专题02 不等式与不等式组（期末真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组9大高频考点，汇编山东、广东、陕西等地期末真题，以隧道限高、航天卫星轨道等真实情境设计问题，注重知识应用与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|不等式性质、解集求解、函数与不等式综合|结合限高标志、天平称重等情境考查概念辨析| |填空|约10题|列不等式、含参数不等式组|以足球联赛积分、卫星轨道高度设置问题| |解答|约15题|实际问题、综合应用|奶茶原料配置（考点04）、阶梯水费计算（考点09）等题综合考查建模与推理能力|

专题02 不等式与不等式组 9大高频考点概览 考点01不等式及其基本性质 考点02求一元一次不等式的解集 考点03列一元一次不等式 考点04用一元一次不等式的解决实际问题 考点05一元一次不等式与一次函数 考点06求不等式组的解集 考点07由一元一次不等式组的解集求参数 考点08由不等式组解集的情况求参数 考点09不等式组的实际问题 1．（24-25八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）已知，则________（填“”“”或“”） ( 地 城 考点02 求一元一次不等式的解集 ) 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·吉林·期末）二次根式有意义时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是______ 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式：． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期末）解不等式：． ( 地 城 考点0 3 列一元一次不等式 ) 11．（24-25八年级下·四川成都·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，表示车辆高度不超过，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“的倍与的和是正数”用不等式表示为：__________． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为，请根据天平列不等式：__________． 15．（24-25八年级下·福建三明·期末）我国航天事业发展迅速，某次太空探索任务中需要发射一颗卫星，为了避免大气阻力影响，卫星离地球表面的轨道高度（单位：公里）不低于200公里，用不等式表示为________． ( 地 城 考点0 4 用一元一次不等式解决实际问题 ) 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）旬邑土蜂蜜是原生态蜂蜜，具有润燥解毒功效，味道浓郁且营养丰富，是滋补佳品．某超市购进旬邑土蜂蜜每瓶40元，出售时的标价是每瓶60元．为了减少库存，超市决定打折出售，但要保证每瓶的利润不低于，则每瓶最多打（   ） A．六五折 B．七折 C．七五折 D．八折 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某超市购进咸味粽和甜味粽共盒，已知咸味粽每盒利润为元，甜味粽每盒利润为元．若购进的粽子全部销售完，所得总利润不低于元，则最多能购进咸味粽（    ）． A．盒 B．盒 C．盒 D．盒 18．（24-25八年级下·山东滨州·期末）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为800元，标价为1000元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 19．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）暑假期间，某校计划采购学生课桌椅．已知某品牌学生课桌椅每套成本为240元，厂家以每套320元的价格出售，经过多轮价格谈判，厂家决定以利润率不低于20%的价格降价出售，则采购该品牌课桌椅每套最多节约资金______元． 20．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． ( 地 城 考点0 5 一元一次不等式与一次函数 ) 21．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 22．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    24．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是______． 25．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 ( 地 城 考点0 6 求不等式组的解集 ) 26．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·全国·期末）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·河南郑州·期末）解不等式组：的解为______． 29．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． ( 地 城 考点0 7 由一元一次不等式的解集求参数 ) 31．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 32．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 33．（24-25八年级下·江西吉安·期末）若不等式组的解集是，且，则的取值范围是__________． 34．（24-25八年级下·福建漳州·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是______． 35．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． ( 地 城 考点0 8 由不等式组解集的情况求参数 ) 36．（24-25八年级下·河北保定·期末）若不等式组无解，则“”处的数字可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（24-25八年级下·四川眉山·期末）若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 39．（25-26八年级下·山东·期末）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 40．（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． ( 地 城 考点0 9 不等式组实际问题 ) 41．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是__________． 43．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 44．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 45．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组 题号 1 2 3 4 6 7 11 12 16 17 答案 A B C D D D C B D A 题号 21 22 26 27 31 32 36 37 41 答案 C D C B A B D A A 1．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式性质逐项求解判断即可． 【详解】∵， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，，故D正确． 故选：D． 5． 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 6．D 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 又∵ 2025是正数，不等号两边同除以正数，不等号方向不变， ∴可得． 7．D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得不等式，解不等式可求x的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 8．且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴ 且 故答案为：且． 9． 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 10． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴． 11．C 【分析】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故C正确． 故选：C． 12．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是正确理解题意． 设该球队前场比赛中胜了场，由负场，可知平了场，根据积分超过了分，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 故选：． 13． 【分析】先分别表示出的倍”与的和”，再根据“是正数”这一条件列出不等式．本题主要考查了列一元一次不等式，熟练掌握用数学式子表示数量关系是解题的关键． 【详解】解：“的倍与的和是正数”用不等式表示为：． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查列不等式，根据图示，乒乓球的总质量大于砝码的质量，列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了不等式的定义，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式即可． 【详解】解：用不等式表示为：． 故答案为：． 16．D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设每瓶打x折，根据利润＝售价－进价，结合“保证每瓶的利润不低于”即可列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：设每瓶打x折，根据题意，得 ， 解得， 答：每瓶最多打八折． 故选：D 17．A 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是列出不等式． 设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒，根据总利润不低于元建立不等式，求解的最大值． 【详解】解：设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒， 可列不等式为：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进咸味粽盒． 故选：A． 18． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设商品的折扣为折，根据利润率不低于建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：设商品的折扣为折， 由题意得：， 解得， 所以最低折扣是折， 故答案为：． 19．32 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，找出不等关系并列出不等式是解题的关键． 根据利润率不低于20%建立不等式，求解即可． 【详解】解：设采购该品牌课桌椅每套元， 根据题意，得， 解得：， ∴采购该品牌课桌椅每套最少价格为288元， （元） 故答案为：32． 20．(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，再根据甲乙两种奶茶蛋白质含量大于等于4200单位列出不等式，求出解集即可； （2）根据甲乙两种原料的费用和小于等于72元列出不等式，再结合（1）中的解集可得答案． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，由题意得 ， 解得， ∴． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是； （2）解：由题意得， 解得． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是． 21．C 【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 22．D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 23． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 24． 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 25．(1)一次函数的解析式为，图象见解析 (2)①2② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，然后画出函数的图象即可； （2）①把点代入一次函数的解析式即可求得； ②根据A点的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． 26．C 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知点所在的象限求参数，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意可知点在第一象限，然后根据第一象限点的坐标特征列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第四象限， ∴点在第一象限， ∴． 解得：， ∴a的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 27．B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集在数轴上表示，熟悉掌握不等式组的运算方法是解题的关键． 求出不等式组的解集后在数轴上表示即可． 【详解】解：解得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：B． 28． 【分析】本题考查解一元一次不等式组．正确的求出每一个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再找到它们的公共部分，即可得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 29．，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 故此不等式组的解集在数轴上表示为： 30．，整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为． 31．A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 32．B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据数轴上表示的不等式组的解集确定的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 33．/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀和不等式组的解集，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 34． 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求出参数的取值范围，先求出不等式的解集为，结合题意得出整数解为、、，从而即可得出a的取值范围． 【详解】解：解得：， ∵关于x的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为、、， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 35． 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 36．D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．设“□”处的数字为a，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】解：设“□”处的数字为a， 解，得 解，得． ∵不等式组无解， ∴， 解得： 因此，“□”处的数字需满足 ，选项中符合条件的是 D． 故选D． 37．A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解法和增根的定义进一步确定的值即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 由于不等式组有解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 又分式方程的解为有非负数解， ， 即， 又分式方程的增根是， ， 解得， 综上所述，且， 即或或或或， 符合条件的所有整数的值的和为． 故选：A ． 38． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 39． 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有正整数解．首先求解分式方程，得到参数的可能取值；再根据不等式组无解的条件筛选的值；最后计算符合条件的整数的和． 【详解】解：分式方程， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 为正整数， 是的正因数（，，，，，）， ，即， ，解得， 的取值为，，，，， 取值为，，，，； 解不等式得，， 不等式组无解， ， 取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是． 故答案为：． 40．2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 41．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 42．/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据水是否溢出的情况列出不等式组． 根据5个玻璃球放入水未满，列出；根据6个玻璃球放入水满溢出，列出；解不等式组，得出V的取值范围． 【详解】放入5个时水未满，即，解得； 放入6个时水满溢出，即，解得． ∴V的取值范围为， 故答案为：． 43．(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【详解】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 44．(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 45．(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组 9大高频考点概览 考点01不等式及其基本性质 考点02求一元一次不等式的解集 考点03列一元一次不等式 考点04用一元一次不等式的解决实际问题 考点05一元一次不等式与一次函数 考点06求不等式组的解集 考点07由一元一次不等式组的解集求参数 考点08由不等式组解集的情况求参数 考点09不等式组的实际问题 ( 地 城 考点01 不等式及其基本性质 ) 1．（24-25八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式性质逐项求解判断即可． 【详解】∵， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，，故D正确． 故选：D． 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）已知，则________（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． ( 地 城 考点02 求一元一次不等式的解集 ) 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 又∵ 2025是正数，不等号两边同除以正数，不等号方向不变， ∴可得． 7．（24-25八年级下·吉林·期末）二次根式有意义时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得不等式，解不等式可求x的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 8．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是______ 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴ 且 故答案为：且． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴． ( 地 城 考点0 3 列一元一次不等式 ) 11．（24-25八年级下·四川成都·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，表示车辆高度不超过，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故C正确． 故选：C． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是正确理解题意． 设该球队前场比赛中胜了场，由负场，可知平了场，根据积分超过了分，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 故选：． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“的倍与的和是正数”用不等式表示为：__________． 【答案】 【分析】先分别表示出的倍”与的和”，再根据“是正数”这一条件列出不等式．本题主要考查了列一元一次不等式，熟练掌握用数学式子表示数量关系是解题的关键． 【详解】解：“的倍与的和是正数”用不等式表示为：． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为，请根据天平列不等式：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查列不等式，根据图示，乒乓球的总质量大于砝码的质量，列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·福建三明·期末）我国航天事业发展迅速，某次太空探索任务中需要发射一颗卫星，为了避免大气阻力影响，卫星离地球表面的轨道高度（单位：公里）不低于200公里，用不等式表示为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式即可． 【详解】解：用不等式表示为：． 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 用一元一次不等式解决实际问题 ) 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）旬邑土蜂蜜是原生态蜂蜜，具有润燥解毒功效，味道浓郁且营养丰富，是滋补佳品．某超市购进旬邑土蜂蜜每瓶40元，出售时的标价是每瓶60元．为了减少库存，超市决定打折出售，但要保证每瓶的利润不低于，则每瓶最多打（   ） A．六五折 B．七折 C．七五折 D．八折 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设每瓶打x折，根据利润＝售价－进价，结合“保证每瓶的利润不低于”即可列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：设每瓶打x折，根据题意，得 ， 解得， 答：每瓶最多打八折． 故选：D 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某超市购进咸味粽和甜味粽共盒，已知咸味粽每盒利润为元，甜味粽每盒利润为元．若购进的粽子全部销售完，所得总利润不低于元，则最多能购进咸味粽（    ）． A．盒 B．盒 C．盒 D．盒 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是列出不等式． 设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒，根据总利润不低于元建立不等式，求解的最大值． 【详解】解：设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒， 可列不等式为：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进咸味粽盒． 故选：A． 18．（24-25八年级下·山东滨州·期末）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为800元，标价为1000元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设商品的折扣为折，根据利润率不低于建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：设商品的折扣为折， 由题意得：， 解得， 所以最低折扣是折， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）暑假期间，某校计划采购学生课桌椅．已知某品牌学生课桌椅每套成本为240元，厂家以每套320元的价格出售，经过多轮价格谈判，厂家决定以利润率不低于20%的价格降价出售，则采购该品牌课桌椅每套最多节约资金______元． 【答案】32 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，找出不等关系并列出不等式是解题的关键． 根据利润率不低于20%建立不等式，求解即可． 【详解】解：设采购该品牌课桌椅每套元， 根据题意，得， 解得：， ∴采购该品牌课桌椅每套最少价格为288元， （元） 故答案为：32． 20．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，再根据甲乙两种奶茶蛋白质含量大于等于4200单位列出不等式，求出解集即可； （2）根据甲乙两种原料的费用和小于等于72元列出不等式，再结合（1）中的解集可得答案． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，由题意得 ， 解得， ∴． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是； （2）解：由题意得， 解得． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是． ( 地 城 考点0 5 一元一次不等式与一次函数 ) 21．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 22．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 23．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)一次函数的解析式为，图象见解析 (2)①2② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，然后画出函数的图象即可； （2）①把点代入一次函数的解析式即可求得； ②根据A点的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． ( 地 城 考点0 6 求不等式组的解集 ) 26．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知点所在的象限求参数，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意可知点在第一象限，然后根据第一象限点的坐标特征列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第四象限， ∴点在第一象限， ∴． 解得：， ∴a的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 27．（24-25八年级下·全国·期末）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集在数轴上表示，熟悉掌握不等式组的运算方法是解题的关键． 求出不等式组的解集后在数轴上表示即可． 【详解】解：解得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：B． 28．（24-25八年级下·河南郑州·期末）解不等式组：的解为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．正确的求出每一个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再找到它们的公共部分，即可得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 29．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 故此不等式组的解集在数轴上表示为： 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为． ( 地 城 考点0 7 由一元一次不等式的解集求参数 ) 31．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 32．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据数轴上表示的不等式组的解集确定的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 33．（24-25八年级下·江西吉安·期末）若不等式组的解集是，且，则的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀和不等式组的解集，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 34．（24-25八年级下·福建漳州·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求出参数的取值范围，先求出不等式的解集为，结合题意得出整数解为、、，从而即可得出a的取值范围． 【详解】解：解得：， ∵关于x的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为、、， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． ( 地 城 考点0 8 由不等式组解集的情况求参数 ) 36．（24-25八年级下·河北保定·期末）若不等式组无解，则“”处的数字可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．设“□”处的数字为a，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】解：设“□”处的数字为a， 解，得 解，得． ∵不等式组无解， ∴， 解得： 因此，“□”处的数字需满足 ，选项中符合条件的是 D． 故选D． 37．（24-25八年级下·四川眉山·期末）若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解法和增根的定义进一步确定的值即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 由于不等式组有解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 又分式方程的解为有非负数解， ， 即， 又分式方程的增根是， ， 解得， 综上所述，且， 即或或或或， 符合条件的所有整数的值的和为． 故选：A ． 38．（25-26八年级下·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 39．（25-26八年级下·山东·期末）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有正整数解．首先求解分式方程，得到参数的可能取值；再根据不等式组无解的条件筛选的值；最后计算符合条件的整数的和． 【详解】解：分式方程， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 为正整数， 是的正因数（，，，，，）， ，即， ，解得， 的取值为，，，，， 取值为，，，，； 解不等式得，， 不等式组无解， ， 取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是． 故答案为：． 40．（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． ( 地 城 考点0 9 不等式组实际问题 ) 41．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 42．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据水是否溢出的情况列出不等式组． 根据5个玻璃球放入水未满，列出；根据6个玻璃球放入水满溢出，列出；解不等式组，得出V的取值范围． 【详解】放入5个时水未满，即，解得； 放入6个时水满溢出，即，解得． ∴V的取值范围为， 故答案为：． 43．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【详解】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 44．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 45．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $