM=3,BN=5,求AB的长. 40.(25-26八年级上河南商丘期末)【问题背景】(1)如图1，直线1经过点C,∠ACB=90°， AC=BC,过点A,B分别向直线I作垂线，垂足分别为D,E,求证：△ADC≌△CEB. 【问题探究】(2)如图2，在ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且 ∠BDE=90°，DB=DE,∠A=∠ADE.若AD=10,求BC的长. 【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AC=BC,∠ADC=45°，CD=10,△BCD 11/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 的面积为20，请直接写出四边形ABCD的面积. 图1 图2 图3 目目 考点09 等腰三角形性质与判定的综合问题 41.(25-26八年级上·安徽芜湖·期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点D,E分别是 BC,AC上的动点，且AE=CD,当AD+BE最小时，∠AEB的大小是() A.67.5 B.45° C.36° D.22.5 42.(25-26八年级上·浙江宁波期末)如图，在ABC中，AB=BC,AD为BC边上的高，∠BAD的平分 线AE交BC于点E,过点E作EF⊥AC于F,EF与AD交于点G,对于下面四个结论：①LABC=2LCAD; ②ED=DC;®GC=2GF;④S,EG-=)EF.ED.其中正确的结论有() 2 B E A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 43.(24-25八年级上·四川成都期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠A<90°，点D,E，,F分别在边 AB,BC,CA上，连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.若AD=DF,AB=5, BC=4,则CF= 12/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 44.(25-26八年级上山西晋中期末)在ABC中，CD是AB边上的高，∠B=2∠A,E是AB边上一点， F是AE的中点，连接CF,CF=AF,若AD=8,BE=I,则CD的长为· D E B 45.(25-26八年级上·湖南长沙期末)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作 EG∥AD,交AC于点F,交BA延长线于点G, G A B D (I)求证：△AFG为等腰三角形； (2)若CE=EF,∠BAC=82°，求∠B的度数， 目目 考点10 等边三角形性质与判定的综合问题 46. (25-26八年级上湖南永州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC上的中点， ∠C=30°，AB=2,则BD的长为() B A.1 B.2 C.3 D.4 13/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 47.（25-26八年级上·安徽合肥期末)如图，在ABC中，以它的边AB、AC为边，分别在形外作等边三 角形ABD、ACE,连接BE、DC交于点O.以下结论错误的是() A.BE=DC B.∠B0C=120° C.OA平分∠D0E D.△AOB≌△OAD 48.(25-26八年级上·广东汕头期中)己知：如图，P、Q是ABC边BC上两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠APQ= 度 49.(24-25八年级下·安徽宿州阶段检测)如图，已知：∠M0N=30°，点A、A、A在射线ON上，点 B、B、B…在射线0M上，△4B4、△4，B,4,、△AB,A均为等边三角形，若OA=1,则 △A2025B2025A2026的边长为 B:M B2 B AA A3 A 50.(25-26八年级上浙江杭州期末)已知，等边ABC,P为直线AC上一点，点D为直线BC上一点， 且PB=PD. E B D 图1 图2 图3 (I)如图1，若P为AC的中点，AB=2,求CD的长. 14/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图2，若点P为AC上任意一点，过P作P2川BC交AB于点Q,探究线段AQ与CD的数量关系，并说 明理由. (3)如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E,AP=6,求BE的长， 目目 考点11 等腰（等边）三角形中的动点问题 51. (24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末)在等边三角形ABC中，AB=3AD=30cm,点E在边BC上以 3cmIs的速度由点B向点C运动，同时，点F在边CA上由点C向点A运动，连接DE、EF,当点E停止 运动时，点F随即停止运动.若要在某一时刻使得BDE与△CEF全等，则点F的运动速度是() E A.3cm/s B.4cm/s C.3cm/s或4cm/s D.4cm/s或5cm/s 52.(24-25八年级上·河南许昌期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=30°，点E在边AB上运动（点 E不与A,B重合)，作∠AED=40°，使DE交边BC于点D,连接AD,在点E的运动过程中，当ADE是 以AE为腰的等腰三角形时，∠CAD的度数为()， D A.20° B.40° C.50° D.20°或50° 53.(24-25八年级上湖北荆州期中)如图，在ABC中，AB=12cm,AC=10cm,∠A=60°，点P从 点B出发以每秒2Cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点 到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为 B 15/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 54.(24-25七年级下.上海期中)如图，已知ABC三条边的长都为10cm,三个内角都相等，点P、Q同 时从点A出发，点P以每秒1cm速度沿AB向点B运动，点Q以每秒4cm速度沿折线A-C-B运动，当点 Q到达点B时，点P也同时停止运动.如果点Q在边BC上，且以A、B、C中的两点和点Q为顶点构成的 三角形与△PAC全等，那么运动的时间为 秒. B 55.（25-26八年级上吉林期末)如图，在ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm. P,Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为Icm/s,点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s,它们同时出发，设出发的时间为s. B B P 备用图 (1)BP= cm,(用含t的代数式表示). (②)当点Q在边BC上运动时，出发多长时间时，△PQB是等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或B?为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值： 目目 考点12 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 56.(24-25八年级上江苏扬州期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍 长三角形”.若等腰ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则ABC的周长为 57.(25-26八年级上·上海普陀期末)定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比 值叫做这条边的高比系数，记为k.如果ABC中，∠A=I20°，AB=AC,那么边BC的高比系数k= 58.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. ③ ④ 16/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)用三角板拼出如图所示的上述4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号) (2)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=8,BM=AB,N为AC上一点.且四边形 ABMN是邻等对补四边形，连接BN,求BN的长及∠ANB的度数 B 59.(24-25八年级上·江苏扬州期末)定义：在ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a、b、c满足 ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题： D E 图1 图2 (I)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC,AC>AB.求∠A的度数， (2)如图2所示，在ABC中，∠B=2LA,且∠C>∠A.求证：ABC为“类勾股三角形”.小明同学想到可 以在AB上找一点D使得AD=CD,再作CE⊥BD. ①探索△CDB的形状并说明理由. ②请你帮助小明完成证明过程.。 17/17