内蒙古赤峰市2025-2026学年七年级下学期阶段测试（人教版七年级下册第十章）

**基本信息** 聚焦人教版七年级下册二元一次方程组单元，融合《孙子算经》传统文化与校园文创、数学竞赛等生活实践，原创题与分层设计凸显数学眼光、思维与语言的核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组概念（1题）、解法（3题）、应用（8题）|第8题以《孙子算经》古题考查建模，体现文化传承| |填空题|5/15|方程变形（11题）、实际问题建模（12题）|第15题新定义运算，培养抽象能力与创新意识| |解答题|8/75|解方程组（16题）、综合应用（17、22题）、探究题（19、20题）|17题原创校园文创店问题，22题多素材竞赛采购任务，20题天平平衡结合几何直观，发展应用意识与推理能力|

内蒙古赤峰市七年级下学期阶段测试（人教版2024第十章） （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共 30 分） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2.已知是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.解方程组时，把①代入②，得（ ） A. B. C. D. 4.已知与都是方程的解，则与的值分别为（ ） A. B. C. D. 5.若与的和是单项式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 6.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 7.若关于的方程组的解满足，则等于（ ） A. B. C. D. 8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？” 意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9.如图，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值分别为（ ） A. B. C. D. 10.已知关于的方程组，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，的值不可能是互为相反数； ③均为正整数的解只有 1 对； ④若，则. 正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 第二部分 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11.已知方程，改写成用含的式子表示的形式，则。 12.植树节这天有 50 名同学共种了 140 棵树苗，其中男生每人种树 3 棵，女生每人种树 2 棵。设男生有人，女生有人，可列二元一次方程组为。 13.已知关于的方程组的解满足，则。 14.关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为。 15.对于任意非零实数，定义新运算 “”：。若，则。 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（10 分）解下列方程组 (1) (2) 17.（原创题）（8 分）某校园文创店用 2300 元购进 “毕业季”主题的定制金属书签和手绘明信片两种商品，按标价出售后可获得利润 1700 元，这两种商品的成本、标价如下表所示： 定制金属书签 手绘明信片 成本 (元 / 件) 8 5 标价 (元 / 件) 15 10 (1) 该文创店购进定制金属书签和手绘明信片各多少件？ (2) 如果定制金属书签按标价的八折出售，手绘明信片按标价的七五折出售，那么这批商品全部售完后，文创店比按标价出售少收入多少元？ 18. （8 分）已知关于的方程组和有相同的解。 (1) 求出它们的相同解； (2) 求的值。 19. （原创题）（8 分）当都是实数，且满足时，称为 “星交点”。 (1) 若是 “星交点”，则； (2) 判断点是否为 “星交点”，并说明理由； (3) 已知关于的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是 “星交点”？ 20.（8 分）综合与实践：自制天平支点固定，右侧托盘固定于，左侧托盘可在横梁滑动。，，分别为单个物体质量，平衡规则：左盘物体质量右盘物体质量。 (1) 左侧托盘固定在处，天平平衡，，则； (2) 右盘放置 100g 砝码，左盘放 9 个、30 个物体，时天平平衡，为整数，求的值； (3) 右盘放 2 个 100g 砝码，左盘放入小球与若干物体，滑至处天平平衡；再加入同等数量物体，移至时再次平衡，求小球质量。 20. （8 分）已知方程组 (1) 求方程的所有正整数解； (2) 若方程组解满足，求的值； (3) 无论取何实数，方程都有固定解，求出该解； (4) 方程组解中为整数，也为整数，求的取值。 22.（12 分） 奖项设置与奖品采购方案 某学校举办七年级数学竞赛，分别设置一等奖、二等奖、三等奖若干 素材 1 购买 2 盒水笔和 1 包笔记本花费 320 元，3 盒水笔和 2 包笔记本花费 520 元 素材 2 共计出资 880 元采购两种奖品，两类均需购买 素材 3 1 盒水笔 12 支，1 包笔记本 16 本；设一等奖人，二等奖 30 人，三等奖人，满足；奖品分配：一等奖 1 支水笔 + 1 本笔记本，二等奖 1 支水笔，三等奖 1 本笔记本 问题解决 任务1 求一盒水笔、一包笔记本单价； 任务2 880 元全部用完，求水笔、笔记本采购数量； 任务3 采购奖品恰好全部发放完毕，求出值。 23.（13 分）平面直角坐标系内，，，满足，直线交轴于点。 (1) 求的值； (2) 点在轴上，面积为 8，求点坐标； (3) 直线交轴于，且交轴于，点在直线上，满足，求点坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古赤峰市七年级下学期阶段测试（人教版2024第十章） 命题细目表 题号 题型 分值 难度 考查知识点 核心考查能力 / 素养 1 选择题 3 基础 二元一次方程组的定义辨析 数学抽象：区分二元一次、分式、高次、整式方程组 2 选择题 3 基础 二元一次方程的解的定义 基础运算：代入求值、简单解方程 3 选择题 3 基础 代入消元法解方程组步骤 运算能力：掌握代入消元核心步骤 4 选择题 3 基础 利用方程解求一次函数参数 模型观念：待定系数法求值计算 5 选择题 3 基础 同类项定义、二元一次简单方程组求解 概念辨析 + 基础运算 6 选择题 3 基础 非负数和为 0（绝对值 + 平方）、解二元一次方程组 推理能力：利用非负性列方程求解 7 选择题 3 中档 方程组整体求值、参数 k 计算、整体思想 运算能力：整体代换、巧解方程组 8 选择题 3 中档 古代数学应用题、二元一次方程组建模 应用意识：从实际文字情境列方程组 9 选择题 3 中档 幻方规律、利用行列和相等列方程组求解 几何直观 + 建模能力：数形结合建模 10 选择题 3 拔高 含参数二元一次方程组综合辨析（相反数、整数解、参数求值） 综合推理、分类讨论思想 11 填空题 3 基础 二元一次方程变形（用含 x 式子表示 y） 等式变形、基础代数运算 12 填空题 3 基础 植树问题、实际情境二元一次方程组建模 应用意识：简单生活应用题列式 13 填空题 3 中档 方程组的解满足特定等式、求参数 整体思想、方程组综合运算 14 填空题 3 拔高 换元思想、同结构方程组迁移求解 数学抽象、整体换元解题思维 15 填空题 3 拔高 新定义运算、构建二元一次方程组求解 创新题型、建模与运算综合 16（1） 解答题 5 基础 代入 / 加减消元法解常规二元一次方程组 核心运算：方程组规范求解步骤 16（2） 解答题 5 中档 含分母二元一次方程组化简求解 运算能力：去分母、化简方程组求解 17 解答题 8 中档 商品利润、成本折扣实际应用题（修正版） 建模能力、经济类实际问题求解 18 解答题 8 中档 同解方程组问题、参数代数式求值 综合运算：先求公共解，再反求参数 19 解答题 8 中档 新定义 “星交点”、方程组解与新定义结合 创新理解、方程与坐标结合运算 20 解答题 8 拔高 天平平衡物理情境、方程建模、整数解探究 跨情境建模、分类讨论、整数解分析 21 解答题 8 拔高 方程正整数解、含参方程组固定解、整数参数探究 分类讨论、定点定值、整数解综合 22 解答题 12 压轴 阶梯式商品采购、奖品分配实际综合应用题 多层建模、整数解实际方案设计 23 解答题 13 压轴 非负数性质求坐标、平面直角坐标系面积问题、平行线坐标综合 数形结合、几何与方程综合、动点坐标探究 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古赤峰市七年级下学期阶段测试（人教版2024第十章） 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.A 解析：二元一次方程组需满足：两个未知数、次数均为1、整式方程。B为分式方程，C含xy (二次)，D含x2(二次)。 2.B 「x=1 解析：将=2代入x+ky=3,得1+2k=3,解得k=1。 3.D 解析：把①代入②，得4x-3(2x-1)=12。 4.B 解析：代入两组解得{-2=4k+b八-5=-2k+b,解得k=,b=-4。 5.C 解析：和为单项式→同类项，故2n-3=1,2m=8,得n=2,m=4。 6.D ∫x-y-2=0 x=2 解析：非负数和为0， 则2x+y-4=0:解得=0 7.D 解析：两方程相加得5x+5y=5k-5,即x+y=k-1。 由x+y=2025,得k-1=2025,k=2026 8.A (y-x=4.5 解析：绳长-木长=4.5；木长-半绳长=1，即0.5y=x-1 9.B 4x-y=5 解析：由行列和相等列方程组4x-2y=6:解得x=1y=一1。 10.A x=2m+1 解析：方程组解得y=2-2m ①m=1时成立；②x+y=3≠0，不可能互为相反数；③正整数解只有1对；④计算正确但按 原题选项选A。 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.2-8 ( x+y=50 12.3x+2y=140 13.0 x=n 解析：解得y=n+1,由x+y=1得2n+1=1,n=0。 Jm=-2 14n=3 了m+n=1 解析：换元m一n=一5解得即可。 15.4 2a-3b=2 解析：3a-5b=2得a=4,b=2, 故4☒6=4×4-2×6=4。 三、 解答题（共75分) 16 .(10分) 2x+y=8 (1) (x-y=1 解：①+②得3x=9(2分) x=3(3分) 代入②得y=2(4分) x=3 方程组的解为y=2 (5分) x+2y=7 (2) 3-号-1 解：②×6得3x-4y=6(2分) ①X2+③得5x=20,x=4(3分) 代入①得y=是(4分) x=4 方程组的解为y=多 (5分) 17.（8分) (1)设购进书签x件，明信片y件 {8x+5y=2300八(15-8x+(10-5)y=1700 8x+5y=2300 即7x+5y=1200 (2分) 相减得x=100,代入得y=300(3分) 答：购进书签100件，明信片300件。(4分) (2)标价总收入：15×100+10×300=4500（元)(5分) 打折收入：15×0.8×100+10×0.75×300=3450（元）(6分) 少收入：4500-3450=1050（元）(8分) 答：少收入1050元。 18.(8分) 2x-y=7 (1) 联刘x+2y=1 (1分) X=3 解得y=-1(3分) (2)代入含参方程组得 6a+b=4 3a-2b=7 (4分) 解得a=1,b=-2(6分) a+b}2026=(-12026=1(8分) 19.(8分) (1)2×3+3n=18,得n=4(2分) (2)点P(6,2)是星交点(3分) 理由：2×6+3×2=18，满足定义。(4分) x-y=6,〔x=a+3 ③)解x+y=2a得=a-3(5分) 代入2x+3y=18: 2(a+3)+3(a-3)=18(6分) 5a=21,a=号(8分) 20.(8分) (1)9(2分)》 (2)由平衡规则得3m=5n,整数解m=5,n=3, 故m+n=8(5分) (3)设小球质量为G,数量为k, G+kn=4k G+2kn=6k'解得G=200g (8分) 21.(8分) 8=4∫x=2 (1) 正整数解： b=1y=2 2分)》 x=-6 (2)联立x+y=0得y=6,代入得m=-号(4分) x=0 3)与m无关，则x=0,固定解y=(6分) (4)x=m为整数，得m+2=±1， 故m=-1或m=-3(8分) 22.(12分) (1)设水笔x元/盒，笔记本y元/包 2x+y=320 3x+2y=520解得x=120,y=80(3分) 答：水笔120元，笔记本80元。 (2）120m+80n=880,即3m+2m=22, 正整数解：(2,8、(4,5)、(6,2)(7分) (3)只有(4,5)满足a<30<b, 得a=18,b=62(12分) 23.(13分) (1)由非负数和为0得 「a-b+1=0 2a+b-10=0 ,解得a=3,b=4(4分) (2)A(0,3),B4,-1),直线AB:y=-x+3,C(3,0)(5分) S△ABP=p-3=8,得p=7或-1， ∴.P(7,0)或(-1,0)(8分) (3)直线AE:y=x+3,D(0,-3),S△ABD=12(10分) 由2S△4DQ=S△ABD得S△ADQ=6, 解得Q(2,4)或(-2,2)(13分)