专题1 有余数的除法（专项训练）二年级数学暑假专项提升（青岛版·新教材）

**基本信息** 以“规律-计算-应用”为主线，系统构建有余数除法认知体系，提炼余数规律、竖式四步法及“进一/去尾”应用题解法，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础认知|概念+读写|平均分两种情况分类|从整除延伸至有余数除法，明确核心前提| |余数规律与验算|3大规律+公式|余数<除数、取值范围、被除数=除数×商+余数|构建规律体系，为计算与应用奠基| |竖式计算|四步法+书写要求|商-乘-减-比步骤|规范计算流程，结合验算保障准确性| |基础题型|3类核心题|已知除数/余数求最值、求被除数|直接应用规律解决纯数学问题| |实际应用题|2类场景题|进一法（商+1）、去尾法（只取商）|联系生活情境，培养应用意识与模型观念|

专题1 有余数的除法 一、有余数的除法基础认知 在平均分物品时，会出现两种情况：一种是正好分完（没有剩余），一种是分完后有剩余且剩余的数不够再分一份，这种带有剩余的除法，叫做有余数的除法。本单元是整数除法的延伸，是后续学习除法竖式、多位数除法的基础，是二年级下册计算和应用题核心必考内容。 核心前提：余数必须是平均分后剩下的数量，且剩余数量小于每份数量，无法再继续平均分。 二、有余数除法各部分名称与算式读写 1. 除法算式组成 完整有余数除法算式： 被除数：需要平均分的总数量； 除数：平均分的份数或每份的数量； 商：平均分后每份的数量或分的份数； 余数：平均分后剩下、不够再分一份的数量。 2. 算式读写规则 读法：从左往右读，“÷”读作除以，“……”读作余。 示例： 读作：十七除以五等于三余二。 三、余数核心规律（必考重难点） 这是本单元最重要、最容易出错的核心知识点，所有题型均围绕此规律出题。 1. 基本规律 余数一定比除数小，绝对不能大于或等于除数。 反向结论：除数一定比余数大。 2. 取值范围 余数最小是1（有余数的除法，余数不能为0，余数为0是整除）； 余数最大是除数-1。 示例：除数是6，余数最大是5，最小是1。 3. 万能验算公式 被除数 = 除数 × 商 + 余数 验算用法：计算完成后，代入公式核对，结果等于被除数则计算正确。 四、有余数除法竖式计算 1. 竖式书写顺序 先写除号→写被除数→写除数→计算商→算乘积→算余数，数位必须对齐。 2. 竖式计算四步法 商：看被除数里最多包含几个除数，就商几； 乘：除数×商，算出乘积； 减：被除数－乘积，算出余数； 比：对比余数和除数，保证余数＜除数。 3. 书写要求 余数的数位和被除数的个位对齐，竖式计算必须验算，杜绝余数大于除数的错误。 五、有余数除法两大基础题型 1. 已知除数，求最大、最小余数 利用规律：余数最大=除数-1，余数最小=1，常考填空、选择题。 2. 已知余数，求最小除数 除数必须比余数大，所以除数最小=余数+1。 3. 已知各部分，求被除数 利用验算公式：被除数=除数×商+余数，已知除数、商、余数，直接计算。 六、有余数除法实际应用题（高频考点） 二年级应用题核心分为两类，解题关键是根据生活场景判断是否“进一”。 1. 进一法（必须加1） 适用场景：租船、坐车、装箱、分组、搭帐篷等，剩余的人/物品也需要单独占用一份。 规则：计算结果有余数，最终份数/数量 = 商 + 1。 示例：25人坐船，每条船坐4人，25÷4=6……1，剩余1人也需要1条船，一共需要7条船。 2. 去尾法（不加1） 适用场景：买东西、做饰品、裁剪物品等，剩余数量不够完成一份，直接舍去。 规则：无论余数是几，最终数量只取商，不加1。 示例：20元买笔，每支6元，20÷6=3……2，剩余2元不够买1支，最多买3支。 一、选择题 1．余数是4的算式是（    ）。 A．30÷7 B．25÷5 C．40÷9 【答案】C 【分析】根据乘法口诀分别计算出各选项算式的商和余数，再与题目要求的余数进行比较，找出余数是4的算式即可选出正确选项。 【详解】A．计算，想乘法口诀“四七二十八”，，即，余数是2，此选错误； B．计算，想乘法口诀“五五二十五”，正好除尽，即，余数是0，此选错误； C．计算，想乘法口诀“四九三十六”，，即，余数是4，此选正确。 2．商和余数相同的算式是（    ）。 A．18÷5 B．25÷7 C．16÷3 【答案】A 【分析】根据有余数除法的计算方法，分别计算出各个算式的商和余数，再比较商和余数是否相同。 【详解】A．，商是 3，余数是 3，商和余数相同，此选项正确； B． ，商是 3，余数是 4，商和余数不相同，此选项错误； C．，商是 5，余数是 1，商和余数不相同，此选项错误。 故答案为：A 3．用小正方体摆，如果有剩余，那么可能剩（    ）个正方体。 A．4 B．5 C．6 【答案】A 【分析】在有余数的除法里余数比除数小。剩余的小正方体就是余数。 【详解】观察这个立体图形：下层有4个小正方体，上层有1个小正方体，所以摆放1个这样的图形需要5个小正方体。在有余数的除法里，余数比除数小。这里除数是5（摆放1个图形需要的小正方体数），所以余数（剩余的小正方体数）要小于5。选项中4、5、6里只有4＜5，所以可能剩4个正方体。 4．二（2）班的3位老师和42名同学准备坐缆车到梅花山虎园，至少要（    ）辆缆车。 A．7 B．8 C．9 【答案】B 【分析】用总人数除以限乘的人数，得到的商是能坐满的缆车的辆数，有余数时，商加1，就是至少要几辆缆车。 【详解】42＋3＝45（人） 45÷6＝7（辆）……3（人） 7＋1＝8（辆） 至少要8辆缆车。 5．四个小朋友在玩轮流报数游戏。下面三个数中，（    ）是方方报的。 A．31 B．33 C．34 【答案】B 【分析】从图中可知，按照报数的顺序，每4个数一个循环周期，每个周期内报数顺序固定，再分别求出选项中的数除以4的余数，判断是否是方方报的。 【详解】31÷4＝7……3，其中7是商，表示31里面包含7个完整的周期；3是余数，表示在新的一轮周期中，是第3个报数的小朋友。 33÷4＝8……1，其中8是商，表示33里面包含8个完整的周期；1是余数，表示在新的一轮周期中，是第1个报数的小朋友。 34÷4＝8……2，其中8是商，表示34里面包含8个完整的周期；2是余数，表示在新的一轮周期中，是第2个报数的小朋友。 由于每轮周期中第2个报数的是方方，说明33是方方报的。 6．桌上放了一些桃子，比24个多，比30个少。平均分给6个同学，还剩5个。这些桃子有（    ）个。 A．25 B．27 C．29 【答案】C 【分析】根据有余数的除法的运算，用各个选项除以6，得出的余数为5，即为正确答案。 【详解】25÷6＝4（个）……1（个） 27÷6＝4（个）……3（个） 29÷6＝4（个）……5（个） 所以这些桃子有29个。 二、填空题 7．一个除法算式中，除数是9，商是4，余数最小是( )，此时被除数是( )。 【答案】 1 37 【分析】根据在有余数的除法中，被除数÷除数＝商……余数，余数总比除数小，除数最小是1。 【详解】9×4＝36，36＋1＝37。余数最小是1，被除数是37。 8． 照样子摆下去，第30朵云是( )色的。 【答案】红 【分析】每组以黄红白蓝共4朵云循环，用除法计算出第30朵云的位置，有余数时余数是几则是每组的第几朵，没有余数则是一组中的最后一个。 【详解】 30÷4＝7（组）……2（朵） 余数是2，为每组的第2朵云，颜色是红色。 9．Δ÷☆＝7……6，Δ最小是( )，当Δ最小时，☆是( )。 【答案】 55 7 【分析】根据有余数的除法的规则，余数必须比除数小。已知余数是，则除数☆必须大于。要使被除数△最小，除数☆必须取最小值。确定除数后，根据“被除数＝除数商余数”即可求出被除数。 【详解】除数☆的最小值：大于的最小整数是，所以☆最小是。 △的最小值： 综上所述，△最小是，当△最小时，☆是。 10．9个草莓，每个小朋友分2个，可以分给（    ）个小朋友，还剩（    ）个草莓。 ÷＝（个）……（个） 【答案】4；1 【分析】根据题干可知，9个草莓，每个小朋友分2个，用草莓的总数除以分给每个小朋友的个数，商就是可以分给几个小朋友，余数就是还剩几个草莓。 【详解】 可以分给4个小朋友，还剩1个草莓。 11．研学旅行来到齐国故都，陶琉之乡－淄博，一起品尝淄博烧烤。有53串烧烤，至少拿出( )串，剩下的才能平均分给7名同学。 【答案】4 【分析】要把53串烧烤平均分给7名同学，先算53除以7，余数就是需要拿出的数量，剩下的就能平均分了。 【详解】53÷7＝7（串）……4（串） 答：至少拿出4串。 12．学校读书节奖励给二年级一班44本书，至少拿走( )本，剩下的正好平均分给6个小朋友；至少添上( )本，才能正好平均分给6个小朋友。 【答案】 2 4 【分析】用书的总数除以小朋友的人数，余数即为拿走多少本，剩下的正好给6个小朋友平分；用人数减去余数，即为添上几本正好够6个小朋友平分，据此解答。 【详解】44÷6＝7（本）……2（本） 6－2＝4（本） 所以，学校读书节奖励给二年级一班44本书，至少拿走2本，剩下的正好平均分给6个小朋友；至少添上4本，才能正好平均分给6个小朋友。 13．血杞是一种常用中药，据《本草纲目》记载，此药能“滋肾润肺、明目”。19千克血杞，每2千克装一箱，至少需要( )个箱子。 【答案】10 【分析】用总的血杞的质量除以每箱装的质量，得出的商就是装满的箱数，若有余数，则表示剩下的血杞的质量，则需要再拿1个箱子来装。      【详解】19÷2＝9（箱）……1（千克） 9＋1＝10（箱） 答：至少需要10个箱子。 14．体育课上，老师让同学们站成一排，从左往右依次按“一、二、三、四、一、二、三、四……”这样的顺序报数，第35个同学报的是( )。 【答案】三 【分析】报数规律是“一、二、三、四”4个数为一组重复。用35除以4，余数决定第35个报的是第几个数。余数是几，就报一组的第几个数。 【详解】35÷4＝8……3；余3，所以报“三”。 三、判断题 15．13÷6＝2……1，读作：13除6等于2余1。( ) 【答案】× 【分析】根据有余数除法的读法规定，算式中的除号“÷”应读作“除以”，表示被除数除以除数，而“除”表示除数除被除数，两者运算顺序相反。 【详解】在算式中，13是被除数，6是除数，“÷”是除号， 根据除法算式的读法规范，“÷”应读作“除以”， 读作13除以6等于2余1， 题干中读作“13除6”，表示的是与原题算式不符，说法错误。 故答案为：× 16．口算比赛每5人一轮，小明32号，他应该第6轮上场。( ) 【答案】× 【分析】用小明的序号除以每轮的人数，商表示满几轮，余数表示剩下的人数。根据“进一法”原则，要在商的基础上加1。 【详解】32÷5＝6（轮）……2（人） 6＋1＝7（轮） 小明应该在第7轮上场。原题说法错误。 故答案为：× 17．有30名学生去研学，每辆车最多坐7人，至少需要5辆车。( ) 【答案】√ 【分析】本题考查有余数除法的实际应用。用学生总人数除以每辆车最多乘坐人数，商表示坐满的车辆数，余数表示剩余的学生人数。因为剩余的学生也需要乘坐1辆车，所以车辆数需要在商的基础上加1，计算结果与题干数据进行对比即可判断。 【详解】30÷7＝4（辆）……2（名） 4＋1＝5（辆） 则至少需要5辆车。故原题说法正确。 故答案为：√ 18．在算式（    ）÷3＝3……（    ）中，被除数可能是14。( ) 【答案】× 【分析】直接计算14除以3的商，看商是否等于3来进行验证判断。 【详解】14÷3＝4……2，商不等于3，所以原说法错误。 故答案为：× 19．李老师要把一些橡皮平均分给5个小朋友，如果有剩余，最多剩3块。( ) 【答案】× 【分析】本题考查有余数的除法中余数与除数的关系。把橡皮平均分给 5 个小朋友，除数是 5。根据“余数要比除数小”的性质，余数最大应为除数减 1，即 4。题干中说最多剩 3 块，与正确结论不符。 【详解】在有余数的除法中，余数必须比除数小。 本题中除数是 5，余数可能是 1、2、3、4。 其中最大的余数是 4。 所以最多剩余 4 块。 原题说法错误。 故答案为：× 20．一支钢笔8元，明明有47元，最多可以买5支钢笔。( ) 【答案】 √ 【分析】求最多可以买几支钢笔，就是求47里面有几个8，用除法计算。商表示能买的数量，余数表示剩下的钱数。因为剩下的钱不够买一支钢笔，所以商即为最多能买的支数，据此判断。 【详解】47÷8＝5（支）……7（元） 商是5，表示可以买5支钢笔；余数是7，表示还剩7元。 因为7元小于8元，剩下的钱不够买一支钢笔，所以最多可以买5支钢笔。 题目说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．直接写得数。 2×8＝    12÷4＝    37÷8＝    60÷9＝ 9×3＝    54÷9＝    9×4＝    31÷6＝ 【答案】 16；3；4……5；6……6 27；6；36；5……1 【解析】略 22．列竖式计算。 33÷6＝    40÷8＝    58÷7＝ 32÷9＝    33÷5＝    19÷3＝ 【答案】 5……3；5；8……2； 3……5；6……3；6……1 【分析】根据有余数除法的竖式计算方法，先确定商，再用被除数减去除数和商的乘积得到余数，注意余数必须小于除数。 【详解】33÷6＝5……3       40÷8＝5       58÷7＝8……2 32÷9＝3……5       33÷5＝6……3       19÷3＝6……1 五、解答题 23．饲养场有42只兔子，每5只装一个笼子，至少需要几个笼子？如果每6只装一个笼子，能装满几个笼子？ 【答案】9个；7个 【分析】根据题意：用兔子的总数除以每个笼子装的数量，求出商和余数。商表示需要的笼子数量，余数表示剩下的兔子数量。因为剩下的兔子也需要装在笼子里，所以需要的笼子数再加1，即可求出至少需要的笼子数；求能装满几个笼子，用兔子的总数除以每个笼子装的数量，求出商和余数，商为装满的笼子数，余数为剩余的兔子数，剩余的兔子数表示不够装满一个笼子，则舍去即可。 【详解】42÷5＝8（个）……2（只） 8＋1＝9（个） 42÷6＝7（个） 答：至少需要9个笼子，能装满7个笼子。 24．王阿姨买来38个扣子，如果用这些扣子钉下面的上衣，那么最多可以钉几件？还剩几个扣子？ 【答案】7件； 3个 【分析】由图可知，每件上衣需要5粒扣子，用扣子的总数量÷每件上衣需要的扣子数量＝可以钉的衣服数量，余数为剩下的扣子数量。 【详解】38÷5＝7（件）……3（个） 答：最多可以钉7件，还剩3个扣子。 25．实验小学47名学生去“追寻红色记忆”研学基地参观，至少需要租几辆车？ 【答案】8 【分析】用总人数除以每辆车能坐的学生人数，得到的商是能坐满车的辆数，余数是还剩几名，用商＋1就是至少需要租车的辆数。 【详解】47÷6＝7（辆）……5（名） 7＋1＝8（辆） 答：至少需要租8辆车。 26．有62盏护眼灯，如果每间教室装7盏，最多可以装几间教室？ 【答案】 间 【分析】已知护眼灯的总数量和每间教室安装的数量，求最多可以装几间教室，用除法计算。 【详解】（间）（盏） 答：最多可以装间教室。 27．花灯是中国传统工艺品，起源于两千多年前的西汉时期。高阿姨买来52张彩纸，每6张彩纸扎一个花灯，可以扎多少个花灯？还剩多少张彩纸？ 【答案】8 个；4 张 【分析】已知52张彩纸，每6张彩纸扎一个花灯，求可以扎多少个花灯，还剩多少张彩纸，就是求52里面有几个6，用除法计算。总张数除以每个花灯需要的张数，商是可以扎的花灯个数，余数是剩下的彩纸张数。 【详解】52÷6＝8（个）……4（张） 答：可以扎8个花灯，还剩4张彩纸。 28．小军暑假期间和妈妈出去游玩，收集了当地古镇的明信片，一共有42张。如果将它们平均赠送给8个小朋友，每个小朋友可以分到几张？还剩几张？ 【答案】5张；2张 【分析】根据题意可知：用总数除以平均赠送给的小朋友的数量求出商和余数，商为每个小朋友可以分到的数量，余数为还剩的数量。 【详解】42÷8＝5（张）……2（张） 答：每个小朋友可以分到5张，还剩2张。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 有余数的除法 一、有余数的除法基础认知 在平均分物品时，会出现两种情况：一种是正好分完（没有剩余），一种是分完后有剩余且剩余的数不够再分一份，这种带有剩余的除法，叫做有余数的除法。本单元是整数除法的延伸，是后续学习除法竖式、多位数除法的基础，是二年级下册计算和应用题核心必考内容。 核心前提：余数必须是平均分后剩下的数量，且剩余数量小于每份数量，无法再继续平均分。 二、有余数除法各部分名称与算式读写 1. 除法算式组成 完整有余数除法算式： 被除数：需要平均分的总数量； 除数：平均分的份数或每份的数量； 商：平均分后每份的数量或分的份数； 余数：平均分后剩下、不够再分一份的数量。 2. 算式读写规则 读法：从左往右读，“÷”读作除以，“……”读作余。 示例： 读作：十七除以五等于三余二。 三、余数核心规律（必考重难点） 这是本单元最重要、最容易出错的核心知识点，所有题型均围绕此规律出题。 1. 基本规律 余数一定比除数小，绝对不能大于或等于除数。 反向结论：除数一定比余数大。 2. 取值范围 余数最小是1（有余数的除法，余数不能为0，余数为0是整除）； 余数最大是除数-1。 示例：除数是6，余数最大是5，最小是1。 3. 万能验算公式 被除数 = 除数 × 商 + 余数 验算用法：计算完成后，代入公式核对，结果等于被除数则计算正确。 四、有余数除法竖式计算 1. 竖式书写顺序 先写除号→写被除数→写除数→计算商→算乘积→算余数，数位必须对齐。 2. 竖式计算四步法 商：看被除数里最多包含几个除数，就商几； 乘：除数×商，算出乘积； 减：被除数－乘积，算出余数； 比：对比余数和除数，保证余数＜除数。 3. 书写要求 余数的数位和被除数的个位对齐，竖式计算必须验算，杜绝余数大于除数的错误。 五、有余数除法两大基础题型 1. 已知除数，求最大、最小余数 利用规律：余数最大=除数-1，余数最小=1，常考填空、选择题。 2. 已知余数，求最小除数 除数必须比余数大，所以除数最小=余数+1。 3. 已知各部分，求被除数 利用验算公式：被除数=除数×商+余数，已知除数、商、余数，直接计算。 六、有余数除法实际应用题（高频考点） 二年级应用题核心分为两类，解题关键是根据生活场景判断是否“进一”。 1. 进一法（必须加1） 适用场景：租船、坐车、装箱、分组、搭帐篷等，剩余的人/物品也需要单独占用一份。 规则：计算结果有余数，最终份数/数量 = 商 + 1。 示例：25人坐船，每条船坐4人，25÷4=6……1，剩余1人也需要1条船，一共需要7条船。 2. 去尾法（不加1） 适用场景：买东西、做饰品、裁剪物品等，剩余数量不够完成一份，直接舍去。 规则：无论余数是几，最终数量只取商，不加1。 示例：20元买笔，每支6元，20÷6=3……2，剩余2元不够买1支，最多买3支。 一、选择题 1．余数是4的算式是（    ）。 A．30÷7 B．25÷5 C．40÷9 2．商和余数相同的算式是（    ）。 A．18÷5 B．25÷7 C．16÷3 3．用小正方体摆，如果有剩余，那么可能剩（    ）个正方体。 A．4 B．5 C．6 4．二（2）班的3位老师和42名同学准备坐缆车到梅花山虎园，至少要（    ）辆缆车。 A．7 B．8 C．9 5．四个小朋友在玩轮流报数游戏。下面三个数中，（    ）是方方报的。 A．31 B．33 C．34 6．桌上放了一些桃子，比24个多，比30个少。平均分给6个同学，还剩5个。这些桃子有（    ）个。 A．25 B．27 C．29 二、填空题 7．一个除法算式中，除数是9，商是4，余数最小是( )，此时被除数是( )。 8． 照样子摆下去，第30朵云是( )色的。 9．Δ÷☆＝7……6，Δ最小是( )，当Δ最小时，☆是( )。 10．9个草莓，每个小朋友分2个，可以分给（    ）个小朋友，还剩（    ）个草莓。 ÷＝（个）……（个） 11．研学旅行来到齐国故都，陶琉之乡－淄博，一起品尝淄博烧烤。有53串烧烤，至少拿出( )串，剩下的才能平均分给7名同学。 12．学校读书节奖励给二年级一班44本书，至少拿走( )本，剩下的正好平均分给6个小朋友；至少添上( )本，才能正好平均分给6个小朋友。 13．血杞是一种常用中药，据《本草纲目》记载，此药能“滋肾润肺、明目”。19千克血杞，每2千克装一箱，至少需要( )个箱子。 14．体育课上，老师让同学们站成一排，从左往右依次按“一、二、三、四、一、二、三、四……”这样的顺序报数，第35个同学报的是( )。 三、判断题 15．13÷6＝2……1，读作：13除6等于2余1。( ) 16．口算比赛每5人一轮，小明32号，他应该第6轮上场。( ) 17．有30名学生去研学，每辆车最多坐7人，至少需要5辆车。( ) 18．在算式（    ）÷3＝3……（    ）中，被除数可能是14。( ) 19．李老师要把一些橡皮平均分给5个小朋友，如果有剩余，最多剩3块。( ) 20．一支钢笔8元，明明有47元，最多可以买5支钢笔。( ) 四、计算题 21．直接写得数。 2×8＝    12÷4＝    37÷8＝    60÷9＝ 9×3＝    54÷9＝    9×4＝    31÷6＝ 22．列竖式计算。 33÷6＝    40÷8＝    58÷7＝ 32÷9＝    33÷5＝    19÷3＝ 五、解答题 23．饲养场有42只兔子，每5只装一个笼子，至少需要几个笼子？如果每6只装一个笼子，能装满几个笼子？ 24．王阿姨买来38个扣子，如果用这些扣子钉下面的上衣，那么最多可以钉几件？还剩几个扣子？ 25．实验小学47名学生去“追寻红色记忆”研学基地参观，至少需要租几辆车？ 26．有62盏护眼灯，如果每间教室装7盏，最多可以装几间教室？ 27．花灯是中国传统工艺品，起源于两千多年前的西汉时期。高阿姨买来52张彩纸，每6张彩纸扎一个花灯，可以扎多少个花灯？还剩多少张彩纸？ 28．小军暑假期间和妈妈出去游玩，收集了当地古镇的明信片，一共有42张。如果将它们平均赠送给8个小朋友，每个小朋友可以分到几张？还剩几张？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $