四川内江市威远中学2025-2026学年高一下学期期中学情调研数学试题

**基本信息** 高一数学期中学情调研卷，涵盖复数、向量、统计、三角函数、解三角形等核心知识，题型分层设计，解答题结合人脸识别技术等真实情境，考查数学建模与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量线性表示、百分位数、三角函数图象变换|基础概念辨析，注重数学抽象| |多选题|3/18|复数几何意义、向量数量积、解三角形性质|多角度考查知识关联，培养推理意识| |填空题|3/15|向量垂直、解三角形测量、面积与余弦定理综合|实际问题转化，体现应用意识| |解答题|5/77|向量运算、三角函数性质、统计图表分析、解三角形综合、人脸识别距离计算|以科技情境设计探究题，融合数学建模与运算能力，突出数据分析与逻辑推理|

威远中学校2025级高一下期期中学情调研 数学试卷 1、 单选题(本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分) 1．复数，则（   ） A．-3 B．2 C． D．4 2．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（    ）    A. B． C． D． 3．在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 4． 把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．设，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，角、、的对边分别为、、，△ABC的面积记为，且，则=（ ） A． B． C． D． 7．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 8．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且， 则取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分) 9.已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．在复平面内对应的点在第一象限 B．的虚部为 C． D． 10.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 11.在△ABC中，角、、的对边分别为、、，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若△ABC是直角三角形，则 D．若△ABC是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 三、填空题(本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分) 12．向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m 14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为，已知且， 若△ABC面积为4，则 。 四、解答题(本题共计 5 个小题，共计 77 分) 15.(本题 13 分) 已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 16.(本题 15 分) 已知函数，向量，． (1)求函数的周期及其单调递增区间； (2)当，求函数的值域． 17.(本题 15 分) 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)分别求出成绩落在与中的学生人数； (3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 18.(本题 17 分) 已知△ABC的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求△ABC的面积； (3)若求的最大值. 19.(本题 17 分) 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，若，求的值； (3)已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 威远中学校2025级高一下期期中学情调研 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C A B B D B AD BCD BCD 1． 因为, 2．B【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以，所以.故选：B. 3．C将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 4．把函数图象向左平移个单位长度，得， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得.故选：A 5．B【详解】，，，， ，，． 6.化为，所以，从而， 7．D【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确；对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确；对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 8．B如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为.故选：B. 法二：取MN的中点用基底法 9.由得， 对于A，则在复平面内对应的点为，在第一象限，A正确； 对于B，的虚部为，B错误；对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：AD 10． BCD因为，所以，又，所以， 故A错误；因为，所以与的夹角为，故B正确； ，所以，所以C正确； 在上的投影向量， 所以D正确.故选：BCD 11.【详解】对于A选项，由及余弦定理得，即，A错误； 对于B选项，由及正弦定理得， 即，所以， 即，所以，B正确； 对于C选项，由上知，所以、均不为直角，进而， 则，代入，得. 因为为锐角，所以所以，，所以，C正确； 对于D选项，过作，垂足为点，则. 又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又， 当时，取最小值为，D正确.故选：BCD. 12．因为向量 ，且 ，所以.故答案为：6. 13.在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 14.因为. 所以 所以 所以.由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：②①②可得：，即. 所以 14. （1）， ••••••••4分 ； ••••••••6分 （2） ， ， ••••••••10分 因为，所以 ，即.•••••••13分 16．（1） ， •••••••4分 则其最小正周期为， •••••••6分 令，解得， 则其单调递增区间. 未写成区间扣一分 •••••••10分 （3） 因为，则， •••••••12分 则其值域为，即. •••••••15分 15. （1）由题意得， •••••••2分 解得. •••••••3分 （2）设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， 由题意得， •••••••5分 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， . •••••• 7分 （4） 由题意得众数为75分； •••••••9分 由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15， 落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1， 则平均数为， •••••••12分 设为78分以上的频率，为78分以上的人数， 则 ，故78分以上的人数为47人. •••••••15分 18．（1）因为向量，且，所以.•••••••3分 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. •••••••5分 （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以, •••••••8分 解得或（舍去）. 所以的面积. •••••••10分 （3） 由余弦定理可知，，即， 则， •••••••12分 因为，所以， 则，当时等号成立， •••••••15分 则，且，所以，所以的最大值为. •••••••17分 19．（1）因为，所以曼哈顿距离为：， •••••••2分 余弦相似度为： ，所以余弦距离为. •••••••4分 （2）因为，所以， •••••••6分 ， •••••••8分 由解得， 所以. •••••••10分 （3）因为，， 所以. •••••••11分 因为，所以.又， 所以， •••••••13分 由知，所以. 所以， 所以.所以. •••••••15分 因为， ，所以. •••••••16分 所以. •••••••17分 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $