精品解析：山西吕梁市方山部分学校2026年第二次中考模拟数学试卷

数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 二十四节气是中国古代农耕文明的重要组成部分，用来指导农业生产和日常生活．乐乐查询了当地2025年大寒时的最高气温为，大暑时的最高气温为，则两个节气的最高气温相差（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求两个气温的差值，用较高温度减去较低温度，再根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：∵大寒时的最高气温为，大暑时的最高气温为， ∴ 气温差为 ． 2. 山西省，简称“晋”，又称“三晋”．下面是小明收集的关于“晋”字的演变过程，其文字上方的部分是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形， 根据轴对称图形的定义可得选项C符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，多项式乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的规则，依次判断各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 对选项B，展开多项式乘积得 ∴，B错误； 对选项C，∵积的乘方等于各因式乘方的乘积，幂的乘方底数不变指数相乘， ∴，C正确； 对选项D，∵和不是同类项，不能合并， ∴，D错误． 4. 位于朔州市的应县木塔，是“世界三大奇塔”之一，也是世界上现存最古老的纯木结构楼阁式建筑，它的结构独特，全榫卯连接，没有一根铁钉．如图是一种简单的榫卯结构示意图，几何体A和B组合后得到新的几何体，其中几何体A的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查组合体的三视图，从上面看即得几何体A的俯视图． 【详解】解：从上面看，几何体A的俯视图为 5. 在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 【详解】解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 【点睛】 6. 下面解分式方程的步骤中，错误的是（ ） A. 将方程两边同时乘可转化为整式方程 B. 去分母后的一元一次方程为 C. 原分式方程的解为 D. 原分式方程无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 7. 开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常．一组数据印证了这份“蓝天幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染天数为82天．设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x，则下面所列方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据初始污染天数和平均减少率推导两年后污染天数，即可列出正确方程． 【详解】解：∵2023年空气污染天数为121天 ∴2024年空气污染天数为 ∴2025年空气污染天数为 又∵2025年空气污染天数为82天 ∴可得方程． 8. 如图，E，F是中，延长线上的两点，连接分别交，于点G，H．下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，再利用平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．则，左右两边同时加1可得，即，,因此该选项成立； B．，即，可得，对应边比例为，与选项中的比例式不符，因此该选项不成立； C．，，即，可得，对应边比例为，与选项中的比例式不符，因此不成立． D．由可得，则；由可得，所以． 又得不到 ，因此不成立，所以该选项不成立． 9. 已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 10. 如图，是的直径，，，是的弦．若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，圆周角定理，得到，解直角三角形求出的长，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行求解即可. 【详解】解：是的直径，，， ∴，， ∵， ∴， 连接，则， ∴， ∴长为. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】采用平方法将无理数转化为有理数后比较，根据两个正实数，平方更大的原数更大得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ∵， ∴． 12. 如图，的顶点B，C的坐标分别为，，将沿方向平移得到，若点A的对应点D的坐标是，则点A的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度；点A的对应点D的坐标是，再反向平移即可得到点A的坐标． 【详解】解：由题可知点平移后得到点； ∴平移方式是先向左平移1个单位长度，在再向下平移2个单位长度； ∵点A的对应点D的坐标是， ∴点A的坐标为． 13. 如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 14. 的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 【答案】100 【解析】 【分析】观察发现：距离与信号强度的乘积为定值，即信号强度与距离成反比例关系，再利用待定系数法求得函数解析式，再将代入求函数值即可解答． 【详解】解：由题意可得：信号强度与距离成反比例关系， 设信号强度与距离的函数关系式为， 则， 所以信号强度与距离的函数关系式为， 当时，． 15. 如图，在矩形中，线段垂直平分对角线，是边上一点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形性质结合勾股定理得到，，，，再根据线段垂直平分线的性质得到，；证明，结合正切定义可得，再利用锐角三角函数分别求得，，过G作延长线于Q，则，利用平行线分线段成比例求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∵线段垂直平分对角线， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 过G作延长线于Q，则， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， 故线段的长为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 18. 为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材．生物实验室需要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜．经市场调查，现将相关信息整理如下： 单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元） 3 2 1440 8 5 3720 （1）单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？ （2）若学校计划购买这两种显微镜共台，且购买的总价不超过元，则最多可购买双目显微镜多少台？ 【答案】（1）单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台 （2）台 【解析】 【分析】（1）根据已知信息列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可购买双目显微镜台，则可表示出购买单目显微镜的数量，再根据“购买的总价不超过元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台． 根据题意，得，解得； 答：单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台． 【小问2详解】 解：设可购买双目显微镜台，则购买单目显微镜台． 根据题意，得 解得． 为整数，且取最大值， ． 答：最多可购买双目显微镜台． 19. 为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1．了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2．给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷 你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟 □B：30-60分钟 □C：60-90分钟 □D：90-120分钟 □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； （2）请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； （3）如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． （4）请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 【答案】（1）①C；③D；④88.8 （2）见解析 （3）312名 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据抽样调查的样本代表性原则，判断三个抽取方法中能全面反映七年级学生整体情况的选项；③对比各组的人数，人数最多的组即为众数所在组；④利用加权平均数公式，将每组的组中值乘以对应人数求和后除以总人数，得到平均时间； （2）先通过扇形统计图的各部分占比和已知的抽样总人数，计算出B组、C组的人数，补全条形统计图； （3）先统计出运动时间不少于分钟的人数占抽查总人数的比例，再乘以全校总人数得到估计的达标人数，结合达标比例判断目标合理性； （4）根据统计结果反映的学生运动时间分布情况，提出针对性的活动调整建议． 【小问1详解】 解：（1）①随机抽样需要具有代表性，因此随机抽取男、女各25名学生更合理，故选C； ③条形统计图可得，调查的总人数为（人）， ∴C组人数为（人），B组人数为（人）， ∴D组人数最多，故众数落在D组中； ④被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为（分钟）． 【小问2详解】 解：补充完整的统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计有312名学生能完成目标，目标合理，因为，过半的学生都能完成这个目标，所以这个目标合理． 【小问4详解】 解：①学校“阳光体育运动”采取的措施成果显著，超过一半的学生平均每天体育运动的时间为90分钟；②仍然有学生每天平均体育运动的时间不足一小时，学校还需提供更多的体育运动机会．（合理即可） 20. 研学实践：忻州古城是一座具有1800多年历史的古城，它既是历史的见证者，更是文化的传承者，被誉为晋北地区的“文化博物馆”．忻州古城有四个城门，其中北门拱辰门仍保留着清朝时期的建筑面貌，也是忻州古城内保存比较完整的城门．下面是思辨小组的同学们运用所学知识测量拱辰门的高度的方案及数据． 方案1 方案2 测量工具 自制测倾器，皮尺 搭载扫描仪的航模 测量示意图 测量方案及数据 如图1，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小丽站在城门前水平地面的点处，利用高为的测倾器测得点的仰角． 如图2，小军仍然站在水平地面的点处，将航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角为． 思辨小组的成员发现仅仅利用方案1或方案2中的数据无法计算城门的高度，但两组数据结合可以解决问题，请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，， ， ） 【答案】米 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，可得到，设，在中，解直角三角形可表示出的长，在中，解直角三角形可表示出的长，根据列方程求解即可． 【详解】解：如图1，延长交于点；如图2，延长交于点，则四边形，四边形都是矩形， ，，． 设，则，． 在中，，，， ． 在中，，，， ． 由，得． 解得． 答：城门顶部点到地面的距离的长约为米． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸六边形，若其三组对边两两平行，则称该六边形为平行六边形． 如图1，在凸六边形中，，，，则这样的凸六边形就是平行六边形．其中与，与，与叫做“主对边”；与，与，与叫做“主对角”；，，叫做“主对角线”． 【性质探索】 内角：平行六边形的三组主对角分别相等； 对角线：…… 【判定探索】 平行六边形的定义是判定的一种方法，不过根据判定定理可由性质定理的逆命题进行猜想的研究思路，大胆猜测：三组主对角分别相等的凸六边形是平行六边形，探究过程如下： 已知：如图2，在凸六边形中，，，． 求证：凸六边形是平行六边形． 证明：如图3，分别延长，交于点G，，交于点H． ， ，即． …… 【平行六边形拓展】 六条边都相等的平行六边形叫做等边平行六边形． 任务： （1）补全材料中“【判定探索】”的证明过程； （2）如图4，已知平行六边形满足，则平行六边形________等边平行六边形（填“是”或“不是”）； （3）如图5，已知在菱形中，，请在图中作一个等边平行六边形，使得点E，F，G，H依次落在边，，，上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）是 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别延长，交于点G，，交于点H，先推导出，，继而推导出，得到，证明出， 同理可得，，则凸六边形是平行六边形，即可解答； （2）连接，推导出四边形是平行四边形，得到，继而推导出证明出，得到，则平行六边形是等边平行六边形，即可解答； （3）分别用尺规作图作出的垂直平分线，的垂直平分线，的垂直平分线，的垂直平分线，使得点E，F，G，H依次落在边，，，上，顺次连接成六边形，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图3，分别延长，交于点G，，交于点H． ， ，即． ， ． ． ，， ． ， ． ， ． ， 即． 同理可得，． 凸六边形是平行六边形． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行六边形是等边平行六边形； 【小问3详解】 解：如图，六边形即为所求． 理由如下： 连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 由作图，可知是的垂直平分线，是的垂直平分线，是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴ ∴，， 同理可得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴六边形是平行六边形， ∵， ∴六边形是等边平行六边形． 22. 综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处．在学校开展的“数学之美——创意明信片设计”活动中，同学们匠心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品．如图1所示，房屋轮廓可近似看作由一段抛物线与线段围成的封闭图形，搭配别具巧思的“弦图”窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味．为进一步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了不少新颖的设计思路． 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段和线段互相垂直平分，且，抛物线经过A，B，C三点，以点D为原点，过点D且与平行的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧）； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段，作线段轴与抛物线交于G，H两点，线段将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半部分设计门窗； 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框的边长，轴，轴，延长与抛物线交于点S，延长与抛物线交于点T，． 解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）在图3中，求线段和的长度； （3）在图4中，若点M的坐标为． ①请直接写出n与m之间的关系式； ②当时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接写出窗框的总长度（包括正方形外框和内框）． 【答案】（1） （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先利用垂直平分线的性质求得，再利用待定系数法求解即可； （2）当时，，解得：，可确定点E、F的坐标，进而确定的长度；再说明点H、G的纵坐标为，进而确定H、G的坐标，最后求的长度即可； （3）①先确定，易得；再求出，然后根据列等式化简即可解答；②先确定，，再确定正方形外框的周长为4，正方形的面积为1；设组成正方形的四个直角三角形的长边为c，短边为d，且则，由题意可得，再与联立求得d，易得内框边长为；最后求总长度即可． 【小问1详解】 解：∵线段和线段互相垂直平分，且， ∴， 设抛物线的解析式为， 则，解得：． 【小问2详解】 解：当时，，解得：， ∴， ∴； ∵线段将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍， ∴点H、G的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①轴，延长与抛物线交于点S，， ∴，即， ∴， ∵正方形窗框的边长， ∴，轴 ∵延长与抛物线交于点T， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得：； ②当时，， ∴，， ∵正方形的边长为1 ∴正方形外框的周长为4，正方形的面积为1 设组成正方形的四个直角三角形的长边为c，短边为d，且则， ∵正方形被分成的五部分面积相等， ∴每个直角三角形是正方形面积的，即， 联立，解得：（已舍去不合题意的解）， 由图可知：正方形的内框边长为， ∴窗框的总长度． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，同学们以等边三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的关系．如图1，在等边外部取点D，连接，，并使得的度数始终是，将绕点C顺时针旋转，得到（点E，F分别是点B，D的对应点），作直线与直线交于点G． 特例分析： （1）如图2，若点D位于边的左侧，当时，请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）如图3，若点D位于边的右侧，请判断与之间满足怎样的数量关系，并说明理由； （3）直线与直线相交于点H，当是直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）菱形，见解析 （2），见解析 （3）1或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质以及等边三角形的性质可证明可得，进而证明四边形是平行四边形．再结合即可解答； （2）如图1，延长到M，使，连接，．易证是等边三角形可得、．进而证明． ．进而证明，易证是等边三角形；最后证明即可证明结论； （3）分和两种情况，分别利用直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是菱形．理由如下： 由旋转得，，， ． ， ∵， ． 是等边三角形， ，． ． ． ， ． ． ． ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图1，延长到M，使，连接，． ， 是等边三角形． ，． 是等边三角形， ，． ． ． ． ． ， ． 由旋转得，，， ，． ，． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ． 是等边三角形． ，． 由旋转得，， ， ． ，即． ． ． 【小问3详解】 解：如图2，当时， ． 四边形是菱形， ， ． ∵ ． ,即， ∵， ∴ ． ． 如图3，当时， ． ． ，． ，． 四边形是菱形， ． ． ． 综上所述，的值为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 二十四节气是中国古代农耕文明的重要组成部分，用来指导农业生产和日常生活．乐乐查询了当地2025年大寒时的最高气温为，大暑时的最高气温为，则两个节气的最高气温相差（ ） A. B. C. D. 2. 山西省，简称“晋”，又称“三晋”．下面是小明收集的关于“晋”字的演变过程，其文字上方的部分是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 位于朔州市的应县木塔，是“世界三大奇塔”之一，也是世界上现存最古老的纯木结构楼阁式建筑，它的结构独特，全榫卯连接，没有一根铁钉．如图是一种简单的榫卯结构示意图，几何体A和B组合后得到新的几何体，其中几何体A的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（ ） A. B. C. D. 6. 下面解分式方程的步骤中，错误的是（ ） A. 将方程两边同时乘可转化为整式方程 B. 去分母后的一元一次方程为 C. 原分式方程的解为 D. 原分式方程无解 7. 开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常．一组数据印证了这份“蓝天幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染天数为82天．设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x，则下面所列方程正确的是（） A. B. C. D. 8. 如图，E，F是中，延长线上的两点，连接分别交，于点G，H．下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 如图，是的直径，，，是的弦．若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 12. 如图，的顶点B，C的坐标分别为，，将沿方向平移得到，若点A的对应点D的坐标是，则点A的坐标为________． 13. 如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 14. 的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 15. 如图，在矩形中，线段垂直平分对角线，是边上一点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 18. 为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材．生物实验室需要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜．经市场调查，现将相关信息整理如下： 单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元） 3 2 1440 8 5 3720 （1）单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？ （2）若学校计划购买这两种显微镜共台，且购买的总价不超过元，则最多可购买双目显微镜多少台？ 19. 为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1．了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2．给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷 你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟 □B：30-60分钟 □C：60-90分钟 □D：90-120分钟 □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； （2）请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； （3）如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． （4）请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 20. 研学实践：忻州古城是一座具有1800多年历史的古城，它既是历史的见证者，更是文化的传承者，被誉为晋北地区的“文化博物馆”．忻州古城有四个城门，其中北门拱辰门仍保留着清朝时期的建筑面貌，也是忻州古城内保存比较完整的城门．下面是思辨小组的同学们运用所学知识测量拱辰门的高度的方案及数据． 方案1 方案2 测量工具 自制测倾器，皮尺 搭载扫描仪的航模 测量示意图 测量方案及数据 如图1，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小丽站在城门前水平地面的点处，利用高为的测倾器测得点的仰角． 如图2，小军仍然站在水平地面的点处，将航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角为． 思辨小组的成员发现仅仅利用方案1或方案2中的数据无法计算城门的高度，但两组数据结合可以解决问题，请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，， ， ） 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸六边形，若其三组对边两两平行，则称该六边形为平行六边形． 如图1，在凸六边形中，，，，则这样的凸六边形就是平行六边形．其中与，与，与叫做“主对边”；与，与，与叫做“主对角”；，，叫做“主对角线”． 【性质探索】 内角：平行六边形的三组主对角分别相等； 对角线：…… 【判定探索】 平行六边形的定义是判定的一种方法，不过根据判定定理可由性质定理的逆命题进行猜想的研究思路，大胆猜测：三组主对角分别相等的凸六边形是平行六边形，探究过程如下： 已知：如图2，在凸六边形中，，，． 求证：凸六边形是平行六边形． 证明：如图3，分别延长，交于点G，，交于点H． ， ，即． …… 【平行六边形拓展】 六条边都相等的平行六边形叫做等边平行六边形． 任务： （1）补全材料中“【判定探索】”的证明过程； （2）如图4，已知平行六边形满足，则平行六边形________等边平行六边形（填“是”或“不是”）； （3）如图5，已知在菱形中，，请在图中作一个等边平行六边形，使得点E，F，G，H依次落在边，，，上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处．在学校开展的“数学之美——创意明信片设计”活动中，同学们匠心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品．如图1所示，房屋轮廓可近似看作由一段抛物线与线段围成的封闭图形，搭配别具巧思的“弦图”窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味．为进一步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了不少新颖的设计思路． 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段和线段互相垂直平分，且，抛物线经过A，B，C三点，以点D为原点，过点D且与平行的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧）； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段，作线段轴与抛物线交于G，H两点，线段将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半部分设计门窗； 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框的边长，轴，轴，延长与抛物线交于点S，延长与抛物线交于点T，． 解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）在图3中，求线段和的长度； （3）在图4中，若点M的坐标为． ①请直接写出n与m之间的关系式； ②当时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接写出窗框的总长度（包括正方形外框和内框）． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，同学们以等边三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的关系．如图1，在等边外部取点D，连接，，并使得的度数始终是，将绕点C顺时针旋转，得到（点E，F分别是点B，D的对应点），作直线与直线交于点G． 特例分析： （1）如图2，若点D位于边的左侧，当时，请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）如图3，若点D位于边的右侧，请判断与之间满足怎样的数量关系，并说明理由； （3）直线与直线相交于点H，当是直角三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $