精品解析：2026年安徽太和县北城中学等校中考押题卷(二) 数学(试题卷)

2026年安徽中考押题卷（二）数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，属于负数的是（ ） A. 0 B. C. 26 D. 2. 据安徽省统计局发布，2026年一季度我省达到13000亿元．其中13000亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某机械零件（如图1）的俯视图如图2所示，则该机械零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（ ） A. 10 B. 2 C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最小值，且最小值为 D. 有最大值，且最大值为 9. 在正方形中，点E在边上，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 10. 如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使得式子有意义的x值可以是______（只要写出一个即可）． 12. 如图，在中，直径垂直于弦，点E为垂足，，则的度数是_____． 13. 在大课间活动时，五个同学A，B，C，D，E分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏（如图）．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是_____． 14. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并把它的解表示在数轴上． 16. 如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． （1）将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； （2）以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； （3）图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 四、（本大题共2小题．每小题8分，满分16分） 17. 如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 18. 为了解A，B两款无人机在一次充满电后飞行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们飞行的最长时间（单位：），并对数据进行整理、描述与分析，得到了部分信息． a．10架A款无人机一次充满电后飞行的最长时间分别是：15，16，16，21，21，24，26，27，27，27． b．10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等组的数据分别是：20，21，23，23，23． 10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间扇形统计图如下图： c．两款无人机一次充满电后飞行的最长时间数据分析如下表： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 22 22.5 m 21.8 B 23 n 23 6.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____，_____； （2）若仅从飞行时间上考虑，B款无人机的飞行性能更好，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，圆心O在的边上，，与相切于点D，连接，与交于点E，且E是的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 在矩形中，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A点坐标为，B点坐标为，F是上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与边交于点E，连接，作直线． （1）若，求反比例函数解新式； （2）在（1）的条件下求出的面积； （3）在点F的运动过程中，试说明是定值． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 （1）已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； （2）在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； （3）在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 在中，平分． （1）如图1，分别过点A作交边于点E，过点D作交边的延长线于点F，连接交于点O，，． ①求证：四边形是矩形； ②求的值； （2）如图2，，．点M在上，连接，过点M作交边的延长线于点N．写出线段，和的数量关系，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线与y轴交于点A，点在该抛物线上，且，直线（）经过A，B两点． （1）直接写出：该抛物线的顶点纵坐标是______；并求的最大值； （2）若，求证：；并用含a的式子表示； （3）若，，，两点，都在该抛物线上，直线与直线（）交于点，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年安徽中考押题卷（二）数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，属于负数的是（ ） A. 0 B. C. 26 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵负数是小于0的实数，逐一判断各选项 选项A：既不是正数也不是负数，不符合题意； 选项B：，，是正数，不符合题意； 选项C：，是正数，不符合题意； 选项D：，是负数，符合题意． 2. 据安徽省统计局发布，2026年一季度我省达到13000亿元．其中13000亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：13000亿． 3. 下列各式中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，C正确． 对选项D：，D错误． 4. 某机械零件（如图1）的俯视图如图2所示，则该机械零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据正面和俯视图可以发现零件内部挖去了一个圆柱，那么该几何体的左视图为： 5. 把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（ ） A. 10 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：原方程为 ∴， ∴． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是本题的关键．由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【详解】解：由于平行，， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴， 故选：C． 8. 已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最小值，且最小值为 D. 有最大值，且最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，不等式的性质，先根据及得出b的取值范围，进一步得出a的取值范围，再将转化为，据此可解决问题． 【详解】解：因为，， 所以， 解得， 则， 解得， 又因为，且， 所以， 所以有最大值，且最大值为． 故选：A． 9. 在正方形中，点E在边上，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表示出，，，，然后证明出，得到，然后代入解方程即可求解． 【详解】解：∵将绕点D按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 即旋转后点在延长线上， 如图， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵，， ∴，， ∵将绕点D按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴的长为6． 10. 如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需分两个阶段分析直线平移过程中阴影面积与的函数关系：当时：直线位于点左侧，此时阴影部分为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，推导出与的二次函数关系（开口向上）．当时：直线位于点右侧，此时阴影部分面积等于的面积减去右侧等腰直角三角形的面积，推导出与的二次函数关系（开口向下），再结合函数的增减性判断图像形状． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为点，设直线交轴于点， ； ，， ，，； 当直线在点的左侧时，如图，设直线交于点， 是等腰直角三角形，此时， ， ； 当直线在点的右侧时，如图，设直线交于点， 是等腰直角三角形，此时， ，． 综上，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线． 故与之间的函数关系的图象为选项． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使得式子有意义的x值可以是______（只要写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定的取值范围，再在范围内选取一个符合要求的值即可． 【详解】解：要使式子有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，可得 根据分式分母不为零，可得 联立两个条件，解得且． ∴x值可以是． 12. 如图，在中，直径垂直于弦，点E为垂足，，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵直径垂直于弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13. 在大课间活动时，五个同学A，B，C，D，E分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏（如图）．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画树状图，可得两次传球共有4种等可能结果，球又回到A手上的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知：有4种等可能结果，球又回到A手上的结果数为2种， ∴经过两次传球后又传到A手上的概率是． 14. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 【答案】 ①. 5 ②. 15 【解析】 【分析】（1）先求出第二组初始亮灯数和第一组的暗灯数，要使拍灯盏数最少，那么所拍的灯都是暗的灯，据此可得答案； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，表示出拍灯前选出的组和另一组中亮灯的数量，进而表示出拍灯后选出的组和另一组中亮灯的数量，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）∵一共有40盏小灯， ∴每组有盏小灯 ∵一共有15盏灯亮，第一组有盏灯亮， ∴第一组有盏灯暗，第二组有盏灯亮， ∵只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，且要使两组中亮着的小灯数一样多， ∴拍完灯后第一组有10盏灯亮， ∵要使拍灯盏数最少， ∴所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮， ∴最少需拍盏灯； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯每一盏都拍一下后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮， 因此拍完后选出组的亮灯数为， ∵拍完后两组中亮着的小灯数一样多 ∴ 解得． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【答案】，把它的解表示在数轴上见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识，首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后将该不等式的解表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 将该不等式的解表示在数轴上，如下图所示： 16. 如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． （1）将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； （2）以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； （3）图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据位似图形的性质画出图形即可； （）过点画出的平行线，找出格点个数即可求解； 本题考查了平移作图，位似图形作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点均符合题意， ∴点的个数是， 故答案为：． 四、（本大题共2小题．每小题8分，满分16分） 17. 如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】货轮距离A港口约141海里 【解析】 【分析】过点B作于点H，分别解直角三角形求出AH、HC即可得到答案． 【详解】解：过点B作于点H， 根据题意得，， 在中，， ∵， ， ∴（海里） （海里） 在中， ∵ ∴（海里）． ∴（海里） 答：货轮距离A港口约141海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18. 为了解A，B两款无人机在一次充满电后飞行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们飞行的最长时间（单位：），并对数据进行整理、描述与分析，得到了部分信息． a．10架A款无人机一次充满电后飞行的最长时间分别是：15，16，16，21，21，24，26，27，27，27． b．10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等组的数据分别是：20，21，23，23，23． 10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间扇形统计图如下图： c．两款无人机一次充满电后飞行的最长时间数据分析如下表： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 22 22.5 m 21.8 B 23 n 23 6.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____，_____； （2）若仅从飞行时间上考虑，B款无人机的飞行性能更好，请说明理由． 【答案】（1）10，27，23 （2）理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用“1”减去其他部分所占百分比可得的值； （2）可比较中位数，众数与方差得出结论． 【小问1详解】 解：∵B款无人机中中等的有5架， ∴所占百分比为， ∴B款无人机中合格的所占百分比为，即； A款无人机一次充满电后飞行的最长时间中，出现次数最多的是27， ； 把B款无人机一次充满电后飞行的最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是23和23， ∴中位数是23． 【小问2详解】 解：一次充满电后飞行的最长时间，B款的平均数大于A款，且方差较小，更稳定，故仅从飞行时间上考虑，B款无人机的飞行性能更好． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，圆心O在的边上，，与相切于点D，连接，与交于点E，且E是的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为4 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质、等边对等角证明即可； （2）根据平行线的性质、等边对等角以及弧、弦、圆心角的关系，结合平角的定义求出，根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，． ， ， ， ∵点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 即的半径为4． 20. 在矩形中，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A点坐标为，B点坐标为，F是上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与边交于点E，连接，作直线． （1）若，求反比例函数解新式； （2）在（1）的条件下求出的面积； （3）在点F的运动过程中，试说明是定值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知点F的坐标，然后将F的坐标代入中求的值，进而得到反比例函数的解析式； （2）根据，求点E的坐标，由于，可根据各点坐标求出各三角形的面积，然后代值求解即可； （3）设点F 坐标为，则点E坐标为，则有 ，，然后用含的式子分别表示的值，进而可说明是定值． 【小问1详解】 解：∵四边形AOBC是矩形，A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0） ∴ ∵ ∴F的坐标为（4，1） 将F的坐标为（4，1）代入中得 解得 ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：将代入得 解得 ∴点E坐标为 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴△EOF的面积为． 【小问3详解】 解：设点F 坐标为，则点E坐标为 ∴， ∴， ∴ ∴是定值． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数解析式．解题的关键在于对知识的灵活运用． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 （1）已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； （2）在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； （3）在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】（1）说明见解析 （2）平方和的方和倍的值是1或7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； 【小问2详解】 解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； 【小问3详解】 解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 在中，平分． （1）如图1，分别过点A作交边于点E，过点D作交边的延长线于点F，连接交于点O，，． ①求证：四边形是矩形； ②求的值； （2）如图2，，．点M在上，连接，过点M作交边的延长线于点N．写出线段，和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明见详解；②的值为2 （2） ，理由见详解 【解析】 【分析】（1）①先证得四边形是平行四边形，再由可证得结论； ②先证得是菱形，利用菱形的性质可得，，从而通过正切的定义即可得解； （2）过点M作分别交于点G，交于点H，根据已知条件证得为正方形，四边形是矩形，利用等腰直角三角形的性质结合角度和差关系证得，得到，最终利用线段和差关系即可得证． 【小问1详解】 解：①证明：∵，， ∴， 又∵在中，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形； ②∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴，， 在中， ， ∴的值为2． 【小问2详解】 解： ， 理由：如图，过点M作分别交于点G，交于点H， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴为正方形， ∴四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即 ． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线与y轴交于点A，点在该抛物线上，且，直线（）经过A，B两点． （1）直接写出：该抛物线的顶点纵坐标是______；并求的最大值； （2）若，求证：；并用含a的式子表示； （3）若，，，两点，都在该抛物线上，直线与直线（）交于点，且，求的最大值． 【答案】（1），当时，有最大值5 （2）证明见解析， （3）当时，有最大值，最大值为7 【解析】 【分析】（1）由可得抛物线的顶点坐标；由抛物线解析式得，则，进而得，根据二次函数的性质求最值即可； （2）联立抛物线与直线的解析式得到，根据抛物线与直线都经过A，B两点得，即可得关于a的不等式，即可证明；解方程即可得； （3）根据B点坐标可求抛物线解析式及对称轴，再根据、两点坐标得、两点关于抛物线对称轴对称，则，，设 ，这里y值随的增大而增大，确定的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线与y轴交于点A， ， 又∵直线经过点A， ， ， ∴当时，有最大值5； 【小问2详解】 证明：由得， ∵抛物线与直线都经过A，B两点（点A的横坐标为0，点B的横坐标不为0）， ， ，即，则． 由解得或， 那么； 【小问3详解】 解：，，点在抛物线上，， ， 解得或（舍去）， ，其对称轴为直线， ∵点，都在抛物线上，且直线轴， ∴点，D关于对称轴对称， 又， ，即， ， 的值是关于的一次函数， 不妨设 ，这里y值随的增大而增大， 如图，抛物线与y轴交于点，， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $