精品解析：安徽安庆市第二中学2026届高三5月模拟考试数学试题

2026届高三5月模拟考试 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ）. A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的概念可求得选项. 【详解】因为，所以复数的虚部是， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题. 2. 设集合，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以，所以. 3. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出不等式的解集，根据集合的包含关系选择． 【详解】．由题意知是目标选项的真子集， 故选：C． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件与集合包含关系的联系是解题关键． 4. 已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程. 【详解】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 5. 定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围． 【详解】当时，，， 又是定义在上的偶函数，所以， 所以，如图所示， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是． 6. 已知向量 满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 7. 在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得出，设，则，由可得出，然后在中应用余弦定理可求得的长，利用正弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等， 因为，设，则， 由可得， 可得， 在中，由余弦定理可得 ，故， 由正弦定理可得，所以，， 易知为锐角，则， 所以，. 故选：A. 8. 我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ） A. 有对称中心 B. 有对称中心 C. 有对称轴 D. 有对称轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 导函数关于对称，所以关于即对称， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 中位数就是第50百分位数 B. 已知随机变量X~，若，则 C. 已知随机变量~，且函数为偶函数，则 D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用中位数的概念即可判断A正确；对于选项B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对选项C，利用正态分布的对称性即可求解，对选项D，利用平均数和方差公式计算即可 【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确； 对选项B，，则，故B错误； 对选项C，，函数为偶函数， 则， 区间与关于对称， 故，选项C正确； 对选项D，分层抽样的平均数， 按分成抽样样本方差的计算公式，选项D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B. 异面直线与所成的最大角为 C. 不存在点使得 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先作出截面，再求其面积即可；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断. 【详解】 对于A，取的中点，的中点，的中点， 连接、、、、，由于均为所在边的中点， 所以，，， 所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长 ， 故其面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接，则易得平面， 则异面直线与所成的角可用表示， 在中，， 当为的中点时，，此时取最小值， 此时有， 因异面直线与所成的角 ， 由余弦函数的单调性，可得 ，故B不正确； 对于C，若为中点，由B项易得平面， 因平面，则， 由于，，由，可得， 又 平面，所以平面，又平面，故，即C不正确； 对于D，由图知，点到平面的距离为，而， 故，即三棱锥的体积为定值，故D正确． 11. 已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出、点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断. 【详解】对A，令，则， 故时，单调递增；时，单调递减， 所以的极大值，且，， 因为直线与曲线相交于､两点， 所以与图象有个交点，所以，故A正确； 对B，设，且，可得， 在点处的切线程为 ，得， 即， 因为，所以，即，故B错误； 对C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以 ， 即，所以， 所以 ，故C正确； 对D，因为，，所以， 又因为，所以，所以， 同理得，得，即， 因为，所以， 所以，即，故D正确. 其中不等式①的证明如下： 不等式①（其中）， 构造函数，则． 因为，所以，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差不为0的等差数列，是其前项和，若，则______. 【答案】0 【解析】 【详解】不妨设公差为，则 ， ，所以，即：，所以， 则 . 13. 已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值． 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 14. 已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______． 【答案】 ①. ②. ##0.7 【解析】 【分析】由事件的定义对10，9，8三个数所在的集合进行分类讨论，确定8，9，10都在前段，因而可得事件等价于8，9，10都在前k个位置，再利用古典概型概率公式结合排列数公式计算即得. 【详解】记，，则等价于 。 ①若10在后段，则 ， ，于是 ，不满足； ②若10在前段，但8或9在后段，则 ， ，于是 ，不满足； ③若8，9，10都在前段，则 ，于是 ，满足． 因此，事件等价于8，9，10都在前k个位置． 计算：将8，9，10放在前3个位置，共3！种选择，余下的7个位置随机排列，共7！种选择，因此． 注意到对，2，…，8，均有为的子事件，因此． 计算：将8，9，10放在前9个位置，等价于第10位是1到7中的某个数，共7×9！种选择， 因此． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用三角恒等变换化成正弦型函数，再整体代换即可求出单调递增区间； （2）运用图象变换得到解析式，再根据得到值域，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以增区间，由不等式，即， 所以的单调递增区间为：. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， .当， 因为的值域为 所以， 所以 ， 即 故. 16. 如图，四棱锥中，平面，平面平面， （1）证明：平面： （2）点为线段上一点（与不重合）. （i）若，求二面角的余弦值： （ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内. 【解析】 【分析】（1）方法一：利用线面垂直判定定理，通过证明垂直平面内两条相交直线与来实现；方法二：先求出相关边长和角度，再证明垂直平面内两条相交直线与. （2）（i）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. （ii）先根据向量关系得出点坐标，再利用球心到四点距离相等列出方程，求解方程得到球心坐标，最后根据球心在平面内确定的值. 【小问1详解】 方法一：由平面，平面，得， 因为平面平面，且平面平面， 取的中点，连接，又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面. 方法二：因为平面，平面，得， 又因为，所以，， 又因为，所以，， 又因为， 由余弦定理得， 所以，故， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故， 又因为，且，，、平面， 所以平面. 【小问2详解】 （i）以为原点，、、方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由于，即，即， 所以，则， 设平面的法向量为，，， 则，令，则， 设平面的法向量为，， 则， 令，则， 设二面角的平面角为，注意到为锐二面角， 所以， 即二面角的余弦值为. （ii）设，则， 设过，，，四点的球的球心为， 半径为，则， 即，求解可得：， 令，解得满足条件， 综上所述：时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内. 17. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性； （2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案. 【小问1详解】 由，则函数，易知其定义域为， 由，则函数为偶函数， 当时，，显然当时，函数在上单调递增， 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减. 【小问2详解】 由时，则函数，可得，解得或， 所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数， 当时，则函数， 当时，函数在上单调递增，此时无极值； 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为， 由函数为偶函数，则函数的极大值为， 综上，当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 18. 设为正项数列的前项和，满足. （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 【答案】（1）（2）（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式； （2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论； （3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩 ，再由当时，放缩裂项相消法求和证明结论. 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减，得， 即， ∴， ∵为正项数列，∴， 又由，解得或（舍去）， ∴. （2），即， 当时，， 解得且， 下面证明当且时，对任意正整数都成立， 当时，， ∴， 又当时，上式显然成立， 故只要证明对任意正整数都成立即可， 又， ∴实数的取值范围为. （3）证明：由题得， ∵， ∴. 当时， ， ∴. 【点睛】本题考查已知与关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证明．在利用时，注意，数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如时成立得出参数的范围，然后再考虑它对时是否也成立．不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和．本题对学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由： （3）若椭圆上点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）为定值，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，根据直线与圆相切求出的关系式，分是否等于零两种情况讨论，求出的位置关系，进而可得出答案； （3）设过点的切线方程为，直线的斜率分别为，根据圆心到直线的距离为，化简，利用韦达定理求出，再求出，进而求出面积的表达式，再进一步分析即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意知切线与轴有交点，直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 又， 当时，，① 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，代入①得， 所以， 当时，则， 所以，所以直线过椭圆的左或右顶点与上或下顶点， 所以， 在中，， 由射影定理知， 所以为定值； 【小问3详解】 由题意直线的斜率存在， 设过点的切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 即， 设直线的斜率分别为， 则， 直线的方程为， 令，则， 同理， ， ， 因为在椭圆上， 所以，代入化简得： ， 令，则， 则， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月模拟考试 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ）. A. B. C. 8 D. 2. 设集合，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量 满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ） A. 有对称中心 B. 有对称中心 C. 有对称轴 D. 有对称轴 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 中位数就是第50百分位数 B. 已知随机变量X~，若，则 C. 已知随机变量~，且函数为偶函数，则 D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为 10. 如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B. 异面直线与所成的最大角为 C. 不存在点使得 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差不为0的等差数列，是其前项和，若，则______. 13. 已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 14. 已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，平面，平面平面， （1）证明：平面： （2）点为线段上一点（与不重合）. （i）若，求二面角的余弦值： （ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由. 17. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 18. 设为正项数列的前项和，满足. （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由： （3）若椭圆上点，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $