2026年中考第二轮专题复习之填空题复习——19：《统计与概率》(题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

该初中数学中考复习讲义聚焦统计与概率填空题专题，覆盖三数、方差、频数频率、古典概型等中考核心考点，构建“题型特点-答题要点-避坑指南-真题训练”的系统复习框架，通过考点梳理和方法指导帮助学生突破基础难点。 亮点在于“易错点精准突破”和“情境化真题训练”，如针对中位数排序、放回不放回试验等高频错误设置避坑指南，结合抽奖、校园调查等生活情境培养数据意识和应用意识。30道真题分层训练配合即时反馈，助力学生高效提分，教师可据此把控复习节奏，提升备考针对性。

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 19. 统计与概率 本课时是全国中考数学填空题基础考点，是二轮复习中 "低门槛、高性价比、易提分" 的保底专题，贴合新课标相关核心素养的考查要求，结合配套 30 道真题。 一、题型特点 中考基础必考题型，单空为主，偶有双空，属于必得分板块。 考查范围覆盖统计核心概念与概率进阶应用：统计侧重复习三数、方差、频数频率及统计图信息提取；概率重点考查两步试验古典概型、频率估计概率、几何概率三大核心考点。 题目紧密结合生活实际情境（如抽奖、摸球、投篮、校园调查等），注重考查数据处理能力和基本逻辑推理能力。 常出现统计与概率综合题，如根据统计图数据计算对应事件概率，体现知识的关联性。 二、答题要点 （一）统计类填空答题要点 三数计算 算术平均数： 加权平均数：（为权重） 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，奇数个数据取中间数，偶数个数据取中间两数的平均值 众数：一组数据中出现次数最多的数据，众数可能有多个或不存在 数据波动特征 方差：，方差越小，数据波动越小，稳定性越强 极差：最大值 - 最小值，反映数据的整体变化范围 频数与频率 核心关系：频率 = 频数 ÷ 数据总数，频数 = 数据总数 × 频率 重要性质：所有组的频率之和为 1，所有组的频数之和等于数据总数 统计基础概念 总体：考察对象的全体；个体：组成总体的每一个考察对象 样本：从总体中抽取的一部分个体；样本容量：样本中个体的数目（不带单位） 扇形图圆心角：360°× 该部分所占百分比 （二）概率类填空答题要点 事件分类与概率取值 必然事件：一定发生，概率为 1；不可能事件：一定不发生，概率为 0 随机事件：可能发生也可能不发生，概率在 0 到 1 之间 古典概型概率计算 基本公式：（n 为所有等可能结果数，m 为事件 A 包含的结果数） 两步及以上试验：必须使用列表法或树状图法列举全部等可能结果 关键区分： 放回试验：每次试验的结果总数不变（如摸球后放回再摸） 不放回试验：每次试验的结果总数依次减少（如摸球后不放回再摸） 频率估计概率 核心原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率 应用：通过大量试验得到的频率可以估计事件发生的概率 几何概型概率计算 基本公式：P(事件)= 常见类型：转盘游戏、区域落点、线段上取点等。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 计算中位数时忘记先排序，直接取原始数据中间位置的数，这是最常见的错误。 混淆加权平均数的权重，误将权重当作数据直接相加计算平均数。 方差意义记反，错误认为 “方差越大，数据越稳定”。 放回与不放回试验区分不清，列举结果时总数统计错误，如 “不放回抽两张” 误算为 “放回抽两张”。 频率与概率概念混用，认为 “单次试验的频率就是概率”，忽略 “大量重复试验” 的前提条件。 几何概率计算时，分母误用局部区域的长度 / 面积，而非整体区域的长度 / 面积。 扇形图圆心角度数计算错误，忘记乘以 360°，或百分比计算错误。 求概率结果未化成最简分数，或用小数表示不符合答题规范（除非题目明确要求）。 统计概念混淆，如将 “总体” 误认为 “样本”，将 “个体” 误认为 “样本容量”。 列举等可能结果时出现重复或遗漏，导致概率计算偏差。 四、真题练习 1.（24-25·内蒙古模拟）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是______________（填“普查”或“抽样调查”）． 2.（24-25·广东模拟）双减政策下，为了解某学校七年级名学生的睡眠情况，抽查了其中名学生的睡眠时间进行统计，则本次抽样调查的样本容量是________   3.（25-26·河南月考）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为________． 4.（25-26·贵州模拟）在一个不透明的盒子中有个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是_________________． 5.（25-26·贵州模拟）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有约____________条．   6.（24-25·广西模拟）二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，则二维码中黑色部分的面积约是 _________．   7.（24-25·福建中考）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 听 说 读 写 最终成绩 甲 乙 由以上信息，可以判断，的大小关系是_____________．（填“”“”或“<”）   8.（25-26·广东模拟）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中名男生引体向上的成绩为：，，，，，，．这组数据的中位数是___________．   9.（25-26·陕西模拟）为了解学校英语口语考试情况，抽取名学生的口语成绩进行了统计，统计结果如下表所示，则这名学生英语口语成绩的众数是________． 口语成绩 人数   10.（24-25·河北模拟）如图是嘉淇某月号到号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的众数是_____________．   11.（24-25·陕西模拟）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这名学生的成绩的_________________.（填“平均数”“中位数”或“众数”）   12.（25-26·江苏模拟）在评选活动中，位评委的打分为：，，，，，，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则________ （填“”“”或“”号）．   13.（25-26·山东模拟）某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为．后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差_______________．   14.（25-26·全国模拟）从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为____________．   15.（25-26·江西月考）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为____________．   16.（25-26·辽宁模拟）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子的概率是_____________．   17.（25-26·江苏模拟）把一个如图尺寸的长方形沿虚线裁成个完全相同的长方形拼成右图所示的正方形，在右图所在区域任意抛一粒豆子，落在空白区域的概率是___________．   18.（25-26·全国模拟）如图，点是的重心，过点作直线，分别交边、于点、，现随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为____________．   19.（25-26·重庆模拟）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法________（填“公平”或“不公平”）．   20.（23-24·浙江中考）口袋中有个球（每个球除颜色外都相同），其中白球个，红球个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则应该等于____________． 21.（2026·湖北模拟）京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色． 美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好．文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，则她抽到脸谱是B、C的概率为________．   22.（25-26·贵州模拟）在如下电路图中，随机闭合开关，，中的两个，灯泡发亮的概率是________．   23.（25-26·山东模拟）如图，当随机闭合电路开关中的两个时，灯泡发光的概率为___________．   24.（24-25·广东模拟）在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，表示小灯泡，为保护电阻．若闭合开关，，中的任意两个，则小灯泡发光的概率为____________ 25.（24-25·湖北期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗棵，成活的大约有____________________棵．   26.（25-26·江苏月考）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是____________________（填“甲”或“乙”）．   27.（25-26·山东期末）已知甲、乙两名运动员次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差__________（填“”“”或“”）．   28.（25-26·广东期中）甲乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这天日平均气温的方差大小关系为_________（填或）．   29.（24-25·山东期中）下表记录了某校名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择____________. 队员 队员 队员 队员 平均数（秒） 方差（秒） 30.（24-25·山东模拟）某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是_____________（填“甲”或“乙”）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 19. 统计与概率 本课时是全国中考数学填空题基础考点，是二轮复习中 "低门槛、高性价比、易提分" 的保底专题，贴合新课标相关核心素养的考查要求，结合配套 30 道真题。 一、题型特点 中考基础必考题型，单空为主，偶有双空，属于必得分板块。 考查范围覆盖统计核心概念与概率进阶应用：统计侧重复习三数、方差、频数频率及统计图信息提取；概率重点考查两步试验古典概型、频率估计概率、几何概率三大核心考点。 题目紧密结合生活实际情境（如抽奖、摸球、投篮、校园调查等），注重考查数据处理能力和基本逻辑推理能力。 常出现统计与概率综合题，如根据统计图数据计算对应事件概率，体现知识的关联性。 二、答题要点 （一）统计类填空答题要点 三数计算 算术平均数： 加权平均数：（为权重） 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，奇数个数据取中间数，偶数个数据取中间两数的平均值 众数：一组数据中出现次数最多的数据，众数可能有多个或不存在 数据波动特征 方差：，方差越小，数据波动越小，稳定性越强 极差：最大值 - 最小值，反映数据的整体变化范围 频数与频率 核心关系：频率 = 频数 ÷ 数据总数，频数 = 数据总数 × 频率 重要性质：所有组的频率之和为 1，所有组的频数之和等于数据总数 统计基础概念 总体：考察对象的全体；个体：组成总体的每一个考察对象 样本：从总体中抽取的一部分个体；样本容量：样本中个体的数目（不带单位） 扇形图圆心角：360°× 该部分所占百分比 （二）概率类填空答题要点 事件分类与概率取值 必然事件：一定发生，概率为 1；不可能事件：一定不发生，概率为 0 随机事件：可能发生也可能不发生，概率在 0 到 1 之间 古典概型概率计算 基本公式：（n 为所有等可能结果数，m 为事件 A 包含的结果数） 两步及以上试验：必须使用列表法或树状图法列举全部等可能结果 关键区分： 放回试验：每次试验的结果总数不变（如摸球后放回再摸） 不放回试验：每次试验的结果总数依次减少（如摸球后不放回再摸） 频率估计概率 核心原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率 应用：通过大量试验得到的频率可以估计事件发生的概率 几何概型概率计算 基本公式：P(事件)= 常见类型：转盘游戏、区域落点、线段上取点等。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 计算中位数时忘记先排序，直接取原始数据中间位置的数，这是最常见的错误。 混淆加权平均数的权重，误将权重当作数据直接相加计算平均数。 方差意义记反，错误认为 “方差越大，数据越稳定”。 放回与不放回试验区分不清，列举结果时总数统计错误，如 “不放回抽两张” 误算为 “放回抽两张”。 频率与概率概念混用，认为 “单次试验的频率就是概率”，忽略 “大量重复试验” 的前提条件。 几何概率计算时，分母误用局部区域的长度 / 面积，而非整体区域的长度 / 面积。 扇形图圆心角度数计算错误，忘记乘以 360°，或百分比计算错误。 求概率结果未化成最简分数，或用小数表示不符合答题规范（除非题目明确要求）。 统计概念混淆，如将 “总体” 误认为 “样本”，将 “个体” 误认为 “样本容量”。 列举等可能结果时出现重复或遗漏，导致概率计算偏差。 四、真题练习 1.（24-25·内蒙古模拟）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________抽样调查______（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】 抽样调查 【解析】 根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【解答】 解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 2.（24-25·广东模拟）双减政策下，为了解某学校七年级名学生的睡眠情况，抽查了其中名学生的睡眠时间进行统计，则本次抽样调查的样本容量是___200_____ 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】   3.（25-26·河南月考）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为_________． 【答案】 【解析】 随机事件的概率＝事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【解答】 解：设正六边形边长为， 则灰色部分面积为， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为, 所以镖落在白色区域的概率 故答案为：   4.（25-26·贵州模拟）在一个不透明的盒子中有个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是________15_________． 【答案】 【解析】 本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【解答】 解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15 5.（25-26·贵州模拟）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有约_________1000____条． 【答案】 【解析】 设鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【解答】 解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 所以估计鱼塘中约有条鱼， 故答案为：1000   6.（24-25·广西模拟）二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，则二维码中黑色部分的面积约是 ____60_______． 【答案】 【解析】 先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可估计点落入黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【解答】 解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落入黑色部分的概率为， 估计黑色部分的总面积约为， 故答案为：60   7.（24-25·福建中考）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 听 说 读 写 最终成绩 甲 乙 由以上信息，可以判断，的大小关系是_____________．（填“”“”或“<”） 【答案】 【解析】 本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可． 【解答】 解：， ． ， ． ， ． 故答案为；．   8.（25-26·广东模拟）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中名男生引体向上的成绩为：，，，，，，．这组数据的中位数是____8__________． 【答案】 【解析】 本题主要考查中位数的定义，将这组数据从小到大排列，已知这组数据共有个数，根据中位数的概念：当为奇数时，位于中间的数即中位数求解即可． 【解答】 解：名男生引体向上的成绩从小到大排列为：，，，，，，， 位于最中间的数为第位， 则中位数是， 故答案为：   9.（25-26·陕西模拟）为了解学校英语口语考试情况，抽取名学生的口语成绩进行了统计，统计结果如下表所示，则这名学生英语口语成绩的众数是___26_______． 口语成绩 人数 【答案】 【解析】 本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数． 【解答】 解：解：由表格可知：这组数据出现的次数最多， 众数是， 故答案为：．   10.（24-25·河北模拟）如图是嘉淇某月号到号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的众数是_____分钟_________． 【答案】 分钟 【解析】 本题主要考查了众数的概念，解题的关键是熟练掌握众数的概念． 列出本组数据，找出出现次数最多的数，就是该组数据的众数． 【解答】 解：通过折线统计图可得，号到号用于体育锻炼的时间分别为： ， 出现的次数最多， 该组数据的众数为分钟， 故答案为：分钟．   11.（24-25·陕西模拟）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这名学生的成绩的_______中位数__________.（填“平均数”“中位数”或“众数”） 【答案】 中位数 【解析】 本题考查了中位数的定义，理解中位数的意义，解题的关键．根据题意可知第名的数据即为中位数，据此可解． 【解答】 解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这名学生成绩的中位数， 故答案为：中位数．   12.（25-26·江苏模拟）在评选活动中，位评委的打分为：，，，，，，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则__________ （填“”“”或“”号）． 【答案】 【解析】 本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断． 【解答】 解：由题意得，第一组数据的平均数为， ； 去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为， ， ， 故答案为：．   13.（25-26·山东模拟）某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为．后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差______8__________． 【答案】 【解析】 根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【解答】 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， 所得到的一组新数据的方差为； 故答案为：   14.（25-26·全国模拟）从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为____________． 【答案】 【解析】 本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【解答】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有种， 选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：．   15.（25-26·江西月考）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为______________． 【答案】 【解析】 本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【解答】 解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 共有种可能结果，其中使天平恢复平衡的有种， 天平恢复平衡的概率为． 故答案为：．   16.（25-26·辽宁模拟）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子的概率是______________． 【答案】 【解析】 本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【解答】 解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为，其中回到回到格子的可能结果数为， 则回到格子的概率为； 故答案为：．   17.（25-26·江苏模拟）把一个如图尺寸的长方形沿虚线裁成个完全相同的长方形拼成右图所示的正方形，在右图所在区域任意抛一粒豆子，落在空白区域的概率是____________． 【答案】 【解析】 本题考查几何概率，求出中间空白正方形的面积和大正方形的面积即可． 【解答】 解：大正方形的边长为，大正方形的面积为，中间空白小正方形的边长为，面积为， 所以中间小正方形的面积占大正方形的， 因此任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率为， 故答案为：．   18.（25-26·全国模拟）如图，点是的重心，过点作直线，分别交边、于点、，现随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为______________． 【答案】 【解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形重心的性质以及几何概率等知识，熟练掌握相似三角形的判定性质、掌握求解的方法是关键； 连接并延长交于，如图，根据重心的性质可得，然后根据相似三角形的判定和性质可得，再根据几何概率的意义即可求解． 【解答】 解：连接并延长交于，如图， 是的重心， ， ， ，， ， ， 随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为； 故答案为：．   19.（25-26·重庆模拟）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法___不公平_____（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 不公平 【解析】 此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平. 【解答】 解： 红球有2x个，白球有3x个， 这个办法不公平. 故答案为：不公平.   20.（23-24·浙江中考）口袋中有个球（每个球除颜色外都相同），其中白球个，红球个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则应该等于____2_________． 【答案】 【解析】 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【解答】 解：由题意：要想游戏公平，则双方取胜的概率应相等， 是放回试验， 红球与蓝球的个数应相等，也为个， 列方程可得：， 解得， 故答案为：2 21.（2026·湖北模拟）京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色． 美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好．文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，则她抽到脸谱是B、C的概率为____ ____． 【答案】 【解析】 利用列举法求概率即可. 【解答】 解：由题意，同时随机抽取两张脸谱共有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6种等可能的结果，其中抽到脸谱是B、C的结果只有1种，故她抽到脸谱是B、C的概率为   22.（25-26·贵州模拟）在如下电路图中，随机闭合开关，，中的两个，灯泡发亮的概率是__ ______． 【答案】 【解析】 根据随机闭合开关 中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，即可求解. 【解答】 解：随机闭合开关 中的两个，可以闭合 ； ； 三种情况，其中闭合 或 时，灯泡可以发光， 能够让灯泡发亮的概率是 .   23.（25-26·山东模拟）如图，当随机闭合电路开关中的两个时，灯泡发光的概率为___________． 【答案】 【解析】 本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．根据随机闭合开关中的两个，有 种方法，其中有 种能够让灯泡发光，即可求解． 【解答】 解：因为随机闭合开关中的两个，有种方法，分别是，，， 其中有种，和能够让灯泡发光， 所以（灯泡发光）． 故答案为：．   24.（24-25·广东模拟）在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，表示小灯泡，为保护电阻．若闭合开关，，中的任意两个，则小灯泡发光的概率为_____________ 【答案】 ； 【解析】 利用列表法列出开关所有的闭合情况，再找出闭合任意两个开关时，小灯泡发光的情况，根据概率公式解题即可． 【解答】 解：列表法如图所示： 如上表所示，共有种情况，其中必须闭合，小灯泡才会发光，则有两种情况． 所以小灯泡发光的概率为． 故答案为． 25.（24-25·湖北期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗棵，成活的大约有__________1600__________棵． 【答案】 【解析】 本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【解答】 解：由图可得这种树苗成活的频率约为， 这种树苗成活的概率为， 这种树苗移植棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600   26.（25-26·江苏月考）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是________甲____________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 甲 【解析】 本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【解答】 解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲．   27.（25-26·山东期末）已知甲、乙两名运动员次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差__________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 本题主要考查了方差与数据集中性的关系，方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【解答】 解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， 甲和乙的平均成绩相同， ， 故答案为：．   28.（25-26·广东期中）甲乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这天日平均气温的方差大小关系为_________（填或）． 【答案】 【解析】 根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【解答】 解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； 乙地的日平均气温的方差小， 故答案为：   29.（24-25·山东期中）下表记录了某校名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择____队员________. 队员 队员 队员 队员 平均数（秒） 方差（秒） 【答案】 队员 【解析】 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数和方差的意义求解可得． 【解答】 解：在名队员中，队员和队员的平均成绩少， 队员和队员的平均成绩好， 又队员成绩的方差小于队员成绩的方差， 队员的成绩好，发挥稳定， 故答案为：队员2 30.（24-25·山东模拟）某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是_____乙_________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 乙 【解析】 本题考查了方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量．方差越大波动越大，则稳定性越差；方差越小波动越小，则越稳定，解题的关键是熟练掌握方差是意义． 分别求出甲、乙两位同学的方差，根据方差的性质判断即可． 【解答】 解：甲的平均数为（分） 乙的平均数为（分） 甲的方差为， 乙的方差为， 乙的数据波动较小，发挥比较稳定，应考虑乙同学取参赛， 故答案为：乙． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $