精品解析：2026年江苏省常州市第二十四中学中考数学一模试卷

九年级一模数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各数中，与互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年春节小长假前8天，无锡硕放机场进出港客流量约为257000人次．257000这个数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. –2 B. 2 C. −4 D. −4或–10 6. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于（　　） A. 1 B. C. D. 7. 如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 平行线之间的距离处处相等 8. 周末，父子二人在一段笔直的跑道上限时90秒练习往返跑，跑道两端分别为A、B，跑道全长120米，父亲从A端出发，速度4米/秒；儿子从B端出发，速度2米/秒．两人同时出发，往返跑，不计转向时间．下图中，纵坐标表示两人之间的距离S（米），横坐标表示时间t（秒）．下列四个图象中，能正确表示S随t变化趋势的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分） 9. 4的算术平方根是_____． 10. 因式分解：_______________． 11. 计算=_____． 12. 若，则x______y（填：、、）． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 14. 在函数y= (m -3)x -2(m是常数)中， y随着x的增大而增大，则m的取值范围是______． 15. 如图，AB∥CD，CE交AB于点E，EF平分∠BEC，交CD于F．若∠ECF＝50°，则∠CFE＝______度． 16. 某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 17. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 18. 如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分） 19. 解下列方程组和不等式组： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：．其中． 21. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 八年级 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 22. 淹城春秋乐园、天目湖山水园、中华恐龙园、嬉戏谷是常州知名的四大文旅景区，它们历史底蕴深厚、文旅特色鲜明，深受游客喜爱．其中淹城春秋乐园、嬉戏谷位于武进区，中华恐龙园位于新北区，天目湖山水园位于溧阳市．如图，小沈将上述四个景区的图片制成编号分别为A、B、C、D的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的景区在新北区的概率为_____； （2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中的景区都在武进区的概率． 23. 常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为宫梳名篦，深受广大游客的喜爱．某商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖100把．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多卖10把．要使每周总利润为3000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价降多少元？ 24. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 如图，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）连接，当的面积为时，求一次函数的表达式． 26. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 27. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点′，若点′在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． （1）如图1，若点． ①在点、中，为关于点的旋垂点是_____； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，求点横坐标的取值范围； （2）如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，直接写出的取值范围． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点． （1）填空：_____； （2）若点是该二次函数图象上一点（不与重合），且，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，平移后的抛物线上有两点，分别为、．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级一模数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各数中，与互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是与它符号相反的数，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数的是， 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题可知， 解得：． 3. 2026年春节小长假前8天，无锡硕放机场进出港客流量约为257000人次．257000这个数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，需满足，为整数，的值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解： ． 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 5. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. –2 B. 2 C. −4 D. −4或–10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将a代入已知方程，即可求值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴把a代入得：， ， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值的应用，用整体思想把看成一个整体是解题的关键． 6. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的正切值，先根据网格判断是等腰直角三角形，得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得出． 【详解】解：由图可知，，， ，即， ， ， 故选A． 7. 如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 平行线之间的距离处处相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题需要判断机器人选择垂直路线上岸所蕴含的数学原理，关键是区分“垂线段最短”与其他几何公理的适用场景，结合题目中“点到直线的最短路径”情境进行判断． 【详解】解：机器人从点到河岸（直线）的路线，是点到河岸的垂线段． 根据几何原理：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短． 因此机器人选择路线蕴含的数学原理是垂线段最短． 8. 周末，父子二人在一段笔直的跑道上限时90秒练习往返跑，跑道两端分别为A、B，跑道全长120米，父亲从A端出发，速度4米/秒；儿子从B端出发，速度2米/秒．两人同时出发，往返跑，不计转向时间．下图中，纵坐标表示两人之间的距离S（米），横坐标表示时间t（秒）．下列四个图象中，能正确表示S随t变化趋势的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算父子两人的相遇时间、到达端点的时间及对应距离，结合运动过程中距离的变化特征，逐一排除不符合条件的图象，确定正确选项． 【详解】解：∵跑道全长120米，父亲速度为4米/秒，儿子速度为2米/秒，两人相向而行， ∴第一次相遇时间为：秒， 此时米，排除选项D． ∵父亲到达B端所需时间为：秒， 此时儿子走了：米， 两人距离为：米， ∵父亲从B端返回A端所需时间为30秒， ∴父亲回到A端的时间为：秒， ∵儿子从B端到达A端所需时间为：秒， ∴时，两人同时到达A端，此时米，排除选项C． ∵时，父亲从A端再次出发，儿子从A端向B端出发，两人同向而行，父亲速度更快，两人距离会逐渐增大，选项B中距离出现下降，不符合此特征，排除选项B． 综上，只有选项A符合所有阶段的距离变化规律． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分） 9. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 10. 因式分解：_______________． 【答案】(x+3y)(x-3y) 【解析】 【详解】根据平方差公式可求得，原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y) 11. 计算=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 12. 若，则x______y（填：、、）． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合扇形面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的侧面积 （）． 14. 在函数y= (m -3)x -2(m是常数)中， y随着x的增大而增大，则m的取值范围是______． 【答案】m>3 【解析】 【详解】试题解析：因为一次函数 中， 随 的增大而增大，所以 ，解得 . 故本题的正确答案为. 点睛：在一次函数 中，当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小. 15. 如图，AB∥CD，CE交AB于点E，EF平分∠BEC，交CD于F．若∠ECF＝50°，则∠CFE＝______度． 【答案】65 【解析】 【分析】根据AB∥CD，可得∠AEC=∠ECF=50°，∠CFE=∠BEF，从而得到∠BEC=180°-∠AEC=130°，再由EF平分∠BEC，可得，即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ECF＝50°， ∴∠AEC=∠ECF=50°，∠CFE=∠BEF， ∴∠BEC=180°-∠AEC=130°， ∵EF平分∠BEC， ∴， ∴∠CFE=∠BEF=65°． 故答案为：65 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，领补角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质，领补角的性质是解题的关键． 16. 某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，正多边形的中心角的计算，等边对等角，确定是关键，根据题意得到正多边形每个内角，对应外角的度数，由此得到圆心角的度数，由此即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角为， ∴对应的外角的度数为， 如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∴总共需要10个正五边形木片． 故答案为：10 ． 17. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 18. 如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，取的中点，连接，．证明 ，得出为中点．由可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出 ，即点在以为圆心，为直径的圆上运动．当，，三点共线时，取得最大值，最大值为．通过勾股定理和三角函数（或特殊角性质）求出和的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，取的中点，连接，，过点作于点 ， ∵四边形是矩形， ， ∴，，， ∴， ∵动点，分别从点，同时出发，以相同的速度运动， ∴， 在和中，   ， ∴， ∴， ∴是的中点， 在中，，， 由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴ ， 是的中点， ∴ ，点在以为圆心，为半径的圆上运动，  ，当，，三点共线时，取最大值， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 在 中，，， ∴ ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴的最大值为 ． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分） 19. 解下列方程组和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法求解二元一次方程组即可； （2）分别求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得： ，因此方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， 因此不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 21. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 八年级 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：七年级打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 22. 淹城春秋乐园、天目湖山水园、中华恐龙园、嬉戏谷是常州知名的四大文旅景区，它们历史底蕴深厚、文旅特色鲜明，深受游客喜爱．其中淹城春秋乐园、嬉戏谷位于武进区，中华恐龙园位于新北区，天目湖山水园位于溧阳市．如图，小沈将上述四个景区的图片制成编号分别为A、B、C、D的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的景区在新北区的概率为_____； （2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中的景区都在武进区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片中的景区在新北区的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片中的景区都在武进区的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片中的景区在新北区的结果有1种， ∴卡片中的景区在新北区的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A / B / C / D / 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片中的景区都在武进区的结果有：，，共2种， ∴抽到的两张卡片中的景区都在武进区的概率为． 23. 常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为宫梳名篦，深受广大游客的喜爱．某商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖100把．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多卖10把．要使每周总利润为3000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价降多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题是一元二次方程的利润实际应用问题，解题思路是：设降价金额为元，根据单把利润销售量总利润列方程，求解后结合不亏本和尽可能给顾客优惠的条件确定最终解． 【详解】解：设该商店应将梳篦的单价降元．根据题意列方程： ， 整理得： 解得 由不亏本的条件得， 解得， 结合尽可能给顾客优惠，选择降价更多的解， ∴， 答：该商店应将梳篦的单价降10元． 24. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： （1）利用证明即可； （2）利用三角形的内角和定理和全等三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）连接，当的面积为时，求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，求出的值，即可得到点的坐标． （2）设点的坐标为，，先利用三角形面积公式求出点的坐标，再将、两点坐标代入一次函数解析式，列方程组求解，即可得到一次函数的表达式． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为，， ， ∵的面积为， ，即， 解得， ∴点的坐标为． 将、代入，得 ， 把代入， 解得， ∴一次函数的表达式为． 26. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）①见详解；②见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点′，若点′在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． （1）如图1，若点． ①在点、中，为关于点的旋垂点是_____； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，求点横坐标的取值范围； （2）如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）① ， ② （2） 【解析】 【分析】（1）①设与轴的正半轴交点为点，过点作于点，连接，，利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，结合新定义解答即可； ②过点作于点，轴于点，设点的旋转对应点为，连接，，根据点为关于点的旋垂点，点在内部或上，设，根据定义，建立不等式解答即可； （2）先确定直线恒过定点；再构造以为中心、将顺时针旋转得到的辅助圆，利用切线的性质求出直线与相切时的值，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：①设与轴的正半轴交点为点，过点作于点，连接，，如图， ∵的半径为， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴ ， ∵点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ ， ∵点在的内部， ∴点为关于点的旋垂点； 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点在上， ∴点 为关于点的旋垂点； 故答案为：， ； ②过点作于点，轴于点，设点的旋转对应点为，连接，，如图， ∵点为关于点的旋垂点，点在内部或上， 设， 则要想使取最大值，； ∵点， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ， 在 和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴点一定在轴上，且在上， ∴ ， ∴ ， ∵的半径为， ∴ ， 解得； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴当时， ， ∴过定点， 如图，取点，连接，以为圆心，为半径作，过点作直线的切线、，切点分别为、，连接、、，过点作于点，当直线过点时，取最小值，当直线过点时，取最大值， ∵，，， ∴，， ∴， ∴绕点顺时针旋转度得，即在上， ∵，， ∴轴，， ∵切于， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴点的纵坐标为，， ∴， 同理可得， 当直线过点时，得 ， 解得； 当直线过点时，得 ， 解得， ∴的取值范围为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点． （1）填空：_____； （2）若点是该二次函数图象上一点（不与重合），且，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，平移后的抛物线上有两点，分别为、．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为、、 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式，直接求解的值． （2）先求出点、的坐标，计算的面积，再根据，分在轴上方、下方两种情况列方程，求解点的坐标． （3）先求出射线的平移方向与距离，确定平移后的抛物线解析式，再结合二次函数的对称性与单调性，分析的条件，求的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数解析式为 令，则， ， ，， ∴， 令，则， ∴， ∴， 设，则， ， ∴或（时，不与重合，需排除的情况）． 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， ∴点的坐标为、、 【小问3详解】 解：∵、， ∴，点向右平移个单位，向上平移个单位得 ∴原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，即向右平移个单位，向上平移个单位． ∵原抛物线， ∴平移后解析式为，即， 当时，， 当时，， 解得，， 抛物线对称轴为，开口向上， 关于对称轴的对称点为， 表示到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即， ∴或， 又，即， 综合得的取值范围是：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $