学易金卷：高二数学下学期期末真题重组卷（人教A版，范围：人教A版全部）

**基本信息** 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷，整合浙江、湖南等多地期末真题，覆盖高中人教A版全部内容，通过热点情境与创新考法，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、直线、向量、概率、双曲线、导数|热点题结合导数切线、复数；多选题融合函数图象与性质| |填空题|3题/15分|百分位数、二项式定理、立体几何|情境题涉及学生成绩统计；新考法考查正方体与球相切| |解答题|5题/77分|数列、概率、立体几何、抛物线、函数新定义|情境题设计猜拳游戏概率模型；新考法探究圆台体积与动态线面角；综合题结合抛物线切线与定点问题|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中人教A版全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（24-25高二下·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 3．（改编）（24-25高二下·浙江温州·期末）在中，，那么向量在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．（情境）（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 5．（24-25高二下·福建三明·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 6．（热点）（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．（新考法）（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 8．（新考法）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（热点）（24-25高二下·浙江温州·期末）已知为复数，则下列结论一定正确的是（   ） A．如果，那么 B． C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 D． 10．（情境）（24-25高二下·江苏淮安·期末）某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 年份 2021 2022 2024 2025 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 A． B．2030年村人均年纯收入约为7万元 C．预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D．2025年的人均年纯收入残差值为0.1 11．（热点）（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（情境）（24-25高二下·浙江台州·期末）某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为______． 13.（24-25高二下·四川广安·期末）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 14．（新考法）（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）棱长为2的正方体中，球与棱均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（热点）（本小题满分13分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 16．（情境）（本小题满分15分）（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（新考法）（本小题满分15分）（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． (1)求圆台的体积； (2)设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 18．（本小题满分17分）（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 19．（情境）（本小题满分17分）（24-25高二下·江西萍乡·期末）若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. (1)判断函数是否为上的函数，并说明理由； (2)若函数是上的函数，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 全解全析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中人教A版全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（24-25高二下·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，集合，所以.故选C 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【答案】A 【解析】当或时两直线不平行，当且时， 因为，所以，故选:A． 3．（改编）（24-25高二下·浙江温州·期末）在中，，那么向量在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中，∵，∴，所以在方向上的投影向量为： .故选：A. 4．（情境）（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【解析】利用全概率公式计算，即现随机抽取一名学生， 则该学生喜欢篮球的概率是，故选：B. 5．（24-25高二下·福建三明·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以， ，所以双曲线的离心率为2，故选：D. 6．（热点）（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以，设直线与曲线的切点为， 所以，所以，且，令函数，， 因为，所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为，所以，所以.故选：C. 7．（新考法）（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值.故选：C 8．（新考法）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，．故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（热点）（24-25高二下·浙江温州·期末）已知为复数，则下列结论一定正确的是（   ） A．如果，那么 B． C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，复数不能比较大小，故A错误； 对于B，设， 则，， 所以成立，故B正确； 对于C，方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆，故C正确； 对于D，设， 则，， ，，， 所以成立，故D正确，故选BCD 10．（情境）（24-25高二下·江苏淮安·期末）某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 年份 2021 2022 2024 2025 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 A． B．2030年村人均年纯收入约为7万元 C．预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D．2025年的人均年纯收入残差值为0.1 【答案】AC 【解析】由表中数据可知，， 线性回归方程为，则，解得，故A正确； 由2030年对应，故2030年村人均年纯收入约为万元，故B错误； 线性回归方程为，直线的斜率为1，则从2025年起， 预估每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确； 2025年的人均年纯收入残差值为，故D错误，故选AC 11．（热点）（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 【答案】ACD 【解析】由题意得， 由图象可知，解得，所以，解得， 所以，图象经过点，且在处递增趋势， 可得，解得，因为，所以， 可得， 当时，，所以是函数图象的对称轴，所以A正确； 当时，，可知在此区间上不单调，所以B错误； 令，即， 可知，最小正周期为， ，当时，， 当时，，解得， 易知单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以可得大致图象： 由图可知，曲线与有11个交点，所以C正确. 令，则，解得， 当时，可知或0，则有两个零点，， 零点之和为，所以D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（情境）（24-25高二下·浙江台州·期末）某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为______． 【答案】123 【解析】由题意得120，123，125，130，133， 由，得第30百分位数是第二个数字，为123. 13.（24-25高二下·四川广安·期末）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 【答案】 【解析】根据二项式定理可知的展开式的通项为 ． 由已知可得，解得， 根据二项式定理的性质可知，该展开式共有7项，则二项式系数最大的是第项． 14．（新考法）（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）棱长为2的正方体中，球与棱均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______． 【答案】 【解析】由对称性可知，球心在立方体对角线上． 过作，可知平面，    故球与平面相切于点，所以为球的半径； 过作，故球与相切于点，所以为圆的半径． 因为中，，易知， 所以，即，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（热点）（本小题满分13分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【解】（1）由题可得，所以. 当时，.                                    ………………………………1分 当时，. ………………………………3分 因为不满足上式，. ………………………………4分 （2）由（1）知，. ………………………………5分 当时，. ………………………………6分 当时，，        ………………………………8分 所以 …………………10分 .                                   ………………………………12分 又满足上式，. ………………………………13分 16．（情境）（本小题满分15分）（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【解】（1）根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙， 甲丙，乙丙，对应事件设为，， …………………………1分 设甲获得第二局比赛胜利为事件， 若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜， 若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可， 所以， ………………………………3分 甲获得第二局比赛胜利的概率. ………………………………4分 （2）由题知， ………………………………5分 ， ………………………………7分 所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为 …………8分 （3）由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4 时，丙分别在第2局和第4局输了比赛， 所以， ………………………………10分 时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛， 所以， ………………………………11分 所以， ………………………………12分 则分布列为： 2 3 4 ……………………………13分. ………………………………15分 17．（新考法）（本小题满分15分）（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． (1)求圆台的体积； (2)设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【解】（1）因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为， 所以圆台的高为，                  ………………………………1分 所以圆台的体积为． ………………………………3分 （2）（ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M， 所以A，，，B四点共面．            ………………………………4分           又因为圆面圆面O， 平面圆面， 平面圆面， 所以．         ………………………………6分 （ⅱ）在圆面O内作，垂足为O． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， ，．                 ………………………………8分 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，，得．             ………………………………10分 设直线与平面所成角为， 则 ， ………………………………13分 当且仅当，即，时，取“”， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为 ………………………………15分 18．（本小题满分17分）（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【解】（1）（1）已知点在上， 所以，即，解得， ………………………………2分 所以的方程为. ………………………………3分 （2）抛物线方程可化为，则， 当时，切线斜率， ………………………………4分 由点斜式可得过点的切线方程为，即，…………………………6分 令，可得，所以. 由，可得，所以. …………………7分 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. ………………………………8分 因为， 所以， 所以. ………………………………9分 （3）易知.由题意知直线的斜率必存在， 故设直线， 联立得消去得，所以 ………………11分 直线的方程为，将代入，得， 由， 所以，同理可得. ………………………………13分 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， ………………………………15分 将代入， 得， 所以直线过定点. ………………………………17分 19．（情境）（本小题满分17分）（24-25高二下·江西萍乡·期末）若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. (1)判断函数是否为上的函数，并说明理由； (2)若函数是上的函数，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 【解】（1）因为， ……………………1分    因为时，，所以是上的函数.    ……………………………3分 （2）由题知，在上恒成立，         则，令，，         ………………………………4分 则， 当时，；当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，     ……………………………6分 所以， 所以实数的取值范围为.     ……………………………8分 （3）因为对上恒成立， 所以， ………………………………9分 当时，得， 又， 当且仅当时取等号； 且当时，单调递减， 所以当时，有最大值，即， ………………………………11分 当时，恒成立； ………………………………12分 当时，， 又，当且仅当时取等号， 又时，单调递减， 所以当时，有最小值，即， 综上得，                 ………………………………14分 不妨设，则，即， 令， 则，使函数在上单调递增，. 则，即， ………………………………16分 即，对成立，即， 所以实数的最大值为6. ………………………………17分 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 纸 4[A]B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 氧 的 12 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A B D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．123 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（热点）（本小题满分13分） 【解】（1）由题可得，所以. 当时，.                                    ………………………………1分 当时，. ………………………………3分 因为不满足上式，. ………………………………4分 （2）由（1）知，. ………………………………5分 当时，. ………………………………6分 当时，，        ………………………………8分 所以 …………………10分 .                                   ………………………………12分 又满足上式，. ………………………………13分 16．（情境）（本小题满分15分） 【解】（1）根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙， 甲丙，乙丙，对应事件设为，， …………………………1分 设甲获得第二局比赛胜利为事件， 若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜， 若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可， 所以， ………………………………3分 甲获得第二局比赛胜利的概率. ………………………………4分 （2）由题知， ………………………………5分 ， ………………………………7分 所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为 …………8分 （3）由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4 时，丙分别在第2局和第4局输了比赛， 所以， ………………………………10分 时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛， 所以， ………………………………11分 所以， ………………………………12分 则分布列为： 2 3 4 ……………………………13分. ………………………………15分 17．（新考法）（本小题满分15分） 【解】（1）因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为， 所以圆台的高为，                  ………………………………1分 所以圆台的体积为． ………………………………3分 （2）（ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M， 所以A，，，B四点共面．            ………………………………4分           又因为圆面圆面O， 平面圆面， 平面圆面， 所以．         ………………………………6分 （ⅱ）在圆面O内作，垂足为O． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， ，．                 ………………………………8分 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，，得．             ………………………………10分 设直线与平面所成角为， 则 ， ………………………………13分 当且仅当，即，时，取“”， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为 ………………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）（1）已知点在上， 所以，即，解得， ………………………………2分 所以的方程为. ………………………………3分 （2）抛物线方程可化为，则， 当时，切线斜率， ………………………………4分 由点斜式可得过点的切线方程为，即，…………………………6分 令，可得，所以. 由，可得，所以. …………………7分 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. ………………………………8分 因为， 所以， 所以. ………………………………9分 （3）易知.由题意知直线的斜率必存在， 故设直线， 联立得消去得，所以 ………………11分 直线的方程为，将代入，得， 由， 所以，同理可得. ………………………………13分 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， ………………………………15分 将代入， 得， 所以直线过定点. ………………………………17分 19．（情境）（本小题满分17分） 【解】（1）因为， ……………………1分    因为时，，所以是上的函数.    ……………………………3分 （2）由题知，在上恒成立，         则，令，，         ………………………………4分 则， 当时，；当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，     ……………………………6分 所以， 所以实数的取值范围为.     ……………………………8分 （3）因为对上恒成立， 所以， ………………………………9分 当时，得， 又， 当且仅当时取等号； 且当时，单调递减， 所以当时，有最大值，即， ………………………………11分 当时，恒成立； ………………………………12分 当时，， 又，当且仅当时取等号， 又时，单调递减， 所以当时，有最小值，即， 综上得，                 ………………………………14分 不妨设，则，即， 令， 则，使函数在上单调递增，. 则，即， ………………………………16分 即，对成立，即， 所以实数的最大值为6. ………………………………17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中人教A版全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（24-25高二下·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 3．（改编）（24-25高二下·浙江温州·期末）在中，，那么向量在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．（情境）（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 5．（24-25高二下·福建三明·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 6．（热点）（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．（新考法）（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 8．（新考法）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（热点）（24-25高二下·浙江温州·期末）已知为复数，则下列结论一定正确的是（   ） A．如果，那么 B． C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 D． 10．（情境）（24-25高二下·江苏淮安·期末）某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 年份 2021 2022 2024 2025 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 A． B．2030年村人均年纯收入约为7万元 C．预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D．2025年的人均年纯收入残差值为0.1 11．（热点）（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（情境）（24-25高二下·浙江台州·期末）某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为______． 13.（24-25高二下·四川广安·期末）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 14．（新考法）（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）棱长为2的正方体中，球与棱均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（热点）（本小题满分13分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 16．（情境）（本小题满分15分）（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（新考法）（本小题满分15分）（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． (1)求圆台的体积； (2)设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 18．（本小题满分17分）（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 19．（情境）（本小题满分17分）（24-25高二下·江西萍乡·期末）若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. (1)判断函数是否为上的函数，并说明理由； (2)若函数是上的函数，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $