四川内江市威远中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二下期期中数学试卷，以数列、导数、概率等核心知识为载体，融入《张邱建算经》文化情境，通过基础辨析、综合应用与创新探究的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差数列公差、导数极值点|基础概念直接考查，如第1题等差数列公差计算| |多选|3/18|函数导数性质、排列组合|多选项分层设计，如第10题结合相邻与顺序排列考查逻辑思维| |填空|3/15|二项式系数、函数对称|综合应用，如第14题通过函数图象对称求参数范围| |解答题|5/77|概率全概率公式、数列证明、导数极值|递进式设问，如19题导数极值点证明，融合逻辑推理与数学表达|

威远中学校2024级高二下期期中考试 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 1、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若是函数的极值点，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 4．在等比数列{}中，，是方程的实根，则的值为（   ） A． B．±4 C．2 D．-4 5．《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（    ） A．170里 B．180里 C．185里 D．176里 6．已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8．设定义在上的函数满足:,且,则关于的方程的实根个数为(　　) A． B． C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9．已知定义在上的函数的导函数为，且，则下列判断中正确的是(　　) A. B. C. D. 10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C．甲乙不相邻的排法种数为72种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11．设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（ ） A．可能为2 B． C．当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D．对任意的都有 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 3、 填空题（本大共3小题 ，每小题5分,满分15分）． 12．的二项展开式中项的系数为______． 13．已知函数，则________. 14．已知函数，，若与的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线对称，则实数的取值范围是______． 4、 解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率. 16．设等差数列的前项和为，且. (1)求； (2)设，，求. 17．已知数列前项和为，，. （1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18．已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)在图中画出函数的大致图象； (3)若方程有2个解，求实数m的取值范围． 19．已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 威远中学校2024级高二下期期中考试 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A D D A C C CD ACD BCD 12． 13．6 14. 15.解（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”， 则，且，，两两互斥， 根据题意得，，，， ，，， 由全概率公式得 ； 6分 (2) “如果取到的零件是次品，计算它是第(=1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率. ； 类似地，可得，； 13分 16．解（1）因为，所以，即， 又因为，所以， 联立，解得， 所以， 7分 （2）结合（1）可知， ， . 15分 17．解（1），即，得， 又，即，， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， ，即有； 7分 （2）由（1）知，，记的前项和为， ，① ，② ①-②得，， ，而， . 15分 18．解（1）由题意得函数的定义域为R，． 令，解得，即函数在上单调递增； 令，解得，即函数在上单调递减， 当时，有极大值，无极小值． 5分 （2）函数经过特殊的点，， 当时，； 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而， 根据以上信息及（1）的单调区间，画出的大致图象如图： 10分 （3）若方程有2个解， 即函数的图象和的图象有2个交点， 结合图象得， 即或． 所以实数的取值范围为. 17分 19．解（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； 5分 ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. 10分 （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 17分 试卷第4页，共4页 第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $