第五单元 运算律（期末复习讲义-培优版）知识梳理+15个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共66题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年苏教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 运算律『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+15个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共66题） 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 加法交换律和加法结合律 4 知识点二 减法运算性质 4 知识点三 乘法交换律和乘法结合律 4 知识点四 乘法分配律 4 知识点五 除法运算性质 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 整数加法交换律的计算 4 高频考点二 整数加法交换律的应用 5 高频考点三 整数加法结合律的计算 6 高频考点四 整数加法结合律的应用 6 高频考点五 整数减法的性质的计算 7 高频考点六 整数减法的性质的应用 8 高频考点七 整数乘法交换律的计算 8 高频考点八 整数乘法交换律的应用 9 高频考点九 整数乘法结合律的计算 9 高频考点十 整数乘法结合律的应用 10 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 10 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 11 高频考点十三 整数除法的性质的计算 12 高频考点十四 整数除法的性质的应用 12 高频考点十五 相遇问题 13 奥数拓展 拔尖冲刺 14 奥数拓展一 整数加法交换律的计算与应用 14 奥数拓展二 整数加法结合律的计算与应用 14 奥数拓展三 整数减法的性质的计算与应用 15 奥数拓展四 整数乘法交换律的计算与应用 15 奥数拓展五 整数乘法结合律的计算与应用 15 奥数拓展六 整数乘法分配律的计算与应用 16 奥数拓展七 整数除法的性质的计算与应用 16 奥数拓展八 相遇问题 16 优选真题 实战演练 17 【基础夯实 知识巩固】 17 【拓展提高 能力拔尖】 19 知识点一 加法交换律和加法结合律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+c=a+(b+c)。 知识点二 减法运算性质 1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a－b－c=a－(b＋c)。 2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a－b－c=a－c－b。 知识点三 乘法交换律和乘法结合律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 知识点四 乘法分配律 两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律。 1. 乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。 2. 乘法分配律的逆运算：a×b+a×c=a×（b+c）。 知识点五 除法运算性质 1. 除法的运算性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积，用字母表示为a÷b÷c=a÷（b×c）（b、c均不为0）。 2. 在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变，用字母表示为 a÷b÷c÷d=a÷c÷b÷d=a÷d÷b÷c（b、c、d均不为0）。 高频考点一 整数加法交换律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江大兴安岭·期末）计算下面各题，能用简便算法的要用简便算法。 243＋182＋357     （125＋7）×8        768÷[（42－34）×6] 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建泉州·期末）用你喜欢的方法计算下面各题。 157＋584＋43＋16    25×72＋28×25    12×[345÷（91－76）] 高频考点二 整数加法交换律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·安徽亳州·期中）阅读材料，回答问题。 社团活动是校园文化建设的重要载体，它能培养学生的兴趣、能力及创造力。实验小学开设了丰富多彩的社团活动，有古诗词、书法、演讲、乒乓球、健美操等12个项目。其中，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人。健美操是融体操、舞蹈、音乐于一体的运动项目，具有高度的艺术性，深受同学们的喜爱，此社团人数最多，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加。社团活动的开展，不但发展了学生的兴趣爱好，而且丰富了学生的学习生活。 （1）估一估，这段材料大约有（）个字。 （2）古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人？ （3）健美操社团有多少人？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江大兴安岭·期末）十一黄金周，商家开展促销活动，买下面三种商品各一台，一共需要多少元？ 高频考点三 整数加法结合律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·上海嘉定·期末）递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 768－（432－108）÷18       104×25 1554÷[（72－58）×3]       1678－（678－345）＋55 79×42＋79＋79×57          99＋999＋9999＋99999 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建泉州·期末）递等式计算，能简算的用简便方法计算。 608÷[（78－59）×4]          835＋637＋165＋363 342×15－42×15                7×25×44 高频考点四 整数加法结合律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·贵州遵义·期末）阅读材料，解决以下问题。 材料：高斯是德国著名的数学家，他在上小学时，有一次数学老师让他们算1加到100的和，即1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100＝？老师以为这道题要算很久，刚坐下，高斯就交出了答案“5050”。老师很惊讶，问他是怎么算的，他说先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。 （1）高斯的做法也可以写成如下算式，下面算式利用了加法的（    ）律和（    ）律 1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51） ＝101×50 ＝5050 （2）利用题（1）的做法，计算1＋2＋3＋…＋49＋50。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东枣庄·期末）轻轨列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客121人。这列车共载乘客多少人？ 高频考点五 整数减法的性质的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 370－65－35( )370－（65＋35）    39＋41×9( )（39＋41）×9 640÷4÷2( )640÷8        720－330÷6( )（720－330）÷6 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能简便的用简便方法计算。 1650－78－222＋350     125×（8＋40）×25       225＋275÷25×4 81×18＋18＋18×21      72×[﹙959＋1364﹚÷23] 高频考点六 整数减法的性质的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）某商店第二季度卖出甲、乙、丙3种饮料共489箱，甲饮料卖了128箱，乙饮料卖了86箱，丙饮料卖出了多少箱？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河北石家庄·期末）中国结是我国特有的手工编织工艺品，象征着团结、幸福平安。李阿姨第一天共编了430个中国结，第二天上午编了196个中国结，下午编了204个中国结。 （1）李阿姨第一天比第二天多编了多少个中国结？（用两种方法解答） （2）通过（1）你发现了什么规律？用字母公式表示你发现的规律，并用你发现的规律计算下面各题。 发现规律：________________________________ 289－138－62    824－（124＋511） 高频考点七 整数乘法交换律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 125×12        720÷16÷5       25×44        560÷[（205－198）×4] 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁营口·期末）能简便计算的要简便计算。 25×9×4    37×101    14×87＋13×14 125×（80＋8）    480÷[（16＋32）×5] 高频考点八 整数乘法交换律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北廊坊·期末）曹冲称象是出自古代史书《三国志》中的一个中国传统历史故事。在曹冲称象的故事里，官员们找来许多石块。已知有15堆石块，每堆有25块，每块石块平均重40千克，这些石块一共重多少千克？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江杭州·期末）回顾与理解。 （1）本学期“运算律”这一单元中，我们学习了一些运算定律，请你用列表或图文结合的方式，简要回顾整理这个单元所学的知识。 （2）下侧是小华计算“32×24”的笔算过程，请回答下列问题。 ①在计算的过程中运用的运算定律是（    ）。 ②这个竖式是怎样运用运算定律进行计算的？请你具体写一写。 高频考点九 整数乘法结合律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·甘肃定西·期末）简便计算。 84×61＋78×42           24×99＋24           88×125 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁锦州·期末）脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程） （1）224÷（53－49）×4    （2）500÷[（27－22）×4]   （3）45×102－2×45 （4）25×41×2×4       （5）454＋121＋279＋146    （6）8×（125＋25） 高频考点十 整数乘法结合律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁盘锦·期末）浩浩家距学校450米，他每天从家去学校往返2次，他一周（5天）一共要走多少米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江苏盐城·期末）阳光小学小小志愿者到社区开展“垃圾分类，你我同行”主题宣传活动。小小志愿者平均分成3组，每组4人，平均每人发放25张宣传单。他们一共发放了多少张宣传单？ 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·上海普陀·期末）递等式计算，写出必要的计算过程。（能简便的要用简便方法计算） 7428－1643－357＋582              125×（80－8）×25 3672÷18＋28×18    79×79－79＋22×79 3570÷[661－16×（21＋19）] 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁大连·期末）脱式计算，能简算的要简算。 37×49＋37×51    25×34×2×4    340－240÷20×5 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·北京海淀·期末）本学期我们学习了运算律，在计算80×（125＋90）时，淘气产生了用运算律使计算简便的想法，他这样做： 淘气的做法正确吗？对此同学们和他一起进行了深入地思考。 (1)同学们用计算的方法判断出淘气做法是错误的，他们发现淘气计算出的结果与正确结果不一致。80×（125＋90）的正确结果是多少？请你也来算一算。 (2)淘气知道了自己的做法是错误的，他还想和同学们一起进一步分析错误的原因，可以怎样分析？为此老师提供了三个帮助分析的工具（如下图），请你也从中选择一个，借助它进行分析吧！ 我选择工具（    ），借助它我这样分析： (3)你对怎样才能用好运算律有什么建议？或者还想继续研究与运算律有关的什么问题？结合以上研究，我的建议或问题是：______________________________。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳文旅预计在2025－2026跨年及元旦期间，打造全城联动的欢乐嘉年华，彰显沈阳作为东北亚国际化中心城市的冰雪魅力。为迎接游客，王大爷进了大批冻梨和冻柿子，用25辆卡车才运完，每辆卡车上装了24箱冻梨和26箱冻柿子，一共有多少箱？（用两种方法解答） 高频考点十三 整数除法的性质的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·江苏盐城·期末）脱式计算，能简便的要简便计算。 3600÷5÷8          （65＋79）÷（83－67）         450÷[555÷（282–245）] 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建莆田·期末）计算420÷35时，下面想法不正确的是（    ）。 A．（420÷7）÷（35÷7） B．420÷7÷5 C．（420÷2）÷（35×2） D．（420×2）÷（35×2） 高频考点十四 整数除法的性质的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·贵州铜仁·期末）端午节与春节、清明节、中秋节并称为中国汉族的四大传统节日。自古以来端午节便有划龙舟及食粽等节日活动。自2008年起，端午节被列为国家法定节假日。端午节，食品厂为敬老院的爷爷奶奶特制了3600个粽子，每20个装一袋，每3袋装一盒，一共装了多少盒？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西忻州·期末）代县小米米粒匀称，色泽金黄，米香醇厚，口感光滑，是山西省忻州市特产，也是全国农产品地理标志。爸爸购买了6千克小米分装在250克的小袋里，每8小袋装一箱，这些小米可以装满几箱？ 高频考点十五 相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·山东·期末）大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两头同时出发相对而行。甲车每分钟行180米，乙车每分钟比甲车多行40米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 奥数拓展一 整数加法交换律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·湖北随州·期末）用简便方法计算：123456×654321－123455×654322。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河北·假期作业）下面算式结果的末尾有多少个连续的0？ 奥数拓展二 整数加法结合律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·四川·期中）用简便方便计算。 321＋（279－155）         432－（154－68）        152＋637＋248＋72＋28－137    9＋99＋999＋9999    35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）你会用高斯配对求和的方法计算1＋3＋5＋7＋…＋57＋59吗？试试吧！ （1）算一算：1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 （2）我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两（    ）可以凑成某个（    ）的数，可利用（    ）法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 奥数拓展三 整数减法的性质的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·四川自贡·期中）用简便方法计算。 （1）352－98    （2）725＋363＋75     （3）613－168－13 （4）970－790－110     （5）203＋529    （6） 489－（216＋189） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·湖北武汉·期末）小马虎计算36＋24×□时弄错了运算顺序，结果算出来比正确答案多72，□代表的数是________。 奥数拓展四 整数乘法交换律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山东德州·期中）在空白方框里填上适当的数，下列算式就可以简便计算。 计算过程中会用到的运算定律是（          ），64×＋36×149； 32×a＝a×32这是应用了（    ）律； 78×101＝78×100＋78这是应用了（    ）律。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）计算：（2×3×5×7×11×13×17×19）÷（38×51×65×77）＝( )。 奥数拓展五 整数乘法结合律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）巧算下列题目： （1）9999×2222＋3333×3334 （2）98766×98768－98765×98769 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小力计算器上的数字键“8”因为按的次数太多失灵了。现在小力想用这个计算器计算324×48，你能帮她想出4种不同的计算方法吗？（用算式表示出你的算法） 奥数拓展六 整数乘法分配律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）巧算： 137×34＋137×23＋863×57 123456789×987654321－123456788×987654322 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）巧算：601×602－600×603。 奥数拓展七 整数除法的性质的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）用简便方法计算下列各题。 50×27×77÷（25×11×9） 125×21×60÷（7÷8×15） 25×121÷2÷（11×5÷4） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河南洛阳·期末）如果△×☆＝20，那么△×50×☆＝( )，420÷☆÷△＝( )。 奥数拓展八 相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）阳光公园有一块长方形草坪，小明和小红分别从草坪的两个相对顶点同时出发，沿着草坪边缘相向而行。小明从顶点A出发，按A→B→C→D→A方向行走（逆时针），每分钟走52米；小红从顶点C出发，按C→B→A→D→C方向行走（顺时针），每分钟走48米。 (1)出发后几分钟，两人第一次相遇？ (2)两人相遇后没有停留，继续按各自的行走方向前进，直到各自到达各自的出发点。第一次相遇后几分钟，两人第二次相遇？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河北·假期作业）甲、乙两车在上午8时分别从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶60千米，比乙车每小时多行驶3千米，两车在距离中点4.5千米处相遇。 （1）甲、乙两车什么时候相遇？ （2）A、B两地相距多少千米？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·福建泉州·期末）中国空间站每分钟大约飞行474千米，这个速度确保了空间站能够稳定绕地球飞行。根据如图竖式，下面说法错误的是（    ）。 A．这个竖式运用了乘法分配律 B．中国空间站5分钟飞行2370千米 C．中国空间站15分钟飞行7110千米 D．圈起来的数表示中国空间站10分钟飞行474千米 2．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）125×（76×8）＝76×（125×8）是运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 3．（25-26四年级上·吉林长春·期末）下面算式可以利用乘法结合律简便运算的是（    ）。 A．7×61＋39×7 B．36×25×4 C．173＋27×8 4．（25-26四年级上·福建泉州·期末）在括号里填入“＞”“＜”或“＝”。 606006( )606060          783－199( )783－200－1 42×500( )420×50         600÷25( )2400÷100 5．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）21×36＝（20＋1）×36＝20×36＋1×36＝720＋36＝756，这样计算应用了( )律，用字母表示这个运算律是( )。 6．（25-26四年级上·甘肃白银·期末）根据运算律在横线上填上合适的数。 125×（8×____）＝（125×____）×17 56×19＋44×19＝（____＋____）×19 7．（25-26四年级上·辽宁丹东·期末）4×96×25＝96×（4×25），既运用了乘法交换律，又运用了乘法结合律。( )（判断对错） 8．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）98×102＝（100－2）×102＝100×102－2×102，这里运用了乘法分配律。( )（判断对错） 9．（25-26四年级上·广西桂林·期末）观察下面式子的特点并计算。 （1）385＋137＋615＋363    （2）46×93＋93×54 （3）125×36×8        （4）504÷[4×（47－26）] 10．（25-26四年级上·山东滨州·期末）校园里的紫藤长廊南北贯通，小语和小航想知道长廊的长度，便从长廊两端同时出发，相向而行，并在长廊间往返行走。小语的速度是65米/分，小航的速度是75米/分，经过9分钟两人第二次相遇。你能算出这条紫藤长廊的长度是多少米吗？ 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·福建泉州·期末）下面的图，能表示5×3×2＝5×2×3的是（    ）。 A．线段的长度是多少？ B．大长方形的面积是多少？ C．大长方形的面积是多少？ D．共有多少颗草莓？ 2．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）用计算器计算时，发现按键“6”坏了，计算305×56可以改为（    ）。 A．305×58－2 B．305×50＋305×8 C．305×5×9 D．305×7×8 3．（23-24四年级下·湖北黄冈·期末）太阳能电池板是通过吸收太阳光，将太阳辐射能通过光电效应或者光化学效应直接或间接转换成电能的装置，大部分太阳能电池板的主要材料为“硅”。一块多晶硅的面板如图所示，这块多晶硅面板的面积是多少平方厘米，下面算式中正确的有（    ）个。 ①19×35＋45×19；②19×（35＋45－19）＋19×19；③19×（35＋45）④（35＋19）×45－35×（45－19）⑤19×35＋45×19－19×19 A．2 B．3 C．4 4．（25-26四年级上·浙江宁波·期末）在括号填入“＞”“＝”或“＜”。 75÷25( )（75×5）÷（25÷5）    12×210( )36×7 178×28( )178×2＋178×8 5．（25-26四年级上·上海青浦·期末）（×289＋1070 ）÷18＝509，方框里填( )；125×8×4×25＝125×8×（4×25）运用了( )。 6．（24-25四年级上·山东青岛·期末）在计算42×99＋42＝42×（99＋1）时，运用了乘法结合律。( )（判断对错） 7．（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能巧算的用巧算。 4×8×（25＋125）                43×83＋17＋42×17 18×420＋180－18×380           30×[14＋（84－28）÷14] 8．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）《格林童话》每本36元，《安徒生童话》每本44元。王老师买《格林童话》和《安徒生童话》各22本。王老师一共要花多少钱？ 9．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）冬季我国的蔬菜供应主要是以蔬菜大棚种植为主。如图，李叔叔有甲、乙两个蔬菜种植大棚。两个大棚所占土地面积共多少平方米？ 10．（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）海纳酒店在录制现场的正西方向1300米处，百川酒店在录制现场的正东方向1100米处。住在海纳酒店的李叔叔和住在百川酒店的王叔叔两人约好晚上8时到录制现场，两人在晚上7时35分，分别从两个酒店出发走向录制现场，约定相遇后才一起去录制现场。从出发到两人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65米，李叔叔每分钟步行多少米？要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 运算律『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+15个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共66题） 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 加法交换律和加法结合律 4 知识点二 减法运算性质 4 知识点三 乘法交换律和乘法结合律 4 知识点四 乘法分配律 4 知识点五 除法运算性质 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 整数加法交换律的计算 4 高频考点二 整数加法交换律的应用 6 高频考点三 整数加法结合律的计算 7 高频考点四 整数加法结合律的应用 9 高频考点五 整数减法的性质的计算 11 高频考点六 整数减法的性质的应用 13 高频考点七 整数乘法交换律的计算 15 高频考点八 整数乘法交换律的应用 17 高频考点九 整数乘法结合律的计算 19 高频考点十 整数乘法结合律的应用 22 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 22 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 24 高频考点十三 整数除法的性质的计算 27 高频考点十四 整数除法的性质的应用 28 高频考点十五 相遇问题 29 奥数拓展 拔尖冲刺 30 奥数拓展一 整数加法交换律的计算与应用 30 奥数拓展二 整数加法结合律的计算与应用 32 奥数拓展三 整数减法的性质的计算与应用 34 奥数拓展四 整数乘法交换律的计算与应用 36 奥数拓展五 整数乘法结合律的计算与应用 37 奥数拓展六 整数乘法分配律的计算与应用 39 奥数拓展七 整数除法的性质的计算与应用 41 奥数拓展八 相遇问题 42 优选真题 实战演练 44 【基础夯实 知识巩固】 44 【拓展提高 能力拔尖】 48 知识点一 加法交换律和加法结合律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+c=a+(b+c)。 知识点二 减法运算性质 1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a－b－c=a－(b＋c)。 2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a－b－c=a－c－b。 知识点三 乘法交换律和乘法结合律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 知识点四 乘法分配律 两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律。 1. 乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。 2. 乘法分配律的逆运算：a×b+a×c=a×（b+c）。 知识点五 除法运算性质 1. 除法的运算性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积，用字母表示为a÷b÷c=a÷（b×c）（b、c均不为0）。 2. 在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变，用字母表示为 a÷b÷c÷d=a÷c÷b÷d=a÷d÷b÷c（b、c、d均不为0）。 高频考点一 整数加法交换律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江大兴安岭·期末）计算下面各题，能用简便算法的要用简便算法。 243＋182＋357     （125＋7）×8        768÷[（42－34）×6] 【答案】782；1056；16 【思路引导】243＋182＋357：根据加法交换律把式子变成243＋357＋182，再从左往右依次计算； （125＋7）×8：根据乘法分配律进行简化计算，先算125×8的积，再算7×8的积，最后算125×8的积与7×8的积的和； 768÷[（42－34）×6]：先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外边的除法。 【规范解答】243＋182＋357 ＝243＋357＋182 ＝600＋182 ＝782 （125＋7）×8 ＝125×8＋7×8 ＝1000＋56 ＝1056 768÷[（42－34）×6] ＝768÷[8×6] ＝768÷48 ＝16 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建泉州·期末）用你喜欢的方法计算下面各题。 157＋584＋43＋16    25×72＋28×25    12×[345÷（91－76）] 【答案】800；2500；276 【思路引导】运用加法交换律和结合律将原式转换成（157＋43）＋（584＋16），据此进行简便计算。 运用乘法分配律将原式转换成25×（72＋28），据此进行简便计算。 遵循四则运算顺序，先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算乘法。 【规范解答】157＋584＋43＋16 ​＝（157＋43）＋（584＋16） ＝200＋600 ＝800​ 25×72＋28×25 ＝25×（72＋28） ＝25×100 ＝2500​ 12×[345÷（91−76）] ＝​12×[345÷15] ＝12×23 ＝276​ 高频考点二 整数加法交换律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·安徽亳州·期中）阅读材料，回答问题。 社团活动是校园文化建设的重要载体，它能培养学生的兴趣、能力及创造力。实验小学开设了丰富多彩的社团活动，有古诗词、书法、演讲、乒乓球、健美操等12个项目。其中，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人。健美操是融体操、舞蹈、音乐于一体的运动项目，具有高度的艺术性，深受同学们的喜爱，此社团人数最多，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加。社团活动的开展，不但发展了学生的兴趣爱好，而且丰富了学生的学习生活。 （1）估一估，这段材料大约有（）个字。 （2）古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人？ （3）健美操社团有多少人？ 【答案】（1）200；（2）385人；（3）300人 【思路引导】（1）可以按“分句估算”：前两句约70字，第三四句约100字，第五句约30字。合计约200字。 （2）将古诗词、乒乓球、书法三个社团的人数相加，即可解答。 （3）已知四至六年级共3个年级，每个年级4个班，每班25人参加健美操社团，先计算出总班数，再用总班数乘每班参加的人数，即可解答。 【规范解答】（1）这段材料大约有200字。 （2）164＋85＋136 ＝164＋136＋85 ＝300＋85 ＝385（人） 答：一共有385人。 （3）3×4＝12（个） 12×25＝300（人） 答：健美操社团有300人。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江大兴安岭·期末）十一黄金周，商家开展促销活动，买下面三种商品各一台，一共需要多少元？ 【答案】750元 【思路引导】根据题意，已知三种商品的价格分别是388元、150元、212元，把这三种商品的单价相加，就是买这三种商品各一台，共需要多少元。计算时可以根据加法交换律：a＋b＝b＋a，进行简便计算。 【规范解答】根据分析可知： 388＋150＋212 ＝388＋212＋150 ＝600＋150 ＝750（元） 答：一共需要750元。 高频考点三 整数加法结合律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·上海嘉定·期末）递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 768－（432－108）÷18       104×25 1554÷[（72－58）×3]       1678－（678－345）＋55 79×42＋79＋79×57          99＋999＋9999＋99999 【答案】750；2600； 37；1400； 7900；111096 【思路引导】第一题先去括号再除以18计算，再减法；第二题把104拆成100＋4，用乘法分配律简化；第三题按先算小括号、再算中括号、最后算除法的顺序计算；第四题去括号后，先算1678678凑整，再算345＋55凑整，最后相加；第五题提取公因数79，把剩下的数相加凑成100再相乘；第六题把每个数凑成整十、整百、整千、整万的数，再减去多算的4个1即可。 【规范解答】 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建泉州·期末）递等式计算，能简算的用简便方法计算。 608÷[（78－59）×4]          835＋637＋165＋363 342×15－42×15                7×25×44 【答案】8；2000 4500；7700 【思路引导】（1）608÷[（78－59）×4]，先算减法，再算乘法，最后算除法，依次计算。           （2）835＋637＋165＋363，利用加法交换律和结合律，先求835＋165、637＋363的和，然后再把和相加，据此简便计算。 （3）342×15－42×15，利用乘法分配律，先求342－42的差，再用差乘15，据此简便计算。                 （4）7×25×44，把44拆成4×11，再利用乘法结合律和交换律，先求7×11、25×4的积，再把积相乘，据此简便计算。 【规范解答】（1）608÷[（78－59）×4] ＝608÷[19×4]     ＝608÷76 ＝8      （2）835＋637＋165＋363 ＝835＋165＋637＋363 ＝（835＋165）＋（637＋363） ＝1000＋1000 ＝2000 （3）342×15－42×15     ＝（342－42）×15 ＝300×15 ＝4500             （4）7×25×44 ＝7×25×4×11 ＝7×11×25×4 ＝（7×11）×（25×4） ＝77×100 ＝7700 高频考点四 整数加法结合律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·贵州遵义·期末）阅读材料，解决以下问题。 材料：高斯是德国著名的数学家，他在上小学时，有一次数学老师让他们算1加到100的和，即1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100＝？老师以为这道题要算很久，刚坐下，高斯就交出了答案“5050”。老师很惊讶，问他是怎么算的，他说先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。 （1）高斯的做法也可以写成如下算式，下面算式利用了加法的（    ）律和（    ）律 1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51） ＝101×50 ＝5050 （2）利用题（1）的做法，计算1＋2＋3＋…＋49＋50。 【答案】（1）结合；交换 （2）1275 【思路引导】（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100变化为（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51），加数交换了位置，且将（1＋100）、（2＋99）和（50＋51）等结合起来算，据此解答。 （2）利用加法交换律和加法结合律进行计算，先算1＋50＝51，2＋49＝51，3＋48＝51……这样一共有25个51，据此解答。 【规范解答】（1）1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（49＋52）＋（50＋51） ＝101×50 ＝5050 因此，算式利用了加法的结合律和交换律。 （2）1＋2＋3＋…＋49＋50 ＝（1＋50）＋（2＋49）＋（3＋48）＋…＋（24＋27）＋（25＋26） ＝25×51 ＝1275 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东枣庄·期末）轻轨列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客121人。这列车共载乘客多少人？ 【答案】350人 【思路引导】根据题意，已知列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客121人。用156加上73，再加上121，就是这列车共载乘客的人数，计算时可以根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），进行简便计算，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 156＋73＋121 ＝156＋（73＋121） ＝156＋194 ＝350（人） 答：这列车共载乘客350人。 高频考点五 整数减法的性质的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 370－65－35( )370－（65＋35）    39＋41×9( )（39＋41）×9 640÷4÷2( )640÷8        720－330÷6( )（720－330）÷6 【答案】 ＝ ＜ ＝ ＞ 【思路引导】第一题根据减法的性质判断；第二题和第四题根据四则运算顺序计算两边结果后比较大小；第三题根据除法的性质判断即可； 【规范解答】根据减法的性质：一个数连续减两个数，等于这个数减两个减数的和，因此； ，则； 根据除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个除数的积，因此； ，则。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能简便的用简便方法计算。 1650－78－222＋350     125×（8＋40）×25       225＋275÷25×4 81×18＋18＋18×21      72×[﹙959＋1364﹚÷23] 【答案】1700；150000；269； 1854；7272 【思路引导】第一个利用加法交换律和结合律以及减法的基本性质进行计算； 第二个利用乘法分配律进行计算； 第三个先算除法，再算乘法，最后算加法； 第四个利用乘法分配律进行计算； 第五个先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； 【规范解答】1650－78－222＋350 ＝（1650＋350）－（78＋222）   ＝2000－300              ＝1700 125×（8＋40）×25 ＝125×8×25＋125×40×25    ＝25000＋125000                 ＝150000 225＋275÷25×4 ＝225＋11×4 ＝225＋44 ＝269 81×18＋18＋18×21 ＝18×（81＋1＋21） ＝18×103 ＝18×（100＋3） ＝18×100＋18×3 ＝1800＋54 ＝1854   72×[﹙959＋1364﹚÷23] ＝72×[2323÷23] ＝72×101 ＝7272 高频考点六 整数减法的性质的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）某商店第二季度卖出甲、乙、丙3种饮料共489箱，甲饮料卖了128箱，乙饮料卖了86箱，丙饮料卖出了多少箱？ 【答案】275箱 【思路引导】用共卖出的饮料箱数减去甲饮料卖的箱数，再减去乙饮料卖的箱数，就是丙饮料卖出的箱数。 【规范解答】489－128－86 ＝489－（128＋86） ＝489－214 ＝275（箱） 答：丙饮料卖出了275箱。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河北石家庄·期末）中国结是我国特有的手工编织工艺品，象征着团结、幸福平安。李阿姨第一天共编了430个中国结，第二天上午编了196个中国结，下午编了204个中国结。 （1）李阿姨第一天比第二天多编了多少个中国结？（用两种方法解答） （2）通过（1）你发现了什么规律？用字母公式表示你发现的规律，并用你发现的规律计算下面各题。 发现规律：________________________________ 289－138－62    824－（124＋511） 【答案】（1）30个 （2）规律：一个数连续减去两个数，可以先把后面两个数相加，然后相减，得数不变。用字母公式表示为a－b－c＝a－（b＋c）。 89；189 【思路引导】（1）根据题目中信息可知，可用减法求出结果，方法一可用第一天编的连续减去第二天上午和下午编的可列式：，方法二是用第一天编的减去第二天上午和下午编的总和，可列式，求出答案即可。 （2）通过（1）中两种方法的算式进行比较不难发现，一个数连续减去两个数，可以先把后面两个数相加，然后相减，得数不变。在应用此算式规律时根据实际情况进行选择，哪个简便用哪个。据此用字母a、b、c表示出来即可。 【规范解答】（1）方法一：                 （个）           方法二： （个） 答：李阿姨第一天比第二天多编了30个中国结。 （2）规律：一个数连续减去两个数，可以先把后面两个数相加，然后相减，得数不变。用字母公式表示为a－b－c＝a－（b＋c）。                                    高频考点七 整数乘法交换律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 125×12        720÷16÷5       25×44        560÷[（205－198）×4] 【答案】1500；9；1100；20 【思路引导】把125看成25×5，12看成3×4，通过乘法交换律和结合律计算即可； 利用除法的性质进行简便计算； 把44写成4×11，计算即可； 先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法即可。 【规范解答】 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁营口·期末）能简便计算的要简便计算。 25×9×4    37×101    14×87＋13×14 125×（80＋8）    480÷[（16＋32）×5] 【答案】900；3737；1400 11000；2 【思路引导】25×9×4运用乘法交换律，把后两个乘数9和4交换位置，再先算25与4的积，再把它们的积与9相乘； 37×101把101看作100与1的和，运用乘法分配律，先用37分别与100和1相乘，再把它们的积相加； 14×87＋13×14运用乘法分配律，先计算87与13的和，再把14与它们的和相乘； 125×（80＋8）运用乘法分配律，先用125分别与80和8相乘，再把它们的积相加； 480÷[（16＋32）×5]先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。据此计算。 【规范解答】25×9×4 ＝25×4×9 ＝100×9 ＝900 37×101 ＝37×（100＋1） ＝37×100＋37×1 ＝3700＋37 ＝3737 14×87＋13×14 ＝14×（87＋13） ＝14×100 ＝1400 125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 480÷[（16＋32）×5] ＝480÷[48×5] ＝480÷240 ＝2 高频考点八 整数乘法交换律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北廊坊·期末）曹冲称象是出自古代史书《三国志》中的一个中国传统历史故事。在曹冲称象的故事里，官员们找来许多石块。已知有15堆石块，每堆有25块，每块石块平均重40千克，这些石块一共重多少千克？ 【答案】15000千克 【思路引导】已知有15堆石块，每堆有25块，用每堆的块数乘堆数，求出石块的总块数； 已知每块石块平均重40千克，用每块石块的平均重量乘总块数，求出这些石块的总重量。 计算时可以根据乘法交换律a×b＝b×a进行简算。 【规范解答】25×15×40 ＝25×40×15 ＝1000×15 ＝15000（千克） 答：这些石块一共重15000千克。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江杭州·期末）回顾与理解。 （1）本学期“运算律”这一单元中，我们学习了一些运算定律，请你用列表或图文结合的方式，简要回顾整理这个单元所学的知识。 （2）下侧是小华计算“32×24”的笔算过程，请回答下列问题。 ①在计算的过程中运用的运算定律是（    ）。 ②这个竖式是怎样运用运算定律进行计算的？请你具体写一写。 【答案】（1）见详解 （2）①乘法分配律 ②见详解 【思路引导】（1）加法的交换律： 定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变，这叫做加法的交换律。 公式：a＋b＝b＋a 加法的结合律： 定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法的结合律。 公式：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 减法的性质一： 定义：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个减数的和。 公式：a－b－c＝a－（b＋c） 减法的性质二： 定义：一个数连续减去两个数，交换两个减数的位置，差不变。 公式：a－b－c＝a－c－b 加减混合运算的性质： ①括号前面是加号，添、去括号不变号 即a＋b－c ＝ a＋（b－c） ②括号前面是减号，添、去括号要变号 即a－b＋c ＝ a－（b－c） 乘法的交换律： 定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，这叫做乘法的交换律。 公式：a×b＝b×a 乘法的结合律： 定义：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法的结合律。 公式：（a×b） ×c＝a×（b×c） 乘法的分配律： 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这叫做乘法的分配律。 公式：（a＋b） ×c＝a×c＋b×c 定义：两个数的差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相减。 公式：（a－b） ×c＝a×c－b×c 除法的运算性质一： 定义：一个数连续除以两个不为0的数，等于这个数除以两个除数的积。 公式：a÷b÷c＝a÷（b×c） 除法的运算性质二： 定义：在连除运算中，任意交换两个除数的位置，商不变 公式： a÷b÷c＝a÷c÷b （2）①在计算的过程中运用的运算定律是乘法分配律； ②用第2个因数个位上的数4去乘第1个因数32，得128；用第2个因数十位上的数2（十位上的数2表示20）去乘第1个因数32，得640（竖式中640的个位0不写），最后把两次乘得的数加起来。 24写成4＋20的形式，再利用乘法分配律。32×24＝32×（4＋20）＝32×4＋32×20＝128＋640＝768。 【规范解答】（1）如下图： （2）①在计算的过程中运用的运算定律是（乘法分配律）。 ②用第2个因数个位上的数4去乘第1个因数32，得128；用第2个因数十位上的数2（十位上的数2表示20）去乘第1个因数32，得640（竖式中640的个位0不写），最后把两次乘得的数加起来。 24写成4＋20的形式，再利用乘法分配律。32×24＝32×（4＋20）＝32×4＋32×20＝128＋640＝768。 高频考点九 整数乘法结合律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·甘肃定西·期末）简便计算。 84×61＋78×42           24×99＋24           88×125 【答案】8400；2400；11000 【思路引导】（1）仔细观察算式及数据特点可知，根据积不变的性质将算式78×42转化为39×84（一个乘数除以2，另一个乘数乘上2），然后再利用乘法分配律的逆运算将原式转化为84×（61＋39）可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，根据乘法分配律的逆运算将原式转化为24×（99＋1）可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，先把88转化为11×8，然后再利用乘法结合律将原式转化为11×（8×125）可使计算简便。 【规范解答】84×61＋78×42 ＝84×61＋（78÷2）×（42×2） ＝84×61＋39×84 ＝84×（61＋39） ＝84×100 ＝8400 24×99＋24 ＝24×（99＋1） ＝24×100 ＝2400 88×125 ＝（11×8）×125 ＝11×（8×125） ＝11×1000 ＝11000 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁锦州·期末）脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程） （1）224÷（53－49）×4    （2）500÷[（27－22）×4]   （3）45×102－2×45 （4）25×41×2×4       （5）454＋121＋279＋146    （6）8×（125＋25） 【答案】（1）224；（2）25；（3）4500； （4）8200；（5）1000；（6）1200 【思路引导】（1）先计算小括号内减法，再计算除法，最后计算乘法； （2）先计算小括号内减法，算式变成500÷[5×4]，再根据除法的性质a÷b÷c＝ a÷（b×c）的逆运算将算式变成：500÷5÷4再计算； （3）利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成45×（102－2）再计算； （4）根据乘法交换律a×b＝b×a将算式变成25×4×41×2再计算； （5）利用加法交换律：a＋b＝b＋a，将算式变成454＋146＋121＋279，再利用加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将算式变成（454＋146）＋（121＋279）再计算； （6）利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c将算式变成8×125＋8×25再计算。 【规范解答】（1）224÷（53－49）×4 ＝224÷4×4 ＝56×4 ＝224 （2）500÷[（27－22）×4] ＝500÷[5×4] ＝500÷5÷4 ＝100÷4 ＝25 （3）45×102－2×45 ＝45×（102－2） ＝45×100 ＝4500 （4）25×41×2×4   ＝25×4×41×2 ＝100×41×2 ＝4100×2 ＝8200 （5）454＋121＋279＋146 ＝454＋146＋121＋279 ＝（454＋146）＋（121＋279） ＝600＋400 ＝1000 （6）8×（125＋25） ＝8×125＋8×25 ＝1000＋200 ＝1200 高频考点十 整数乘法结合律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁盘锦·期末）浩浩家距学校450米，他每天从家去学校往返2次，他一周（5天）一共要走多少米？ 【答案】9000米 【思路引导】由题意得，浩浩家距学校450米，他每天从家去学校往返2次，可以先用450乘2算出浩浩往返一次需要走多少米，然后再乘上2算出浩浩每天往返2次需要走多少米。最后再乘上5即可算出浩浩一周（5天）一共要走多少米。计算时，利用乘法结合律可使计算简便。 【规范解答】450×2×2×5 ＝（450×2）×（2×5） ＝900×10 ＝9000（米） 答：浩浩一周（5天）一共要走9000米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江苏盐城·期末）阳光小学小小志愿者到社区开展“垃圾分类，你我同行”主题宣传活动。小小志愿者平均分成3组，每组4人，平均每人发放25张宣传单。他们一共发放了多少张宣传单？ 【答案】300张 【思路引导】用25×4可算出每组发放多少宣传单，乘3可算出3组一共发放了多少张宣传单。 【规范解答】25×4×3 ＝100×3 ＝300（张） 答：他们一共发放了300张宣传单。 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·上海普陀·期末）递等式计算，写出必要的计算过程。（能简便的要用简便方法计算） 7428－1643－357＋582              125×（80－8）×25 3672÷18＋28×18                  79×79－79＋22×79 3570÷[661－16×（21＋19）] 【答案】6010；225000； 708；7900； 170 【思路引导】根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），将7428－1643－357＋582变成7428－（1643＋357）＋582再计算； 先根据乘法交换律a×b＝b×a，将算式变成125×25×（80－8），再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成125×25×80－125×25×8再计算，再利用乘法交换律a×b＝b×a，将算式变成125×80×25－125×8×25再计算； 根据四则运算法则先计算乘除法，再计算加法； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成：79×（79－1＋22）再计算； 根据四则运算法则先计算小括号内加法，再计算中括号内乘法，再计算中括号内减法，最后计算除法。 【规范解答】7428－1643－357＋582 ＝7428－（1643＋357）＋582 ＝7428－2000＋582 ＝5428＋582 ＝6010 125×（80－8）×25 ＝125×25×（80－8） ＝125×25×80－125×25×8 ＝125×80×25－125×8×25 ＝10000×25－1000×25 ＝250000－25000 ＝225000 3672÷18＋28×18 ＝204＋504 ＝708 79×79－79＋22×79 ＝79×（79－1＋22） ＝79×100 ＝7900 3570÷[661－16×（21＋19）] ＝3570÷[661－16×40] ＝3570÷[661－640] ＝3570÷21 ＝170 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁大连·期末）脱式计算，能简算的要简算。 37×49＋37×51    25×34×2×4    340－240÷20×5 【答案】3700；6800；280 【思路引导】（1）根据乘法分配律，可以将写成，然后进行计算； （2）因为，可以根据乘法交换律和乘法结合律将34和4交换位置，再将25和4结合，34和2结合，然后进行计算； （3）根据整数四则混合运算的顺序，先算乘除，后算加减，同级运算从左往右进行计算即可。 【规范解答】 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·北京海淀·期末）本学期我们学习了运算律，在计算80×（125＋90）时，淘气产生了用运算律使计算简便的想法，他这样做： 淘气的做法正确吗？对此同学们和他一起进行了深入地思考。 (1)同学们用计算的方法判断出淘气做法是错误的，他们发现淘气计算出的结果与正确结果不一致。80×（125＋90）的正确结果是多少？请你也来算一算。 (2)淘气知道了自己的做法是错误的，他还想和同学们一起进一步分析错误的原因，可以怎样分析？为此老师提供了三个帮助分析的工具（如下图），请你也从中选择一个，借助它进行分析吧！ 我选择工具（    ），借助它我这样分析： (3)你对怎样才能用好运算律有什么建议？或者还想继续研究与运算律有关的什么问题？结合以上研究，我的建议或问题是：______________________________。 【答案】(1)17200 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据四则运算顺序，先算括号内的加法，再算乘法。 （2）工具①，借助它我这样分析：80×（125＋90）表示80套衣服的价钱，也就是80件上衣和80条裤子的价钱，80×125＋90表示80件上衣和1条裤子的价钱，它们表示的价钱不一样。 工具②，借助它我这样分析：80×（125＋90）表示的是长215厘米、宽80厘米的大长方形面积，80×125＋90表示的是长125厘米、宽80厘米的长方形面积与长90厘米相加，没有实际意义，两个算式意思不同，大小也不相等。 工具③，借助它我这样分析：80×（125＋90）可以表示（125＋90）个80相加，也就是一共有215个80相加，可以看成125个80与90个80相加，80×125＋90可以表示125个80与90相加，两个算式不相等。 （3）建议：使用运算律前，先明确运算律的“含义”（比如乘法分配律是“一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再相加”），也可以结合实际情境（像工具①的“购物”、工具②的“长方形面积”）理解运算律的本质，避免漏乘或错用。 【规范解答】（1）80×（125＋90） ​＝80×215 ＝17200​ （2）工具①，借助它我这样分析：80×（125＋90）表示80套衣服的价钱，也就是80件上衣和80条裤子的价钱，80×125＋90表示80件上衣和1条裤子的价钱，它们表示的价钱不一样。 （3）建议：使用运算律前，先明确运算律的“含义”（比如乘法分配律是“一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再相加”），也可以结合实际情境（像工具①的“购物”、工具②的“长方形面积”）理解运算律的本质，避免漏乘或错用（答案不唯一）。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳文旅预计在2025－2026跨年及元旦期间，打造全城联动的欢乐嘉年华，彰显沈阳作为东北亚国际化中心城市的冰雪魅力。为迎接游客，王大爷进了大批冻梨和冻柿子，用25辆卡车才运完，每辆卡车上装了24箱冻梨和26箱冻柿子，一共有多少箱？（用两种方法解答） 【答案】1250箱 【思路引导】方法一：用每辆车上装的冻梨箱数乘25，计算出一共有多少箱冻梨。用每辆车上装的冻柿子箱数乘25，计算出一共有多少箱冻柿子，然后再相加，即可算出两种物品一共有多少箱。 方法二：先计算出每辆车上一共装了多少箱，再乘25，即可算出一共有多少箱。据此解答。 【规范解答】方法一： 24×25＋26×25 ＝600＋650 ＝1250（箱） 方法二： （24＋26）×25 ＝50×25 ＝1250（箱） 答：一共有1250箱。 高频考点十三 整数除法的性质的计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·江苏盐城·期末）脱式计算，能简便的要简便计算。 3600÷5÷8          （65＋79）÷（83－67）         450÷[555÷（282–245）] 【答案】90；9；30 【思路引导】3600÷5÷8利用除法的性质进行简便运算； （65＋79）÷（83－67）先算小括号内的加法和减法，再算小括号外的除法； 450÷[555÷（282–245）]先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算中括号外的除法。 【规范解答】3600÷5÷8 ＝3600÷（5×8） ＝3600÷40 ＝90 （65＋79）÷（83－67） ＝144÷16 ＝9 450÷[555÷（282–245）] ＝450÷[555÷37] ＝450÷15 ＝30 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建莆田·期末）计算420÷35时，下面想法不正确的是（    ）。 A．（420÷7）÷（35÷7） B．420÷7÷5 C．（420÷2）÷（35×2） D．（420×2）÷（35×2） 【答案】C 【思路引导】根据除法性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）和商不变性质的应用。商不变性质是指被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答即可。 【规范解答】A．420÷35＝（420÷7）÷（35÷7），被除数和除数同时除以7，商不变，正确； B．420÷35＝420÷7÷5，符合除法的性质，商不变，正确； C．420÷35≠（420÷2）÷（35×2），不正确； D．420÷35＝（420×2）÷（35×2），被除数和除数同时乘2，商不变，正确。 故答案为：C 高频考点十四 整数除法的性质的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·贵州铜仁·期末）端午节与春节、清明节、中秋节并称为中国汉族的四大传统节日。自古以来端午节便有划龙舟及食粽等节日活动。自2008年起，端午节被列为国家法定节假日。端午节，食品厂为敬老院的爷爷奶奶特制了3600个粽子，每20个装一袋，每3袋装一盒，一共装了多少盒？ 【答案】60盒 【思路引导】根据题意，已知食品厂为敬老院的爷爷奶奶特制了3600个粽子，每20个装一袋，每3袋装一盒，用3600除以20，先算除一共装多少袋；再除以3，就是一共装多少盒；计算时根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），进行简便计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 3600÷20÷3 ＝3600÷（20×3） ＝3600÷60 ＝60（盒） 答：一共装了60盒。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西忻州·期末）代县小米米粒匀称，色泽金黄，米香醇厚，口感光滑，是山西省忻州市特产，也是全国农产品地理标志。爸爸购买了6千克小米分装在250克的小袋里，每8小袋装一箱，这些小米可以装满几箱？ 【答案】3箱 【思路引导】根据1千克＝1000克，即6千克＝6000克，用爸爸购买小米的质量除以每小袋装的质量，求出装小袋的总袋数，再用装小袋的总袋数除以每箱装的小袋数，即可求出这些小米可以装满几箱。计算时可以用除法性质进行简便计算。 【规范解答】6千克＝6000克 6000÷（250×8） ＝6000÷2000 ＝3（箱） 答：这些小米可以装满3箱。 高频考点十五 相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·山东·期末）大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两头同时出发相对而行。甲车每分钟行180米，乙车每分钟比甲车多行40米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【答案】2000米 【思路引导】根据题意，已知甲、乙两辆除雪车分别从马路两个尽头同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，用180加40，先求出乙车每分钟行多少米。5分钟后相遇。根据相遇问题中“总路程＝速度和×相遇时间”的公式，将甲车和乙车的速度相加得到速度和，再乘相遇时间5分钟，即可求出这条马路的长度。据此解答即可。 【规范解答】180＋40＝220（米） （180＋220）×5 ＝400×5 ＝2000（米） 答：这条马路长2000米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 【答案】（1）5；10； （2）110千米/时；90千米/时 （3）220千米或440千米 【思路引导】（1）根据时间＝路程÷速度，可以求出甲地开往乙地的最短时间是和最长时间； （2）根据相遇问题的公式：路程和＝速度和×相遇时间，可以求出二人的速度和，再结合速度差求出各自的速度即可； （3）若A充电站靠近甲，B充电站靠近乙，那么两人的路程和为600＋200＝800千米，用时为800÷200＝4时，此时甲和B充电站相距4×110＝440千米；若A充电站靠近乙，B充电站靠近甲，那么两人的路程和为600－200＝400千米，用时为400÷200＝2时，此时甲和B充电站相距2×110＝220千米；据此解答即可。 【规范解答】（1）600÷120＝5（时）600÷60＝10（时） 张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是5时，最长时间是10时。 （2）600÷3＝200（千米/时） （200＋20）÷2 ＝220÷2 ＝110（千米/时） 200－110＝90（千米/时） 答：张叔叔的平均速度为110千米/时，王叔叔的平均速度为90千米/时。 （3）①（600－200）÷（110＋90） ＝400÷200 ＝2（时） 110×2＝220（千米） ②（600＋200）÷（110＋90） ＝800÷200 ＝4（时） 110×4＝440（千米） 答：甲地到充电站B的路程为220千米或440千米。 【考点剖析】本题主要考查了相遇问题，明确路程、速度、时间之间的关系是解答此题的关键。 奥数拓展一 整数加法交换律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·湖北随州·期末）用简便方法计算：123456×654321－123455×654322。 【答案】530866 【思路引导】根据乘法分配律，减法的性质：减去两个数的和等于分别减去这两个数，以及加法交换律等运算律进行简便计算。 【规范解答】123456×654321－123455×654322 ＝（123455＋1）×654321－123455×（654321＋1） ＝123455×654321＋1×654321－（123455×654321＋123455×1） ＝123455×654321＋1×654321－123455×654321－123455×1 ＝123455×654321－123455×654321＋1×654321－123455×1 ＝654321－123455 ＝530866 【考点剖析】除了熟悉几个常用的运算律，还要能结合题目本身数据特征，合理拆分算式，达到简便计算的效果。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河北·假期作业）下面算式结果的末尾有多少个连续的0？ 【答案】4046个 【思路引导】先把写成，写成，然后利用乘法分配律把算式展开变为，再利用带符号搬家变为，最后利用加法结合律与乘法分配律变为，先算小括号内的加法和减法，得到，即可求解。 【规范解答】 答：有4046个连续的0。 【考点剖析】解答本题的关键是要熟练运用乘法运算律和加法运算律。 奥数拓展二 整数加法结合律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·四川·期中）用简便方便计算。 321＋（279－155）         432－（154－68）        152＋637＋248＋72＋28－137    9＋99＋999＋9999    35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 【答案】445；346；1000 5050；11106；1560 【思路引导】（1）先去括号，式子转化为321加279，再减155，然后按从左到右的运算顺序计算即可。 （2）先去括号，式子转化为432减154，再加68，根据加法交换律交换154与68的位置，交换数字时带上符号，再根据加法结合律，先计算432与68的和，再减154即可。 （3）根据加法交换律，交换637与248的位置，再交换137与72的位置，交换数字时带上符号，根据加法结合律，分别计算152与248的和，637减137的差，72与28的和，最后把这3个算式的得数相加即可。 （4）从1一直加，加到100，用简便算法就是将这100个数分为50组，1和100为一组，2和99为一组，3和98为一组，4和97为一组……可以看到，这样的每一组的和都是101，共有50组，再用101乘50即可。 （5）先把9、99、999、9999写成整十、整百、整千、整万的数，10减1，100减1，1000减1，10000减1，再将式子转化为先求10、100、1000、10000的和，因为要减4个1，可以写为减4，即最后用10、100、1000、10000的和减4即可。 （6）观察这个算式，从左到右每个加数比前一个加数大2，第一个加数是35，最后一个加数是85，35与85的和是120，37与83的和是120，39与81的和是120，从35到85共有26个数，每两个数为一组，一组的和是120，共有这样的13组，最后求120与13的积即可。 【规范解答】 ＝900＋100 1＋2＋3＋4＋…＋97＋98＋99＋100 ＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51） ＝50×101 ＝5050 ＝10－1＋100－1＋1000－1＋10000－1 ＝110＋1000＋10000－4 ＝1110＋10000－4 ＝11110－4 35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 ＝（35＋85）＋（37＋83）＋……＋（59＋61） ＝120×13 ＝1560 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）你会用高斯配对求和的方法计算1＋3＋5＋7＋…＋57＋59吗？试试吧！ （1）算一算：1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 （2）我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两（    ）可以凑成某个（    ）的数，可利用（    ）法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【答案】（1）900； （2）结合；相同；配对 【思路引导】（1）观察题目可发现算式是1－59所有奇数相加，首尾相加等于60，第二个加数和倒数第二个加数等于60，以此类推，全部两两结合进行计算即可。 （2）根据（1）的解题方法，找出类似题型的解题思路解答即可。 【规范解答】（1）1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 ＝（1＋59）＋（3＋57）＋（5＋55）＋…＋（29＋31）两两配对，共15组 ＝60＋60＋60＋…＋60 ＝60×15 ＝900 （2）配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两结合可凑成某个相同的数，可利用配对法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【考点剖析】本题应仔细观察数据，发现数据规律是解答此题的关键。 奥数拓展三 整数减法的性质的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·四川自贡·期中）用简便方法计算。 （1）352－98    （2）725＋363＋75     （3）613－168－13 （4）970－790－110     （5）203＋529    （6） 489－（216＋189） 【答案】（1）254；（2）1163；（3）432； （4）70； （5）732； （6）84； 【思路引导】（1）观察算式可以利用凑整法计算，即，再根据去括号的运算方法，用计算出结果。 （2）（3）依据加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变。例如：，依此计算。 （4）（6）根据整数的减法性质：从一个数连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第一个减数，再减去第二个减数，依此计算。 （5）利用凑整法，将203可以拆分成200和3的和，再根据加法交换律，将3和529交换位置，再计算出结果。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【考点剖析】熟练掌握加法结合律和交换律是解答本题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·湖北武汉·期末）小马虎计算36＋24×□时弄错了运算顺序，结果算出来比正确答案多72，□代表的数是________。 【答案】3 【思路引导】由题意可知：计算36＋24×□时弄错了运算顺序，就是先算加法，后算乘法，算式就变成了（36＋24）×□，利用乘法分配律把算式展开变成36×□＋24×□，再减原算式，得到36×□－36，这个算式的结果是72。用72＋36即可求出36×□的结果，最后再除以36，即可求出□代表的数。 【规范解答】由分析可知：弄错了运算顺序，算式就变成（36＋24）×□， （36＋24）×□ ＝36×□＋24×□ 比原式多了 36×□＋24×□－（36＋24×□） ＝36×□＋24×□－36－24×□ ＝36×□－36 所以 36×□－36＝72 （72＋36）÷36 ＝108÷36 ＝3 所以，□代表的数是3。 【考点剖析】熟练掌握乘法分配律是解题的关键。 奥数拓展四 整数乘法交换律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山东德州·期中）在空白方框里填上适当的数，下列算式就可以简便计算。 计算过程中会用到的运算定律是（          ），64×＋36×149； 32×a＝a×32这是应用了（    ）律； 78×101＝78×100＋78这是应用了（    ）律。 【答案】乘法分配律；149；乘法交换；乘法分配； 【思路引导】对于64×□ ＋ 36×149，要简便计算需考虑乘法分配律的逆运算形式a×c ＋ b×c＝（a ＋ b）×c，所以应使两个乘法式子中有相同因数；2×a ＝ a×32考查乘法交换律；78×101＝78×100＋78考查乘法分配律。先根据乘法分配律确定方框中的数，再分别指出后面两个式子应用的运算定律。 【规范解答】（1）确定方框中的数：根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，在64×□ ＋36×149中，为了能简便计算，使两个乘法式子有相同因数，方框里应填149。此时式子变为64×149＋36×149，可根据乘法分配律的逆运算进行简便计算， 64×149 ＋ 36×149 ＝（64＋36）×149 ＝100×149 ＝14900 这里用到的运算定律是乘法分配律。 （2）判断32×a＝a×32应用的运算定律：乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，用字母表示为a×b＝b×a。在32×a＝a×32中，32和a的位置进行了交换，积不变，所以这是应用了乘法交换律。 （3）判断78×101＝78×100＋78应用的运算定律：乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。把101拆分成100＋1，那么78×101＝78×（100＋1），根据乘法分配律可得 78×（100＋1） ＝78×100＋78×1 ＝78×100＋78 ＝7800＋78 ＝7878 所以这是应用了乘法分配律。 所以在空白方框里填上149，计算过程中会用到的运算定律是乘法分配律；32×a ＝ a×32应用了乘法交换律；78×101＝78×100＋78应用了乘法分配律。 【考点剖析】本题主要考查乘法运算律的应用，包括乘法分配律和乘法交换律的理解和运用。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）计算：（2×3×5×7×11×13×17×19）÷（38×51×65×77）＝( )。 【答案】1 【思路引导】根据题意，把（2×3×5×7×11×13×17×19）根据乘法交换律和结合律，得到（2× 19）×（3×17）×（5 × 13）×（7×11），然后再进一步计算即可。 【规范解答】（2×3×5×7×11×13×17×19）÷（38×51×65×77） ＝[（2× 19）×（3×17）× （5 × 13）×（7×11）]÷（38×51×65×77） ＝（38×51×65×77）÷（38×51×65×77） ＝ 1 奥数拓展五 整数乘法结合律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）巧算下列题目： （1）9999×2222＋3333×3334 （2）98766×98768－98765×98769 【答案】（1）33330000 （2）3 【思路引导】（1）先将9999看成3333×3，再运用乘法结合律，将3333×3×2222写成3333×6666，然后运用乘法分配律进行运算。 （2）先将98766看成（98765＋1）、将98769看成（98768＋1），然后运用乘法分配律和减法的性质进行运算。 【规范解答】（1）9999×2222＋3333×3334 ＝3333×3×2222＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334 ＝3333×（6666＋3334） ＝3333×10000 ＝33330000 （2）98766×98768－98765×98769 ＝（98765＋1）×98768－98765×（98768＋1） ＝98765×98768＋98768－（98765×98768＋98765） ＝98765×98768＋98768－98765×98768－98765 ＝98768－98765 ＝3 【考点剖析】本题较有难度，需要熟悉运算律，同时能够把数字合理拆分。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小力计算器上的数字键“8”因为按的次数太多失灵了。现在小力想用这个计算器计算324×48，你能帮她想出4种不同的计算方法吗？（用算式表示出你的算法） 【答案】见详解 【思路引导】观察需要计算的算式，发现计算324×48，由于数字按键“8”失灵，所以“48”就不能按出来，所以我们需要把“48”用其余算式进行替代。我们可以把“48”看成（4×12），（3×16）或者（2×24），然后根据乘法结合律来进行计算，我们也可以把“48”看成（50－2），或者（24＋24）等，然后根据乘法分配律来进行计算。据此解答。 【规范解答】方法一： 324×48 ＝324×（4×12） ＝324×4×12 ＝1296×12 ＝15552 方法二： 324×48 ＝324×（3×16） ＝324×3×16 ＝972×16 ＝15552 方法三： 324×48 ＝324×（2×24） ＝324×2×24 ＝648×24 ＝15552 方法四： 324×48 ＝324×（50－2） ＝324×50－324×2 ＝16200－648 ＝15552 【考点剖析】本题主要考查乘法分配律与乘法结合律，解决此题的关键是在不需要用到按键“8”的同时，要能够凑出“48”。 奥数拓展六 整数乘法分配律的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）巧算： 137×34＋137×23＋863×57 123456789×987654321－123456788×987654322 【答案】57000；864197533 【思路引导】计算137×34＋137×23＋863×57时，先根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式137×34＋137×23＋863×57变成137×（34＋23）＋863×57，再将算式变成（137＋863）×57，最后按照运算顺序计算即可。 计算123456789×987654321－123456788×987654322时，先将987654322写成987654321＋1的形式，即123456789×987654321－123456788×（987654321＋1），然后根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式123456789×987654321－123456788×（987654321＋1）变成123456789×987654321－123456788×987654321－123456788×1，再根据乘法分配律变成（123456789－123456788）×987654321－123456788×1，最后按照运算顺序计算即可。 【规范解答】137×34＋137×23＋863×57 ＝137×（34＋23）＋863×57 ＝137×57＋863×57 ＝（137＋863）×57 ＝1000×57 ＝57000 123456789×987654321－123456788×987654322 ＝123456789×987654321－123456788×（987654321＋1） ＝123456789×987654321－123456788×987654321－123456788×1 ＝987654321×（123456789－123456788）－123456788×1 ＝987654321×1－123456788×1 ＝987654321－123456788 ＝864197533 【考点剖析】本题注意需要找出算式中几个数之间的关系，比如加1或减1等于另一个数，根据乘法分配律先计算出第一步，再看下一步的数之间的关系，一直到最后按顺序计算即可。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）巧算：601×602－600×603。 【答案】2 【思路引导】计算601×602－600×603时，先把601看作600＋1，603看作602＋1，（600＋1）×602－600×（602＋1）然后应用乘法分配律，变成600×602＋1×602－600×602－600×1进行计算。 【规范解答】601×602－600×603 ＝（600＋1）×602－600×（602＋1） ＝600×602＋1×602－600×602－600×1 ＝1×602－600×1 ＝602－600 ＝2 【考点剖析】根据数据的特点找出相同的因数，再运用乘法分配律进行简便计算。 奥数拓展七 整数除法的性质的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）用简便方法计算下列各题。 50×27×77÷（25×11×9） 125×21×60÷（7÷8×15） 25×121÷2÷（11×5÷4） 【答案】42；12000；110 【思路引导】（1）在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“÷”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都要改变，即“×”号变“÷”，“÷”变“×”；如果括号的前面是“×”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都不改变。 （2）带符号“搬家”：在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号，不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变。 【规范解答】50×27×77÷（25×11×9） ＝50×27×77÷25÷11÷9 ＝50÷25×27÷9×77÷11 ＝（50÷25）×（27÷9）×（77÷11） ＝2×3×7 ＝42 125×21×60÷（7÷8×15） ＝125×21×60÷7×8÷15 ＝125×8×21÷7×60÷15 ＝（125×8）×（21÷7）×（60÷15） ＝1000×3×4 ＝12000 25×121÷2÷（11×5÷4） ＝25×121÷2÷11÷5×4 ＝25÷5×121÷11×4÷2 ＝（25÷5）×（121÷11）×（4÷2） ＝5×11×2 ＝110 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河南洛阳·期末）如果△×☆＝20，那么△×50×☆＝( )，420÷☆÷△＝( )。 【答案】 1000 21 【思路引导】根据乘法交换律a×b＝b×a，可得△×50×☆＝△×☆×50；根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c），及乘法交换律a×b＝b×a，可得420÷☆÷△＝420÷（☆×△）＝420÷（△×☆），把△×☆＝20代入式子中，计算出得数即可。 【规范解答】因为△×☆＝20 所以△×50×☆ ＝△×☆×50 ＝20×50 ＝1000 420÷☆÷△ ＝420÷（☆×△） ＝420÷（△×☆） ＝420÷20 ＝21 所以△×50×☆＝1000，420÷☆÷△＝21。 【考点剖析】本题考查乘法交换律与除法的性质的运用。解决此类问题关键是熟练掌握运算律，将式子转化成含有已知式子的形式，再求值即可。 奥数拓展八 相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）阳光公园有一块长方形草坪，小明和小红分别从草坪的两个相对顶点同时出发，沿着草坪边缘相向而行。小明从顶点A出发，按A→B→C→D→A方向行走（逆时针），每分钟走52米；小红从顶点C出发，按C→B→A→D→C方向行走（顺时针），每分钟走48米。 (1)出发后几分钟，两人第一次相遇？ (2)两人相遇后没有停留，继续按各自的行走方向前进，直到各自到达各自的出发点。第一次相遇后几分钟，两人第二次相遇？ 【答案】(1)2分钟 (2)4分钟 【思路引导】（1）由图可知，第一次相遇时两人共同走完A→B→C之间的距离，用120＋80求出A→B→C的距离，再除以两人的速度和即可解答； （2）第一次相遇到第二次相遇两人共同走了长方形的周长的距离，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出两人共同走的距离，再除以两人的速度和即可解答。 【规范解答】（1）（120＋80）÷（52＋48） ＝200÷100 ＝2（分钟） 答：出发后2分钟，两人第一次相遇。 （2）（120＋80）×2÷（52＋48） ＝200×2÷100 ＝400÷100 ＝4（分钟） 答：第一次相遇后4分钟，两人第二次相遇。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河北·假期作业）甲、乙两车在上午8时分别从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶60千米，比乙车每小时多行驶3千米，两车在距离中点4.5千米处相遇。 （1）甲、乙两车什么时候相遇？ （2）A、B两地相距多少千米？ 【答案】（1） 上午11时 （2）351千米 【思路引导】（1）根据题意，用路程差÷速度差＝行走的时间。在距离中点4.5千米处相遇，说明两车的路程差是2个4.5千米。又因为甲比乙车每小时多行驶3千米，所以他们的速度差是3千米。代入公式算出两车行驶了多少小时。再用出发的时间加上行驶的时间就是两车相遇的时间。 （2）速度和×时间＝总路程。用甲每小时行驶的速度减去3千米就是乙行驶的速度。再用甲行驶的速度加上乙行驶的速度就是两车的速度和。根据第（1）问知道行驶的时间，代入公式算出相距多少千米。 【规范解答】（1）4.5＋4.5＝9（千米）   9÷3＝3（时）   8＋3＝11（时）   答：上午11时相遇。 （2）（60＋60－3）×3 ＝（60＋57）×3 ＝117×3 ＝351（千米） 答：A、B两地相距351千米。 【考点剖析】此题依据公式，路程差÷速度差＝行走的时间，以及速度和×时间＝总路程解题即可。关键是算出两车的路程差和速度和。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·福建泉州·期末）中国空间站每分钟大约飞行474千米，这个速度确保了空间站能够稳定绕地球飞行。根据如图竖式，下面说法错误的是（    ）。 A．这个竖式运用了乘法分配律 B．中国空间站5分钟飞行2370千米 C．中国空间站15分钟飞行7110千米 D．圈起来的数表示中国空间站10分钟飞行474千米 【答案】D 【思路引导】三位数乘两位数时，相同数位要对齐。先用两位数的个位上的数分别与三位数的每一位数相乘，再用两位数的十位上的数分别与三位数的每一位数相乘，乘得结果要与十位对齐，然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果；据此分析各个选项即可。 【规范解答】A．这个竖式把15拆成5＋10，先算474×5＝2370，再算474×10＝4740，最后相加，正是乘法分配律 a×（b＋c）＝a×b＋a×c 的应用，原题说法正确； B．474×5＝2370（千米），与竖式第一行结果一致，原题说法正确； C．474×15＝7110（千米），与竖式最终结果一致，原题说法正确； D．圈起来的 “474” 实际是474×10＝4740，代表10分钟飞行4740千米，不是474千米，原题说法错误。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）125×（76×8）＝76×（125×8）是运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【思路引导】首先看乘法交换律，它是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，用字母表示为a×b＝b×a。在125×（76×8）＝76×（125×8）这个式子中，76和125的位置发生了交换，符合乘法交换律的特征。再看乘法结合律，它是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。在式子125×（76×8）＝76×（125×8）中，将125和8结合在一起先进行运算，这又符合乘法结合律的特征。 【规范解答】125×（76×8）＝76×（125×8）是运用了乘法交换律和乘法结合律。 故答案为：D 3．（25-26四年级上·吉林长春·期末）下面算式可以利用乘法结合律简便运算的是（    ）。 A．7×61＋39×7 B．36×25×4 C．173＋27×8 【答案】B 【思路引导】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为：a×b×c＝a×（b×c）；乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此分析各个选项解答即可。 【规范解答】A．7×61＋39×7＝7×（61＋39），这是应用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，而不是乘法结合律； B．36×25×4＝36×（25×4），这里将25和4结合起来先进行乘法运算，符合乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）的形式； C．173＋27×8先算乘法，再算加法，不存在乘法结合律的运用。 故答案为：B 4．（25-26四年级上·福建泉州·期末）在括号里填入“＞”“＜”或“＝”。 606006( )606060          783－199( )783－200－1 42×500( )420×50         600÷25( )2400÷100 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＝ 【思路引导】（1）整数的大小比较：位数不相同的两个数，位数多的数较大；位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。根据整数的大小比较方法判断大小。 （2）根据减法的性质，连续减去两个数，等于减去两个数的和，783－200－1＝783－201，再根据被减数相同，减数大的差小进行比较。 （3）一个因数乘一个数（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变。 （4）被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 【规范解答】（1）606006＜606060           （2）783－200－1＝783－（200＋1）＝783－201，783－199＞783－201，所以783－199＞783－200－1 （3）42×500＝（42×10）×（500÷10）＝420×50          （4）600÷25＝（600×4）÷（25×4）＝2400÷100 5．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）21×36＝（20＋1）×36＝20×36＋1×36＝720＋36＝756，这样计算应用了( )律，用字母表示这个运算律是( )。 【答案】 乘法分配 （a＋b）×c＝a×c＋b×c 【思路引导】乘法分配律是（a＋b）×c＝a×c＋b×c，这个式子先是将21拆成（20＋1），然后再与36相乘，利用乘法分配律的展开式来进行简便计算。 【规范解答】21×36＝（20＋1）×36＝20×36＋1×36＝720＋36＝756，这样的计算符合乘法分配律的特征，结合乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，代入对应可知这个a就是20，b是1，c是36，这样计算应用了乘法分配律。用字母表示这个运算律是（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 6．（25-26四年级上·甘肃白银·期末）根据运算律在横线上填上合适的数。 125×（8×____）＝（125×____）×17 56×19＋44×19＝（____＋____）×19 【答案】 17 8 56 44 【思路引导】第一题观察等式结构，匹配乘法结合律 a×（b×c）＝（a×b）×c，通过对应等式两边的数字，确定括号里应填的数；第二题观察到两项都有19，匹配乘法分配律逆用公式 a×c＋b×c＝（a＋b）×c，提取相同因数后确定括号里相加的两个数。 【规范解答】125×（8×17）＝（125×8）×17 56×19＋44×19＝（56＋44）×19 7．（25-26四年级上·辽宁丹东·期末）4×96×25＝96×（4×25），既运用了乘法交换律，又运用了乘法结合律。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律是指三个数相乘，可以先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。算式4×96×25＝96×（4×25），先根据乘法交换律，交换4和96的位置，再利用乘法结合律进行简算，据此解答即可。 【规范解答】根据分析得出： 4×96×25＝96×（4×25），既运用了乘法交换律，又运用了乘法结合律。原说法正确。 故答案为：√ 8．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）98×102＝（100－2）×102＝100×102－2×102，这里运用了乘法分配律。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】乘法分配律：两个数的和或差与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加或相减，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a－b）×c＝a×c－b×c。由题意得，计算98×102时，先把98转化为100－2，然后再利用乘法分配律将原式转化为100×102－2×102。 【规范解答】98×102 ＝（100－2）×102 ＝100×102－2×102，即原算式运用了乘法分配律。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（25-26四年级上·广西桂林·期末）观察下面式子的特点并计算。 （1）385＋137＋615＋363    （2）46×93＋93×54 （3）125×36×8        （4）504÷[4×（47－26）] 【答案】（1）1500；（2）9300 （3）36000；（4）6 【思路引导】（1）利用加法交换律和结合律，把能凑整千、整百的数分组计算即可； （2）逆用乘法分配律，提取公因数凑整百计算即可； （3）利用乘法交换律，凑整计算； （4）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算除法即可。 【规范解答】 10．（25-26四年级上·山东滨州·期末）校园里的紫藤长廊南北贯通，小语和小航想知道长廊的长度，便从长廊两端同时出发，相向而行，并在长廊间往返行走。小语的速度是65米/分，小航的速度是75米/分，经过9分钟两人第二次相遇。你能算出这条紫藤长廊的长度是多少米吗？ 【答案】420米 【思路引导】两人从长廊两端同时出发相向而行，并在长廊间往返行走，第二次相遇时两人共走了3个长廊的长度，用小语行走的速度加上小航行走的速度，求出两人的速度和，再用速度和乘行走的时间，求出行走的总路程，然后再用行走的总路程除以3，即可求出这条紫藤长廊的长度是多少米。 【规范解答】（65＋75）×9÷3 ＝140×9÷3 ＝1260÷3 ＝420（米） 答：这条紫藤长廊的长度是420米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·福建泉州·期末）下面的图，能表示5×3×2＝5×2×3的是（    ）。 A．线段的长度是多少？ B．大长方形的面积是多少？ C．大长方形的面积是多少？ D．共有多少颗草莓？ 【答案】D 【思路引导】A．计算线段的长度是多少，用三段线段依次相加，也可先将两个短的线段相加，再加上最长的线段，即可求得结果。 B．计算大长方形的面积是多少，将大长方形的长用两个小长方形的长相加再乘宽，即可求得大长方形的面积；利用长乘宽，分别求得两个小长方形的面积，二者相加，即可求得大长方形的面积。 C．图中大长方形长为（5－1）cm，宽为2cm，用长乘宽，即可求得大长方形的面积。 D．计算共有多少颗草莓，左侧图用每列5颗草莓乘3列，再用结果乘2堆，可求得总的草莓颗数；右侧图用每列5颗草莓乘2列，再用结果乘3堆，即可求得总的草莓颗数，二者相等，可列得等式。 【规范解答】A．求线段的长度是多少：5＋3＋2＝5＋（3＋2），A错误。 B．大长方形的面积是多少：（5＋3）×2＝5×2＋3×2，B错误。 C．大长方形的面积是多少：（5－1）×2＝5×2－1×2，C错误。 D．共有多少颗草莓：5×3×2＝5×2×3，D正确 故答案为：D 2．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）用计算器计算时，发现按键“6”坏了，计算305×56可以改为（    ）。 A．305×58－2 B．305×50＋305×8 C．305×5×9 D．305×7×8 【答案】D 【思路引导】本题可根据乘法运算的性质，将56进行合理拆分，再结合选项逐一分析。 【规范解答】A．305×58－2＝305×（56＋2）－2＝305×56＋305×2－2，与305×56不相等，所以错误。 B．305×50＋305×8＝305×（50＋8）＝305×58，与305×56不相等，所以错误。 C．305×5×9＝305×45，与305×56不相等，所以错误。 D．因为56＝7×8，所以305×56＝305×7×8，所以正确。 故答案为：D 3．（23-24四年级下·湖北黄冈·期末）太阳能电池板是通过吸收太阳光，将太阳辐射能通过光电效应或者光化学效应直接或间接转换成电能的装置，大部分太阳能电池板的主要材料为“硅”。一块多晶硅的面板如图所示，这块多晶硅面板的面积是多少平方厘米，下面算式中正确的有（    ）个。 ①19×35＋45×19；②19×（35＋45－19）＋19×19；③19×（35＋45）④（35＋19）×45－35×（45－19）⑤19×35＋45×19－19×19 A．2 B．3 C．4 【答案】C 【思路引导】根据题意可知，可以将这块多晶硅分成两个长方形，根据长方形面积＝长×宽，将两个小长方形的面积相加即可求出这块多晶硅的面积；可以分成两个长方形和一个正方形，计算出三个图形的面积，相加即可求出这块多晶硅的面积；可以先计算出大长方形的面积，减去左下角缺口处的长方形面积，即可求出这块多晶硅的面积，据此选择即可。 【规范解答】 ①如图分成了两个长方形，19×35＋45×19＝665＋855＝1520（平方厘米），算式正确； ②如图分成了两个长方形和一个正方形，19×35＋19×（45－19）＋19×19＝19×（35＋45－19）＋19×19＝19×（80－19）＋19×19＝19×61＋19×19＝19×（61＋19）＝19×80＝1520（平方厘米），算式正确； ③如图分成了两个长方形，19×35＋45×19＝（35＋45）×19＝80×19＝1520（平方厘米），算式正确； ④如图用大长方形的面积减去小长方形的面积，（35＋19）×45－35×（45－19）＝54×45－35×26＝2430－910＝1520（平方厘米），算式正确； ⑤如图分成了两个长方形和一个正方形，下方长方形的面积为（45－19）×19，算式错误。 算式中正确的有①②③④一共4个。 故答案为：C 【考点剖析】本题注意需要将原图形分成两个或几个图形组成，分别计算出每个图形的面积相加即可；也可以看成大图形减去空白图形，据此即可计算出这块多晶硅面板的面积。 4．（25-26四年级上·浙江宁波·期末）在括号填入“＞”“＝”或“＜”。 75÷25( )（75×5）÷（25÷5）    12×210( )36×7 178×28( )178×2＋178×8 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【思路引导】（1）在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；被除数75乘5，商扩大到原来的5倍，除数25除以5，商再扩大到原来的5倍，因为5×5＝25，所以右边算式结果是左边算式的25倍，则75÷25＜（75×5）÷（25÷5）； （2）通过观察12×3＝36，即左边的因数12乘3得到36，根据积不变的规律，要使左边的积不变，则另一个因数210要除以3，即210÷3＝70；12×210＝36×70，因为70＞7，所以12×210＞36×7； （3）根据乘法分配律公式：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，178×2＋178×8＝178×（2＋8）＝178×10，因为28＞10，所以178×28＞178×2＋178×8。 【规范解答】根据分析可知： 75÷25＜（75×5）÷（25÷5） 12×210＞36×7 178×28＞178×2＋178×8 5．（25-26四年级上·上海青浦·期末）（×289＋1070 ）÷18＝509，方框里填( )；125×8×4×25＝125×8×（4×25）运用了( )。 【答案】 28 乘法结合律 【思路引导】在（×289＋1070 ）÷18＝509中，可以利用逆推法解答。等式两边同时乘18，消去左边的除数，即×289＋1070＝509×18，然后得出×289＋1070＝9162；等式两边同时减1070，得到只含乘法的部分：×289＝9162－1070，得出×289＝8092，最后等式两边同时除以289，即可求出方框里的数。 因为125×8＝1000，4×25＝100，所以从简便计算的角度出发，运用乘法结合律，使其中两个因数相乘为整百、整千数，据此解答。 【规范解答】（×289＋1070）÷18＝509 ×289＋1070＝509×18 ×289＋1070＝9162 ×289＝9162－1070 ×289＝8092 ＝8092÷289 ＝28 所以（×289＋1070 ）÷18＝509，方框里填28； 125×8×4×25＝125×8×（4×25）运用了乘法结合律。 6．（24-25四年级上·山东青岛·期末）在计算42×99＋42＝42×（99＋1）时，运用了乘法结合律。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变； 乘法分配律：两个数与一个数分别相乘，再相加，可以先求出两个数的和，再与这个数相乘。据此解答。 【规范解答】在计算42×99＋42时，把42看作42×1，然后再把算式改写为42×（99＋1），这一过程符合乘法分配律的定义：两个数与一个数分别相乘，再相加，可以先求出两个数的和，再与这个数相乘。因此是运用了乘法分配律。原题说法错误。 故答案为：× 7．（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能巧算的用巧算。 4×8×（25＋125）                43×83＋17＋42×17 18×420＋180－18×380           30×[14＋（84－28）÷14] 【答案】4800；4300； 900；540 【思路引导】4×8×（25＋125），根据乘法分配律可得：4×8×25＋4×8×125，根据乘法交换律和结合律可得：8×（4×25）＋4×（8×125），进一步计算即可简算； 43×83＋17＋42×17，把17看作17×1，原式变为：43×83＋17×1＋42×17，根据乘法分配律可得：43×83＋17×（1＋42），进而可得：43×83＋17×43 ，根据乘法分配律可得：43×（83＋17），进一步计算即可简算； 18×420＋180－18×380，把180看作18×10，原式变为：18×420＋18×10－18×380，根据乘法分配律可得：18×（420＋10－380） ，进一步计算即可简算； 30×[14＋（84－28）÷14]，含有中括号的运算，先算小括号里面减法，再算中括号里面的除法，接着计算中括号里面的加法，最后计算中括号外面的乘法。 【规范解答】4×8×（25＋125） ＝4×8×25＋4×8×125 ＝8×（4×25）＋4×（8×125） ＝ 8×100＋4×1000 ＝ 800＋4000 ＝ 4800 43×83＋17＋42×17 ＝43×83＋17×1＋42×17 ＝43×83＋17×（1＋42） ＝43×83＋17×43 ＝43×（83＋17） ＝43×100 ＝4300 18×420＋180－18×380 ＝18×420＋18×10－18×380 ＝18×（420＋10－380） ＝18×50 ＝900 30×[14＋（84－28）÷14] ＝30×[14＋56÷14] ＝30×[14＋4] ＝30×18 ＝540 8．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）《格林童话》每本36元，《安徒生童话》每本44元。王老师买《格林童话》和《安徒生童话》各22本。王老师一共要花多少钱？ 【答案】1760元 【思路引导】要计算王老师一共花的钱数，需要分别算出买22本《格林童话》的花费和买22本《安徒生童话》的花费，然后将两者相加。已知《格林童话》每本36元，买22本的花费就是22个36元，用乘法计算；同理，《安徒生童话》每本44元，买22本的花费也是用乘法计算。 计算过程中，可用到乘法分配律，使计算简便。乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【规范解答】36×22＋44×22 ＝（36＋44）×22 ＝80×22 ＝1760（元） 答：王老师一共要花1760元钱。 9．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）冬季我国的蔬菜供应主要是以蔬菜大棚种植为主。如图，李叔叔有甲、乙两个蔬菜种植大棚。两个大棚所占土地面积共多少平方米？ 【答案】480平方米 【思路引导】两个大棚可看作一个大长方形（甲、乙的宽相同），长为（13＋27）米，宽为12米。长方形面积＝长×宽，据此解答。也可以分别求出两个大棚的面积后再相加。 【规范解答】方法一：12×（13＋27） ＝12×40 ＝480（平方米） 方法二：12×13＋12×27 ＝12×（13＋27） ＝12×40 ＝480（平方米） 答：两个大棚所占土地面积共480平方米。 10．（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）海纳酒店在录制现场的正西方向1300米处，百川酒店在录制现场的正东方向1100米处。住在海纳酒店的李叔叔和住在百川酒店的王叔叔两人约好晚上8时到录制现场，两人在晚上7时35分，分别从两个酒店出发走向录制现场，约定相遇后才一起去录制现场。从出发到两人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65米，李叔叔每分钟步行多少米？要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是多少？ 【答案】55米；每分钟40米 【思路引导】李叔叔所在酒店到录制现场的路程与王叔叔所在酒店到录制现场的路程的和是李叔叔与王叔叔相遇时所行的总路程，用总路程除以他们相遇的时间即是他们的速度和，用他们的速度和减去王叔叔的速度，就是李叔叔的速度； 7时35分距离8时还有25分钟，它们相遇又用去20分钟，所以相遇时距离8时还有5分钟，用李叔叔的速度乘相遇时间，求出相遇时李叔叔行了多少米，用李叔叔所在酒店到录制现场的路程减去相遇时李叔叔走了的路程，就是他们的相遇点与录制现场之间的路程，用这个路程除以距离8时还有的时间，就是他们相遇后一起步行的最低速度；据此解答。 【规范解答】（1300＋1100）÷20－65 ＝2400÷20－65 ＝120－65 ＝55（米/分） 8时－7时35分＝25（分钟） （1300－55×20）÷（25－20） ＝（1300－1100）÷5 ＝200÷5 ＝40（米/分） 答：李叔叔每分钟步行55米，要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是每分钟40米。 【考点剖析】解答此题的关键在于掌握时间、速度、路程三者之间的关系，同时需要理解速度和的意义。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $