学易金卷：高一数学下学期期末真题重组卷（人教A版，范围：必修第二册）

**基本信息** 2025-2026高一数学期末真题重组卷，整合多地区期末题，以半程马拉松志愿服务、解放阁高度测量等真实情境为载体，通过新考法、新定义题型考查数学眼光、思维与语言，适配必修第二册综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、分层抽样、向量、立体几何|结合“热点”“情境”标签，如第2题分层抽样、第7题仰角测量，考查应用能力| |填空题|3题15分|百分位数、平面向量、新定义（三面角余弦定理）|第14题类比二维余弦定理，培养抽象与创新意识| |解答题|5题77分|概率、统计、立体几何、解三角形、新定义|第16题以马拉松志愿服务频率分布直方图考查数据处理，第19题新定义点集问题提升逻辑推理能力|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 戡 麻 4[A]B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 氧 12 13. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 全解全析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．（情境）（24-25高一下·福建泉州·期末）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（   ） A．60 B．100 C．120 D．140 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 4.（改编）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．（热点）（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（情境）（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 7.（情境）（24-25高一下·山东济南·期末）解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（   ）（参考数据：） A．30米 B．35米 C．45米 D．70米 8.（新考法）（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）    A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的均值大于乙得分的均值 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 10．（24-25高一下·浙江台州·期末）复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11.（新考法）（24-25高一下·江苏泰州·期末）半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ） A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（24-25高一下·福建三明·期末）某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 14．（新定义）（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）（24-25高一下·山东济南·期末）袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 16．（情境）（本小题满分15分）（24-25高一下·福建福州·期末）2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛.志愿服务是赛事成功举办的重要保障.在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)已知落在区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在区间的面试成绩平均数为67， 方差为20，试估算在区间内所有面试成绩的平均数和方差. 17．（热点）（本小题满分15分）（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本小题满分17分）（24-25高一下·江苏南通·期末）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 19．（新定义）（本小题满分17分）（24-25高一下·浙江宁波·期末）平面直角坐标系内有2027个点，，…，满足：①；②，.设. (1)若，，求的最小值； (2)若，，求的最小值； (3)若，，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 全解全析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．（情境）（24-25高一下·福建泉州·期末）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（   ） A．60 B．100 C．120 D．140 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 4.（改编）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．（热点）（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（情境）（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 7.（情境）（24-25高一下·山东济南·期末）解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（   ）（参考数据：） A．30米 B．35米 C．45米 D．70米 8.（新考法）（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）    A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的均值大于乙得分的均值 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 10．（24-25高一下·浙江台州·期末）复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11.（新考法）（24-25高一下·江苏泰州·期末）半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ） A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（24-25高一下·福建三明·期末）某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 14．（新定义）（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）（24-25高一下·山东济南·期末）袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 16．（情境）（本小题满分15分）（24-25高一下·福建福州·期末）2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛.志愿服务是赛事成功举办的重要保障.在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)已知落在区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在区间的面试成绩平均数为67， 方差为20，试估算在区间内所有面试成绩的平均数和方差. 17．（热点）（本小题满分15分）（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本小题满分17分）（24-25高一下·江苏南通·期末）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 19．（新定义）（本小题满分17分）（24-25高一下·浙江宁波·期末）平面直角坐标系内有2027个点，，…，满足：①；②，.设. (1)若，，求的最小值； (2)若，，求的最小值； (3)若，，求的最小值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 全解全析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，故选C 2．（情境）（24-25高一下·福建泉州·期末）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（   ） A．60 B．100 C．120 D．140 【答案】D 【解析】，故选D. 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】由向量平行的坐标表示，，解得. 4.（改编）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】对于A，若，，，则与相交或，故A错误； 对于B，若，，则，又，则，故B正确； 对于C，若，，，则与相交或或，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误，故选B. 5．（热点）（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在平行四边形中，，所以，， 因为是的中点，所以，即， 因为，所以.故选：B 6．（情境）（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为样本空间， ，可得， 设“记录号码为4”为事件A，由题意可知：，可得， 所以.故选：B. 7.（情境）（24-25高一下·山东济南·期末）解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（   ）（参考数据：） A．30米 B．35米 C．45米 D．70米 【答案】B 【解析】由题意可得在中，， 在中，，则由正弦定理可得， 即，解得千米，故B正确，故选B. 8.（新考法）（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】如图所示，设直三棱柱的底面积为,体积为, 如图所示，,所以,此时. 此时平面在直棱柱的中间高度上，故平面与，，相交于它们的中点处，此时截面如图所示 可知,. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）    A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的均值大于乙得分的均值 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】AC 【解析】对于A，将甲的得分从大到小排列为8.1，8.2，8.3，8.4，8.4，8.7，易知其中位数为， 乙的得分从大到小排列为7.8，7.9，8.0，8.0，8.4，8.6，易知其中位数为， 所以可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，即A正确； 对于B，易知甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因此甲得分的极差小于乙得分的极差，即B错误； 对于C，甲得分的均值为， 乙得分的均值为， 所以甲得分的均值大于乙得分的均值，即C正确； 对于D，结合统计图以及甲、乙得分的极差可知，乙得分的离散程度较大， 因此甲得分的方差小于乙得分的方差，可得D错误. 故选：AC 10．（24-25高一下·浙江台州·期末）复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABC 【解析】设，，， 对于A，由复数的几何意义得，， ，满足，故A正确； 对于B，由复数三角不等式得， 当且仅当同向共线时取等，故B正确； 对于C，易得， 由模长公式得 ， 而， 可得，故C正确； 对于D，令，，则，， 此时满足，但不满足，故D错误. 故选：ABC 11.（新考法）（24-25高一下·江苏泰州·期末）半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ） A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确； 设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切， 所以平面，，， 在，，则， ，故B错误； 因为平面，所以就是直线与平面所成角， ，故C正确； 又，所以， 又，所以为直角三角形， 则，， ，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（24-25高一下·福建三明·期末）某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 【答案】80 【解析】将这10个数据从小到大排列为：72，78，80，81，83，86，88，90，91，92， 而，故所求为从小到大排列后的第三个数，即80. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 【答案】/ 【解析】根据题意结合图象可得： ，， ，， . 14．（新定义）（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 【答案】/ 【解析】连接，在中， 又因为是的中点，所以， 又且都在平面内，所以平面， 所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）（24-25高一下·山东济南·期末）袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【解】（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立， 故至少一个是白球的概率为； ……………………………………………4分 （2）因为事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”， 即为所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”， 所以， ……………………………………………6分 注意到， 所以， …………………………………………8分 而， …………………………………………10分 从而， ……………………………………………12分 所以A与B是相互独立的. ……………………………………………13分 16．（情境）（本小题满分15分）（24-25高一下·福建福州·期末）2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛.志愿服务是赛事成功举办的重要保障.在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)已知落在区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在区间的面试成绩平均数为67，方差为20，试估算在区间内所有面试成绩的平均数和方差. 【解】（1）由每组小矩形的面积之和为1， 得， ……………………………………………2分 解得， ……………………………………………4分 由， 得样本成绩的平均数为74； ……………………………………………7分 （2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， ……………………………………………9分 所以落在所有候选者的面试成绩的平均数 ， …………………11分 方差 . ，……………………………14分 估计落在所有候选者的面试成绩的方差为 . ……………………………………………15分 17．（热点）（本小题满分15分）（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）平面平面，，……………………………………………1分 ， …………………………………………2分 又，平面， ……………………………………………3分 平面，又平面， 平面平面； ……………………………………………5分 （2）过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， ……………………………………………7分 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ……………………………………………8分 ，四边形为平行四边形， ， ……………………………………………9分 ， ……………………………………………10分 在中，， ……………………………………………14分 在中，， ……………………………………………14分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………………………………15分 18．（本小题满分17分）（24-25高一下·江苏南通·期末）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 【解】（1）因为， 所以， ……………………………………………1分 即. 由正弦定理得. ……………………………………………3分 因为，所以， 所以，即， 所以， ……………………………………………5分 又，所以， 所以，故. ……………………………………………7分 （2）（i）在中，，…………………………………8分 即， 解得或（舍去） ……………………………………10分 （ii）在中，由余弦定理得， 所以. ……………………………………………12分 因为，所以. 所以 . ……………………………………………14分 在中，由正弦定理得，解得，………………………………………15分 所以 …………………………………………17分 19．（新定义）（本小题满分17分）（24-25高一下·浙江宁波·期末）平面直角坐标系内有2027个点，，…，满足：①；②，.设. (1)若，，求的最小值； (2)若，，求的最小值； (3)若，，求的最小值. 【解】（1）设，则， ……………………………………………1分 ……………………………………………3分 当且仅当时取等， ，则其最小值为2. ……………………………………………4分 （2）设，则， 设方向单位向量为方向单位向量为， ， ……………………………………………5分 ， ……………………………………………7分 当且仅当时取等， .则其最小值为. ……………………………………………8分 （3）设方向单位向量为方向单位向量为， …………………………9分 当时，为周期函数，周期为3， 设，则， 故是以6为周期的函数， ……………………………………………11分 ， ………………13分 ， 对于前336个周期中，令第个周期中的，第个周期中的， 则 ，…………15分 令， 此时，所以最小值为0． ……………………………………………17分 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B B B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．80 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立， 故至少一个是白球的概率为； ……………………………………………4分 （2）因为事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”， 即为所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”， 所以， ……………………………………………6分 注意到， 所以， …………………………………………8分 而， …………………………………………10分 从而， ……………………………………………12分 所以A与B是相互独立的. ……………………………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由每组小矩形的面积之和为1， 得， ……………………………………………2分 解得， ……………………………………………4分 由， 得样本成绩的平均数为74； ……………………………………………7分 （2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， ……………………………………………9分 所以落在所有候选者的面试成绩的平均数 ， …………………11分 方差 . ，……………………………14分 估计落在所有候选者的面试成绩的方差为 . ……………………………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）平面平面，，……………………………………………1分 ， …………………………………………2分 又，平面， ……………………………………………3分 平面，又平面， 平面平面； ……………………………………………5分 （2）过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， ……………………………………………7分 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ……………………………………………8分 ，四边形为平行四边形， ， ……………………………………………9分 ， ……………………………………………10分 在中，， ……………………………………………14分 在中，， ……………………………………………14分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）因为， 所以， ……………………………………………1分 即. 由正弦定理得. ……………………………………………3分 因为，所以， 所以，即， 所以， ……………………………………………5分 又，所以， 所以，故. ……………………………………………7分 （2）（i）在中，，…………………………………8分 即， 解得或（舍去） ……………………………………10分 （ii）在中，由余弦定理得， 所以. ……………………………………………12分 因为，所以. 所以 . ……………………………………………14分 在中，由正弦定理得，解得，………………………………………15分 所以 …………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）设，则， ……………………………………………1分 ……………………………………………3分 当且仅当时取等， ，则其最小值为2. ……………………………………………4分 （2）设，则， 设方向单位向量为方向单位向量为， ， ……………………………………………5分 ， ……………………………………………7分 当且仅当时取等， .则其最小值为. ……………………………………………8分 （3）设方向单位向量为方向单位向量为， …………………………9分 当时，为周期函数，周期为3， 设，则， 故是以6为周期的函数， ……………………………………………11分 ， ………………13分 ， 对于前336个周期中，令第个周期中的，第个周期中的， 则 ，…………15分 令， 此时，所以最小值为0． ……………………………………………17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $