专题01 任意角、三角函数的定义、同角三角函数基本关系与诱导公式（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 聚焦三角函数基础概念与公式应用，以10类题型系统覆盖角的概念、定义、同角关系及诱导公式，逻辑递进且重点突出。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |终边相同的角|5题|考查终边位置关系、集合表示|从角的基本概念切入，建立几何直观| |n分角与n倍角的象限|4题|判断分角、倍角象限|深化角的推广，发展空间观念| |扇形计算与最值|9题|含弧长、面积及实际应用|结合几何直观，培养数学应用意识| |三角函数定义|6题|符号判断、坐标求值|连接几何与代数，奠定三角函数基础| |同角关系应用|15题|知一求二、齐次式、sinα±cosα关系|强化推理能力，构建公式应用体系| |诱导公式与互余互补|8题|化简求值、条件判断|提升数学思维的逻辑性与严谨性|

专题01 任意角、三角函数的定义、同角三角函数基本关系与诱导公式 题型1 终边相同的角 题型6 sina、cosa、tana知一求二 题型2 n分角与n倍角的象限 题型7 正、余弦齐次式的应用 题型3 扇形的弧长与面积计算（重点） 题型8 sinacosa、sina±cosa知一求二（重点） 题型4 扇形的弧长与面积最值问题 题型9 利用诱导公式化简求值（重点） 题型5 利用三角函数的定义求值及符号判断 题型10 利用互余互补关系求值 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 终边相同的角 1．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 2．（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D正确， 3．若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 4．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 5．如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是__________. 【答案】 【详解】因为终边落在y轴上的角为， 终边落在图中直线上的角为； ， 即终边在直线上的角为，， 所以终边落在阴影部分的角为， 故答案为： 题型2 n分角与n倍角的象限 6．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 7．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 8．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【答案】BD 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，所以D正确． 故选：BD． 9．如果角是第三象限角，角终边所在的位置是_____. 【答案】第一、三、四象限 【详解】因为， 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上，的终边在第一、三、四象限. 故答案为：第一、三、四象限. 题型3 扇形的弧长与面积计算 10．某扇形的圆心角为3，半径为2，则该扇形的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】由扇形圆心角，半径，得该扇形的面积为. 11．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该扇形的半径为，则有弧长公式，其中是圆心角的弧度数， 由于，即， 扇形的周长由两条半径和一段弧长组成，即， 已知，因此，解得，故C正确. 12．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R． 由题意得，解得R＝2，θ＝3， 即扇形的圆心角的弧度数是3． 故选：C． 13．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所在圆半径为，所在圆半径为，由，得， 又，则， 所以该梅花砖雕的平面图形的面积为（）. 14．如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________．    【答案】 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 题型4 扇形的弧长与面积最值问题 15．已知扇形的周长为，则当扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数为（     ） A．15 B．2 C．30 D．4 【答案】B 【详解】设扇形半径为，则弧长为， 面积为， ∴时，，此时圆心角的弧度数为． 故选：B． 16．为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 17．一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)时，扇形的周长最小，最小值为16 【分析】 【详解】（1）正五边形的一个内角为， 当时，. （2）由题意知，所以， 周长， 当且仅当，即时等号成立， 因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16. 18．如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【分析】 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米.    （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 19．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 题型5 利用三角函数的定义求值及符号判断 20．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 21．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 22．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 23．已知角的终边经过点，且，则实数______． 【答案】 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 24．已知角的终边经过点，且，则的值是________． 【答案】或 【详解】∵，∴点P到原点的距离. 又，∴ ∵ ，∴.∴ 当时，点坐标为 由三角函数的定义，有 ， ∴ 当时，点坐标为 由三角函数的定义，有 ， ∴ 故答案为: 或 【点睛】本题考查三角函数的定义，求出点横坐标是解题关键，属于基础题. 25．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【答案】（1）若，则；若，则．（2） 【分析】 【详解】（1）， ①若，则，角是第二象限角， 所以， 所以． ②若，则，角是第四象限角， 所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （2）由题意知， 由三角函数定义得． 又． ，，. 所以． 题型6 sina、cosa、tana知一求二 26．若则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，则， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以． 27．已知点是角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是角的终边上一点，且， 所以点坐标为，所以，， 则， 故选：D. 28．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以，则. 故选：C. 29．（多选）若，且，则可能是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】BC 【详解】由，得， 所以，故是第二、三象限角． 故选：BC 30．已知，，则实数k的值为_________. 【答案】0或1 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 题型7 正、余弦齐次式的应用 31．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 32．若向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量，，且，则，故. . 33．如果角的终边在直线上，则______ 【答案】 【详解】因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 故答案为: 34．已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）； （2）； （3）. 35．（1）已知，求的值. （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）已知， 所以. （2）证明：. 题型8 sinacosa、sina±cosa知一求二 36．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 则，所以， 又因为，所以， 则，即， 联立，解得， 所以. 37．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将两边平方可得，解得. 因为，所以，故，所以， 因为，所以. 所以. 38．已知，，则________，________． 【答案】 / / 【详解】由，平方得， 即，所以， 又因为，所以，， 则，所以； 由，， 则，， 故. 39．已知，且，则__________. 【答案】 【详解】， 由，则，故， 故. 40．已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 【答案】 【详解】，是关于x的方程的两个根， ，解得或， 且， ，， ，，， 或，， . 41．若，则__________， __________. 【答案】 / / 【详解】由题设， 所以，则， 由. 故答案为：， 题型9 利用诱导公式化简求值 42．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 43．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由角的终边经过点， 则，， 整理得，， 解得或（舍去）， 所以m的值为． 44．已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】存在使得， 则， 则，充分性成立， 取，满足， 此时无论取何值，，，必要性不成立. 45．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 46．已知点在角的终边上，则角（用表示）的一个值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，， 结合选项及诱导公式，角的一个值为. 47．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 题型10 利用互余互补关系求值 48．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为. 49．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 因为，所以. 50．已知，则的值是______. 【答案】 【详解】解：，则. 51．已知 (1)化简; (2)若为第四象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由 ， 所以. （2）因为，所以， 因为为第四象限角，所以, 所以， 又，所以， 所以， 所以. $专题01 任意角、三角函数的定义、同角三角函数基本关系与诱导公式 题型1 终边相同的角 题型6 sina、cosa、tana知一求二 题型2 n分角与n倍角的象限 题型7 正、余弦齐次式的应用 题型3 扇形的弧长与面积计算（重点） 题型8 sinacosa、sina±cosa知一求二（重点） 题型4 扇形的弧长与面积最值问题 题型9 利用诱导公式化简求值（重点） 题型5 利用三角函数的定义求值及符号判断 题型10 利用互余互补关系求值 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 终边相同的角 1．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 3．若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 4．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 5．如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是__________. 题型2 n分角与n倍角的象限 6．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 7．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 8．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 9．如果角是第三象限角，角终边所在的位置是_____. 题型3 扇形的弧长与面积计算 10．某扇形的圆心角为3，半径为2，则该扇形的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 11．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 12．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 14．如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________．    题型4 扇形的弧长与面积最值问题 15．已知扇形的周长为，则当扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数为（     ） A．15 B．2 C．30 D．4 16．为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 17．一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 18．如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 19．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 题型5 利用三角函数的定义求值及符号判断 20．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 21．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 22．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 23．已知角的终边经过点，且，则实数______． 24．已知角的终边经过点，且，则的值是________． 25．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 题型6 sina、cosa、tana知一求二 26．若则＝（ ） A． B． C． D． 27．已知点是角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 28．若，则（   ） A． B． C． D． 29．（多选）若，且，则可能是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 30．已知，，则实数k的值为_________. 题型7 正、余弦齐次式的应用 31．已知，则（   ） A． B． C． D． 32．若向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．如果角的终边在直线上，则______ 34．已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 35．（1）已知，求的值. （2）证明：. 题型8 sinacosa、sina±cosa知一求二 36．若，，则（    ） A． B． C． D． 37．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．已知，，则________，________． 39．已知，且，则__________. 40．已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 41．若，则__________， __________. 题型9 利用诱导公式化简求值 42．的值为（   ） A． B． C． D． 43．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 44．已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 45．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 46．已知点在角的终边上，则角（用表示）的一个值为（   ） A． B． C． D． 47．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 题型10 利用互余互补关系求值 48．已知，则（   ） A． B． C． D． 49．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 50．已知，则的值是______. 51．已知 (1)化简; (2)若为第四象限角，且，求的值. $