精品解析：四川成都市石室天府中学2025-2026学年高二下学期5月学业练习数学试题

2025-2026学年度下期高二年级5月学业练习 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种 6. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前项，构成新数列，即，记数列的前项和为，则（ ） A. 128 B. 558 C. 884 D. 4944 8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （ ） A. B. 若 ，则 C. D. 10. 已知函数，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C. ，且，都有． D. ，，使得成立，则实数． 11. 如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A. 第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等 B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C. 第45行的所有数字之和被9除的余数为1 D. 若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是________． 13. 已知等差数列的前项和为 ，且，，则时， 的最小值为_____. 14. 已知函数，若 恒成立，则的最大值是________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 我国是全球制造业大国，制造业主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：）． （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望． （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差． 17. 已知为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知 . （1）求C的方程； （2）过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期高二年级5月学业练习 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【详解】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C . 2. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可. 【详解】由题意可知，所以. 故选：D. 3. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出通项公式，即可求出a. 【详解】的展开式的通项为， ∵的系数为12， ∴当6-2r=4时，解得r=1， 有，即-6a=12，解得：a=-2. 故选：B 【点睛】方法点睛：二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 4. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在点 处切线的斜率为， 故切线方程为，即. 5. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 6. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 7. 已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前项，构成新数列，即，记数列的前项和为，则（ ） A. 128 B. 558 C. 884 D. 4944 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用等差数列，和等比数列的前项和公式求得，然后确定是和中的哪些项的和，结合的表达式计算出，最后令得结论. 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为， 所以， ， 当时，． 8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值. 【详解】∵，∴，∴，即， 设,则上式表明, 求导得，当时，,单调递减， 由于，∴，∴， ∴,∴，∴,令, ,当时，单调递减；当时，单调递增， ∴, 故选：D. 【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （ ） A. B. 若 ，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；利用条件概率公式及概率的性质可判断BC，利用全概率公式可判断D. 【详解】对于A，设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”， 则，，此时，故A错误； 对于B，，所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 10. 已知函数，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C. ，且，都有． D. ，，使得成立，则实数． 【答案】BD 【解析】 【分析】先分别求出函数和的单调性，对于A，直接解和时的最小值即可判断得解；对于B，根据函数的单调性结合函数的最小值和值的正负分布情况即可得解；对于C，根据函数的单调性即可得解；对于D，先由条件得到，再根据单调性确定并求解即可得解. 【详解】由题意， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 定义域为，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 对于A，令，故函数只有1个零点； 当时，，故没有零点，故A错误； 对于B，，时，，时，， 故有两个不相等的实数根，则实数，故B正确； 对于C，在上单调递减，故C错误； 对于D，，，成立，则， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项. 11. 如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A. 第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等 B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C. 第45行的所有数字之和被9除的余数为1 D. 若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合数对称性、组合数求和公式、二项式定理构造分析余数、组合数性质与二项式展开，逐一验证各选项正误. 【详解】对于选项A： 第行的第个数为，因此第个数为，第个数为. 由组合数对称性，得，故A正确. 对于选项B： 第行的第个数为，所求和为. 由组合数求和公式，得，故B正确. 对于选项C： 第行所有数字之和为， 由二项式定理展开：, 展开式中前项均含有因式，均可被整除，仅剩最后一项， 因此（），即， 可得被除余数为，故C错误. 对于选项D： 由组合数性质，得数列为公差不为的等差数列. 是关于的次多项式，等差数列对应一次多项式，故，即. 所以 ， 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式直接求解即可. 【详解】记事件为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件为“从乙箱中取出白球”， 则，，，， . 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为 ，且，，则时， 的最小值为_____. 【答案】21 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式根据题意求出，，从而得到，再根据等差数列的前项和公式将化为，即可求出答案. 【详解】由得， 由得，即，即，即， 所以， 所以，即， 由题意知，，可化为， 所以， 又，所以， 又，所以， 所以的最小值为. 14. 已知函数，若 恒成立，则的最大值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】求导和代入可求解，，进而将恒成立问题转化为对任意的恒成立，分类讨论求解函数的最值，进而构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【详解】，则，故， 因此， 又，故， 故，由可得，即对任意的恒成立， 令，则，对任意的恒成立，， 当时，恒成立，此时在上单调递增，当时，，不符合题意，舍去， 当时，此时时，符合恒成立，则， 当时，令，则，故则，故，因此，则， 记，则， 当时，，当时，， 故，此时的最大值为，而， 综上可得的最大值为. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 16. 我国是全球制造业大国，制造业主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：）． （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望． （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差． 【答案】（1） 分布列： 0 1 2 3 数学期望 （2） 技术攻坚成功的概率为， 【解析】 【分析】（1）找到可能值，分别计算各取值对应概率，进而列出分布列，再代入期望公式求解即可； （2）由题知服从二项分布，攻坚成功概率 ，根据二项分布概率求解即可；的方差利用二项分布方差公式求解.  【小问1详解】 由题意可知的可能取值为：.  ， ，  ，  的分布列为 0 1 2 3 P 数学期望. 【小问2详解】 由题意每个零件合格的概率为，且各零件合格情况相互独立，故 . 技术攻坚成功时合格零件数超过半数，即 时技术攻坚成功； 因此技术攻坚成功的概率为  ， ， 故； 方差. 17. 已知为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用及等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，即，当时，，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得：， 所以. 18. 设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知 . （1）求C的方程； （2）过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为，在中利用勾股定理即可； （2）①设，，联立直线与抛物线的方程，利用化简直线的方程，得出，再化简直线的方程即可，再求出直线斜率为零时的情况即可； ②联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式求出，再求出点坐标，得出，即可化简，结合函数的单调性求解，再求出直线斜率为零时的情况即可. 【小问1详解】 由抛物线的定义知，， 不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为， 因为，故为等边三角形，则， 因为，所以，则，得， 故抛物线方程为； 【小问2详解】 ①设, 易知直线的斜率存在且不为，故设， 联立，得， 则，得， 则， 易知直线的斜率存在，若斜率不为，则设, 令，得，故， 因为，所以直线的斜率为， 则，即，此时直线 MN 过定点； 若直线的斜率为，则，则, 则，此时，，则直线，过原点， 故直线 MN 过定点； ②易知直线的斜率存在，联立得， 则， 则， 由①知，，与联立得，， 则，故， 则， 因为在上单调递增，所以， 所以，此时，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 【答案】（1）单调递增区间：，单调递减区间： （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的表达式，先求定义域，再求导，通过分析导数的正负来确定单调区间； （2）化简，设，得到关于的函数，再根据的范围，利用导数求该函数的值域 （3）先根据数列前项和与通项的关系求出​，再结合求出，进而表示出​，利用放缩法证明不等式 【小问1详解】 当时，，则 令，则 当时，，，故，单调递减. ，故时，，即. 当时：，故，即 综上，单调递增区间：，单调递减区间： 【小问2详解】 当时，，方程为 设，则，且 两式相减 因此 令，求导， 令，，单调递减， 所以在上单调递减时，；时， 所以 记，则，单调递增， 所以 【小问3详解】 由(1)知，当时，，即 取，得， 因此 由(2)知，当时，. 取（，此时），则 所以 记，，则 故在上单调递增，因此，即 取，则 所以，得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $