山西省吕梁市中阳县2026年初中学业水平模拟考试数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B B C D C D B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11． 12．540 13． 14．八五 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（1）解：原式（3分） （4分） （5分） （2）解：原式（2分） （3分） （4分） （5分） 17．证明：∵， ∴，（1分） ∵， ∴，（2分） 又∵， ∴，（4分） ∴，（5分） ∴， ∴．（6分） 18．解：（1）85；86；80；（3分） （2）选择乙小组参加比较合适．（4分） 答案不唯一，从以下四个角度中任选两个角度说明理由即可．（6分） 理由如下：①从平均数来看，甲组初赛成绩的平均数为85分，乙组初赛成绩的平均数为85分，两组初赛成绩的平均数相等．②从中位数来看，甲组初赛成绩的中位数为83.5分，乙组初赛成绩的中位数为86分，乙组初赛成绩的中位数大于甲组初赛成绩的中位数．③从众数来看，甲组初赛成绩的众数为80分，乙组初赛成绩的众数为87分，乙组初赛成绩的众数大于甲组初赛成绩的众数．④从方差来看，甲组初赛成绩的方差为57.75，乙组初赛成绩的方差为11.5，乙组初赛成绩的方差小于甲组初赛成绩的方差，所以乙组初赛成绩更稳定． 19．解：设采用传统工艺每天可酿造原酒x千升，则采用智能化设备每天可酿造原酒千升．（1分） 根据题意，得，（4分） 解得．（5分） 经检验，是原方程的解，并且符合实际意义．（6分） 当时，．（7分） 答：采用智能化设备每天可酿造原酒9.8千升．（8分） 20．解：（1）∵与相切于点C，∴，即，（2分） ∵，∴，（3分） ∴， ∴． 答：日晷晷面与底座的倾角的度数为．（4分） （2）如图，过点F作于点M．过点H作，垂足为点N． 则．（5分） ∵，∴， ∴，（6分） 在中，∵， ∴， ∴，（7分） 在中，∵， ∴，（8分） 在中，∵， ∴，（9分） ∴点H到地面的距离． 答：点H到地面的距离为．（10分） 21．解:（1）；（2分） （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，,（3分） 又∵， ∴，（4分） 在中，∵， ∴，（5分） ∴．（6分） （3）答案不唯一，例如： 作法一：作法二： 作法三： 如图，四边形即为所求．（9分） 22．解：（1）设抛物线的函数表达式为，（1分） ∵抛物线经过原点， ∴，（2分） 解得，（3分） ∴抛物线的函数表达式为（）．（4分） （2）∵两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为7米， ∴当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米，（5分） 把代入中，得，（6分） 解得，，（8分） ∴两个测量标杆之间的水平距离为米． 答：两个测量标杆之间的水平距离为米．（10分） （3）．（13分） 23．（1）解：（1分） 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，，（2分） ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴，（3分） ∴，（4分） ∴， ∴．（5分） （2）解：四边形是菱形（6分） 证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴，（7分） ∴，（8分） ∴， ∴四边形是平行四边形，（9分） 又∵， ∴是菱形．（10分） （3）解：的长为，2或．（13分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名____________ 准考证号____________________ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果为 A． B．2 C． D．8 2．中国传统吉祥纹样承载着千年的对称美学与文化智慧，是中华优秀传统文化的鲜活符号．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．下列运算正确的是 A． B． C． D． 4．榫卯结构是中国古代建筑中极具智慧的传统木作工艺．如图是一个经过加工的榫卯槽形构件的示意图及其主视图，则它的俯视图为 A． B． C． D． 5．2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 6．光线从一种介质进入另一种介质会发生折射．如图所示，一束光线经玻璃砖两次折射后，沿方向射出，其中，，若，，则的度数为 A．100° B．110° C．146° D．156° 7．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量x的取值范围是 A． B．或 C． D．或 8．制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需付制作费用为 A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 9．某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为220 V，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是 A．电功率P是电阻R的一次函数 B．电功率P关于电阻R的函数解析式为（） C．当电阻R从110  Ω增大到220  Ω时，电风扇的电功率P从220 W增大到440 W D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为160  Ω，则此时电功率的大小为302.5 W 10．勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则图2中勒洛三角形的周长为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．不等式组的解集是________． 12．大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________°． 13．“经史子集”是中国古代典籍分类体系，分别对应儒家经典、史书、诸子百家著作及文集诗词．现将“经”“史”“子”“集”四张书签背面朝上放在桌面上（书签背面完全相同），从中随机抽取一张，放回并混在一起，再从中随机抽取一张，则抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率是________． 14．某款AI智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高50%后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为27.5%，则商店应按标价的________折销售． 15．如图，在中，，点D是斜边的中点，点E在的延长线上，，延长与交于点F．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：； （2）化简：． 17．（本题6分）如图，点C，E，B，F在一条直线上，，且．求证：． 18．（本题6分）2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 a 83.5 c 57.75 乙组 85 b 87 11.5 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 19．（本题8分）“逢人便说杏花村，汾酒品牌天下闻”，山西汾酒以其入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长特色而著称．某酿酒车间原来采用传统工艺酿造原酒，现在改用智能化设备酿造原酒，其日均产量比采用传统工艺提高40%．已知采用传统工艺酿造126千升原酒所用的时间，比采用智能化设备酿造147千升原酒所用的时间多3天．求采用智能化设备每天可酿造原酒多少千升？ 20．（本题10分）跨学科活动 日晷是古代利用日影计时的仪器，通常由晷针（铜制的指针）、晷面（石制的带有刻度的圆盘）及底座组成，用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻．某数学兴趣小组的同学围绕“日晷构造的调研与计算”开展跨学科学习活动，并形成如下活动报告． 活动主题 日晷构造的调研与计算 调查方式 查阅资料、实地查看了解 调查过程 日晷 实物图 如图1，晷面安放在长方体底座上，与赤道平行，晷针垂直穿过晷面中心，与地轴平行，上端指向北极，下端指向南极．其放置示意图如图2所示． 放置 示意图 如图2，日晷底座与地球截面所在相切于点C，点C处的纬度为，即，晷面赤道，且与底座的倾角为，晷针平行于地轴（日晷底座及晷面厚度均忽略不计）． 截面 示意图 如图3是经过晷面中心点的截面示意图，晷面上下表面所在直线，上端侧面所在直线，底座上表面所在直线地面，测得，晷面截面厚度，底座高度为． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，完成下列计算： （1）在图2中计算日晷晷面与底座的倾角的度数； （2）结合（1）中所得的度数，在图3中计算晷面最高点H到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小慧同学的一篇数学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 由一道课本习题引发的思考与探究 中，已知，及其夹角（是锐角），能求出的面积S吗？如果能，用，及其夹角表示S． 【分析论证】 如图1，过点A作，垂足为点H． 在中，∵，∴． ∴． 【应用结论】 已知菱形的边长为4，一个内角为，则这个菱形的面积为 ▲ ． 【类比思考】 我们知道，菱形的面积还等于两条对角线长度乘积的一半．如图2，在菱形中，对角线，相交于点O，则． 对于一般的平行四边形，它的面积是否也与两条对角线的长度有关呢？经过探索，我发现平行四边形的面积与两条对角线的长度及对角线的夹角有关． 如图3，在中，对角线，相交于点O（），则．下面是对这个结论的证明过程． 证明：过点D作，垂足为点H． …… 【拓展探究】 经过进一步探究，我发现对于一般的四边形，图3中得到的结论仍然成立． 如图4，在四边形中，对角线，相交于点O（），则． …… 学习任务： （1）直接写出材料中“▲”处空缺的内容：____________； （2）结合图3补全材料中的证明过程； （3）如图5，已知线段a，b与，求作四边形，使（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一个即可）． 22．（本题13分）综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为20米时达到最高，高度为16米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为P，水火箭在地面的发射点为O，落地点为Q．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，为保障观测安全，在发射点O正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为7米，求两个测量标杆之间的水平距离； （3）在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点E到发射点O的距离为41米，点F到发射点O的距离为42米．如图2，若在点O处放置一个高度为m米的发射架，从发射架顶端D点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含E，F两点），请直接写出发射架的高度m的取值范围． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点E在边上，沿过点D，E的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点G． 猜想证明：（1）如图1，当点G与点C重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考：（2）如图2，沿过点F的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点H，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $