第五单元 长方形和正方形（期末复习讲义-培优版）知识梳理+9个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共62题-2025-2026学年苏教版数学三年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年苏教版新教材数学三年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 长方形和正方形『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+9个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材三年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 相交与平行 4 知识点二 垂线的画法 4 知识点三 点到直线的距离 4 知识点四 长方形和正方形 5 知识点五 正方形 5 知识点六 画长方形的方法 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 平行的特征及性质 6 高频考点二 垂直的特征 7 高频考点三 画垂线 9 高频考点四 点到直线的距离 11 高频考点五 画平行线 13 高频考点六 长方形的概念及特点 15 高频考点七 正方形的概念及特点 17 高频考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 18 高频考点九 数图形 20 奥数拓展 拔尖冲刺 22 奥数拓展一 垂直的特征 22 奥数拓展二 画垂线 24 奥数拓展三 点到直线的距离 26 奥数拓展四 长方形的概念及特点 27 奥数拓展五 正方形的概念及特点 29 优选真题 实战演练 31 【基础夯实 知识巩固】 31 【拓展提高 能力拔尖】 36 知识点一 相交与平行 1.不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2.下图中，直线a与直线b 互相平行，记作a//b,读作a平行于b。 易错：平行线是成组出现的， 不能单独说某一条线是平行线。 重点：平行线之间的距离处处相等。 垂直是相交的一种特殊情况，互相垂直的两条直线一定相交。 2. 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。 易错：两条直线是互相垂直的，不能单独说明哪条直线是垂线。 3. 右图中，直线a与直线b 互相垂直，记作a⊥b, 读作a垂直于b。 提示：判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相 交所成的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 知识点二 垂线的画法 1.方法：①用三角板画 ② 用量角器来画 重点：画已知直线的垂线可以画无数条，而过直线外一点画已知直线的垂线只能画 一 条。 知识点三 点到直线的距离 重点：点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 知识点四 长方形和正方形 1. 长方形 知识点五 正方形 知识点六 画长方形的方法 画长方形时，可以先画长也可以先画宽，但要保证相邻的两条线段是互相垂直的。 提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似，不同之处是四条边的长度都相等。 高频考点一 平行的特征及性质 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）（1）经过A、B两点分别画直线m的垂线。 （2）画出的这两条垂线的位置关系是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）互相平行 【思路引导】（1）过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行。由题意得，画出的这两条垂线都垂直于直线m，所以这两条直线互相平行。 【规范解答】（1） （2）由分析可知，画出的这两条垂线的位置关系是互相平行。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北承德·期末）如图中，互相平行的两条直线是( )和( )；除直线③、⑤互相垂直外，还有( )、( )互相垂直，( )、( )互相垂直。（填序号） 【答案】 ① ② ② ④ ① ④ 【思路引导】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此即可解答。 【规范解答】图中，互相平行的两条直线是①和②；除直线③、⑤互相垂直外，还有②、④互相垂直，①、④互相垂直。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）小明把一幅画挂歪了，于是他将挂画的两根绳子的长度调成一样长，画就正了，原理是：两条平行线之间，所有垂直线段长度都( )。 【答案】相等 【思路引导】根据题意作图如下： 由图可知，两条平行线之间，所有垂直线段的长度都相等。由题意得，小明把挂画的两根绳子的长度调成一样长，即中间的垂直线段的长度相等，那么挂画上边缘所在的直线与最上面的直线就互相平行了。 【规范解答】小明把一幅画挂歪了，于是他将挂画的两根绳子的长度调成一样长，画就正了，原理是：两条平行线之间，所有垂直线段长度都相等。 高频考点二 垂直的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）公园管理处要先在凉亭和露天剧场之间修一条最短的路，再修一条从咨询处到这条路最短的路，请你在下图上画一画。 【答案】见详解 【思路引导】在平面上，两点之间距离最短的路线是连接这两点的直线，所以先连接凉亭和露天剧场。 从咨询处到这条直线的最短路径是垂线段，因此在图上画咨询处到凉亭与露天剧场那条直线的垂线。以此画图即可。 【规范解答】根据分析可知： 先用直线连接凉亭和露天剧场；再从咨询处向这条直线画垂线，垂足与咨询处连成的线段就是从咨询处到这条路的最短路径。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）把一张正方形卡纸对折再对折，打开后两条折痕不可能（    ）。 A．互相平行 B．既不平行，也不垂直 C．互相垂直 【答案】B 【思路引导】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；据此画图并选择。 【规范解答】如图所示： 由此可知，把一张正方形纸对折再对折，打开后，两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直，所以两条折痕不可能既不平行，也不垂直。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东威海·期末）（如图）点D是一处街心花园，从花园向OA边上建一条长度最短的小路，再过花园修建一条小路与OB边平行。请在图中画出两条小路的位置。 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。从D点到直线OA的最短距离，必须作D点到OA的垂线。因此第一条小路应从D点向OA边作垂线。第二条小路要与OB平行，则从D点直接画一条与OB平行的直线即可。 【规范解答】根据分析可知： 高频考点三 画垂线 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北承德·期末）操作。 （1）在方格纸上画出一条与线段AB平行的线段CD，并标出端点C、D。 （2）过A点画出线段AB的垂线。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）画已知线段的平行线的步骤：固定三角尺，将一条直角边与已知线段重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺移动一定的距离，接着沿着这条直角边画出另一条线段。 （2）过线段上或线段外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知线段重合；沿着线段移动三角尺，使线段上或线段外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知线段的垂线。 【规范解答】（1）（2） （第一问答案不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东济南·期末）幸福村要铺设通往村庄的自来水管道，首先铺设经过A点并且与河岸平行的1号管道。请在图中画出来，随后铺设从A点到岸边最近的2号管道，请在图中画出来。 【答案】见详解 【思路引导】1号管道是画过A点且与河岸平行的直线，可以利用三角板的直角边与已知直线重合，通过平移三角板确定过A点的平行线位置。先将三角板的一条直角边与河岸所在的直线重合；再用直尺紧靠三角板的另一条直角边，固定直尺；然后沿直尺平移三角板，使与河岸重合的直角边经过A点；最后过A点沿这条直角边画直线，即为1号管道。 依据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，分析出2号管道是画A点到河岸的垂线段，可以利用三角板的直角边与河岸重合，确定垂线段位置。先将三角板的一条直角边与河岸所在的直线重合；再沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边经过A点；最后过A点沿这条直角边向河岸画直线，与河岸相交于一点，该线段即为2号管道。 【规范解答】根据分析如图： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东泰安·期末）跳水比赛中，跳水运动员入水时，形成的水花是评委评分的一个标准，水花越小，得分越高，要使运动员形成的水花较小，应使运动员到水面的距离最短。请你画出运动员到水面距离最短的路线。 【答案】见详解 【思路引导】要使运动员形成的水花较小，应使运动员到水面的距离最短，连接点到直线的线段中，垂线段最短；画出点到水面的垂线段即可；过直线上一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此作图。 【规范解答】如图所示： 高频考点四 点到直线的距离 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东淄博·期末）沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，（    ）的有效成绩最好。 A．小雨 B．小芳 C．小丽 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】根据题意，因为规定是落地点到起掷线的距离为有效成绩，小雨和小丽的落地点都还在虚线的范围内，只有小芳已经过了虚线范围，所以小芳的有效成绩最好，据此解答。 【规范解答】由分析可知：小芳的有效成绩最好。 故答案为：B 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东济宁·期末）小李村计划修建一条通往大街的小路。请你帮助设计一条路程最近的修路方法。 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，小李村计划修建一条通往大街的小路，最短路线，就是从小李村到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【规范解答】根据分析可知： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24三年级下·山东淄博·期末）A点为蔬菜种植区，B点为小明家。 （1）小明家要接自来水，怎样铺设最省料？请在图中画出来。 （2）从小明家修一条小路到蔬菜种植区，请设计一条最近的路。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；因此过小明家作自来水管道的垂线段即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）两点之间线段最短，所以小明家到蔬菜种植区的最近的路即为连接小明家到蔬菜种植区之间的线段。 【规范解答】（1）（2）如图： 高频考点五 画平行线 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北唐山·期末）在三角形ABC中，过点A画BC边的垂线，过点C画AB边的平行线。    【答案】见详解 【思路引导】用三角尺过点A画BC边的垂线的方法：把三角尺的一条直角边与BC边重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过点A，沿这条直角边画一条直线；在垂足处标出垂直符号； 过点C画AB边的平行线的方法：把三角板的一条直角边与AB边重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，固定直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和点C重合，过点C沿三角板的直角边画直线即可，据此作图。 【规范解答】 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）．（24-25三年级下·山东泰安·期末）（1）过P点作AB平行线。 （2）要想从P点修一条到AD最近的路，应该怎样修？请你画一画。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）平行的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。根据平行的定义过P点作AB平行线。 （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；过P点作AD的垂直线段即可。 【规范解答】（1） （2） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东烟台·期末）（1）在点子图上，画出这条直线的平行线； （2）再画出这条直线的垂线。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）在已知直线外取一点，把三角板的一边靠紧已知直线，另一边靠紧直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线靠紧的一边经过点时，沿这边画直线，这条直线就是已知直线的平行线。 （2）在已知直线外取一点，把三角板的一直角边靠紧已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。据此作图即可。 【规范解答】（1）（2）如图： （画图位置不唯一） 高频考点六 长方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·天津河西·期末）接着画出一个长方形。                 【答案】见详解 【思路引导】画图之前要回想长方形的主要特征，长方形：四个角都是直角，相对的两边相等；根据已知的两条边，长方形的对边相等，再画出剩下的两条边即可。 【规范解答】根据分析画图如下： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·上海奉贤·期末）小丁丁准备用两个完全相同的多连块拼成一个长方形，下面不可能拼成长方形的多连块是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】 长方形的对边相等，长方形的特点是长长的，有2条长边，2条短边，且两组对边长度相等，如图所示：，依此即可解答。 【规范解答】 A．两块拼成的长方形为：。 B．两块不可能拼成长方形。 C．两块拼成的长方形为：。 D．两块拼成的长方形为：。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·甘肃定西·期末）按要求画一画。 (1)画一个小于直角的角。 (2)画一个正方形和一个长方形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）在图中选一个点作为顶点，先画出顶点和其中的一条边，然后在顶点再画一条线段，使两条边的夹角小于直角即可； （2）根据正方形的特征，正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，用三角尺的两条直角边，分别画两条长度相同的线段，然后再用两条同长度的线段连接成正方形； 根据长方形的特征，每个角都是直角，对边相等，用三角尺的两条直角边，分别画两条长度不同的线段，然后再用两条同长度的线段连接成长方形。 【规范解答】（1） 答案不唯一 （2） 答案不唯一 高频考点七 正方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁大连·期末）在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出( )个同样大的正方形，这个正方形的边长是( )毫米。 【答案】 2 40 【思路引导】需要根据长方形和正方形的特征，结合题目要求确定能折出的正方形个数和正方形的边长。要在这个长方形中折出同样大的正方形，且要使折出的正方形个数最少，那么正方形的边长就要最大，根据长方形的长和宽的长度关系确定正方形的边长，即可算出正方形的个数。最后根据1厘米＝10毫米，把正方形的边长换算成毫米即可。 【规范解答】长方形的长8厘米，宽4厘米，长正好是宽的2倍，可以确定最大的正方形的边长为4厘米；沿着长折正好可以折出两个4厘米，宽是4厘米只能折出1个，那么总共能折出的正方形个数为2×1＝2个。所以至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是4厘米，4厘米＝40毫米。 所以，在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是40毫米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁营口·期末）在下面的方格纸上分别画一个正方形和一个长方形。 【答案】图见详解 【思路引导】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。据此画图即可。 【规范解答】如图： （画法不唯一） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁沈阳·期末）一个长24厘米的长方形，正好可以分成两个一样大的正方形，每个正方形的边长是( )厘米。 【答案】12 【思路引导】由题意得，一个长24厘米的长方形，正好可以分成两个一样大的正方形，据此作图如下： 由图可知，每个正方形的边长刚好等于长方形的长的一半，直接用24除以2即可算出每个正方形的边长。 【规范解答】24÷2＝12（厘米） 故每个正方形的边长是12厘米。 高频考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁·单元测试）在方格纸上画图形。 （1）画一个边长为4个格的正方形。 （2）画一个长4个格、宽3个格的长方形。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解 【思路引导】（1）根据正方形四条边都相等，四个角都是直角的特点，先在方格纸上横着画一条长4个格的线段，再分别以这条线段的两个端点为端点，同时向上或向下画长4个格的线段，连接两条线段的另一个端点，即画出一个边长为4个格的正方形。 （2）根据长方形两组对边分别相等，四个角都是直角的特点，先在方格纸上横着画一条长4个格的线段，再分别以这条线段的两个端点为端点，同时向上或向下画长3个格的线段，连接两条线段的另一个端点，即画出一个长4个格、宽3个格的长方形。据此作图。 【规范解答】根据分析，画图如下： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·北京海淀·期末）接着画出一个正方形。 【答案】见详解 【思路引导】正方形的四条边都相等，四个角都是直角，数出图中这条边占了几个点，剩余的3条边也是同样的长度，由此解答。 【规范解答】如图： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级上·广东汕头·期末）请在下面的方格纸中画出一个长6厘米，宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。（每一小格表示边长为1厘米的正方形） 【答案】图见详解 【思路引导】长方形的定义：两组对边分别相等、四个角都是直角的四边形叫做长方形；通常情况下，长的那一边为长，短的那一边为宽；正方形的定义：四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形；据此画出相应的长方形和正方形即可，据此作图。 【规范解答】根据分析如图： 高频考点九 数图形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北唐山·期末）下图中一共有( )个三角形。 【答案】6 【思路引导】根据题意，单独的三角形有3个，两个三角形组成的三角形有2个，三个三角形组成的三角形有1个，一共有（3＋2＋1）个三角形，据此填空即可。 【规范解答】3＋2＋1＝6（个） 图中一共有6个三角形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）下图中有( )个长方形。 【答案】30 【思路引导】由图可知，图中一共有2层，可以分层来数长方形的个数。在上面的一层中，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，直接把它们的数量相加即可算出上面一层长方形的个数；在下面的一层中，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，即下面一层长方形的个数与上面一层长方形的个数相同。如果把两层联合起来看（不看中间的横着的线段），具体如下图： 由图可知，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，即数出来的长方形个数和上下两层每层的长方形的个数相同。所以直接用上面一层长方形的个数乘上3即可算出一共有多少个长方形。 【规范解答】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 10×3＝30（个） 故图中有30个长方形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）图中一共有( )个三角形。 【答案】6 【思路引导】观察图形可知，图中单个的小三角形有3个，由两个小三角形组成的三角形有2个，由三个小三角形组成的大三角形有1个。将上述各类三角形的数量相加即可。据此解答。 【规范解答】3＋2＋1＝6（个） 所以，图中一共有6个三角形。 奥数拓展一 垂直的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级上·全国·单元测试）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）400米 【思路引导】（1）利用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与下水道重合，直尺靠紧三角板另一边，平移三角板使边过A点，沿三角板过A点的边画直线，此直线即为水管。 （2）用三角板，让一条直角边与下水道重合，推动三角板使另一条直角边过A点，沿过A点的直角边画线段到下水道，这条垂线段就是最短排水沟。 （3）先量出图上排水沟（垂线段）长度，实际长度＝200×图上排水沟长度。实际操作中按测量值算，比如量得图上2厘米，实际就是400米。 【规范解答】（1）经过A点作下水道的平行线，如图： （2）经过A点作下水道的垂线，如图： （3）经过测量A点到下水道的距离是2厘米，那么这条排水沟的实际长度是： （米） 答：这条排水沟的实际长度是400米。 【考点剖析】（1）要掌握直尺和三角板画平行线的步骤（贴、靠、移、画），就能完成。 （2）理解点到直线，垂线段最短这一基本几何性质，操作上同样用三角板画垂线。 （3）需先测量图上距离，再用图上距离×比例尺，算出实际长度，涉及简单测量和乘法应用。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·江苏泰州·期末）运动会的跳远比赛中，裁判测量不规范，没有让皮尺和起跳线垂直，测得小乐的跳远成绩是3.6米。小乐跳远的真实成绩可能是（    ）米。 A．3.8 B．3.7 C．3.6 D．3.5 【答案】D 【思路引导】测量跳远的落地点与起跳线之间的距离，是跳远落地点到起跳线之间的垂线段的长度，而实际测量时皮尺和起跳线不垂直，即测量的长度大于真实长度，即真实成绩比3.6米小，据此解答。 【规范解答】真实成绩比3.6米小。 A．3.8＞3.6，不是真实成绩； B．3.7＞3.6，不是真实成绩； C．3.6＝3.6，不是真实成绩； D．3.5＜3.6，可能是真实成绩。 故答案为：D 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·江苏·周测）如图，有4条直线a，b，c，d，其中c和b互相( )，a和d互相( )。 【答案】 平行 垂直 【思路引导】在同一个平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交的角是直角时，即互相垂直。 【规范解答】观察图片，c和b互相平行，a和d相交的角是直角，所以a和d互相垂直。 奥数拓展二 画垂线 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·江苏扬州·期末）一条小船Q先要到A仓库去拿东西，然后再到B岸，请在图中画出最短路线，并说明理由。 我这样画，理由1是：_________  理由2是：___________________________ 【答案】见详解 【思路引导】（1）因为两点之间线段最短，所以连接Q、A两点的连线即是小船Q到A仓库的最短路线； （2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以，只要作出A点到B岸的垂直线段即可。 【规范解答】画图如下： 理由1是：两点之间线段最短；理由2是：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【考点剖析】本题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，以及两点之间线段最短的应用。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·全国·单元复习）吴家村想修一条直达公路的小路，怎么修最近？请你在下图中画出来，并说明理由。 【答案】画图见详解； 因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。 【思路引导】根据点到直线的距离中，垂线段最短的性质，确定修路的最短路径。要使从吴家村到公路的小路最短，把公路看作一条直线，吴家村看作直线外一点，应该从吴家村向公路作垂线段。 【规范解答】如图所示： 答：因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）．（24-25三年级下·山东济南·期末）过A点作已知直线的垂线，过B点作已知直线的平行线。 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。以此画图即可。 【规范解答】根据分析画图如下： 奥数拓展三 点到直线的距离 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·全国·课后作业）一古代工匠要将A点的货物运到河对岸，船怎样航行路线最短？下图是海海设计的路线图，请判断他画的路线图是否正确？若不正确，请改正。 【答案】海海画的路线图不正确。 图见详解。 【思路引导】点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离。图中路线没有和对岸垂直，所以路线图错误。 【规范解答】海海画的路线图不正确 正确路线图如图： 【考点剖析】到直线的最短距离是点到直线的垂线段。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·江苏·周测）如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为新建的天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的长度最短。请你在图中画出天然气管道铺设的位置。 【答案】见详解 【思路引导】根据从直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂直线段最短，所以，要使新铺设的天然气管道的长度最短，只需从B点分别向两条直线画垂直线段即可。 【规范解答】根据分析，画图如下： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如下图，线段BF与直线m互相( )（填“平行”或“垂直”），点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 【答案】 垂直 AD/DA 【思路引导】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。由图可知，线段BF与直线m相交成直角，所以线段BF与直线m互相垂直；点A与直线m的连线中，只有线段AD与直线m垂直，所以最短的线段是AD。 【规范解答】由分析可知，线段BF与直线m互相垂直，点A与直线m的连线中，最短的线段是AD。 奥数拓展四 长方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁·单元测试）图中有( )个长方形。 【答案】5 【思路引导】本题需数出图形中所有长方形的个数（包括小长方形和组合而成的长方形）。采用分类计数法：先数单个小长方形，再数由2个、3个小长方形组合而成的长方形。注意避免重复或遗漏。 【规范解答】单个小长方形有3个； 由2个小长方形组合而成的长方形有1个； 由3个小长方形组合而成的长方形有1个； 3＋1＋1＝5（个） 图中有5个长方形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024三年级·全国·竞赛）如图是三条环形地铁线路的平面图，图中共有( )个长方形。 【答案】11 【思路引导】运用分类枚举的方法，分别数出单个长方形、两部分组成的长方形、四部分组成的长方形的个数，再求和即可。 【规范解答】数出单个的长方形个数： 通过观察图形，得出单个的长方形有 3个； 数出两部分组成的长方形个数： 仔细观察图形，找出由两部分组成的长方形，其个数为5个； 数出四部分组成的长方形个数： 观察图形可知，由四部分组成的长方形有3个； 长方形的总个数：（个） 图中共有11个长方形。 【考点剖析】本题难点在于准确分类数出不同组合方式的长方形个数，要仔细观察图形，不能遗漏或重复计数，也需要认真分辨图形结构，避免出错。只有准确分类计数，才能正确得出长方形的总数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图中，含一个“★”的长方形有______个。（包括正方形） 【答案】66 【思路引导】设每个小方格的面积为1，依次找出包含星星的长方形个数，再相加即可。面积为1的长方形有1个，面积为2的长方形有4个，面积为3的长方形有6个，面积为4的长方形有8个，面积为5的长方形有2个，面积为6的长方形有12个，面积为8的长方形有8个，面积为9的长方形有7个，面积为10的长方形有4个，面积为12的长方形有8个，面积为15的长方形有3个，面积为16的长方形有2个，面积为20的长方形有1个。据此解答。 【规范解答】1＋4＋6＋8＋2＋12＋8＋7＋4＋8＋3＋2＋1＝66（个） 含一个“★”的长方形有66个。（包括正方形） 【考点剖析】掌握长方形的特点和面积公式是解答本题的关键，数图形个数时，要按照顺序数，才能做到不重不漏。 奥数拓展五 正方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·全国·课后作业）下图是将一张正方形纸沿AB折叠后的示意图，其中∠1＝30°。你能求出∠2的度数吗？ 【答案】30° 【思路引导】正方形的每个内角都是直角（即90°），由图可知，已知∠1＝30°，将一张正方形纸沿AB折叠，根据折叠的性质，∠2与其相邻的另一个角（即折叠前的角）相等，那么用90°减去∠1，可得到∠2与其相邻的另一个角之和，再除以2，即可得到∠2的度数，据此解答。 【规范解答】 答：∠2为30°。 【考点剖析】熟练掌握折叠的性质：折叠后重合的角相等，是解题的关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24三年级上·浙江·课后作业）从一张长54cm、宽24cm的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上剪下边长尽可能大的正方形……按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是6厘米。共剪下了几张正方形纸片。 【答案】6张 【思路引导】分析题意，长54cm、宽24cm的长方形，剪下一个边长尽可能大的正方形边长为24cm； 第一次剩下的长方形的长是54－24＝30cm，宽是24cm，剪下一个边长尽可能大的正方形边长为24cm； 第二次剩下的长方形的长是24cm，宽是30－24＝6cm，剪下一个边长尽可能大的正方形边长为6cm，可以剪下4个； 按照最常规的剪法，剪下的边长依次为24cm、24cm、6cm、6cm、6cm、6cm，依此解答即可。 【规范解答】根据分析，如图所示：      54－24＝30（cm） 30－24＝6（cm） 24÷6＝4（cm） 所以，按照最常规的剪法，剪下的边长依次为24cm、24cm、6cm、6cm、6cm、6cm。 答：共剪下了6张正方形纸片。 【考点剖析】考查正方形和长方形的特征，熟练掌握即可。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）数一数下图中包含阴影部分的正方形有( )个。 【答案】8 【思路引导】设最小的正方形的边长是1，图中总共有3类正方形，边长分别是1、2、3，分别枚举出包含阴影部分的边长分别是1、2、3的正方形的个数，相加得到总数。 【规范解答】设最小正方形的边长为1； 含阴影部分的边长为1的正方形有1个； 含阴影部分的边长为2的正方形有4个； 含阴影部分的边长为3的正方形有3个； 故含阴影部分的正方形有1＋4＋3＝8（个）。 【考点剖析】本题考查的是图形计数的问题，分类枚举是图形计数最基础的方法。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26三年级上·天津河西·期末）能和左面的图形拼成一个长方形的小棒是（    ）。 A．① B．② C．③ 【答案】A 【思路引导】长方形共有4条边，根据长方形的特征：长方形的对边相等，由此解答即可。 【规范解答】 ，2根3厘米的小棒、2根5厘米的小棒可以拼成一个长方形，此图形缺少1根3厘米的小棒，所以能和此图形拼成一个长方形的小棒是①。 故答案为：A 2．（25-26三年级上·甘肃白银·期末）在一个长10厘米、宽8厘米的长方形中剪出一个最大的正方形，这个正方形的边长是（    ）。 A．10厘米 B．8厘米 C．不能确定 【答案】B 【思路引导】在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中剪出一个最大的正方形。正方形的边长等于长方形的宽，是 8厘米；据此解题即可。 【规范解答】由分析可知， 在一个长10厘米、宽8厘米的长方形中剪出一个最大的正方形，这个正方形的边长是8厘米。 故答案为：B 3．（25-26三年级上·吉林长春·期末）长方形被挡住的角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【思路引导】根据长方形的概念可知，长方形四个角都是直角，据此选择即可。 【规范解答】被挡住的角是直角。 故答案为：B 4．同一平面内的两条直线的位置关系有( )和( )。 【答案】 相交 平行 【思路引导】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，要么相交，要么不相交。不相交的两条直线互相平行，所以同一平面内两条直线的位置关系是相交和平行。 【规范解答】同一平面内不重合的两条直线，它们的位置关系有相交和平行两种。相交是指两条直线有且只有一个公共点；平行是指两条直线没有公共点，且在同一平面内永不相交。 答：同一平面内的两条直线的位置关系有相交和平行。 5．（25-26三年级上·河北邢台·期末）下图中，线段AB与线段( )互相平行，线段AC与线段( )互相垂直。 【答案】 CD/DC BD/DB 【思路引导】在同一平面内永不相交的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。据此解答。 【规范解答】图中线段AB与线段CD互相平行，即线段AB∥线段CD，线段AC与线段BD相交，且相交形成的角是直角，所以线段AC垂直于线段BD，即线段AC⊥线段BD。 6．（25-26三年级上·河北唐山·期末）下面是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝( )°。 【答案】60 【思路引导】根据题意，∠2是长方形的一个角折起来的，长方形四个角都是直角，则∠2＝90°，∠1、∠2和∠3组成平角，平角等于180°，用180°减去∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。 【规范解答】∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－30°－90°＝150°－90°＝60° 一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝60°。 7．（25-26三年级上·河北邢台·期末）直尺相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；据此解答。 【规范解答】看图可知，直尺相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。 原题说法正确。 故答案为：√ 8．（24-25三年级下·山东烟台·期末）如图，从王晓晓家到胜利街有三条路①②③，分别长2千米、1.6千米、2.1千米。 (1)如果再修一条从王晓晓家到胜利街的路，怎样修最短呢？在图中画出来。 (2)新修的这条路可能有多长？（    ） A．1.3千米 B．2.4千米 【答案】(1)图见详解 (2)A 【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。据此过王晓晓家向胜利街作垂线，新修的路应该比三条路中最短的那条路短。 【规范解答】（1）从王晓晓家向胜利街作垂直线段，这条垂直线段就是最短的路。 （2）已知原来三条路的长度分别为2千米、1.6千米、2.1千米，新修的路是垂直线段，根据垂线段最短的性质，新修的路的长度一定小于原来三条路中最短的1.6千米。 A．1.3千米小于1.6千米，符合垂线段最短的条件； B．2.4千米大于1.6千米，不符合垂线段最短的条件。 所以新修的这条路可能有1.3千米。 故答案为：A 9．（24-25三年级上·贵州贵阳·期末）乐乐在方格纸上画了一个图形（每个小方格的边长表示1厘米），形状如下图，这个图形的周长是多少？ 如果要将这个图形变成一个长方形，可以将（    ）厘米的那一条边进行平移。平移后，得到的长方形与原来图形的周长（    ）。（填“相等”或“不相等”） 【答案】26厘米；3；不相等 【思路引导】周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长；该图形的周长等于它的所有边的长度和，据此即可求出这个图形的周长； ，观察这个图形可知，将图中3厘米的那一条边向上平移2格，得到的一个长方形如图：。再根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”，求出所得长方形的周长，再与原图形的周长进行比较即可。 【规范解答】4×2＋7＋2×4＋3 ＝8＋7＋8＋3 ＝15＋8＋3 ＝23＋3 ＝26（厘米） 如果要将这个图形变成一个长方形，可以将3厘米的那一条边向上平移2格，可以得到一个长方形，如下图： （7＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 22≠26 所以，如果要将这个图形变成一个长方形，可以将3厘米的那一条边进行平移。平移后，得到的长方形与原来图形的周长不相等。（填“相等”或“不相等”） 10．（24-25三年级上·江苏南京·期末）一块长方形菜地，宽是12米，正好是长的一半。这块长方形菜地的长是多少米？周长是多少米？ 【答案】长是24米；周长是72米 【思路引导】由题意得，一块长方形菜地，宽是12米，正好是长的一半，那么长是宽的2倍，直接用12乘2可以算出这块长方形菜地的长。长方形的周长＝（长＋宽）×2，直接将数据代入可以算出长方形菜地的周长。 【规范解答】12×2＝24（米） （24＋12）×2 ＝36×2 ＝72（米） 答：这块长方形菜地的长是24米，周长是72米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26三年级上·河北唐山·期末）abcd四架飞机同时飞往梦想城，如果他们的速度相同，那么（    ）架飞机先到达？ A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【思路引导】根据题意，明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。已知abcd四架飞机同时飞往梦想城，他们的速度相同，则路程最近的用时最短，最先到达；路程最远的用时最长，最后到达。根据垂直的性质可知，四条路线中，c飞机飞行的路线最短，最先到达。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知： abcd四架飞机同时飞往梦想城，如果他们的速度相同，那么c架飞机先到达。 故答案为：C 2．（25-26三年级上·河北邢台·期末）公路上有三条小路可以通往农场，长度分别是325米、287米、224米，且其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是（    ）。 A．325米 B．287米 C．224米 【答案】C 【思路引导】根据“从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短”这一性质，判断与公路垂直的小路长度，即找出三条小路中长度最短的。 【规范解答】把公路看作一条直线，农场看作直线外一点，从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短。 325米、287米、224米中，224米是最短的。 所以与公路垂直的小路长度是224米。 故答案为：C 3．（25-26三年级上·福建泉州·期末）用一张长1分米，宽8厘米的长方形折正方形，最大的正方形的边长是( )厘米。 【答案】8 【思路引导】正方形的四条边的长度相等，长方形的对边相等。一张长方形的纸要折一个最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，据此解答。 【规范解答】1分米＝10厘米 如图，所以，最大的正方形的边长是8厘米。 4．（25-26三年级上·河北唐山·期末）如图，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，其中最短的一条是线段( )。 【答案】AC 【思路引导】直线外一点到直线的所有连线中，只有垂直线段最短。由题意得，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，线段AC与已知直线垂直，所以最短的一条是线段AC。 【规范解答】由分析可知，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，其中最短的一条是线段AC。 5．（25-26三年级上·甘肃张掖·期末）把一张长方形的纸剪掉一个角（如图），现在有( )个直角，( )个钝角。 【答案】 2 1 【思路引导】长方形的特征，每个角都是直角，对边相等，长方形有4个直角，观察图形可知，把一张长方形的纸剪掉一个角，剩下2个直角，大于90°的角是钝角，大于0°小于90°的角是锐角，根据图形实际特征分析，剩余的角是钝角还是锐角，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，把一张长方形的纸剪掉一个角（如图），现在有2个直角，1个钝角。 6．（25-26三年级上·河北唐山·期末）长方形和正方形都是四边形，且对边相等。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，长方形和正方形都是四边形。根据定义，长方形的对边相等；正方形的四条边都相等，因此对边也相等。题干中“对边相等”的描述对两者均成立，故说法正确。 【规范解答】根据分析可知： 长方形有四个角都是直角，对边相等；正方形有四个角都是直角，四条边都相等。因此，长方形和正方形都是四边形，且对边相等。原题说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26三年级上·河北承德·期末）数一数，有（    ）个三角形。 列式： 【答案】15；5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 【思路引导】由图可知，单独的小三角形有5个，由2个小三角形拼起来的大三角形有4个，由3个小三角形拼起来的大三角形有3个，由4个小三角形拼起来的大三角形有2个，由5个小三角形拼起来的大三角形有1个，直接把它们的数量全部加起来即可算出一共有多少个三角形。 【规范解答】5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（个） 故一共有15个三角形，列式为：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。 8．（24-25三年级上·江苏盐城·期末）如图，景区准备用40米长的篱笆靠墙围一块长方形地，用来种植腊梅，宽6米，长比宽的2倍多3米。准备的篱笆够用吗？ 【答案】够用 【思路引导】宽6米，长比宽的2倍多3米，那么长就是6×2＋3＝12＋3＝15（米）；因为一边长靠墙，所以篱笆的长度＝长＋宽×2，算出后与40米比较可知够不够。 【规范解答】6×2＋3 ＝12＋3 ＝15（米） 15＋6×2 ＝15＋12 ＝27（米） 27＜40 答：准备的篱笆够用。 9．（25-26三年级上·广西桂林·期末）请用2B铅笔画一画。 接着画出一个长方形。 【答案】见详解 【思路引导】长方形的特征是四个角为直角，对边相等。根据已知的两条边，再画出剩下的两条边即可。 【规范解答】如图： 10．（25-26三年级上·河北承德·期末）根据A、B、C三个点请你按要求画图。 （1）画出直线AC。   （2）画出射线BC。     （3）过点B作直线AC的垂线。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【思路引导】（1）直线没有端点，连接A、C两点，且向点A的左边延伸，向点C的右边延伸，得到的就是直线AC。 （2）根据射线有一个端点，结合图示画出射线BC，射线的端点是点B。 （3）把直角三角尺的一条直角边与直线AC重合，移动三角尺使得点B在另一条直角边上，固定三角尺，过点B且沿着这条直角边向直线AC画直线，即为直线AC的垂线。 【规范解答】根据分析画图如下： （1）画出直线AC如下： （2）画出射线BC如下： （3）过点B作直线AC的垂线如下： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版新教材数学三年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 长方形和正方形『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+9个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材三年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 相交与平行 4 知识点二 垂线的画法 4 知识点三 点到直线的距离 4 知识点四 长方形和正方形 5 知识点五 正方形 5 知识点六 画长方形的方法 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 平行的特征及性质 6 高频考点二 垂直的特征 6 高频考点三 画垂线 7 高频考点四 点到直线的距离 8 高频考点五 画平行线 9 高频考点六 长方形的概念及特点 10 高频考点七 正方形的概念及特点 10 高频考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 11 高频考点九 数图形 12 奥数拓展 拔尖冲刺 12 奥数拓展一 垂直的特征 12 奥数拓展二 画垂线 13 奥数拓展三 点到直线的距离 14 奥数拓展四 长方形的概念及特点 15 奥数拓展五 正方形的概念及特点 15 优选真题 实战演练 16 【基础夯实 知识巩固】 16 【拓展提高 能力拔尖】 18 知识点一 相交与平行 1.不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2.下图中，直线a与直线b 互相平行，记作a//b,读作a平行于b。 易错：平行线是成组出现的， 不能单独说某一条线是平行线。 重点：平行线之间的距离处处相等。 垂直是相交的一种特殊情况，互相垂直的两条直线一定相交。 2. 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。 易错：两条直线是互相垂直的，不能单独说明哪条直线是垂线。 3. 右图中，直线a与直线b 互相垂直，记作a⊥b, 读作a垂直于b。 提示：判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相 交所成的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 知识点二 垂线的画法 1.方法：①用三角板画 ② 用量角器来画 重点：画已知直线的垂线可以画无数条，而过直线外一点画已知直线的垂线只能画 一 条。 知识点三 点到直线的距离 重点：点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 知识点四 长方形和正方形 1. 长方形 知识点五 正方形 知识点六 画长方形的方法 画长方形时，可以先画长也可以先画宽，但要保证相邻的两条线段是互相垂直的。 提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似，不同之处是四条边的长度都相等。 高频考点一 平行的特征及性质 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）（1）经过A、B两点分别画直线m的垂线。 （2）画出的这两条垂线的位置关系是（    ）。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北承德·期末）如图中，互相平行的两条直线是( )和( )；除直线③、⑤互相垂直外，还有( )、( )互相垂直，( )、( )互相垂直。（填序号） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）小明把一幅画挂歪了，于是他将挂画的两根绳子的长度调成一样长，画就正了，原理是：两条平行线之间，所有垂直线段长度都( )。 高频考点二 垂直的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）公园管理处要先在凉亭和露天剧场之间修一条最短的路，再修一条从咨询处到这条路最短的路，请你在下图上画一画。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）把一张正方形卡纸对折再对折，打开后两条折痕不可能（    ）。 A．互相平行 B．既不平行，也不垂直 C．互相垂直 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东威海·期末）（如图）点D是一处街心花园，从花园向OA边上建一条长度最短的小路，再过花园修建一条小路与OB边平行。请在图中画出两条小路的位置。 高频考点三 画垂线 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北承德·期末）操作。 （1）在方格纸上画出一条与线段AB平行的线段CD，并标出端点C、D。 （2）过A点画出线段AB的垂线。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东济南·期末）幸福村要铺设通往村庄的自来水管道，首先铺设经过A点并且与河岸平行的1号管道。请在图中画出来，随后铺设从A点到岸边最近的2号管道，请在图中画出来。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东泰安·期末）跳水比赛中，跳水运动员入水时，形成的水花是评委评分的一个标准，水花越小，得分越高，要使运动员形成的水花较小，应使运动员到水面的距离最短。请你画出运动员到水面距离最短的路线。 高频考点四 点到直线的距离 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东淄博·期末）沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，（    ）的有效成绩最好。 A．小雨 B．小芳 C．小丽 D．无法确定 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东济宁·期末）小李村计划修建一条通往大街的小路。请你帮助设计一条路程最近的修路方法。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24三年级下·山东淄博·期末）A点为蔬菜种植区，B点为小明家。 （1）小明家要接自来水，怎样铺设最省料？请在图中画出来。 （2）从小明家修一条小路到蔬菜种植区，请设计一条最近的路。 高频考点五 画平行线 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北唐山·期末）在三角形ABC中，过点A画BC边的垂线，过点C画AB边的平行线。    【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）．（24-25三年级下·山东泰安·期末）（1）过P点作AB平行线。 （2）要想从P点修一条到AD最近的路，应该怎样修？请你画一画。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级下·山东烟台·期末）（1）在点子图上，画出这条直线的平行线； （2）再画出这条直线的垂线。 高频考点六 长方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·天津河西·期末）接着画出一个长方形。                 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·上海奉贤·期末）小丁丁准备用两个完全相同的多连块拼成一个长方形，下面不可能拼成长方形的多连块是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·甘肃定西·期末）按要求画一画。 (1)画一个小于直角的角。 (2)画一个正方形和一个长方形。 高频考点七 正方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁大连·期末）在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出( )个同样大的正方形，这个正方形的边长是( )毫米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁营口·期末）在下面的方格纸上分别画一个正方形和一个长方形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁沈阳·期末）一个长24厘米的长方形，正好可以分成两个一样大的正方形，每个正方形的边长是( )厘米。 高频考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁·单元测试）在方格纸上画图形。 （1）画一个边长为4个格的正方形。 （2）画一个长4个格、宽3个格的长方形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·北京海淀·期末）接着画出一个正方形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级上·广东汕头·期末）请在下面的方格纸中画出一个长6厘米，宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。（每一小格表示边长为1厘米的正方形） 高频考点九 数图形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北唐山·期末）下图中一共有( )个三角形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·河北邢台·期末）下图中有( )个长方形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）图中一共有( )个三角形。 奥数拓展一 垂直的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级上·全国·单元测试）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·江苏泰州·期末）运动会的跳远比赛中，裁判测量不规范，没有让皮尺和起跳线垂直，测得小乐的跳远成绩是3.6米。小乐跳远的真实成绩可能是（    ）米。 A．3.8 B．3.7 C．3.6 D．3.5 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·江苏·周测）如图，有4条直线a，b，c，d，其中c和b互相( )，a和d互相( )。 奥数拓展二 画垂线 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·江苏扬州·期末）一条小船Q先要到A仓库去拿东西，然后再到B岸，请在图中画出最短路线，并说明理由。 我这样画，理由1是：_________  理由2是：___________________________ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·全国·单元复习）吴家村想修一条直达公路的小路，怎么修最近？请你在下图中画出来，并说明理由。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）．（24-25三年级下·山东济南·期末）过A点作已知直线的垂线，过B点作已知直线的平行线。 奥数拓展三 点到直线的距离 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·全国·课后作业）一古代工匠要将A点的货物运到河对岸，船怎样航行路线最短？下图是海海设计的路线图，请判断他画的路线图是否正确？若不正确，请改正。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·江苏·周测）如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为新建的天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的长度最短。请你在图中画出天然气管道铺设的位置。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如下图，线段BF与直线m互相( )（填“平行”或“垂直”），点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 奥数拓展四 长方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级上·辽宁·单元测试）图中有( )个长方形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024三年级·全国·竞赛）如图是三条环形地铁线路的平面图，图中共有( )个长方形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图中，含一个“★”的长方形有______个。（包括正方形） 奥数拓展五 正方形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26三年级下·全国·课后作业）下图是将一张正方形纸沿AB折叠后的示意图，其中∠1＝30°。你能求出∠2的度数吗？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24三年级上·浙江·课后作业）从一张长54cm、宽24cm的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上剪下边长尽可能大的正方形……按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是6厘米。共剪下了几张正方形纸片。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）数一数下图中包含阴影部分的正方形有( )个。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26三年级上·天津河西·期末）能和左面的图形拼成一个长方形的小棒是（    ）。 A．① B．② C．③ 2．（25-26三年级上·甘肃白银·期末）在一个长10厘米、宽8厘米的长方形中剪出一个最大的正方形，这个正方形的边长是（    ）。 A．10厘米 B．8厘米 C．不能确定 3．（25-26三年级上·吉林长春·期末）长方形被挡住的角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 4．同一平面内的两条直线的位置关系有( )和( )。 5．（25-26三年级上·河北邢台·期末）下图中，线段AB与线段( )互相平行，线段AC与线段( )互相垂直。 6．（25-26三年级上·河北唐山·期末）下面是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝( )°。 7．（25-26三年级上·河北邢台·期末）直尺相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。( )（判断对错） 8．（24-25三年级下·山东烟台·期末）如图，从王晓晓家到胜利街有三条路①②③，分别长2千米、1.6千米、2.1千米。 (1)如果再修一条从王晓晓家到胜利街的路，怎样修最短呢？在图中画出来。 (2)新修的这条路可能有多长？（    ） A．1.3千米 B．2.4千米 9．（24-25三年级上·贵州贵阳·期末）乐乐在方格纸上画了一个图形（每个小方格的边长表示1厘米），形状如下图，这个图形的周长是多少？ 如果要将这个图形变成一个长方形，可以将（    ）厘米的那一条边进行平移。平移后，得到的长方形与原来图形的周长（    ）。（填“相等”或“不相等”） 10．（24-25三年级上·江苏南京·期末）一块长方形菜地，宽是12米，正好是长的一半。这块长方形菜地的长是多少米？周长是多少米？ 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26三年级上·河北唐山·期末）abcd四架飞机同时飞往梦想城，如果他们的速度相同，那么（    ）架飞机先到达？ A．a B．b C．c D．d 2．（25-26三年级上·河北邢台·期末）公路上有三条小路可以通往农场，长度分别是325米、287米、224米，且其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是（    ）。 A．325米 B．287米 C．224米 3．（25-26三年级上·福建泉州·期末）用一张长1分米，宽8厘米的长方形折正方形，最大的正方形的边长是( )厘米。 4．（25-26三年级上·河北唐山·期末）如图，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，其中最短的一条是线段( )。 5．（25-26三年级上·甘肃张掖·期末）把一张长方形的纸剪掉一个角（如图），现在有( )个直角，( )个钝角。 6．（25-26三年级上·河北唐山·期末）长方形和正方形都是四边形，且对边相等。( )（判断对错） 7．（25-26三年级上·河北承德·期末）数一数，有（    ）个三角形。 列式： 8．（24-25三年级上·江苏盐城·期末）如图，景区准备用40米长的篱笆靠墙围一块长方形地，用来种植腊梅，宽6米，长比宽的2倍多3米。准备的篱笆够用吗？ 9．（25-26三年级上·广西桂林·期末）请用2B铅笔画一画。 接着画出一个长方形。 10．（25-26三年级上·河北承德·期末）根据A、B、C三个点请你按要求画图。 （1）画出直线AC。   （2）画出射线BC。     （3）过点B作直线AC的垂线。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $