精品解析：安徽省滁州市琅琊区2026年九年级二模数学试卷

九年级教学质量检测（二） 数学学科 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A．，∴A错误． 选项B．与不是同类项，无法合并，∴B错误． 选项C．，∴C错误． 选项D．，∴D正确． 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：左视图如图所示： ． 4. 2026年，中国“嫦娥七号”探测器将发射，前往月球南极开展水冰资源勘察．已知月球与地球的平均距离约为384400000米，384400000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再表示在数轴上即可解答． 【详解】解：不等式组， 解不等式①，可得； 解不等式②，可得； ∴不等式组的解集为：； 数轴上表示为： 6. 如图，经过正五边形顶点，的两条直线，，分别交，于点，，且．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，则，根据正多边形内角公式得到，进而得到，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，作，则， ∵正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书和篆书写“马”字的五张卡片，它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面都不是用楷书写的“马”字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是学会画树状图，列举出所有的等可能的结果，进行解答，即可． 【详解】解：树状图如下： 共种等可能结果，其中两张卡片正面都不是用楷书写的“马”字的结果有种， ∴两张卡片正面都不是用楷书写的“马”字的概率是． 8. 如图，，是双曲线上的两点，过点作轴于点，交于点，若的面积为，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 已知实数，满足：，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将代入已知不等式求出的范围，再结合关系式推导各选项结论，找出错误选项. 【详解】解：∵，代入得：， 化简得， 解得，故A选项正确，不符合题意； ，， ，可得，即，故B选项正确，不符合题意； ，又， ，可得，即，故D选项正确，不符合题意； 对于C选项，将代入得，当时，例如取，原式得，不等式不成立，故C选项错误，符合题意． 10. 如图，在矩形中，，点为边上的动点，将沿翻折得到．将绕着点逆时针旋转得到，连接，，，，下列结论不正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析四个选项可得，前两个选项是关于点的位置的，后两个选项是关于点的位置的，所以解题的关键是要弄清楚点与点的轨迹，由翻折的性质可得的长度为定值，得出点在以点为圆心，为半径的圆上（即点的轨迹是圆的一部分），当共线时，的长度最小，当与相切时，的度数最大，即可判断A项、B项；将绕点逆时针旋转得到，作于点，延长交于点，连接，，通过证明与可得的长度为定值，然后利用三角形的三边关系可得、的最小值，即可判断C项、D项． 【详解】解：∵在矩形中，，即，， ∴， 由翻折可知，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上（即点的轨迹是圆的一部分）， ∴当共线时，即点在上，的长度最小，最小值为，故A正确； 当与相切时，的度数最大，此时， ∴， ∴的最大值为，故B正确； 将绕点逆时针旋转得到，作于点，延长交于点，连接，， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，的长度最小，最小值为，故C错误； ∵， ∴， ∴，当共线时，的长度最小，最小值为，故D正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质确定的取值范围，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ， 即， 因此的整数部分是． 13. 已知点，，依次在上，四边形为菱形，的半径为2，则劣弧的长为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，交点为，根据菱形的性质及题意可得，，，，进而得到，解直角三角形求出，即可得到，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，交点为， ∵四边形为菱形，的半径为2，点A、B、C依次为上三点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧长为． 14. 如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 【答案】 ①. 6 ②. 14或15 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列式求解即可； （2）根据题意得出，结合点阵求解即可． 【详解】解：（1）由图象得：， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， 如图所示：当或时，满足题意； ∴或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）以原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出，并直接写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）先确定三个顶点的坐标，因为关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，所以可据此求出A、B、C对应点的坐标，描点后顺次连接得到． （2）因为原点为旋转中心逆时针旋转的点的坐标变换规则为变为，所以代入B点坐标可得到的坐标，同理求出的坐标，描点后顺次连接得到． 【小问1详解】 解：由网格可得 ，，． 画关于轴对称的​ 关于轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 据此得到对应点：，，，顺次连接三个点，即可得到所求． 【小问2详解】 解：点绕原点逆时针旋转后，对应点坐标规律为． 据此得到的对应点坐标为； 同理得到、， 顺次连接三个点即可得到所求． 点的坐标为 ． 即为所求图形，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某公司生产甲、乙两款学习机，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，该公司每天生产甲、乙两款学习机分别是多少台？ 【答案】该公司每天生产甲款学习机180台，生产乙款学习机100台 【解析】 【分析】设甲为台，乙为台，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，则，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，则，据此解答即可． 【详解】解：设该公司每天生产甲款学习机台，生产乙款学习机台． 由题意，得， 解这个方程组，得， 答：该公司每天生产甲款学习机180台，生产乙款学习机100台． 18. 小明和家人游览安徽黄山西海大峡谷，被奇峰秀谷、云海幽峡的风光吸引，想用所学数学知识测量峡谷宽度．操作如下：在峡谷一侧点处操控无人机铅直上升至点处，再沿水平方向飞向峡谷上方点处，在点处测得点的俯角为，测得对岸点（与点在同一水平线上）的俯角为．所有点均在同一平面内．（参考数据：，，） （1）求无人机所在位置点与出发点的距离；（结果保留根号） （2）根据测量数据计算峡谷宽度．（结果精确到） 【答案】（1）点与点的距离为 （2）峡谷宽度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，解直角三角形的应用，进行解答，即可． （1）根据勾股定理，即可； （2）作垂直交于点，连接，得到四边形是矩形，根据，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， 在中，， 答：点与点的距离为． 【小问2详解】 解：如图，作垂直交于点，连接，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 解得， ∴． ∴峡谷宽度约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 【答案】（1）， （2）图见解析 （3）估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有350人 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据表格和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）设总人数为，根据占比求出总人数，再根据扇形统计图，求出等级为“优秀”的人数，等级为“良好”的人数，根据圆心角度数等于乘以百分比，即可； （2）补全条形统计图； （3）根据样本估计总体，即可． 【小问1详解】 解：总人数为 ∴样本容量为； 由扇形统计图可得：等级为“优秀”的人数：（人）， ∴等级为“良好”的人数为：， ∴“良好”等级对应的圆心角度数为： ． 【小问2详解】 解：补全统计图如下： 【小问3详解】 解： （人）． 估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有人． 20. 如图，四边形内接于，其中，，，于点． （1）求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、圆内接四边形的性质、三角函数以及全等三角形的性质与判定． （1）通过等弧所对的弦相等，即可求得，再根据全等条件，求得三角形全等，即可得到； （2）根据（1）中的全等可知，，再根据三角函数求得，即可计算出的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点作交的延长线于点． ， ，， 又，， ， ，， ，， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1），得． ，四边形内接于， ， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 新定义实践与探究：正整数双等拆分计数 【问题提出】对于正整数，若存在正整数，同时满足且，我们称有序数对为的一个双等拆分．记正整数对应的不同双等拆分的个数为，试探究与的数量关系． 【问题探究】不妨假设能得到与的对应规律，为探究二者的关系，我们可以先从特殊值入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】 （i）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 此时，满足的正整数解仅有，，且，符合双等拆分的定义．因此当时，． （ii）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 满足的正整数解仅有，，此时，不满足，无符合要求的双等拆分．因此当时，． （iii）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 若，则，此时，不符合双等拆分的定义；若，则，此时，符合双等拆分的定义．因此当时，． （iv）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 若，则，此时，不符合双等拆分的定义；若，则，此时，符合双等拆分的定义．因此当时，． 综上所述，可得表①： 3 4 5 6 1 0 1 1 【探究二】 （1）当，，，时，分别存在多少组不同的双等拆分？（仿照上述探究方法，补充完表②中未填写的部分） 表②： 7 8 9 10 ___ ___ 2 2 你不妨分别用，，，继续进行探究，…… 【问题解决】 （2）对于正整数，设分别等于，，，（其中是正整数），求对应的的值，把结果填在表③中． 表③： _____ _____ _____ _____ 【问题应用】 （3）当时，存在_____组不同的双等拆分． （4）在所有符合条件的双等拆分中，y为3的倍数的拆分共有_____组． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）506 （4）169 【解析】 【分析】（1）根据新定义依次求解即可； （2）根据新定义依次求解即可； （3）通过解不等式组，确定取值范围为 的正整数，即可求解； （4）在 范围内：第一个符合条件的： ，最后一个符合条件的，即可求解． 【小问1详解】 解: 时，则，则，而，即，则 ∴，故或，则； 时，则，则，而，即，则 ∴，故，则； 时，则，则，而，即，则 ∴，故或，则； 时，则，则，而，即，则 ∴，故或，则； 7 8 9 10 2 1 2 2 【小问2详解】 解：时，则，则，而，即，则 ∴，故，一共有个，则； 同理可求时，，故，一共个，则； 同理可求时，，故，一共有个，则； 同理可求时，，故，一共有个，则； 【小问3详解】 解：根据双等拆分的定义，正整数，需同时满足： ①， 即 ； ②，； ③． 由得： ，解得 （为正整数）； 由得： ， 化简得 ， 即 ， 结合为正整数，得． 因此，取值范围为 的正整数． 内正整数的总个数为： ． （通用结论验证：，属于型，其中，根据规律 ，得 ，与计算结果一致．） 综上，时共有506组不同的双等拆分． 【小问4详解】 解： ， 为3的倍数等价于： 能整除3， 因2025是3的倍数， 得是3的整数倍， 即必须是3的倍数， 在 范围内：第一个符合条件的： ， 最后一个符合条件的 （不超过1012的最大3的倍数）， 符合条件的共有： （个） 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接，点关于的对称点正好落在斜边上，与交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的平行线，交的延长线于点，求的长； （3）如图3，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，，分别与，交于点，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明可得结论； （2）求解．设，利用，可得．证明是等腰直角三角形，进一步可得答案； （3）证明四边形是正方形，，可得，证明，证明，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由对称可知，，， 又， ． ； 【小问2详解】 解：由题可知：，． 在中，． 设， ∴， 解得． ． ， ． ∴，， 是等腰直角三角形． 平分， ； 【小问3详解】 解：， ， 又， 四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴且， ， ， 由对折可得：， ，， ， 又， ． 同理，可得， 则，， ，又， ． ， . 八、（本题满分14分） 23. 二次函数的图象与轴交于点，，且． （1）当，且时． ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的值； （2）若，求，之间的数量关系． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）通过将已知交点坐标代入函数式，结合给定的系数关系式，联立方程组求解出二次函数的系数，是二次函数交点式与方程思想的直接应用； 利用二次函数的对称轴与单调性，对区间的位置进行分类讨论，分别求出不同情况下的最大值与最小值，再根据差为8列方程求解，体现了分类讨论与数形结合的思想； （2）利用根与系数的关系，将代入方程，通过消元法消去根，整理得到系数之间的数量关系，体现了方程消元与根的定义的综合应用． 【小问1详解】 解：当时，抛物线经过点， 故， 又， 可得，； ，抛物线开口向上，对称轴为． 情况1：若，当时，随的增大而减小． 故时，；时，． 则 ，，故无解，舍去． 情况2：若，当， 当时， ；时，， ，故舍去． 情况3：若时，当， 当时， ；时，． 则 ，解得（舍去），． 综上所述，的值为． 【小问2详解】 由题意， 是方程 的两根，且 ， 故：，即： ，得：， 故， ，得：， 故， 将 代入 ，得：， 因为 ，方程有两个不相等的实根， 故 ，两边同时除以 ：， 整理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学质量检测（二） 数学学科 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年，中国“嫦娥七号”探测器将发射，前往月球南极开展水冰资源勘察．已知月球与地球的平均距离约为384400000米，384400000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，经过正五边形顶点，的两条直线，，分别交，于点，，且．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书和篆书写“马”字的五张卡片，它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面都不是用楷书写的“马”字的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是双曲线上的两点，过点作轴于点，交于点，若的面积为，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 9. 已知实数，满足：，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，点为边上的动点，将沿翻折得到．将绕着点逆时针旋转得到，连接，，，，下列结论不正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 12. 某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 13. 已知点，，依次在上，四边形为菱形，的半径为2，则劣弧的长为__________．（结果保留） 14. 如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）以原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出，并直接写出点的对应点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某公司生产甲、乙两款学习机，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，该公司每天生产甲、乙两款学习机分别是多少台？ 18. 小明和家人游览安徽黄山西海大峡谷，被奇峰秀谷、云海幽峡的风光吸引，想用所学数学知识测量峡谷宽度．操作如下：在峡谷一侧点处操控无人机铅直上升至点处，再沿水平方向飞向峡谷上方点处，在点处测得点的俯角为，测得对岸点（与点在同一水平线上）的俯角为．所有点均在同一平面内．（参考数据：，，） （1）求无人机所在位置点与出发点的距离；（结果保留根号） （2）根据测量数据计算峡谷宽度．（结果精确到） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 20. 如图，四边形内接于，其中，，，于点． （1）求的长； （2）若，求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 新定义实践与探究：正整数双等拆分计数 【问题提出】对于正整数，若存在正整数，同时满足且，我们称有序数对为的一个双等拆分．记正整数对应的不同双等拆分的个数为，试探究与的数量关系． 【问题探究】不妨假设能得到与的对应规律，为探究二者的关系，我们可以先从特殊值入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】 （i）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 此时，满足的正整数解仅有，，且，符合双等拆分的定义．因此当时，． （ii）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 满足的正整数解仅有，，此时，不满足，无符合要求的双等拆分．因此当时，． （iii）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 若，则，此时，不符合双等拆分的定义；若，则，此时，符合双等拆分的定义．因此当时，． （iv）当时，存在多少组不同的双等拆分？ 若，则，此时，不符合双等拆分的定义；若，则，此时，符合双等拆分的定义．因此当时，． 综上所述，可得表①： 3 4 5 6 1 0 1 1 【探究二】 （1）当，，，时，分别存在多少组不同的双等拆分？（仿照上述探究方法，补充完表②中未填写的部分） 表②： 7 8 9 10 ___ ___ 2 2 你不妨分别用，，，继续进行探究，…… 【问题解决】 （2）对于正整数，设分别等于，，，（其中是正整数），求对应的的值，把结果填在表③中． 表③： _____ _____ _____ _____ 【问题应用】 （3）当时，存在_____组不同的双等拆分． （4）在所有符合条件的双等拆分中，y为3的倍数的拆分共有_____组． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接，点关于的对称点正好落在斜边上，与交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的平行线，交的延长线于点，求的长； （3）如图3，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，，分别与，交于点，，求线段的长． 八、（本题满分14分） 23. 二次函数的图象与轴交于点，，且． （1）当，且时． ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的值； （2）若，求，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $