期末真题百练通关32大易错题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦期末高频易错点，以32类典型题型串联二次根式、分式等模块，通过真题错题分析强化解题规范与概念辨析，培养数学思维的严谨性与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数（二次根式/分式/因式分解）|43题|错题步骤诊断、概念辨析、运算规则应用|从概念识别（如二次根式识别）到性质应用（如有意义条件），再到运算（如混合运算），形成完整认知链| |几何（平行四边形/中位线）|11题|判定条件添加、性质证明、距离应用|以平行四边形判定为核心，延伸至特殊四边形及中位线性质，构建空间观念| |统计与概率|20题|数据描述、事件分类、概率计算|从数据收集（抽样）到整理（统计图），再到分析（频数/频率），培养数据意识|

期末真题百练通关（74题32大易错题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的识别（共2小题） 题型二 二次根式有意义的条件（共3小题） 题型三 利用二次根式的性质化简（共2小题） 题型四 最简二次根式/同类二次根式的识别（共2小题） 题型五 识别二次根式混合运算中的错误步骤（共2小题） 题型六 二次根式的估值问题（共2小题） 题型七 分式的判断（共2小题） 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 题型九 求使分式变形成立的条件（共2小题） 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 题型十五 分式的乘方（共1小题） 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 题型十八 公因式的识别（共2小题） 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 题型二十二 添加一个条件使之成为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 题型二十三 根据已知条件证明四边形为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 题型二十四 已知中位线判断结论正误（共2小题） 题型二十五 利用平行线间的距离求解（共3小题） 题型二十六 事件的分类（共3小题） 题型二十七 概率的意义（共2小题） 题型二十八 总体、个体、样本、样本容量的识别（共2小题） 题型二十九 抽样调查的可靠性（共2小题） 题型三十 选择合适的统计图（共3小题） 题型三十一 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 题型三十二 根据已知数据求频数/频率（共4小题） 题型一 二次根式的识别（共2小题） 1．（21-22八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 2．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 题型二 二次根式有意义的条件（共3小题） 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 4．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 5．（22-23八年级上·全国·期末）若有意义，则_____． 【答案】0 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的值． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 题型三 利用二次根式的性质化简（共2小题） 6．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）若，则化简___________． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 最简二次根式/同类二次根式的识别（共2小题） 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是___________ 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．判断二次根式是否同类，需化简为最简二次根式后检查被开方数是否相同． 【详解】解：A．，，被开方数均为2，是同类二次根式，故A不符合题意； B．，，被开方数均为10，是同类二次根式，故B不符合题意； C．被开方数为，，化简后非二次根式，不是同类二次根式，故C符合题意； D．，，被开方数均为，是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 题型五 识别二次根式混合运算中的错误步骤（共2小题） 10．（22-23八年级下·河南许昌·期末）下面是琪琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务一：以上步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因______； 任务二：请写出正确的计算过程； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：二，括号外是负号去括号未变号；任务二：见解析；任务三：在进行二次根式运算时，结果必须是最简二次根式．（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算，即可得出答案． 【详解】解：任务一：根据题意可得第二步开始出现错误，错误的原因是括号外是负号去括号未变号； 故答案为：二，括号外是负号去括号未变号； 任务二： ； 任务三：在进行二次根式运算时，结果必须是最简二次根式．（答案不唯一，合理即可） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 【答案】(1)第1题第③步错误，第2题第①步错误，正确解答过程见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据二次根式比较大小的方法解答即可． 【详解】（1）解：第1题第③步错误；第2题第①步错误； 第1题：      ；   第2题： ； （2）解：① ， ， ， ， ． ②，， ， ． 题型六 二次根式的估值问题（共2小题） 12．（25-26九年级上·重庆·期末）已知，则实数m的范围是（） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 通过估算的值，得到，进而确定m的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴m在3和4之间． 故选：C． 13．（24-25九年级上·重庆·期末）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 题型七 分式的判断（共2小题） 14．（21-22八年级下·云南文山·期末）下列各式：，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据分式的定义判断，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：，，的分母都不含字母，是整式，不是分式； 的分母含字母，的分母含字母，这两个式子是分式， 所以，分式共有个． 15．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 16．（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 17．（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【详解】解：∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选：B． 18．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件，分式的值为0，则分子等于0且分母不等于0． 根据分式值为0的条件得到分子且分母，进而求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子且分母． 解得：， 解得：， ∴． 故选：A． 题型九 求使分式变形成立的条件（共2小题） 19．（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 20．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 21．（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 22．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 23．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 24．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若分式是最简分式，则表示的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简分式要求分子与分母无公因式，分子为，因此分母不能含有的因式，逐项判断即可． 【详解】解：由于分式是最简分式， 则分子与分母无公因式， 选项A、，含有因式，不是最简，故不符合题意； 选项B、，含有因式，不是最简，故不符合题意； 选项C、，含有因式，不是最简，故不符合题意； 选项D、，在实数范围内无法因式分解，且与无公因式，是最简分式， 故选：D． 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 25．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的确定．先将分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：C． 26．（25-26八年级上·河北衡水·期末）三个分式的最简公分母是________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为， 第二个分式的分母为， 第三个分式的分母为． ∴这三个分式的最简公分母为． 故答案为：． 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 27．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法． 先化简分式，再计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 28．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用代替）．该式为．则被墨水遮住部分△的代数式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，通过移项和分式运算求解Δ，注意分母的变换和通分． 【详解】解：由原等式， 移项得． 由于， 代入得． 通分后公分母为， 计算分子：， 因此， 故答案为：． 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 29．（21-22八年级下·河南南阳·期末）计算：_______． 【答案】/ 【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 30．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 根据分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母． 故选：B． 题型十五 分式的乘方（共1小题） 31．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，需运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算． 【详解】解：， 故选：D． 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 32．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）分式方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解，需先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得整式方程的解是否为原分式方程的增根，即可作答． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程两边同乘最简公分母（且），得：， 展开得：， 移项合并同类项得：， 解得：， ∵当时，最简公分母， ∴是增根 ∴原分式方程无解， 故选：D． 33．（25-26八年级上·上海宝山·期末）解分式方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程． 首先将分式方程的分母因式分解，找到最简公分母，然后两边同时乘以最简公分母，将方程化为整式方程，解整式方程后检验根是否使原方程的分母为零，从而确定增根和有效根． 【详解】解：， ， ， ， 即， ， 即， ， 解得或， 检验：当时，分母，是增根； 当时，分母，且，即是方程的根． 故答案为：． 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 34．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），逐一分析每个等式的变形是否符合该定义，从而确定符合的个数即可． 【详解】解：①是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义； ②的右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义； ③是把多项式化为整式的平方（即两个整式的积），符合因式分解定义； ④是把多项式化为两个整式与的积，符合因式分解定义； 综上，符合因式分解的有③④，共2个． 故选：B． 35．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的判断，熟练掌握因式分解的形式是做题的关键．根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，逐一判断各变形是否符合定义即可． 【详解】解： ① 左边为单项式，不是多项式，故不是因式分解； ② 左边为积的形式，右边为多项式，是整式乘法，故不是因式分解； ③ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ④ 右边不是积的形式，故不是因式分解； ⑤ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ⑥ 右边括号内分式分母含字母，不是整式，故不是因式分解． ∴ 是因式分解的有③和⑤，共2个． 故选：B． 题型十八 公因式的识别（共2小题） 36．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 37．（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 38．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 39．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 40．（25-26八年级上·广东云浮·期末）在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式     第一步     第二步 ．    第三步 小明 原式     第一步     第二步 ．    第三步 任务： (1)通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． (2)按照小明的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)；一 (2)见解析 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据解答过程可知小华运用了完全平方公式，小明第一步出现了错误； （2）运用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：由解答过程可知小华运用了完全平方公式，即；小明第一步运用平方差公式时减法未变号． 故答案为：；一． （2）解：原式 ． 41．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【答案】①；②二；③，过程见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．①根据平方差公式求解即可；②第二步中前面的符号在去括号时没有变号；③先利用平方差公式分解因式，再提取公因式，据此去括号合并同类项即可得到答案． 【详解】解：①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 42．（25-26八年级上·重庆合川·期末）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．将视为整体，应用完全平方公式分解． 【详解】解：设，则原式化为， ∵， ∴ 原式， 故选：B． 43．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）下列因式分解最后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的公式法，十字相乘法提公因式法是解决本题的关键．根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论． 【详解】解：A、，故选项A分解不正确； B、，故选项B分解正确； C、，故选项C分解不正确； D、，故选项D分解不彻底，不正确． 故选：B． 题型二十二 添加一个条件使之成为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 44．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴无法得出四边形是平行四边形，故②不正确； ③∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． 45．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法是解题关键； 分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【详解】解：补充①； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 补充②； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充③； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充④； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 故答案为：②③． 46．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 47．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 题型二十三 根据已知条件证明四边形为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 48．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 49．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 50．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 51．（21-22八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件和矩形的性质易证，进而可得四边形是平行四边形，又因为，从而结论得证； （2）设，由已知和矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的周长． 题型二十四 已知中位线判断结论正误（共2小题） 52．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形面积公式．根据等边三角形的性质，三角形中位线定理，三角形面积公式等知识，对每个选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确； 、分别是、的中点，，，，故选项错误； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 故选：． 53．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别是的边的中点，则下列说法错误的是（　　） A． B．是的中线 C．是的中线 D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线、中位线的定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线；在三角形中，两边中点的连线叫作中位线． 根据中线、中位线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．由D，E分别是的边的中点，即，故A正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、是的中线，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 题型二十五 利用平行线间的距离求解（共3小题） 54．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 55．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，A、B是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的有_____________．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：∵、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的；故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变；故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的；故③错误； ∵两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变；故④正确； 综上，正确的有②④； 故答案为：②④． 56．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，，、交于点，三角形的面积等于12，三角形的面积等于9，那么三角形的面积等于______．    【答案】3 【分析】根据平行线间的距离相等得出，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵三角形的面积等于12，三角形的面积等于9， ∴三角形的面积等于 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行线间的距离的应用，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 题型二十六 事件的分类（共3小题） 57．（20-21八年级下·四川成都·期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【分析】本题考查的是事件的分类，准确区分必然事件、随机事件、不可能事件是解题的关键．根据事件发生的可能性，“手可摘星辰”是不符合客观现实的，属于不可能事件． 【详解】解：：“黄河入海流”是必然事件； ：“大漠孤烟直”是随机事件； ：“手可摘星辰”是不可能事件； ：“红豆生南国”是随机事件． 故选：． 58．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．旭日东升 C．水涨船高 D．一箭双雕 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件，A不符合题意； 旭日东升是一定会发生的事件，属于必然事件，B不符合题意； 水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，C不符合题意； 一箭双雕是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，D符合题意； 故选：D． 59．（25-26八年级上·北京石景山·期末）下列说法正确的是（   ） A．“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件 B．“今天是周一，明天是周三”是随机事件 C．“将三个球放进两个盒子里，至少有一个盒子中有球”是必然事件 D．“若x是任意实数，则”是随机事件 【答案】C 【分析】本题考查事件类型的判断，包括不可能事件、随机事件和必然事件．根据每个选项的描述，分析事件是否一定发生、可能发生或不可能发生． 【详解】解：∵ 选项A：掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生，是随机事件，不是不可能事件，∴ A错误． ∵ 选项B：今天是周一，明天必是周二，不可能是周三，是不可能事件，不是随机事件，∴ B错误． ∵ 选项C：三个球放进两个盒子，至少有一个盒子有球，是必然事件，∴ C正确． ∵ 选项D：对于任意实数x，，永不成立，是不可能事件，不是随机事件，∴ D错误． 故选：C． 题型二十七 概率的意义（共2小题） 60．（22-23九年级上·福建莆田·期末）“明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（    ） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天的地方下雨 D．明天下雨的可能性比较大 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小； 根据概率的意义找到正确选项即可． 【详解】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意． 故选：D． 61．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）抛掷一枚质地均匀的1元硬币10次，有9次正面朝上，1次反面朝上．若第11次抛掷该硬币，则正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果9次是正面朝上，1次是反面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 题型二十八 总体、个体、样本、样本容量的识别（共2小题） 62．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（   ） A．720名八年级学生的睡眠时间是总体 B．100是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生的睡眠时间是个体 【答案】C 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义念逐一分析选项正误即可． 【详解】解：720名八年级学生的睡眠时间是总体，A选项正确； 抽取了100名学生，故样本容量为100，B选项正确； 抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，C选项错误； 每名八年级学生的睡眠时间是个体，D正确； 故选：C． 63．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析．下列说法中，正确的是（    ） ①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的身高是个体；④样本容量是60． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】①正确．因只抽取部分学生调查，属于抽样调查． ②错误．总体是1200名学生的身高状况，而非学生本身，故表述不准确． ③正确．每名学生的身高作为个体，符合定义． ④正确．样本容量为60，即抽取的样本数量，不带单位． 综上，正确的说法为①③④， 故选B． 题型二十九 抽样调查的可靠性（共2小题） 64．（24-25八年级下·河北唐山·期末）为了解某校学生的睡眠时间，下列抽样调查中样本具有代表性的是（   ） A．选择九年级一个班的学生进行调查； B．选择全校的男生进行调查； C．对全校成绩排名前的学生进行调查； D．每个班级随机抽取的学生进行调查． 【答案】D 【详解】本题考查的是样本的特点，抽样调查的样本需具有代表性和随机性，应覆盖总体中的不同群体，避免偏差，根据样本特点逐一分析即可． 【分析】解：选项A：仅选取九年级一个班，样本范围过小且局限于特定年级，无法反映全校情况． 选项B：仅调查男生，忽略女生，存在性别偏差，样本不全面． 选项C：选择成绩前的学生，此类学生作息可能异于其他学生，导致结果偏差． 选项D：每个班级随机抽取，既保证各班级均有覆盖，又通过随机性减少人为干扰，样本分布均匀，最具代表性． 故选：D 65．（23-24八年级下·江苏常州·期末）今年暑假，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行，共设32个大项．为了解全校学生最喜爱的奥运竞赛项目，某初中体育老师准备开展抽样调查．请你帮助该老师从下列选项中选出最合适的调查对象（   ） A．七年级男生 B．八年级女生 C．九年级一个班的学生 D．三个年级每班学号尾数是5的学生 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 根据抽样调查的可靠性：抽调查要具有广泛性、代表性，可得答案．本题考查了抽样调查的可靠性，抽样调查要具有广泛性，代表性． 【详解】解：三个年级每班学号尾数是5的学生，了解他们最喜爱的奥运竞赛项目，调查具有随机性，广泛性， 故选：D． 题型三十 选择合适的统计图（共3小题） 66．（25-26八年级上·福建泉州·期末）要清晰反映、豆包等5款大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．频数分布直方图 【答案】A 【分析】本题考查不同统计图的适用场景，需结合各统计图特点与题目“反映数量变化趋势”的要求来选择． 【详解】解：∵折线统计图的特点是能清晰展示数据随时间的变化趋势， ∵题目要求反映5款大模型连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势， ∴最合适的统计图是折线统计图， 故选：A． 67．（25-26八年级上·山西临汾·期末）在比赛开始前，学校统计了七、八、九年级参加剪纸比赛的人数，现在想了解各年级报名人数占总人数的百分比，应该选择（    ） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上均可 【答案】C 【分析】本题考查不同统计图的适用场景，需根据各统计图的特点判断哪种适合展示各部分占总体的百分比． 【详解】解：∵条形统计图用于直观展示各部分数量的多少，折线统计图用于反映数据的变化趋势，扇形统计图用于清晰呈现各部分数量占总数量的百分比， ∴要了解各年级报名人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图， 故选：C． 68．（2024七年级上·全国·专题练习）某汽车公司销售A，B，C，D，E五种品牌新能源汽车，其续航里程（单位：千米）如表，根据表中的数据制作统计图，为了更清楚地表示出每种新能源汽车的续航里程，应选择（　　） 品牌 A B C D E 续航里程 650 500 350 750 450 A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都不对 【答案】A 【分析】 扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【详解】 解：根据题意，为了更清楚地表示出每种新能源汽车的续航里程，应选择条形统计图． 故选：A． 题型三十一 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 69．（24-25八年级上·河南南阳·期末）“阳光体育”运动在某市轰轰烈烈开展，为了解同学们最喜爱的阳光体育运动项目，小明对本班名同学进行了跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、踢毽子等各项运动项目最喜爱人数的调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图．若将其转化为扇形统计图，则最喜爱打乒乓球的人数所在扇形区域的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．解题的关键是掌握：用乘以最喜爱乒乓球的人数占被调查人数的比例即可． 【详解】解：∵， ∴最喜爱乒乓球的人数所在扇形区域的圆心角的度数为． 故选：B． 70．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）某初中学校举办了“中国古诗词大赛”，三个年级进入决赛的学生占比如图所示，则表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形统计图圆心角度数，先求得占比为，用，即可求解． 【详解】解：表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为， 故答案为：． 题型三十二 根据已知数据求频数/频率（共4小题） 71．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现的频数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查对频数的定义，解题的关键是熟练掌握频数的定义．根据频数的定义得到e的个数即可． 【详解】解：在“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现了4次， ∴短语中“e”出现的频数为4， 故答案为：4． 72．（2025七年级下·全国·专题练习）已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是15，第二组与第三组的频率之和是0.6，那么第四组的频数是_______． 【答案】25 【分析】本题考查了频数与频率，熟记频率的计算公式是解题关键． 根据第四组的频数等于总数减去第一组与第二组、第三组的频数计算，由此即可得． 【详解】解：第四组的频数是． 故答案为：25． 73．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生有名，则该班学会炒菜的学生频率是______． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，掌握频率的计算公式是解题的关键．根据频率频数总数即可． 【详解】解：某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生有名，则该班学会炒菜的学生频率是． 故答案为：． 74．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）样本：、、、、、、、、、，那么样本数据落在范围内的频率是______． 【答案】0.3/ 【分析】此题主要考查了频率，关键是掌握频率频数数据总数． 根据数据可得落在范围内的数据有3个，再利用频率频数总数即可得答案． 【详解】解：∵在中的频数有：10、9、11共三个， ∴样本数据落在范围内的频率是：． 故答案为：0.3． 1.（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2.在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 3. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小长方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______； (2)应用（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）根据题意可得图1中阴影部分的面积是：图2中阴影部分的面积是，即可解答； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是： 图2中阴影部分的面积是， 根据两部分阴影面积相等即可得到：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ② 4. 在中，对角线与相交于点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．如图，当时，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． 【答案】菱形，理由见解析 【分析】根据角平分线的判定定理得到平分，根据平行线的性质，结合等角对等边，得到，即可得出结论. 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ，，， 平分， ； 四边形是平行四边形， ， ， ， ； 平行四边形是菱形. 5. 某校开展线上教学，学生从“录播”和“直播”两种教学方式中选择一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（每组数据包含左端值不包含右端值）： 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 (1)从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取一名学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少； (2)若该校共有600名学生选择“直播”，估计其中参与度在0.4以下的共有多少人． 【答案】(1) (2)30人 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）先求出参与度在0.4以下的占比，再由总数乘以占比即可． 【详解】（1）解：由题意得，该学生的参与度在0.8及以上的概率； （2）解：（人） 答：其中参与度在0.4以下的共有人． $ 期末真题百练通关（74题32大易错题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的识别（共2小题） 题型二 二次根式有意义的条件（共3小题） 题型三 利用二次根式的性质化简（共2小题） 题型四 最简二次根式/同类二次根式的识别（共2小题） 题型五 识别二次根式混合运算中的错误步骤（共2小题） 题型六 二次根式的估值问题（共2小题） 题型七 分式的判断（共2小题） 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 题型九 求使分式变形成立的条件（共2小题） 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 题型十五 分式的乘方（共1小题） 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 题型十八 公因式的识别（共2小题） 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 题型二十二 添加一个条件使之成为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 题型二十三 根据已知条件证明四边形为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 题型二十四 已知中位线判断结论正误（共2小题） 题型二十五 利用平行线间的距离求解（共3小题） 题型二十六 事件的分类（共3小题） 题型二十七 概率的意义（共2小题） 题型二十八 总体、个体、样本、样本容量的识别（共2小题） 题型二十九 抽样调查的可靠性（共2小题） 题型三十 选择合适的统计图（共3小题） 题型三十一 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 题型三十二 根据已知数据求频数/频率（共4小题） 题型一 二次根式的识别（共2小题） 1．（21-22八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 二次根式有意义的条件（共3小题） 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______． 4．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（22-23八年级上·全国·期末）若有意义，则_____． 题型三 利用二次根式的性质化简（共2小题） 6．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）若，则化简___________． 题型四 最简二次根式/同类二次根式的识别（共2小题） 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是___________ 9．（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型五 识别二次根式混合运算中的错误步骤（共2小题） 10．（22-23八年级下·河南许昌·期末）下面是琪琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务一：以上步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因______； 任务二：请写出正确的计算过程； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 11．（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 题型六 二次根式的估值问题（共2小题） 12．（25-26九年级上·重庆·期末）已知，则实数m的范围是（） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 13．（24-25九年级上·重庆·期末）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 分式的判断（共2小题） 14．（21-22八年级下·云南文山·期末）下列各式：，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 15．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 16．（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．3 B． C． D．9 题型九 求使分式变形成立的条件（共2小题） 19．（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 20．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 21．（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 23．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若分式是最简分式，则表示的可能是（   ） A． B． C． D． 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 25．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·河北衡水·期末）三个分式的最简公分母是________． 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 27．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：______． 28．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用代替）．该式为．则被墨水遮住部分△的代数式是_____． 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 29．（21-22八年级下·河南南阳·期末）计算：_______． 30．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 题型十五 分式的乘方（共1小题） 31．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 32．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）分式方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 33．（25-26八年级上·上海宝山·期末）解分式方程：___________． 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 34．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 题型十八 公因式的识别（共2小题） 36．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 37．（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 38．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 40．（25-26八年级上·广东云浮·期末）在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式     第一步     第二步 ．    第三步 小明 原式     第一步     第二步 ．    第三步 任务： (1)通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． (2)按照小明的思路，写出正确的解答过程． 41．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 42．（25-26八年级上·重庆合川·期末）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）下列因式分解最后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十二 添加一个条件使之成为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 44．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 45．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可） 46．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 47．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 题型二十三 根据已知条件证明四边形为平行四边形（或特殊平行四边形）（共4小题） 48．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 49．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 50．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 51．（21-22八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 题型二十四 已知中位线判断结论正误（共2小题） 52．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别是的边的中点，则下列说法错误的是（　　） A． B．是的中线 C．是的中线 D．的对边是 题型二十五 利用平行线间的距离求解（共3小题） 54．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 55．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，A、B是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的有_____________．（填序号） 56．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，，、交于点，三角形的面积等于12，三角形的面积等于9，那么三角形的面积等于______．    题型二十六 事件的分类（共3小题） 57．（20-21八年级下·四川成都·期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 58．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．旭日东升 C．水涨船高 D．一箭双雕 59．（25-26八年级上·北京石景山·期末）下列说法正确的是（   ） A．“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件 B．“今天是周一，明天是周三”是随机事件 C．“将三个球放进两个盒子里，至少有一个盒子中有球”是必然事件 D．“若x是任意实数，则”是随机事件 题型二十七 概率的意义（共2小题） 60．（22-23九年级上·福建莆田·期末）“明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（    ） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天的地方下雨 D．明天下雨的可能性比较大 61．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）抛掷一枚质地均匀的1元硬币10次，有9次正面朝上，1次反面朝上．若第11次抛掷该硬币，则正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型二十八 总体、个体、样本、样本容量的识别（共2小题） 62．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（   ） A．720名八年级学生的睡眠时间是总体 B．100是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生的睡眠时间是个体 63．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析．下列说法中，正确的是（    ） ①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的身高是个体；④样本容量是60． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 题型二十九 抽样调查的可靠性（共2小题） 64．（24-25八年级下·河北唐山·期末）为了解某校学生的睡眠时间，下列抽样调查中样本具有代表性的是（   ） A．选择九年级一个班的学生进行调查； B．选择全校的男生进行调查； C．对全校成绩排名前的学生进行调查； D．每个班级随机抽取的学生进行调查． 65．（23-24八年级下·江苏常州·期末）今年暑假，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行，共设32个大项．为了解全校学生最喜爱的奥运竞赛项目，某初中体育老师准备开展抽样调查．请你帮助该老师从下列选项中选出最合适的调查对象（   ） A．七年级男生 B．八年级女生 C．九年级一个班的学生 D．三个年级每班学号尾数是5的学生 题型三十 选择合适的统计图（共3小题） 66．（25-26八年级上·福建泉州·期末）要清晰反映、豆包等5款大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．频数分布直方图 67．（25-26八年级上·山西临汾·期末）在比赛开始前，学校统计了七、八、九年级参加剪纸比赛的人数，现在想了解各年级报名人数占总人数的百分比，应该选择（    ） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上均可 68．（2024七年级上·全国·专题练习）某汽车公司销售A，B，C，D，E五种品牌新能源汽车，其续航里程（单位：千米）如表，根据表中的数据制作统计图，为了更清楚地表示出每种新能源汽车的续航里程，应选择（　　） 品牌 A B C D E 续航里程 650 500 350 750 450 A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都不对 题型三十一 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 69．（24-25八年级上·河南南阳·期末）“阳光体育”运动在某市轰轰烈烈开展，为了解同学们最喜爱的阳光体育运动项目，小明对本班名同学进行了跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、踢毽子等各项运动项目最喜爱人数的调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图．若将其转化为扇形统计图，则最喜爱打乒乓球的人数所在扇形区域的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 70．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）某初中学校举办了“中国古诗词大赛”，三个年级进入决赛的学生占比如图所示，则表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为______． 题型三十二 根据已知数据求频数/频率（共4小题） 71．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现的频数为_____． 72．（2025七年级下·全国·专题练习）已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是15，第二组与第三组的频率之和是0.6，那么第四组的频数是_______． 73．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生有名，则该班学会炒菜的学生频率是______． 74．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）样本：、、、、、、、、、，那么样本数据落在范围内的频率是______． 1.（1）计算：； （2）化简：． 2.在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 3. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小长方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______； (2)应用（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 4. 在中，对角线与相交于点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．如图，当时，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． 5. 某校开展线上教学，学生从“录播”和“直播”两种教学方式中选择一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（每组数据包含左端值不包含右端值）： 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 (1)从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取一名学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少； (2)若该校共有600名学生选择“直播”，估计其中参与度在0.4以下的共有多少人． $