专题04 因式分解（期末真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 专题04因式分解期末试题汇编，覆盖8大高频考点，精选陕西、四川等地期末真题，注重基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|40题|含判断因式分解（1题）、求参数（6题）、公因式（11题）、公式法（23题）及应用（36题）|精选多地期末真题，基础题（如1题概念判断）与综合题（如31题整体思想）结合，融入图形拼接（38题）等情境应用|

专题04 因式分解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 答案 C D C D C C A C C C 题号 13 16 17 18 21 22 26 27 36 37 答案 D C D C B C D D D D 题号 38 答案 A 1．C 【分析】本题考查了分解因式的定义，掌握分解因式的定义是解题的关键． 根据分解因式的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合． 【详解】解：根据分解因式的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，可知， A、选项左边为乘积形式，右边为差的形式，是整式乘法，不是分解因式，不符合题目要求； B、选项左边为单项式，不是多项式，不是分解因式，不符合题目要求； C、选项左边为多项式，右边为整式乘积，是分解因式，符合题目要求； D、选项右边含有分式，不是整式乘积，不是分解因式，不符合题目要求． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 4．D 【分析】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、，含有分式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、，不是积的形式，故该选项不符合题意； C、，左边不是多项式，故该选项不符合题意；     D、，是因式分解，故该选项符合题意； 故选D． 5．C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】A．等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．是因式分解，故本选项符合题意； D．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解： ， 多项式可因式分解为， ，， ， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 9． 【分析】根据多项式乘以多项式的法则和等式右边展开，根据同类项即可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解与多项式乘法的关系，正确计算出等式右边展开的结果是解题的关键． 10．(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 11．C 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是n， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 13．D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 14． 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了公因式，理解公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义解题即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： ． 16．C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解； B、右边为部分提取公因式后仍含加减运算，未形成乘积形式，不符合因式分解； C、，符合因式分解； D、，不符合因式分解； 故选：C 17．D 【分析】本题考查提公因式法分解因式，直接提公因式即可，注意分解因式要彻底． 【详解】解： ． 故选：D． 18．C 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 19． 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 利用提公因式法，将各项的公因式 提出，将各项剩下的商式写在一起，作为因式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为： 21．B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 22．C 【分析】判断每个选项是否符合平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个数的平方差，即）是解题的关键． 【详解】解：不是两个数的平方差形式．故A项错误． ，是完全平方公式，不是平方差公式．故B项错误． ，符合平方差公式形式．故C项正确． ，不是两个数的平方差形式．故D项错误． 故选：C． 23． 【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】原式 ． 24． 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 25． 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再把，，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 26．D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 27．D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 28． 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键；原多项式根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 29． 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．(1)③ (2)有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据“完全平方式”的特点逐个判断即可； （2）利用完全平方公式把原代数式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． 31．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和题目中的整体思想是解题的关键． （1）令，代入原式，用完全平方公式化简，再将m还原，即可求解． （2），代入原式，用完全平方公式化简，将n还原，再用完全平方公式化简，即可求解． 【详解】（1）解：令， 则 ， 将代入，得原式． （2）解：令， 则 ， 将代入得， 原式 ． 32．(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）把原式变形后先提取公因式，再利用平方差公式进行解答即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 33．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（1）8；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值， 对于（1），先提出公因式，再整体代入求值； 对于（2），先提出公因式，再根据完全平方公式分解. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）原式. 35．（1）（2） 【分析】（1）先观察多项式各项是否存在公因式，提取公因式后再看是否能用公式继续分解． （2）观察式子特点，发现式子中两项都含有，可利用提取公因式法将提取出来，然后对括号内式子使用平方差公式进行计算． 本题主要考查了因式分解（提取公因式法和公式法）以及利用因式分解进行计算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 36．D 【分析】本题考查了因式分解的应用，先将进行因式分解，可得，进一步即可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 37．D 【分析】本题考查了因式分解的应用．先运用提公因式法，再运用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：∵ ， ∴结果呈现的密码信息可能是：美丽宣汉． 故选：D． 38．A 【分析】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图①的面积为，图②的面积为， 则， ∴可排除选项B； 故选：A． 39． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 40．(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 8大高频考点概览 考点01判断是否是因式分解 考点02已知因式分解的结果求参数 考点03公因式 考点04 提公因式法分解因式 考点05平方差公式分解因式 考点06完全平方公式分解因式 考点07综合提公因式和公式法分解因式 考点08因式分解的应用 ( 地 城 考点01 判断是否是因式分解 ) 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的定义，掌握分解因式的定义是解题的关键． 根据分解因式的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合． 【详解】解：根据分解因式的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，可知， A、选项左边为乘积形式，右边为差的形式，是整式乘法，不是分解因式，不符合题目要求； B、选项左边为单项式，不是多项式，不是分解因式，不符合题目要求； C、选项左边为多项式，右边为整式乘积，是分解因式，符合题目要求； D、选项右边含有分式，不是整式乘积，不是分解因式，不符合题目要求． 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、，含有分式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、，不是积的形式，故该选项不符合题意； C、，左边不是多项式，故该选项不符合题意；     D、，是因式分解，故该选项符合题意； 故选D． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】A．等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．是因式分解，故本选项符合题意； D．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意． 故选：C． ( 地 城 考点02 已知因式分解的结果求参数 ) 6．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 7．（24-25八年级下·广西贺州·期末）已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解： ， 多项式可因式分解为， ，， ， 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 9．（22-23八年级下·河北保定·期末）已知，则________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则和等式右边展开，根据同类项即可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解与多项式乘法的关系，正确计算出等式右边展开的结果是解题的关键． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． ( 地 城 考点0 3 公因式 ) 11．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是n， 故选：C． 12．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）多项式的公因式是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式的公因式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，理解公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义解题即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： ． ( 地 城 考点0 4 提公因式法分解因式 ) 16．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解； B、右边为部分提取公因式后仍含加减运算，未形成乘积形式，不符合因式分解； C、，符合因式分解； D、，不符合因式分解； 故选：C 17．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查提公因式法分解因式，直接提公因式即可，注意分解因式要彻底． 【详解】解： ． 故选：D． 18．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 19．（24-25八年级下·广东梅州·期末）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 利用提公因式法，将各项的公因式 提出，将各项剩下的商式写在一起，作为因式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为： ( 地 城 考点0 5 平方差公式分解因式 ) 21．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 22．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断每个选项是否符合平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个数的平方差，即）是解题的关键． 【详解】解：不是两个数的平方差形式．故A项错误． ，是完全平方公式，不是平方差公式．故B项错误． ，符合平方差公式形式．故C项正确． ，不是两个数的平方差形式．故D项错误． 故选：C． 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式：__________． 【答案】 【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】原式 ． 24．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 25．（24-25八年级下·广东清远·期末）若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再把，，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． ( 地 城 考点0 6 完全平方公式分解因式 ) 26．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 27．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 28．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键；原多项式根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 29．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则___． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2)有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据“完全平方式”的特点逐个判断即可； （2）利用完全平方公式把原代数式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． ( 地 城 考点0 7 综合提公因式和公式法分解因式 ) 31．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：____________； (2)因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和题目中的整体思想是解题的关键． （1）令，代入原式，用完全平方公式化简，再将m还原，即可求解． （2），代入原式，用完全平方公式化简，将n还原，再用完全平方公式化简，即可求解． 【详解】（1）解：令， 则 ， 将代入，得原式． （2）解：令， 则 ， 将代入得， 原式 ． 32．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）把原式变形后先提取公因式，再利用平方差公式进行解答即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 33．（24-25八年级下·山西临汾·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25八年级下·四川成都·期末）（1）若，求的值； （2）分解因式：． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值， 对于（1），先提出公因式，再整体代入求值； 对于（2），先提出公因式，再根据完全平方公式分解. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）原式. 35．（24-25八年级下·河南郑州·期末）（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先观察多项式各项是否存在公因式，提取公因式后再看是否能用公式继续分解． （2）观察式子特点，发现式子中两项都含有，可利用提取公因式法将提取出来，然后对括号内式子使用平方差公式进行计算． 本题主要考查了因式分解（提取公因式法和公式法）以及利用因式分解进行计算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 ( 地 城 考点0 8 因式分解的应用 ) 36．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知的三边长分别为，，，且满足，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，先将进行因式分解，可得，进一步即可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 37．（24-25八年级下·四川达州·期末）小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用．先运用提公因式法，再运用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：∵ ， ∴结果呈现的密码信息可能是：美丽宣汉． 故选：D． 38．（24-25八年级下·广东深圳·期末）将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图①的面积为，图②的面积为， 则， ∴可排除选项B； 故选：A． 39．（24-25八年级下·四川达州·期末）若，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 40．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 8大高频考点概览 考点01判断是否是因式分解 考点02已知因式分解的结果求参数 考点03公因式 考点04 提公因式法分解因式 考点05平方差公式分解因式 考点06完全平方公式分解因式 考点07综合提公因式和公式法分解因式 考点08因式分解的应用 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点02 已知因式分解的结果求参数 ) 6．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 7．（24-25八年级下·广西贺州·期末）已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 9．（22-23八年级下·河北保定·期末）已知，则________． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． ( 地 城 考点0 3 公因式 ) 11．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 12．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）多项式的公因式是____________． 15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式的公因式是_______． ( 地 城 考点0 4 提公因式法分解因式 ) 16．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·广东梅州·期末）分解因式：______． 20．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知，，则代数式的值是______． ( 地 城 考点0 5 平方差公式分解因式 ) 21．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式：__________． 24．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分解因式：． 25．（24-25八年级下·广东清远·期末）若，，则_____． ( 地 城 考点0 6 完全平方公式分解因式 ) 26．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 28．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）因式分解：______． 29．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则___． 30．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． ( 地 城 考点0 7 综合提公因式和公式法分解因式 ) 31．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：____________； (2)因式分解． 32．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 33．（24-25八年级下·山西临汾·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 34．（24-25八年级下·四川成都·期末）（1）若，求的值； （2）分解因式：． 35．（24-25八年级下·河南郑州·期末）（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． ( 地 城 考点0 8 因式分解的应用 ) 36．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知的三边长分别为，，，且满足，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 37．（24-25八年级下·四川达州·期末）小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉 38．（24-25八年级下·广东深圳·期末）将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·四川达州·期末）若，且，则的值为_______． 40．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $