学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（江苏专用，范围：苏教版选择性必修第二册+导数）

**基本信息** 聚焦苏教版选择性必修第二册与导数内容，通过环保宣传、校史竞赛等真实情境，考查概率统计、立体几何、导数应用等核心知识，注重数学思维与应用能力，适配高二期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|随机变量、导数几何意义、立体几何向量表示|结合跑步运动统计（第6题）考查全概率公式，体现数据观念| |填空题|3题/15分|导数切线方程、随机变量期望、概率递推|青蛙跳跃概率（第14题）设计递推模型，培养数学抽象| |解答题|5题/77分|二项式定理、统计回归与独立性检验、立体几何夹角、函数单调性证明|校史竞赛（第18题）综合概率分布与期望，强化应用意识；导数证明（第19题）提升逻辑推理能力|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册+导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 3．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 4．如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 5．为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 6．跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到如图的表格，其中一些数据因故丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，且成等差数列．则下列说法正确的是（   ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A．当时，的预测值为 B． C．表格中5对数据的样本相关系数 D．当时，残差值为 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数有两个零点，则（   ） A．当时， B． C．当时， D．函数取最小值时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在点处的切线方程是__________. 13．已知随机变量满足，且，则_____. 14．有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 16．（15分） 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表： 零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数Y 甲 6 14 17 17 6 乙 m 8 8 8 22 由表中数据得Y关于X的线性回归方程为，其中合格零件尺寸为． (1)求的值； (2)是否有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关？ 附：，． 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 17．（15分） 如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 19．（17分） 已知函数， (1)讨论函数的单调性． (2)若是方程的两根． ①证明：； ②若，，证明： 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册+导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 3．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 4．如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 5．为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 6．跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到如图的表格，其中一些数据因故丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，且成等差数列．则下列说法正确的是（   ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A．当时，的预测值为 B． C．表格中5对数据的样本相关系数 D．当时，残差值为 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数有两个零点，则（   ） A．当时， B． C．当时， D．函数取最小值时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在点处的切线方程是__________. 13．已知随机变量满足，且，则_____. 14．有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 16．（15分） 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表： 零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数Y 甲 6 14 17 17 6 乙 m 8 8 8 22 由表中数据得Y关于X的线性回归方程为，其中合格零件尺寸为． (1)求的值； (2)是否有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关？ 附：，． 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 17．（15分） 如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 19．（17分） 已知函数， (1)讨论函数的单调性． (2)若是方程的两根． ①证明：； ②若，，证明： 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C B C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）在的展开式中， 第2项与第3项的二项式系数之比是，解得，（3分） 则其通项为，，. 令，解得，所以常数项为.（6分） （2）由（1）知：，，， 设展开式中系数最大的项为第项，则，（9分） 即，整理可得， 解得，所以，（12分） 所以展开式中系数最大的项为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）依题意，得，，（4分） 由，得，解得， 所以的值为14；（7分） （2）由于合格零件尺寸为， 所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为： 机床加工 零件的质量 合格零件数 不合格零件数 合计 甲 48 12 60 乙 24 36 60 合计 72 48 120 ，（13分） 因为，所以有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）如下图所示，以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为，（3分） 又因为，，所以， 所以平面.（5分） （2）设平面的一个法向量为， ，， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，         所以平面与平面夹角的余弦值为.（10分） （3）因为点在棱上，设，， ， 解得，所以， ，平面的一个法向量，（13分） 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略.（5分） （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，，（9分） 故的分布列为： 10 20 30 故，（11分） （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，，（13分） ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由，得， 当时，， 所以函数在上单调递增； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（5分） （2）由（1）得，要使方程的两根为， 则， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以.（7分） ①令，则， 则，，所以， 要证，只要证，即，即， 只要证，即证，令， 即证，（10分） 即证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即（其中）成立， 故原不等式成立；（12分） ②因为， 所以与异号，（14分） 因为是方程的两根， 所以也是方程的两根， 由韦达定理得， 由①得，所以，所以， 所以.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A D D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025-2026学年高二年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ===-==-。。==--=--。====-=●一一==- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 ◆ 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[AJ[B][C][D] 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11 12. 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 17.(15分) B 0 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 2．已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以和的平均数为，即，解得. 3．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 4．如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C 5．为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】B 【分析】利用分类计数原理，先分组再分配即可. 【详解】分类计数： 第一类：仅甲乙两人在一组，此时不同的安排方案有：种； 第二类：甲乙再加一人在一组，此时不同的安排方案有：种， 根据分类计数加法原理，则不同的安排方案共有种， 故选：B 6．跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 8．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为 【答案】A 【分析】对于A，由图可得平面与平面的夹角为，据此可得答案；对于B，由题可得P在平面MAD上，当平面时，最小，据此可判断选项正误；对于C，要使正方体可以在正四棱锥内部任意转动，则正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，据此可判断选项正误；对于D，如图建立空间直角坐标系，由，结合题意可得点轨迹方程，据此可判断选项正误. 【详解】如图，对于A，∵正四棱锥的棱长为2， ∴正四棱锥的高为， 设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，， 则平面与平面的夹角为，则，故A错误； 对于B，∵，， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当平面时，最小，此时根据等体积法可求出， 即可求得， 即的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 正方体可以在正四棱锥内部任意转动， 所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为， 根据另一个体积公式，可得， ∴正方体对角线，， ∴正方体表面积，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴， 过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，， 设，∵，∴，即， 化简整理可得， ∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 由于， 则点Q的轨迹长度为，故D正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到如图的表格，其中一些数据因故丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，且成等差数列．则下列说法正确的是（   ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A．当时，的预测值为 B． C．表格中5对数据的样本相关系数 D．当时，残差值为 【答案】AB 【分析】将代入回归方程即可求解判断A；将代入回归方程结合即可求解b判断B；根据回归方程得两个变量和是正相关关系即可得判断C；求时的预测值即可求解残差值判断D. 【详解】对于A，当时，的预测值为，故A正确； 对于B，由题意可得，得， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，两个变量和是正相关关系，所以，故C错误； 对于D，当时，的预测值为，故残差值为，故D错误. 故选：AB. 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 11．已知函数有两个零点，则（   ） A．当时， B． C．当时， D．函数取最小值时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数并判断符号得单调性，从而可得最值，故可判断A，利用基本不等式可判断B，由零点性质结合代数变形可得，利用分析法可证题设不等式，故可判断C，结合C中判断和代数变形可得，构建新函数并判断单调性后可求函数取最小值时，故可判断D. 【详解】对于A，当时，，此时， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故A正确； 对于B，， 因为，由基本不等式可得， 故即， 故B错误； 对于C，由题设有，故， 故， 要证即证，即证， 不妨设，，即证，即证， 设，则， 设，则，故在为增函数， 故，故在为增函数，故. 故成立，故C正确. 对于D，由C的分析可得， 因为，若，则，为上的增函数， 与有两个不等的零点矛盾，故， 因为，且时，，时，， 故，不妨设，则，故， 设，则， 设，，故在上为减函数， 故即，故在上为减函数. 设，则， 设，则，故在上为减函数， 而，，故在上存在零点， 且时，即，当时， 即， 故在上为增函数，在上为减函数， 故当时，取最大值即取最小值，此时， 即，故此时，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在点处的切线方程是__________. 【答案】 【分析】借助导数几何意义计算即可得. 【详解】，，又， 故函数在点处的切线方程是， 整理得. 13．已知随机变量满足，且，则_____. 【答案】/ 【分析】利用二项分布公式，方差性质直接计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 14．有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 【答案】 【分析】记次后落在处概率为与的递推关系，进一步计算得出与的关系进行判断，最后根据等比数列前项和公式得出结果即可； 【详解】记次后落在处概率为，得出 ，， 则， ，， 所以， 所以，即， 所以，数列是等比数列， ， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)672 (2) 【分析】（1）通过第2项和第3项的二项式系数之比，从而求出n的值，再写出二项式的展开式的通项，从而求出常数项； （2）通过第r+1项的系数大于等于第r项和第r+2项的系数，从而求出系数最大的项. 【详解】（1）在的展开式中， 第2项与第3项的二项式系数之比是，解得，（3分） 则其通项为，，. 令，解得，所以常数项为.（6分） （2）由（1）知：，，， 设展开式中系数最大的项为第项，则，（9分） 即，整理可得， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为.（13分） 16．（15分） 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表： 零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数Y 甲 6 14 17 17 6 乙 m 8 8 8 22 由表中数据得Y关于X的线性回归方程为，其中合格零件尺寸为． (1)求的值； (2)是否有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关？ 附：，． 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)有 【分析】（1）根据线性回归方程必过样本中心点即可得解； （2）先求出，再对照临界值表即可得出结论. 【详解】（1）依题意，得，，（4分） 由，得，解得， 所以的值为14；（7分） （2）由于合格零件尺寸为， 所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为： 机床加工 零件的质量 合格零件数 不合格零件数 合计 甲 48 12 60 乙 24 36 60 合计 72 48 120 ， 因为，所以有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关．（15分） 17．（15分） 如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面的法向量与直线的方向向量平行，从而证明线面垂直； （2）通过求解两个平面的法向量的夹角，从而得到两个平面的夹角； （3）根据三棱锥的体积求解出直线对应的向量，然后通过求解直线与法向量的夹角从而得到直线与平面的夹角. 【详解】（1）如下图所示，以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 又因为，，所以， 所以平面.（5分） （2）设平面的一个法向量为， ，， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，         所以平面与平面夹角的余弦值为.（10分） （3）因为点在棱上，设，， ， 解得，所以， ，平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略.（5分） （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，，（9分） 故的分布列为： 10 20 30 故，（11分） （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，，（13分） ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分.（17分） 19．（17分） 已知函数， (1)讨论函数的单调性． (2)若是方程的两根． ①证明：； ②若，，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）要使方程的两根为，则，求出函数的最值，进而可求出的范围. ①根据，可得，则，只要证，即证，即证，令，则原式化为，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得证； ②易得也是方程的两根，再利用韦达定理结合①即可得证. 【详解】（1）由，得， 当时，， 所以函数在上单调递增； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（5分） （2）由（1）得，要使方程的两根为， 则， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以.（7分） ①令，则， 则，，所以， 要证，只要证，即，即， 只要证，即证，令， 即证，（10分） 即证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即（其中）成立， 故原不等式成立；（12分） ②因为， 所以与异号，（14分） 因为是方程的两根， 所以也是方程的两根， 由韦达定理得， 由①得，所以，所以， 所以.（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年高二年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11._______________ 12. ___________ 13. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $