专题01 三角形的证明及其应用（期末真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 初中数学三角形证明专题期末试题汇编，覆盖12个高频考点，精选多地区期末真题，题型含选择、填空、解答题共60题，注重基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|45题|等腰三角形性质（山东济宁题）、多边形内角和（湖南娄底题）|结合古建筑（河北廊坊题）、工程场景（贵州毕节题）| |解答题|15题|全等与HL综合（江苏南京题）、角平分线判定（福建南平题）|梯度设计，从计算到证明，呼应期末考命题趋势|

专题01 三角形的证明及其应用 12大高频考点概览 考点01三角形的内角和与外角和的有关计算 考点02多边形的内角和与外角和问题 考点03利用等腰三角形的性质求解 考点04利用等边三角形的性质求解 考点05等腰三角形的性质与判定 考点06等边三角形的性质与判定 考点07含30°的直角三角形的应用 考点08全等的性质与HL的综合 考点09线段垂直平分线的性质 考点10线段垂直平分线的判定 考点11角平分线的性质定理 考点12角平分线的判定定理 ( 地 城 考点01 三角形的内角和与外角和的有关计算 ) 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求得的度数即可． 【详解】解：如图：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质；根据三角形的内角和定理求出，再结合三角形的外角的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）如图，直线，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．利用平行线的性质求出∠4的度数，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴． 故选C． 4．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和定理，根据，进而根据四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，点D和点E分别是和上一点，，，．若，则____________ 【答案】/96度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ( 地 城 考点02 多边形的内角和与外角和问题 ) 6．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，n边形内角和为 利用多边形内角和公式求解． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵内角和为， ∴， ∴． 故选：C． 8．（24-25八年级下·山西临汾·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 【答案】 【分析】本题考查多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解决问题的关键． 直接由多边形内角和公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：由多边形内角和公式可得，图中正六边形的内角和为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗．八边形的内角和度数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握公式是本题解题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：正八边形的内角和为：． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在五边形中，平分，平分．若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先求出五边形内角和，进而得到，再利用角平分线定义得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：五边形内角和为， ，，， ， 平分，平分， ， ， ． ( 地 城 考点0 3 利用等腰三角形的性质求解 ) 11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 12．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．利用等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，即可判断， 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合， 故选：C． 13．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长______尺． 【答案】9 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”．首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，尺， （尺）， ∴（尺）． 故答案为：9． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点D在射线上，则的长为______________． 【答案】1或或4 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 分三种情况讨论：①如图1，当时，；②如图2，当时得；③如图3当时．设，在中，由勾股定理得，求解即可． 【详解】解：在中，， 当时，如图1， ∵， ∴， ∴； 当时，如图2， 则； 当时，如图3， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述的长为1或或4． 故答案为：1或或4． 15．（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知：如图，是的角平分线，，求的面积． 【答案】cm2 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，，然后再利用勾股定理求出，进而得出的长，可得三角形面积． 【详解】解：是的角平分线， ，， 在中，，， ， ， ． ( 地 城 考点0 4 利用等边三角形的性质求解 ) 16．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 17．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由，得出，可判断；证明得，证明得，可推出四边形的形状，可判断；由平行四边形的性质得，可判断；最后求出，可判断；可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论正确； ∴，故结论错误； 过作于，如图所示， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故结论错误； ∴正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 18．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 过点G作，垂足为H，先证是等边三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式，结合等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点G作，垂足为H， ，， ∴， 是等边三角形， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， 的面积， 故答案为： 19．（24-25八年级下·广东清远·期末）如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，…进而发现规律是解题关键． 20．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若C是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． ( 地 城 考点0 5 等腰三角形的性质与判定 ) 21．（24-25八年级下·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 22．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，同角的余角相等， 先根据同角的余角相等解答①；再根据“角角边”证明，解答②即可； 然后根据等边对等角及平行线的性质说明，可解答③；最后根据，说明④即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴；则①正确； ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴；则②正确； ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴平分；则③正确； ∵， ∴. 在中，， ∴， 所以④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，和是一副直角三角板，其中，，延长，交于点，延长至，使，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． 过点作，垂足为点，连接，求出，根据角的性质得到，可知，证明，根据等角对等边得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据角的和差计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为点，连接， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】/25度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三角形三线合一，得出，所以， 当的值最小时， 即过点作交于点， 此时的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可． 【详解】解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，由余角性质和等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． ( 地 城 考点0 6 等边三角形的性质与判定 ) 26．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】过点E作于点Q，先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点Q，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 27．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，与交于点，且，，一个微型机器人由点按的顺序循环移动，当微型机器人移动了时，它停在了（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，规律探究，先证明，是等边三角形，可得，结合微型机器人每移动循环一次，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∵一个微型机器人由点按…的顺序循环移动， ∴每移动循环一次， 而， ∴当微型机器人移动了时，它停在了点处． 故选：C． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，，，，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质．连接，先判定是等边三角形，是直角三角形，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，如图． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：4． 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 7 含30°的直角三角形的应用 ) 31．（24-25八年级下·河南郑州·期末）将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，角的运算，含30度角的直角三角形；根据题意得到，，利用勾股定理得到，再结合即可求出． 【详解】解：标记点C，点D，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 32．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 34．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，平分，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．先证明是等边三角形，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·全国·期末）如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得，． (1)若，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，问与（1）中的长度相比，此时的长度有何变化？（参考数据：，） 【答案】(1)的长为 (2)的长度变长了，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理直接求出结果即可； （2）过点C作于点G，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：的长为． （2）解：的长度变长了，理由如下： 如图，过点C作于点G， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的长度变长了. ( 地 城 考点0 8 全等的性质与HL综合问题 ) 36．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 37．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，，，，相交于点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由，，则垂直平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 40．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． ( 地 城 考点0 9 线段垂直平分线的性质 ) 41．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 42．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理与垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据勾股定理在中求出，再由垂直平分线的性质得到，进而即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：B 43．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线分别交、于点D、E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故答案为：8． 45．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． ( 地 城 考点 10 线段垂直平分线的判定 ) 46．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 47．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 48．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点．根据题意得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分．， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 49．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边三角形，可得，进一步解答即可. 【详解】证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 50．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可求； 利用可证，根据全等三角形的性质可知，又因为平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． ( 地 城 考点 11 角平分线的性质定理 ) 51．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 52．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的周长公式以及等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 53．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，平分，， ， 则点D到的距离为5， 故答案为：5． 54．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是_____． 【答案】84 【分析】先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 如图，过E作于N，延长，过E作于H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ， 故答案为：84． 【点睛】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 55．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在一个城市的特定区域内，有两条相交的主要街道和，该街道内有两个大型商场和．为了提高火灾应急响应能力，保障区域内的生命和财产安全，市政府计划在内建设一个消防站，消防站的位置需要满足以下条件： ①到两条主要街道、的距离相等；②到、两个大型商场的距离相等． 请利用尺规作图法确定消防站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．分别作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． ( 地 城 考点 12 角平分线的判定定理 ) 56．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【详解】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 57．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 【详解】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 58．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 59．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 60．（24-25八年级下·福建南平·期末）已知，在平面直角坐标系中，，，，点D在线段上（不与端点重合），点F在y轴正半轴上，且，直线，交于点E． (1)当点D的坐标为时，求点E的坐标； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）分别求出直线，直线的函数解析式，联立求解即可； （2）先证明，进而根据得到即可求证； （3）过点O作，垂足为N，过点O作，垂足为H，根据得到，可知平分，即可求出的度数． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入得 解得直线： 直线的函数解析式为，把，代入得 解得 得直线： 联立与      解得 点E坐标为 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵ ∴ ∴； （3）解：过点O作，垂足为N，过点O作，垂足为H， ∵ ∴． ∴平分 ∴ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用 题号 1 2 3 4 6 7 11 12 16 17 答案 A A C A A C B C A B 题号 21 22 26 27 31 32 36 37 41 42 答案 C C B C B D A B B B 题号 46 47 51 52 56 57 58 答案 B C B C A C B 1．A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求得的度数即可． 【详解】解：如图：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 故选A． 2．A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质；根据三角形的内角和定理求出，再结合三角形的外角的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．利用平行线的性质求出∠4的度数，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴． 故选C． 4．A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和定理，根据，进而根据四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 5．/96度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．A 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，n边形内角和为 利用多边形内角和公式求解． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵内角和为， ∴， ∴． 故选：C． 8． 【分析】本题考查多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解决问题的关键． 直接由多边形内角和公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：由多边形内角和公式可得，图中正六边形的内角和为， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握公式是本题解题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：正八边形的内角和为：． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了多边形内角和，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先求出五边形内角和，进而得到，再利用角平分线定义得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：五边形内角和为， ，，， ， 平分，平分， ， ， ． 11．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 12．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．利用等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，即可判断， 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合， 故选：C． 13．9 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”．首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，尺， （尺）， ∴（尺）． 故答案为：9． 14．1或或4 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 分三种情况讨论：①如图1，当时，；②如图2，当时得；③如图3当时．设，在中，由勾股定理得，求解即可． 【详解】解：在中，， 当时，如图1， ∵， ∴， ∴； 当时，如图2， 则； 当时，如图3， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述的长为1或或4． 故答案为：1或或4． 15．cm2 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，，然后再利用勾股定理求出，进而得出的长，可得三角形面积． 【详解】解：是的角平分线， ，， 在中，，， ， ， ． 16．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 17．B 【分析】由，得出，可判断；证明得，证明得，可推出四边形的形状，可判断；由平行四边形的性质得，可判断；最后求出，可判断；可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论正确； ∴，故结论错误； 过作于，如图所示， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故结论错误； ∴正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 18． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 过点G作，垂足为H，先证是等边三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式，结合等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点G作，垂足为H， ，， ∴， 是等边三角形， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， 的面积， 故答案为： 19． 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，…进而发现规律是解题关键． 20．(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 21．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 22．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，同角的余角相等， 先根据同角的余角相等解答①；再根据“角角边”证明，解答②即可； 然后根据等边对等角及平行线的性质说明，可解答③；最后根据，说明④即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴；则①正确； ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴；则②正确； ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴平分；则③正确； ∵， ∴. 在中，， ∴， 所以④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 23． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． 过点作，垂足为点，连接，求出，根据角的性质得到，可知，证明，根据等角对等边得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据角的和差计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为点，连接， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 24．/25度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三角形三线合一，得出，所以， 当的值最小时， 即过点作交于点， 此时的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可． 【详解】解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 25．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，由余角性质和等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 26．B 【分析】过点E作于点Q，先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点Q，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 27．C 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，规律探究，先证明，是等边三角形，可得，结合微型机器人每移动循环一次，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∵一个微型机器人由点按…的顺序循环移动， ∴每移动循环一次， 而， ∴当微型机器人移动了时，它停在了点处． 故选：C． 28． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 29．4 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质．连接，先判定是等边三角形，是直角三角形，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，如图． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：4． 30．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．B 【分析】本题主要考查勾股定理，角的运算，含30度角的直角三角形；根据题意得到，，利用勾股定理得到，再结合即可求出． 【详解】解：标记点C，点D，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 32．D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 33． 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 34． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．先证明是等边三角形，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 35．(1)的长为 (2)的长度变长了，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理直接求出结果即可； （2）过点C作于点G，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：的长为． （2）解：的长度变长了，理由如下： 如图，过点C作于点G， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的长度变长了. 36．A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 37．B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 38． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由，，则垂直平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 39．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 40．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． 41．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 42．B 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理与垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据勾股定理在中求出，再由垂直平分线的性质得到，进而即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：B 43． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 44．8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故答案为：8． 45．(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 46．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 47．C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 48．1 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点．根据题意得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分．， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 49．证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边三角形，可得，进一步解答即可. 【详解】证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 50．(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可求； 利用可证，根据全等三角形的性质可知，又因为平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． 51．B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 52．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的周长公式以及等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 53．5 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，平分，， ， 则点D到的距离为5， 故答案为：5． 54．84 【分析】先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 如图，过E作于N，延长，过E作于H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ， 故答案为：84． 【点睛】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 55．见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．分别作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． 56．A 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【详解】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 57．C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 【详解】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 58．B 【分析】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 59．3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 60．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）分别求出直线，直线的函数解析式，联立求解即可； （2）先证明，进而根据得到即可求证； （3）过点O作，垂足为N，过点O作，垂足为H，根据得到，可知平分，即可求出的度数． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入得 解得直线： 直线的函数解析式为，把，代入得 解得 得直线： 联立与      解得 点E坐标为 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵ ∴ ∴； （3）解：过点O作，垂足为N，过点O作，垂足为H， ∵ ∴． ∴平分 ∴ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用 12大高频考点概览 考点01三角形的内角和与外角和的有关计算 考点02多边形的内角和与外角和问题 考点03利用等腰三角形的性质求解 考点04利用等边三角形的性质求解 考点05等腰三角形的性质与判定 考点06等边三角形的性质与判定 考点07含30°的直角三角形的应用 考点08全等的性质与HL的综合 考点09线段垂直平分线的性质 考点10线段垂直平分线的判定 考点11角平分线的性质定理 考点12角平分线的判定定理 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）如图，直线，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，的度数为(    ) A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，点D和点E分别是和上一点，，，．若，则____________ ( 地 城 考点02 多边形的内角和与外角和问题 ) 6．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．（24-25八年级下·山西临汾·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 9．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗．八边形的内角和度数是_______． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在五边形中，平分，平分．若，，，求的度数． ( 地 城 考点0 3 利用等腰三角形的性质求解 ) 11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 13．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长______尺． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点D在射线上，则的长为______________． 15．（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知：如图，是的角平分线，，求的面积． ( 地 城 考点0 4 利用等边三角形的性质求解 ) 16．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为______． 19．（24-25八年级下·广东清远·期末）如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______． 20．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若C是的中点，，求的长． ( 地 城 考点0 5 等腰三角形的性质与判定 ) 21．（24-25八年级下·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 22．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，和是一副直角三角板，其中，，延长，交于点，延长至，使，那么的度数是______． 24．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 25．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． ( 地 城 考点0 6 等边三角形的性质与判定 ) 26．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 27．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，与交于点，且，，一个微型机器人由点按的顺序循环移动，当微型机器人移动了时，它停在了（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为______． 29．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，，，，则_____． 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． ( 地 城 考点0 7 含30°的直角三角形的应用 ) 31．（24-25八年级下·河南郑州·期末）将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 34．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，平分，，则的长为______． 35．（24-25八年级下·全国·期末）如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得，． (1)若，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，问与（1）中的长度相比，此时的长度有何变化？（参考数据：，） ( 地 城 考点0 8 全等的性质与HL综合问题 ) 36．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 37．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，，，，相交于点，若，则______． 39．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 40．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． ( 地 城 考点0 9 线段垂直平分线的性质 ) 41．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 43．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为______． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线分别交、于点D、E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为________． 45．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． ( 地 城 考点 10 线段垂直平分线的判定 ) 46．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 47．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 48．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作交的延长线于点．若，，则的长为______． 49．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 50．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． ( 地 城 考点 11 角平分线的性质定理 ) 51．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 53．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_____ ． 54．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是_____． 55．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在一个城市的特定区域内，有两条相交的主要街道和，该街道内有两个大型商场和．为了提高火灾应急响应能力，保障区域内的生命和财产安全，市政府计划在内建设一个消防站，消防站的位置需要满足以下条件： ①到两条主要街道、的距离相等；②到、两个大型商场的距离相等． 请利用尺规作图法确定消防站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） ( 地 城 考点 12 角平分线的判定定理 ) 56．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 60．（24-25八年级下·福建南平·期末）已知，在平面直角坐标系中，，，，点D在线段上（不与端点重合），点F在y轴正半轴上，且，直线，交于点E． (1)当点D的坐标为时，求点E的坐标； (2)求证：； (3)求的度数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $