精品解析：安徽合肥市2026届高三下学期考前预测数学试题

2026年合肥市高三第三次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 4. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 7. 一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 10. 从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（ ） A. 2个球都是白球的概率为 B. 2个球都不是白球的概率为 C. 2个球不都是白球的概率为 D. 2个球恰好有一个球是白球的概率为 11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，且，则的最小值为 B. 若，且，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________. 13. 已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则__________． 14. 已知实数，满足，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 17. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. （1）若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； （2）设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 18. 在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足. （1）当时，证明：； （2）当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积； （3）动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处. （1）已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； （2）记第n秒末点M回到原点的概率为. （i）求，并利用公式求； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年合肥市高三第三次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 则． 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】在等差数列中，， 所以. 4. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，得，则 由是上一点，得，点，所以. 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变形，再由最小正周期公式求解即可. 【详解】由， 所以函数的最小正周期是， 故选：A． 6. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 7. 一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由木球浸入水中的体积等于水上升的体积列方程求解 【详解】设水上升的体积为，， 设木球浸入水中的体积为，，由列方程：，解得. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，然后结合选项可得答案. 【详解】因为，所以， 对于A，显然不是纯虚数，A不正确； 对于B，，对应的点在第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，所以和不是方程的根, D不正确. 故选：BC 10. 从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（ ） A. 2个球都是白球的概率为 B. 2个球都不是白球的概率为 C. 2个球不都是白球的概率为 D. 2个球恰好有一个球是白球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助相互独立事件概率公式、对立事件概率公式逐项计算即可得. 【详解】设事件表示从甲口袋内摸出1个白球，事件表示从乙口袋内摸出1个白球； 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 故D正确. 11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，且，则的最小值为 B. 若，且，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面平面，推导出为点的轨迹，可求出的最小值，可判断A选项；推导出平面，则点的轨迹为线段，可求出长的最小值，可判断B选项；过点作分别交、于点、，连接、、，推导出平面，可知点的轨迹为线段，当时，的长取最小值，可判断C选项；延长交线段于点，推导出平面平面，可知点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，结合“将军饮马”思想求出长的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点作交于点，过点作交于点，连接， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 当时，平面，则平面，故点的轨迹为线段， 因为，所以，则，同理可得， 又因为，，则是边长为的等边三角形， 当点为的中点时，，此时的长取最小值， 此时，A对； 对于B选项，如下图所示，连接、， 易知、都是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以，， 又因为、平面，，所以平面， 当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 由勾股定理可得，同理可得， 故当为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对； 对于C选项，过点作分别交、于点、，连接、、， 因为为正的中心，则，因为，则， 因为三棱锥为正四面体，则平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当时，则平面，所以，故点的轨迹为线段， 延长交于点，则为的中点，因为为正的中心，则， 因为，所以，故， 由余弦定理可得， 故，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 当时，的长取最小值，此时， 故长的最小值为，C错； 对于D选项，如下图所示： 延长交线段于点，则点为线段的中点， 因为、均为等边三角形，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内， 因为平面，平面，所以， 易知， ， 设点关于直线、的对称点分别为、， 由对称性可知，，， 所以 ， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由余弦定理可得， 故， 由对称性知，， 所以， 当且仅当、为线段分别与线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数的和的概念可得结果. 【详解】多项式的展开式的各二项式系数的和等于. 13. 已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立并结合韦达定理求得的表达式，根据题意解出p的值即可． 【详解】由题意知，直线AB斜率一定不为零，故设过点的直线方程为， 交点，，联立直线与抛物线方程可得， 整理得，由韦达定理得， ， 而， 所以，解得． 14. 已知实数，满足，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得，令，结合函数单调性可得，计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 即， 即； 令，则，. 又是上的单调递增函数，所以. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 有，即， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导得到切线斜率表达式,利用切点横坐标,代入导数得切线斜率等于2,求出,再把代入原函数,结合切线方程在处的函数值求出. （2）先写出解析式并求导,函数在区间单调递增转化为导函数在区间上恒大于等于0,分离参数后转化为小于等于新构造函数在区间上的最小值,再研究构造函数的单调性求出最小值,即可得到的取值范围. 【小问1详解】 已知，求导得. 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且. 代入计算：，. 故，. 【小问2详解】 由（1）得，则. 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，，求导得. 因为时，，所以，即在上单调递增. 因此. 故，即的取值范围为. 17. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. （1）若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； （2）设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）; （2）如图所示， 如图所示，不妨设，，，则， 则，，所以， 点和均在双曲线上，所以，， 解得：，， 所以 ，即：为定值3. 不妨设，，，则，则，， 所以， 点和均在双曲线上， 所以，，解得：，， 所以 ， 即为定值3. 【解析】 【分析】设出直线方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； 设出直线方程，利用点在双曲线上，找到等量关系，代入斜率乘积式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，由题可知：，，所以，所以，， 不妨设，则联立方程：，解得：，所以，， 则 ，所以 由弦长公式可得：， 点到直线距离为： 则. 【小问2详解】 略 18. 在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足. （1）当时，证明：； （2）当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积； （3）动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值. 【答案】（1）证明：当时，取的中点为N，连接， 由已知可知， ， 又因为 平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直； （2）首先确定球心的位置，再构造直角三角形，求外接球的半径，再求球的表面积； （3）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再代入二面角的向量公式求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中心分别为，连接， 由已知可知球心在线段上， 设，则， 所以， 所以，又因为时，，即， 故， 所以球的表面积； 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，则. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，由，得 化简得， 由和均为锐角，得. 设平面的法向量为， 由 得取，得， 故平面的一个法向量为. 设平面的法向量为. 得，取，得， 故平面的一个法向量为. 则 ， 令，则， 所以. 由函数单调递增， 所以当时，取最大值，最大值为. 19. 在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处. （1）已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； （2）记第n秒末点M回到原点的概率为. （i）求，并利用公式求； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的. 【答案】（1） （2）（i），（ii）由可知： ， 则， 所以， 令，则， 即函数在上单调递减， 所以，即，则， 所以，， 记为不超过x的最大整数， 则对任意的实数 ，当时，，即， 综上，当时，成立，所以点M是常返的. 【解析】 【分析】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，计算即可； （2）（i）分四个方向各移动一次、左右方向各移动两次、上下方向各移动两次三种情况求；设左右各移动次，上下各移动次，即可求出，再利用组合公式化简； （ii）利用公式化简得出，得出，构造函数，研究其单调性求出，即可得出，最后化简得出，取即可求证. 【小问1详解】 记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上， 由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种， 其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点这四种情况. 则， 故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为. 【小问2详解】 （i）点M在第4秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种， 左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种， 所以； 若点M在第2n秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等， 设左右各移动次，则上下各移动次， 所以 ， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $