精品解析：安徽省合肥一六八中学2026届高三下学期规范性训练数学试题

2026届高三规范性训练 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】集合，， 因为，所以，解得. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数的弦化切求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 整理得， 即，所以， 故选：A. 4. 定义平面斜坐标系，记，，分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标．已知，的斜坐标分别为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则， ， 已知， ， ． 5. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为. 根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体， 其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有： ，解得. 正四面体的高公式为，将代入得： . 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式，可得函数奇偶性，根据特殊值及函数图象的变换，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，则函数为奇函数，图象关于原点对称，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误，A正确. 故选：A. 7. 等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是递减数列，则公比满足 C. 若，，则公比 D. 若（为常数），则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 8. 已知定义在上的函数满足对，有，且对，都有．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知确定是增函数，从而得是增函数，利用单调性，不等式化为，再利用函数的单调性，不等式转化为，分离参数得，然后利用导数求得函数的最小值即得结论. 【详解】在中令得，所以， 因为函数满足，都有， 所以时，，所以是增函数，所以是增函数， ， 不等式 即为 ， 所以，即， 设，显然它是增函数，不等式为， 所以，恒成立，，令， 则，恒成立， 令，则， 时，，是减函数，时，，是增函数， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意举例判断即可. 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故D正确． 故选：ABD 10. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助函数中心对称性质计算可得、，再计算即可得；对B：结合函数中心对称性质，验证是否成立即可得；对C：求导后，结合极值点定义，利用韦达定理计算即可得；对D：结合等差数列性质，设出三个零点后代入计算即可得. 【详解】对A：当时，， 由函数的对称中心为，则， 即有， 整理得，即有，解得， 即，故，故A错误； 对B：当时，， 则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：当时，，， 则，，， 由，且，则，故，， 即有，，且，，故，， 即有，即，故C正确； 对D：当时，， 设三个相异零点分别为、、， 则， 即， 则，由得， 则由可得，故， 又，故实数的取值范围为，故D正确. 11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. （O为坐标原点） C. 若点A在第一象限，则 D. 若E为C的下顶点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得面积的表达式，即可得A点纵坐标，根据，结合的关系，整理计算，可判断A的正误；根据，分析可判断B的正误；根据余弦定理，可得、的表达式，即可得的表达式，结合的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得的表达式，进而可得的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，则， 由椭圆的定义得，则， 所以，则， 所以， 又，所以，则， 又，所以，则，所以，则， 所以，则，即，解得，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：若点A在第一象限，则， 设，设， 由余弦定理得， 则，整理得， 所以，同理可得， 则， 由点A在第一象限知，则， 设，则， 所以，故C正确： 选项D：由A项知， 所以， ， 则， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 13. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14. 平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 【答案】507 【解析】 【分析】曲线上的点 满足 ，根据圆与外切，可得等式，两式联立可得，求得数列的通项，从而可得数列的通项，利用裂项相消法可得，最后由数列单调性分析和恒成立条件即可求出最小正整数 . 【详解】根据题意，曲线 上的点 满足 ； 因为圆 与轴相切，圆心纵坐标为，故半径 ； 圆与的圆心距， 半径之和为 ， 因为圆与外切， 所以，化简得：， 将 代入上式可得： 又因为，所以，即， 所以数列为等差数列，首项： ，公差 ； 通项： 所以 所以， ，随 增大递增，极限为 ， 即 对所有 成立； 恒成立条件： 恒成立，需 ，即； 故最小正整数 结论：满足条件的最小正整数为 507. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若D为BC的中点，，的面积为，求a. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； 【小问2详解】 若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表. 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由： （2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中． ②,,,． 【答案】（1）有的把握认为购买手机与顾客的性别有关. （2） 【解析】 【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可. (2)先列出随机变量的分布列，再由分布列求出期望值. 【小问1详解】 假设:购买手机与顾客性别无关. 根据公式， 因为，所以假设不成立， 即我们有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01. 【小问2详解】 可能取的值为0，100，200，300，400， 每次抽奖不中的奖的概率为，中元概率为，中元概率为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 100 200 300 400 所以期望为. 17. 已知双曲线. （1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由； （2）直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】（1）不能，理由见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答. （2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线垂直的直线方程，即可求解作答. 【小问1详解】 点不能是线段的中点， 假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点， 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 而双曲线渐近线的斜率为，即， 由得，则有，解得， 此时，即方程组无解， 所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点. 【小问2详解】 依题意，由消去y整理得， 因为，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则有，即，点M的横坐标为， 点，，过点与直线垂直的直线为， 因此，，，， 所以点的轨迹方程为，. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. 【小问2详解】 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. 【小问3详解】 由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面， 所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 19. 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将不等式有解问题转化为函数最值问题，通过构造并利用导数分析单调性，求出最小值后直接得到参数的取值范围． （2）通过引入中间变量，将转化为关于的函数，再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明． （3）采用固定变量、构造辅助函数的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明． 【小问1详解】 有解，即需，设， ，在上小于0，在上大于0， ∴在上单调递减，上单调递增， ∴，故． 【小问2详解】 令，，，． 令，． 在上单调递增．∵，， 根据零点存在定理，在上存在唯一，使得， 即，，两边取对数有， 在上小于0，在上大于0， 在上单调递减，上单调递增， ∴ ，即． 【小问3详解】 原命题等价于， 令，将s看作定值，t看作变量． ． ， 即， 第一部分：， 因为，所以，且，函数单调递增， 故，因此：， 即； 第二部分：， 利用经典不等式，得，因此：， 又因为，交叉相乘易证，即， 故：， 两部分均为正，故，即在上单调递增，， 恒成立，故原命题成立，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三规范性训练 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 定义平面斜坐标系，记，，分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标．已知，的斜坐标分别为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是递减数列，则公比满足 C. 若，，则公比 D. 若（为常数），则 8. 已知定义在上的函数满足对，有，且对，都有．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 10. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. （O为坐标原点） C. 若点A在第一象限，则 D. 若E为C的下顶点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 已知，且，则的最小值为_________． 14. 平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若D为BC的中点，，的面积为，求a. 16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表. 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由： （2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中． ②,,,． 17. 已知双曲线. （1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由； （2）直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $