第三单元 因数和倍数（期末复习讲义-培优版）知识梳理+11个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共74题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册真题汇编必刷压轴练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 因数和倍数『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+11个考点讲练7个奥数拓展+真题演练 共74题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 因数与倍数 4 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 5 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数 5 知识点七：最小公倍数 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 根据因数的特征解决问题 6 高频考点二 根据倍数的特征解决问题 7 高频考点三 倍数和因数的综合应用 7 高频考点四 奇数与偶数的认识 8 高频考点五 2、3、5的倍数特征综合 8 高频考点六 质数与合数的综合应用 8 高频考点七 分解质因数 9 高频考点八 公因数与最大公因数 9 高频考点九 用最大公因数解决实际问题 10 高频考点十 公倍数与最小公倍数 10 高频考点十一 用最小公倍数解决实际问题 11 奥数拓展 拔尖冲刺 11 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 11 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 12 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 13 奥数拓展四 质数与合数的综合应用 13 奥数拓展五 分解质因数 14 奥数拓展六 公因数与最大公因数及应用 14 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数及应用 15 优选真题 实战演练 15 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）运动会开幕式上，王老师将60个气球平均分给走方阵的同学，正好分完。拿到气球的学生人数不可能是（    ）。 A．15人 B．20人 C．25人 D．30人 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 高频考点二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江苏无锡·期中）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·河北唐山·期中）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是( )。 高频考点三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·甘肃定西·期末）一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江金华·期末）淘气储存了5元和2元的人民币若干张，估计在50－60元之间，且两种面额的人民币张数正好相同。请问，淘气可能储存了( )元。 高频考点四 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数； ②430既是2的倍数又是5的倍数； ③两个奇数的和一定是奇数； ④是6的倍数的数，一定是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）一个数有3个因数，这个数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东茂名·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．判断一个非零自然数是奇数还是偶数，要看个位上的数 B．判断一个非零自然数是质数还是合数，要看它因数的个数 C．一个非零自然数是12的因数，它一定是6的因数 D．一个非零自然数既是2的倍数，又是5的倍数，它一定是10的倍数 高频考点五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·安徽阜阳·期末）按要求在（    ）里填上合适的数字。 35( )（5的倍数）        14( )（2和3的倍数） 12( )＋25（和是奇数）        632－21( )（差是偶数） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（24-25五年级上·山东聊城·期末）在2、29、60、91这些数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东茂名·期末）一个数（0除外）同时是2，3和5的倍数，这个数最小是( )，满足条件的最大三位数是( )。 高频考点六 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东青岛·期末）宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东青岛·期末）下面（    ）社团可以分成人数相等的小组（至少分成2组，每个小组至少2人）。 A．美术社团29人 B．体育社团35人 C．科技社团41人 高频考点七 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东聊城·期末）一个三位数，百位是最小的奇数，十位是3的最大因数，个位是最小的质数，这个数是( )，分解质因数为( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）科技社团做了42个太阳能小车模型和28个风力小船模型。老师要把这两种作品分别装进若干个相同且足够大的展示盒里，要求每盒装的个数相同且尽可能多。那么每盒最多能装（    ）个模型。 A．4 B．7 C．14 D．28 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 高频考点八 公因数与最大公因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西西安·期末）两个连续偶数的和是34，这两个连续偶数分别是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东深圳·期末）学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有( )个，每班分得( )根跳绳，每班分得( )个足球。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 高频考点九 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁大连·期末）有两根长分别是8分米和12分米的木条，要把它们都锯成同样长的小段（每段长都是整分米数），而且不能有剩余，每小段最长可以是( )分米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·甘肃天水·期末）有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·四川成都·期末）某茶厂生产小罐茶，1200元钱准备卖大红袍茶叶144克，或卖铁观音茶叶180克，或卖茉莉花茶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装小罐，要求每小罐的价格都相等，那么每小罐的价格最低是多少元钱？ 高频考点十 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·安徽六安·期末）五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生( )人。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西渭南·期末）大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？（“抱团”游戏的规则：当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）6路公交车每10分钟发车一次，2路公交车每15分钟发车一次。这两路公交车首班车都是早6点，至少在什么时间它们又能同时发车？ 高频考点十一 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东揭阳·期末）学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东湛江·期中）为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·月考）妈妈买来一篮子鸡蛋，共20个，让亮亮把鸡蛋从篮子中拿出，要求每次拿的个数相同，但不许一个一个地拿，也不许每次拿的个数超过5个，且拿到最后正好一个不剩。亮亮共有( )种拿法。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·广东广州·小升初模拟）一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是________。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·四川·期末）乘法算式1×2×3×…×99×100中，积的尾部有( )个连续的0。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·重庆渝北·小升初真题）1～9九个数字按如图所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针顺序形成两个九位数，如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被18整除，那么应当在_____之间剪开。 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 奥数拓展四 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·四川成都·期中）学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 奥数拓展五 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）将14，30，35，75这四个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。你知道怎样分组吗？请写出分组方法。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）4500有多少个因数？其中有多少个是5的倍数？ 奥数拓展六 公因数与最大公因数及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024·河北石家庄·小升初真题）两个数的最大公因数是9，最小公倍数是180，如果其中一个数是36，则另一个数是( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·广东湛江·小升初真题）两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( )（判断对错） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024五年级·全国·竞赛）是1，2，3，…，2022，2023，2024的最小公倍数，则等于( )个2与一个奇数的积。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025五年级上·全国·专题练习）加工某机器零件要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成5个。要使生产顺利进行，又不浪费人力和时间，三道工序至少各分配多少人？ 1．（25-26五年级上·天津河西·期末）要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 2．（25-26五年级上·广东深圳·期末）已知x÷3＝y（x、y都是非零自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．x是y的因数 B．y是3的倍数 C．x是y的倍数 D．x是3的因数 3．（25-26五年级上·广东深圳·期末）妙想在卡片上写出了下面的五个数，这些数共同的特点是（    ）。 A．都是奇数 B．都是偶数 C．都是质数 D．都是合数 4．（24-25五年级上·江西九江·期末）笑笑把一些小正方形边挨着边摆长方形，可以摆出4种不同的长方形。小正方形的个数一定是（    ）。 A．奇数 B．质数 C．合数 5．（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 6．（24-25五年级上·广东深圳·期末）长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，( )是质数，( )同时是2、5的倍数，( )是( )的倍数，( )再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7．（25-26五年级上·广西桂林·期末）AI数字解谜程序正在处理一组两位数谜题：一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是( )，最小是( )。 8．（25-26五年级上·广西桂林·期末）有一批鲜花订单，它需要把24枝百合花和32枝月季花，扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余。最多可以扎成( )束，每束里有( )枝月季花。 9．（25-26五年级上·四川成都·期中）已知，（为非零自然数），则是的( )数；如果的最小倍数是110，那么的最大因数是( )。 10．（25-26五年级上·甘肃定西·期末）因为2×8＝16，所以2和8都是因数，16是倍数。( )（判断对错） 11．（25-26五年级上·陕西渭南·期末）30有8个因数。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 13．（25-26五年级上·福建泉州·期末）我们学过“3的倍数的特征”，你还记得规律的发现过程吗？请你来猜想和发现“4的倍数的特征”。 (1)下面各数，最后两位数是4的倍数的数用“________”画出，如112。 116   200   201   148   328   123   415   616   176   307 (2)在草稿纸上算一算，你找到的这些数( )（填“是”或“不是”）4的倍数。 (3)你发现了：____________________ (4)在草稿纸上再举几个例子验证一下你的发现，并优化上面的表达。 14．（25-26五年级上·浙江金华·期末）小芳、小丽和小玉三人的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是45岁，她们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 15．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）2025年12月—2026年2月期间，我市将以“回家过年”为主题推出系列文旅活动。其中，以“大槐树”村为主会场举办跨年文化节。市民可乘坐20路、30路等公交车往返活动现场。 上午9：00，20路、30路 公交车同时发车 20路公交车每8分钟发一次， 30路公交车每20分钟发一次 (1)至少再经过多长时间，20路和30路公交车又同时发车？ (2)为方便市民参与文化节活动，会场内设置了很多方向指示牌，如图是这些指示牌中的一种，根据图中的数据，请你计算出这种指示牌的面积是多少？ 16．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 17．（25-26五年级上·广东深圳·期末）将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 18．（24-25五年级上·安徽安庆·期末）一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 19．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 20．（23-24五年级上·广西贺州·期末）五（1）班有一块劳动基地（如图）。 （1）这块地的面积是多少平方米？ （2）这块菜地某次采得西红柿57.6千克，同学们把它装入小袋子中送给敬老院的老人，平均每个袋子装1.8千克，需要多少个小袋子？ （3）在一次采摘中，同学们把摘得的豆角分别装在篮子里用来奖励美德银行中积分较高的同学，小机灵发现如果每个篮子装6千克刚好可以装完；如果每个篮子装8千克，也刚好可以装完。这次摘得的豆角至少有多少千克？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 因数和倍数『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+11个考点讲练7个奥数拓展+真题演练 共74题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 因数与倍数 4 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 5 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数 5 知识点七：最小公倍数 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 根据因数的特征解决问题 6 高频考点二 根据倍数的特征解决问题 8 高频考点三 倍数和因数的综合应用 9 高频考点四 奇数与偶数的认识 10 高频考点五 2、3、5的倍数特征综合 12 高频考点六 质数与合数的综合应用 14 高频考点七 分解质因数 15 高频考点八 公因数与最大公因数 16 高频考点九 用最大公因数解决实际问题 18 高频考点十 公倍数与最小公倍数 20 高频考点十一 用最小公倍数解决实际问题 22 奥数拓展 拔尖冲刺 23 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 23 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 25 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 27 奥数拓展四 质数与合数的综合应用 29 奥数拓展五 分解质因数 31 奥数拓展六 公因数与最大公因数及应用 32 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数及应用 34 优选真题 实战演练 35 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）运动会开幕式上，王老师将60个气球平均分给走方阵的同学，正好分完。拿到气球的学生人数不可能是（    ）。 A．15人 B．20人 C．25人 D．30人 【答案】C 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。据此找出不是60的因数的数即可解答。 【规范解答】A．60÷15＝4，所以15是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是15人； B．60÷20＝3，20是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是20人； C．60÷25＝2……10，25不是60的因数，所以拿到气球的学生人数不可能是25人； D．60÷30＝2，30是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是30人。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【答案】4种；2、4、8、16块 【思路引导】拿到最后正好一块不剩，说明每次拿的块数是糖的总块数的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出糖的总块数的所有因数，排除1和它本身的情况即可。 【规范解答】32＝1×32＝2×16＝4×8 32的因数有：1、2、4、8、16、32，排除1和32，还有2、4、8、16，4个因数。 答：一共有4种拿法。每次分别拿2、4、8、16块。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【规范解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 高频考点二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江苏无锡·期中）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【答案】C 【思路引导】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，也就是这个桌面的长和宽是12的倍数，据此解答。 【规范解答】A．80不能被12整除，不符合题意； B．90不能被12整除，不符合题意； C．120和72都能被12整除，120÷12＝10，72÷12＝6，6×10＝60（张），则用60张正方形画纸可以铺满桌面，符合题意； D．10不能被12整除，不符合题意。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·河北唐山·期中）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【答案】B 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【规范解答】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是( )。 【答案】5 【思路引导】因为15＝3×5，所以15的倍数的特征是个位是0或5，且各位上的数的和是3的倍数，1＋7＋5＝13，13不是3的倍数，13＋5＝18，18是3的倍数，1755是15的倍数，则添加的数是5。 【规范解答】1＋7＋5＝13 13＋5＝18 18÷3＝6 据分析可知，“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是5。 高频考点三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·甘肃定西·期末）一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 32 1、2、4、8、16、32 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，一个数的因数是指能整除这个数的几个数，由此即可计算。 【规范解答】32＝1×32＝2×16＝4×8； 即一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是32，它的因数有1、2、4、8、16、32。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【答案】 不对，过程见详解 【思路引导】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【规范解答】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江金华·期末）淘气储存了5元和2元的人民币若干张，估计在50－60元之间，且两种面额的人民币张数正好相同。请问，淘气可能储存了( )元。 【答案】56 【思路引导】这道题需利用“两种面额人民币张数相同”这一条件，将“1张5元和1张2元”看作一组，通过计算一组的金额，结合总金额的范围（50－60元），确定符合条件的总金额。每组金额为元，所以总金额一定是7的倍数，且总金额范围在50－60元之间。据此解答。 【规范解答】根据分析： 总金额在50－60元之间，需找到7的倍数在此区间内的数： 7×7＝49 （小于50，不符合） 7×8＝56 （在50－60之间，符合） 7×9＝63 （大于60，不符合） 所以淘气可能储存了56元。 【考点剖析】这类“两种物品数量相同”的问题，可通过“合成一组计算”的方法，将问题转化为“找某个数的倍数”，再结合数值范围筛选结果，能快速缩小计算范围，得到准确答案。 高频考点四 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数； ②430既是2的倍数又是5的倍数； ③两个奇数的和一定是奇数； ④是6的倍数的数，一定是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数； ②同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； ③由奇数和偶数的运算性质可知，奇数与奇数的和一定是偶数，举例说明即可； ④整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，6是2的倍数，所以6的倍数也一定是2的倍数，据此逐项分析。 【规范解答】①由3的倍数特征可知，个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，如：13、16、19，它们都不是3的倍数，所以这种说法错误； ②430符合同时是2和5倍数的倍数特征，则430既是2的倍数又是5的倍数，所以这种说法正确； ③分析可知，奇数＋奇数＝偶数，如：13（奇数）＋11（奇数）＝24（偶数），则两个奇数的和一定是偶数，所以这种说法错误； ④6÷2＝3，则6是2的倍数，6的倍数也一定是2的倍数，那么是6的倍数的数，一定是偶数，如：12、24、48等，所以这种说法正确。 综上所述，说法正确的有②④，一共2个。 故答案为：B 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）一个数有3个因数，这个数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【思路引导】要解决这道题，我们先明确几个关键概念。 因数：若整数a能被整数b（）整除，则b是a的因数。 质数：只有1和它本身两个因数的数。 合数：除了1和它本身，还有其他因数的数。 奇数、偶数：按能否被2整除划分，与因数个数无直接关联。 据此选出正确选项。 【规范解答】根据分析： 质数只有2个因数，而题目中的数有3个因数，因此排除选项C。 有3个因数的数可以是奇数（如9，因数为1，3，9），也可以是偶数（如4，因数为1，2，4），因此排除选项A和B。 因为该数存在除了1和自身以外的因数，所以它一定是合数，选项D正确。 故答案为：D 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东茂名·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．判断一个非零自然数是奇数还是偶数，要看个位上的数 B．判断一个非零自然数是质数还是合数，要看它因数的个数 C．一个非零自然数是12的因数，它一定是6的因数 D．一个非零自然数既是2的倍数，又是5的倍数，它一定是10的倍数 【答案】C 【思路引导】偶数：是2的倍数的数，奇数：不是2的倍数的数；质数：一个数只有1和它本身两个因数，合数：一个数除了1和它本身外还有别的因数；写出12和6的因数进行比较；同时是2、5倍数的数的个位数字一定是0，所以一定是10的倍数，依此逐项分析。 【规范解答】A．2的倍数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数，所以判断一个非零自然数是奇数还是偶数，要看个位上的数，说法正确； B．质数：一个数只有1和它本身两个因数，合数：一个数除了1和它本身外还有别的因数；判断一个非零自然数是质数还是合数，要看它因数的个数，说法正确； C．12的因数有：1、2、3、4、6、12；6的因数有：1、2、3、6；12是12的因数，但不是6的因数，说法错误； D．同时是2、5倍数的数的个位数字一定是0，所以一定是10的倍数，说法正确。 故答案为：C 高频考点五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·安徽阜阳·期末）按要求在（    ）里填上合适的数字。 35( )（5的倍数）        14( )（2和3的倍数） 12( )＋25（和是奇数）        632－21( )（差是偶数） 【答案】 0或5 4 0、2、4、6、8 0、2、4、6、8 【思路引导】5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数； 同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数； 和是奇数：奇数与偶数的和一定是奇数，25是奇数，则前面的加数一定是偶数，整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8； 差是偶数：偶数与偶数的差一定是偶数，632是偶数，则减数一定是偶数，整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，据此解答。 【规范解答】5的倍数：350或355。 2和3的倍数：个位数字为0时，1＋4＋0＝5，5不是3的倍数，不符合条件； 个位数字为2时，1＋4＋2＝7，7不是3的倍数，不符合条件； 个位数字为4时，1＋4＋4＝9，9是3的倍数，符合条件； 个位数字为6时，1＋4＋6＝11，11不是3的倍数，不符合条件； 个位数字为8时，1＋4＋8＝13，13不是3的倍数，不符合条件。 和是奇数：120＋25＝145（奇数），122＋25＝147（奇数），124＋25＝149（奇数），126＋25＝151（奇数），128＋25＝153（奇数）。 差是偶数：632－210＝422（偶数），632－212＝420（偶数），632－214＝418（偶数），632－216＝416（偶数），632－218＝414（偶数）。 综上所述，35（      ）（5的倍数），括号里面填0或5；14（      ）（2和3的倍数），括号里面填4；12（      ）＋25（和是奇数），括号里面填0、2、4、6、8；632－21（      ）（差是偶数），括号里面填0、2、4、6、8。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（24-25五年级上·山东聊城·期末）在2、29、60、91这些数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【答案】 2 91 60 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 2，3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】在2，29，60，91这些数中， 91既是合数又是奇数，2既是质数又是偶数，60既是2的倍数，又是3的倍数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东茂名·期末）一个数（0除外）同时是2，3和5的倍数，这个数最小是( )，满足条件的最大三位数是( )。 【答案】 30 990 【思路引导】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数； 3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数； 既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上必定是0，这个数最小时，如果这个数是一位数不符合题意，那这个数就是两位数，又满足是3的倍数，十位是3，则这个数是30；满足条件的最大三位数，百位上最大是9，满足是3的倍数，十位最大是9，则这个数最大是990。 【规范解答】结合分析知：一个数同时是2，3和5的倍数，这个数最小是30，满足条件的最大三位数是990。 【考点剖析】本题中没有明确这个数是几位数，所以第一空中求满足条件的最小的数，可以结合数的特点分析：即一位数＜两位数＜三位数＜……。 高频考点六 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【答案】B 【思路引导】根据题意，银杏树的总棵数应能被行数和每行棵数整除，即总棵数为合数。判断71、78、79是否为质数：71和79是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；78是合数，符合条件。因此小华数对了。 【规范解答】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东青岛·期末）宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【答案】8和7，2，3不同；理由见详解 【思路引导】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【规范解答】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东青岛·期末）下面（    ）社团可以分成人数相等的小组（至少分成2组，每个小组至少2人）。 A．美术社团29人 B．体育社团35人 C．科技社团41人 【答案】B 【思路引导】根据质数和合数的特点，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，如果社团人数是质数，因数只有1和它本身，不可以平均分成人数相同的小组；如果社团人数是合数，则可平均分成人数相同的小组。据此解答即可。 【规范解答】A．美术社团29人，29是质数，不可以平均分成人数相同的小组； B．体育社团35人，35是合数，可以平均分成人数相同的小组； C．科技社团41人，41是质数，不可以平均分成人数相同的小组； 故答案为：B 高频考点七 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东聊城·期末）一个三位数，百位是最小的奇数，十位是3的最大因数，个位是最小的质数，这个数是( )，分解质因数为( )。 【答案】 132 【思路引导】最小的奇数是1，一个数最大的因数是它本身，所以3的最大因数是3，最小的质数是2，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。据此进行解答。 【规范解答】由分析知，最小的奇数是1，3的最大因数是3，最小的质数是2，所以这个数是132； 分解质因数： 所以这个数是132，分解质因数为。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）科技社团做了42个太阳能小车模型和28个风力小船模型。老师要把这两种作品分别装进若干个相同且足够大的展示盒里，要求每盒装的个数相同且尽可能多。那么每盒最多能装（    ）个模型。 A．4 B．7 C．14 D．28 【答案】C 【思路引导】根据题意，要求每盒装的个数相同且尽可能多，那么每盒最多能装模型的数量，就是42和28的最大公因数。42和28分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【规范解答】42＝2×3×7 28＝2×2×7 42和28的最大公因数是：2×7＝14 所以每盒最多能装14个。 故答案为：C 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【答案】12个 【思路引导】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 高频考点八 公因数与最大公因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西西安·期末）两个连续偶数的和是34，这两个连续偶数分别是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 16 18 2 144 【思路引导】两个连续偶数，较大数－2＝较小数，它们的和是34，那么较小的偶数是（34－2）÷2＝16，较大的偶数是16＋2＝18。再通过分解质因数，找出两个数的最大公因数和最小公倍数即可。 【规范解答】（34－2）÷2 ＝32÷2 ＝16 16＋2＝18 16＝2×2×2×2 18＝2×3×3 所以，16和18的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×2×3×3＝144。 因此，两个连续偶数的和是34，这两个连续偶数分别是16和18，它们的最大公因数是2，最小公倍数是144。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东深圳·期末）学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有( )个，每班分得( )根跳绳，每班分得( )个足球。 【答案】 12 3 2 【思路引导】利用短除法求出跳绳的条数36和足球的个数24的公因数，在10到15之间的公因数即为班级的个数，平均每个班级分跳绳的根数等于跳绳的总根数除以分的班级个数；平均每个班级分足球的个数等于足球的总个数除以分的班级个数。 短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【规范解答】 36和24的最大公因数是2×2×3＝12，这些班级有12个； 36÷12＝3（根） 24÷12＝2（个）。 这些班级有12个，每班分得3根跳绳，每班分得2个足球。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 【答案】 12 5 【思路引导】第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 【规范解答】第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 【考点剖析】首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 高频考点九 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁大连·期末）有两根长分别是8分米和12分米的木条，要把它们都锯成同样长的小段（每段长都是整分米数），而且不能有剩余，每小段最长可以是( )分米。 【答案】4 【思路引导】要将两根木条锯成同样长的小段且没有剩余，小段的长度必须是8和12的公因数，要求每小段最长，就是求8和12的最大公因数。据此解答。 【规范解答】8的因数有1、2、4、8； 12的因数有1、2、3、4、6、12； 8和12的公因数有1、2、4，其中最大公因数是4。 因此，每小段最长可以是4分米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·甘肃天水·期末）有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 【答案】12个 【思路引导】根据题意，要锯成最大的面积相等的小正方形木板且没有剩余，小正方形的边长必须是长方形的长和宽的最大公因数。因此，需要求出长80厘米和宽60厘米的最大公因数，作为小正方形的边长。然后，计算长边和宽边分别能锯成的段数，相乘即得总个数。据此解答。 【规范解答】80＝2×2×2×2×5 60＝2×2×3×5 所以80和60的最大公因数是： 2×2×5 ＝4×5 ＝20 （80÷20）×（60÷20） ＝4×3 ＝12（个） 答：可以锯成12个小正方形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·四川成都·期末）某茶厂生产小罐茶，1200元钱准备卖大红袍茶叶144克，或卖铁观音茶叶180克，或卖茉莉花茶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装小罐，要求每小罐的价格都相等，那么每小罐的价格最低是多少元钱？ 【答案】100元 【思路引导】同样卖1200元，要求每小罐的价格都相等，那么三种茶叶装的罐数也相等。要求每小罐的最低价格，那么三种茶叶可以装的罐数应是最多的。根据题意，求每种茶叶最多可以装几罐，就是求144、180和240的最大公因数，用短除法即可解答。最后用1200除以所得的罐数，即可求出每小罐的价格最低是多少元。 用短除法求三个数的最大公因数，先把三个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，当得到的三个商没有公有的质因数时，把所有的除数相乘，得到三个数的最大公因数。 【规范解答】 144、180和240的最大公因数是2×2×3＝12。则每种茶叶最多可以装12罐。 1200÷12＝100（元） 答：每小罐的价格最低是100元。 【考点剖析】读懂题意，明确“三种茶装的罐数相等”和“每种茶叶最多装的罐数就是求144、180和240的最大公因数”是解题的关键。 高频考点十 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·安徽六安·期末）五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生( )人。 【答案】48 【思路引导】“按3人一组或4人一组都刚好分完”，说明总人数是3和4的公倍数。互质的两个数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，即3×4＝12。因此，班级人数必然是12的倍数。根据“超过40人，接近50人”的条件，我们从12的倍数（12、24、36、48、60…）中筛选，只有48符合这个范围，所以班级人数是48人。 【规范解答】3×4＝12 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 40＜48＜50 所以这个班有学生48人。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西渭南·期末）大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？（“抱团”游戏的规则：当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。） 【答案】24人 【思路引导】根据题意，口令为4或6时，每个人都可以抱团成功，所以人数应该是4和6的公倍数，同时该公倍数应该在20和30之间，据此解答即可。 【规范解答】由分析可得： 4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12； 则4和6的公倍数有：12、24、36、48、60… 两个数的公倍数在20和30之间的为：24，所以有24人。 答：有24人在玩游戏。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）6路公交车每10分钟发车一次，2路公交车每15分钟发车一次。这两路公交车首班车都是早6点，至少在什么时间它们又能同时发车？ 【答案】6时30分 【思路引导】解答这道题需明确：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。6路车每10分钟发车一次，发车时间是10的倍数（如6时10分、6时20分…）；2路车每15分钟发车一次，发车时间是15的倍数（如6时15分、6时30分…）；两者同时发车的时间，必须是10和15的公倍数，而“至少什么时间”对应的是最小公倍数。通过短除法求出10和15的最小公倍数，再用首班车的发车时间加上这个最小公倍数就是再次同时发车的时间。 【规范解答】根据分析： 求10和15的最小公倍数： 所以，10和15的最小公倍数为30。 6时＋30分＝6时30分 答：至少在6时30分它们又能同时发车。 高频考点十一 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·期末）淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【思路引导】两人在起点相遇的条件是所用时间同时是淘气骑一圈和妈妈快走一圈所用时间的倍数，要知道“几分钟后可以在起点第一次相遇”，需要求这两个时间的最小的相同倍数。 【规范解答】淘气骑一圈要4分钟，所以他回到起点的时间是：4分钟、8分钟、12分钟、16分钟、20分钟、24分钟……； 妈妈快走一圈要10分钟，所以她回到起点的时间是：10分钟、20分钟、30分钟、40分钟……； 对比两个时间，第一个共同出现的时间是20分钟，这说明20分钟时，淘气刚好骑完5圈（4×5＝20分钟），妈妈刚好走完2圈（10×2＝20分钟），两人同时回到起点。 即他们在20分钟后可以在起点第一次相遇。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东揭阳·期末）学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【思路引导】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【规范解答】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【答案】36名 【思路引导】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。 【规范解答】2，3，4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（份） 39÷13＝3 12×3＝36（名） 答：宴会上有36名客人。 【考点剖析】解答本题的关键是假设2，3，4的最小公倍数是这些客人的人数，求出需要点心的份数，再求出实际吃点心的份数是假设客人吃点心的份数的几倍，进而解答。 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；见详解 【思路引导】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【规范解答】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【考点剖析】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东湛江·期中）为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【答案】6种 【思路引导】每行的人数是36的因数，且这些因数最小是2，最大不超过15。 【规范解答】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 每行人数 2 3 4 6 9 12 行数 18 12 9 6 4 3 答：有6种排队方法。 【考点剖析】本题考查了找一个数的因数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东深圳·月考）妈妈买来一篮子鸡蛋，共20个，让亮亮把鸡蛋从篮子中拿出，要求每次拿的个数相同，但不许一个一个地拿，也不许每次拿的个数超过5个，且拿到最后正好一个不剩。亮亮共有( )种拿法。 【答案】 3 【思路引导】要求每次拿的个数相同且拿到最后正好一个不剩，则每次拿的个数必须是20的因数。但不许一个一个地拿（排除因数1），也不许每次拿的个数超过5（排除因数10和20）。因此，只需找出20的因数中大于1且不超过5的数。 【规范解答】20的因数有1、2、4、5、10、20。 根据题意，排除因数1（不许一个一个拿），排除因数10和20（超过5个）。 剩下的因数2、4、5均满足条件，即每次拿2个、4个或5个，共3种拿法。 因此，妈妈买来一篮子鸡蛋，共20个，让亮亮把鸡蛋从篮子中拿出，要求每次拿的个数相同，但不许一个一个地拿，也不许每次拿的个数超过5个，且拿到最后正好一个不剩。亮亮共3种拿法。 【考点剖析】本题考查因数与倍数，寻找20的因数是解题的关键。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·广东广州·小升初模拟）一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是________。 【答案】441 【思路引导】根据“完全平方数”的特征：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；可排除甲彩票； 由“完全平方数”末位数的特征，初步判定乙彩票可能是“平方数”，结合乙彩票百位上的数字是4，列举出此区间平方数百位上是4的结果，再对比，即可判断； 根据“完全平方数”的特征：末位是5，则末两位数字一定是25，可排除丙彩票。 【规范解答】完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9； 甲彩票的末三位数是3□7，末位是7，不符合“完全平方数”的特征，所以3□7不是中奖的末三位数； 乙彩票的末三位数4□1，末位是1，可能是“完全平方数”；4□1的百位是4，列举出202到222的结果，202＝400、212＝441、222＝484，441符合4□1模式，所以441是中奖的末三位数； 丙彩票的末三位数是□35，末位是5，则末两位数字一定是25（如152＝225、252＝625），而□35的末两位是35，不符合“完全平方数”的特征，所以□35不是中奖的末三位数； 综上所述，中奖的末三位数是441。 【考点剖析】利用“完全平方数”末位数的特征以及末位数是5时，十位数是2的特征进行判断。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·四川·期末）乘法算式1×2×3×…×99×100中，积的尾部有( )个连续的0。 【答案】24 【思路引导】要计算从1乘到100的结果末尾有几个连续的0，我们需要确定在这个乘积中，有多少个10的倍数。由于10＝2×5，我们需要分别计算2和5的倍数数量。在1到100的范围内，2的倍数数量远多于5的倍数数量，因此我们只需要计算5的倍数数量。能被5整除的数有5、10、15、20……100共20个数，能被25整除的数有25、50、75、100共4个数，没有能被125整除的数，很显然因数2的个数超过20＋4＝24（个），则积的末尾有24个连续的0。 【规范解答】根据分析可知： 100以内5的倍数的个数：100÷5＝20（个） 100以内25的倍数的个数：100÷25＝4（个） 20＋4＝24（个） 乘法算式1×2×3×…×99×100中，积的尾部有24个连续的0。 【考点剖析】能被5整除的数，乘积末尾有1个0。能被25整除的数，乘积末尾有2个0。要求算式末尾0的个数，关键是看有几个能被5整除的数以及能被25整除的数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·重庆渝北·小升初真题）1～9九个数字按如图所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针顺序形成两个九位数，如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被18整除，那么应当在_____之间剪开。 【答案】1和9 【思路引导】因为18＝2×9，一个数能被18整除，那么这个数既要能被2整除，又要能被9整除。 【规范解答】能被9整除的情况‌：无论从哪两个数之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位上的数字和都是1至9九个数字之和， 即1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45能被9整除，所以两个九位数一定能被9整除，它们的差也能被9整除。 能被2整除的情况‌：一个数能被2整除，其个位数字应为偶数。两个九位数的差能被2整除，那么这两个九位数的个位数字奇偶性应相同。 分别分析不同剪开位置： 在1和9之间剪开，顺时针是192345678，逆时针是876543291，差的个位是7，为奇数，不满足差能被2整除； 在2和3之间剪开，顺时针是234567891，逆时针是198765432，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 在4和5之间剪开，顺时针是456789123，逆时针是321987654，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 在6和7之间剪开，顺时针是678912345，逆时针是543219876，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 在8和9之间剪开，顺时针是891234567，逆时针是765432198，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 再看差能否被4整除（因为能被4整除一定能被2整除，且判断差能否被4整除可进一步确定），不管从哪两个数之间分开，它们的差都是9的倍数，因此只看从哪两个数之间分开，差的后两位数是4的倍数即可： 如果从1和9之间分开，差的后两位为321－89的后两位是32，32是4的倍数； 如果从2和3之间分开，差的后两位为912－43的后两位是69，69不是4的倍数； 如果从4和5之间分开，差的后两位为234－65的后两位是69，69不是4的倍数； 如果从6和7之间分开，差的后两位为456－87的后两位是69，69不是4的倍数； 如果从8和9之间分开，差的后两位为678－19的后两位是59，59不是4的倍数。 所以应当在1和9之间剪开。 【考点剖析】本题通过验证被4和被9整除的条件，结合具体剪开位置的末两位数字计算，最终确定唯一满足条件的剪开位置。 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 【答案】B 【思路引导】数码之和指的是每个数的各位数字相加的总和。 数列为从1到99的连续奇数，包括一位数和两位数，一位数奇数有：1、3、5、7、9，其数码之和为1＋3＋5＋7＋9＝25；两位数奇数（从11到99）：十位数字从1到9，个位数字为1、3、5、7、9，两位数奇数的十位是1~9，每个十位对应5个奇数（如十位是1时，对应11、13、15、17、19），因此十位数码之和为（1＋2＋3＋…＋9）×5＝45×5＝225；个位数码之和为：（1＋3＋5＋7＋9）×9＝25×9＝225。最后将一位数奇数的数码之和和两位数奇数的数码之和（分为十位数码之和和个位数码之和）相加即可。 【规范解答】1＋3＋5＋7＋9 ＝5×5 ＝25 （1＋2＋3＋…＋9）×5 ＝（5×9）×5 ＝45×5 ＝225 （1＋3＋5＋7＋9）×9 ＝（5×5）×9 ＝25×9 ＝225 25＋（225＋225） ＝25＋450 ＝475 因此所有数码（数字）之和等于475。 故答案为：B 【考点剖析】本题需把连续奇数1、3、5、…、97、99按一位数、两位数分类，两位数再分为十位数和个位数，分别计算它们的数码之和，再相加。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 9 11 8 10 12 【思路引导】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案；三个连续偶数的积是960，把960分解质因数，然后化成三个连续偶数的积，由此求解。 【规范解答】，， 这三个奇数分别是7，9，11。 这三个偶数分别是8，10，12。 【考点剖析】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【答案】 不可能 【思路引导】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【规范解答】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【考点剖析】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 奥数拓展四 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【答案】92颗 【思路引导】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【规范解答】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【考点剖析】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【考点剖析】关键是掌握质数、合数的分类标准。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·四川成都·期中）学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 【答案】B 【思路引导】由于种向日葵是若干行（不止一行）且每行的棵数都相等，因此总棵数应为：行数×每行棵数，即总棵数需要时合数（能分解两个大于1的整数的乘积）；据此判断判断53、57、59是否为合数；53和59是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；57是合数，符合条件。因此小亮数对了。 【规范解答】53只有1和53两个因数，59只有1和59两个因数，53和59都是质数，无法能分解两个大于1的整数的乘积，所以小悦和小明都数错了。    57有1、3、19、57四个因数，所以57是合数，能分解两个大于1的整数的乘积，所以小亮数对了。 故正确答案为：B 奥数拓展五 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【思路引导】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【规范解答】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【考点剖析】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）将14，30，35，75这四个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。你知道怎样分组吗？请写出分组方法。 【答案】第一组数：14，75。 第二组数：30，35。 【思路引导】乘积相等的两组数，其质因数的种类和数量必须完全相同，因为乘积的本质是质因数的连乘。 分解质因数：将每个数拆为质数相乘的形式，明确所有质因数的构成； 统计质因数总量：计算所有数包含的每种质因数的个数，确保能平均分成两份； 匹配质因数到两组：根据质因数的数量，将数分配到两组，使每组的质因数种类、数量与总量的一半一致。 【规范解答】分解质因数：，，，； 通过上述可知，一共有10个质因数，且除了5以外，其它质因数都是成对出现，5出现了4个，所以一组应该有2个5，所以每组需含2、3、5、5、7； 分组：一组：14（含2、7），75（含3、5、5）； 另一组：30（含2、3、5），35（含5、7）。 14×75＝1050；30×35＝1050。 【考点剖析】解决“数分组使乘积相等”问题的核心技巧是“质因数均分法”：先分解所有数的质因数，明确质因数的“库存”；按“每种质因数数量均分”的原则，将数分配到两组——只要两组质因数完全一致，乘积必然相等。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）4500有多少个因数？其中有多少个是5的倍数？ 【答案】36个；27个 【思路引导】先把4500进行因式分解，再根据因数个数定理：对每个质因数的个数加1，然后将结果相乘，求出因数的个数；要使因数是5的倍数，则至少有1个5，有3种情况，再与其他质因数的个数相乘，求出有多少个因数是5的倍数即可。 【规范解答】4500＝22×32×53 因数有：（2＋1）×（2＋1）×（3＋1） ＝3×3×4 ＝9×4 ＝36（个） 其中5的倍数有（2＋1）×（2＋1）×（2＋1） ＝3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 所以4500有36个因数；其中有27个因数是5的倍数。 【考点剖析】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是根据分解质因数的方法找出因数的个数。 奥数拓展六 公因数与最大公因数及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【答案】15位 【思路引导】根据题意可知：如果苹果有（个），梨有（个），那么正好平均分完，求这个班最多有几位小朋友，即求45和30的最大公因数，把45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。由此解答即可。 【规范解答】（个） （个） 所以45和30的最大公因数是，即最多有15位小朋友。 答：这个班最多有15位小朋友。 【考点剖析】本题考查学生解决稍复杂的应用题的能力，本题中水果不能平均分，先转化成平均分，进一步转化成求两个数的最大公因数，从而使问题得以解决。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024·河北石家庄·小升初真题）两个数的最大公因数是9，最小公倍数是180，如果其中一个数是36，则另一个数是( )。 【答案】45 【思路引导】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先用180除以36得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数9乘另一个数的独有因数，即可得解。 【规范解答】180÷36＝5 5×9＝45 所以另一个数是45。 【考点剖析】已知两个数的最大公因数和最小公倍数，又知道其中一个数，求另一个数，可以先求出这个数的独有因数，用两个数的最小公倍数÷已知的一个数，然后独有因数乘最大公因数，即为所要求的另一个数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 【答案】24个 【解析】同样大小的两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形，所以求出这个长方形能够至少能剪出多少个大小相同的正方形，乘2即可求出对应的等腰直角三角形的个数。 【规范解答】将长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，那么正方形的边长是长和宽的公因数； 60和45的最大公因数是15； （个） （个） （个） （个） 答：至少能剪出24个这样的等腰直角三角形。 【考点剖析】本题考查的是最大公因数的问题，解题的关键在于转化。 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·广东湛江·小升初真题）两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积，用两个数的积除以它们的最大公因数，再根据两个数的最小公倍数是最大公因数的整数倍进行验证，用两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数看是否为整数即可验证。 【规范解答】480÷8＝60 60÷8＝7.5 说明两数的最小公倍数不是两数的最大公因数的整数倍，所以两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60的说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题看似简单，解答本题如果只是用两个数的积除以它们的最大公因数，得出的结果就是最小公倍数，但经过验证发现是错误的。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024五年级·全国·竞赛）是1，2，3，…，2022，2023，2024的最小公倍数，则等于( )个2与一个奇数的积。 【答案】10 【思路引导】因为，＞2024，把每一个不大于 2024的正整数表示为质因数相乘的形式，其中2的个数不多于10个，所以最小公倍数N等于2的10次方与一个奇数的积。 【规范解答】因为 ＞2024 所以N等于10个2与一个奇数的积。 【考点剖析】本题考查了最小公倍数问题的应用，较为简单，学生日常学习中对于2的n次幂的计算结果要牢记于心，以方便解题。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025五年级上·全国·专题练习）加工某机器零件要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成5个。要使生产顺利进行，又不浪费人力和时间，三道工序至少各分配多少人？ 【答案】 20人；5人；12人 【思路引导】要使生产顺利进行且不浪费人力和时间，需保证各道工序每小时完成的零件数相同，即求出3、12、5的最小公倍数，此最小公倍数为每小时应完成的零件总数，再用零件总数分别除以各工序每个工人每小时完成的零件数，即可得到各工序至少分配的人数。 【规范解答】3、12、5的最小公倍数是60。 第一道工序：（人） 第二道工序：（人） 第三道工序：（人） 答：三道工序至少各分配20人、5人、12人。 【考点剖析】同类“多工序人数分配”题，第一步需找各工序“单位效率”（如本题中每人每小时完成零件数）的最小公倍数，以此作为统一的“每小时总产出目标”；第二步用总目标分别除以各工序单位效率，即可得到最少人数，确保各工序节奏匹配、无等待浪费。 1．（25-26五年级上·天津河西·期末）要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。据此逐一分析。 【规范解答】A．个位数字是4，174是2的倍数，1＋7＋4＝12，12是3的倍数，符合； B．个位数字是7，177不是2的倍数，不符合； C．个位数字是8，178是2的倍数，1＋7＋8＝16，16不是3的倍数，不符合； D．个位数字是9，179不是2的倍数，不符合。 综上，要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填4。 故答案为：A 2．（25-26五年级上·广东深圳·期末）已知x÷3＝y（x、y都是非零自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．x是y的因数 B．y是3的倍数 C．x是y的倍数 D．x是3的因数 【答案】C 【思路引导】因数和倍数的概念：如果a÷b＝c（a、b、c都是非零自然数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。据此对每个选项进行分析判断。 【规范解答】A．已知x÷3＝y，根据因数和倍数的概念，x是3和y的倍数，3和y是x的因数，所以x是y的倍数，而不是因数，该选项错误。 B．由x÷3＝y可知，y是x除以3的商，x是3和y的倍数，3和y是x的因数，不能得出y是3的倍数，该选项错误。 C．因为x÷3＝y，即x÷y＝3，x、y都是非零自然数，根据因数和倍数的概念，x是y的倍数，该选项正确。 D．由x÷3＝y可知，x是3和y的倍数，3和y是x的因数，所以x是3的倍数，而不是因数，该选项错误。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·广东深圳·期末）妙想在卡片上写出了下面的五个数，这些数共同的特点是（    ）。 A．都是奇数 B．都是偶数 C．都是质数 D．都是合数 【答案】D 【思路引导】奇数是不能被2整除的整数；偶数是能被2整除的整数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。 根据这些定义逐一分析所给的五个数，判断它们共同的特点。 【规范解答】A．在27、39、4、6、24这五个数中，27和39不能被2整除，是奇数；而4、6、24能被2整除，是偶数，所以这五个数不都是奇数，选项A错误。 B．在27、39、4、6、24这五个数中，27和39不能被2整除，是奇数；而4、6、24能被2整除，是偶数，所以这五个数不都是偶数，选项B错误。 C．27的因数有1、3、9、27；39的因数有1、3、13、39；4的因数有1、2、4；6的因数有1、2、3、6；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。这五个数除了1和它本身以外，都还有其他因数，所以它们都不是质数，选项C错误。 D．前面已经分析过，27、39、4、6、24除了1和它本身以外，都有其他因数，所以它们都是合数，选项D正确。 故答案为：D 4．（24-25五年级上·江西九江·期末）笑笑把一些小正方形边挨着边摆长方形，可以摆出4种不同的长方形。小正方形的个数一定是（    ）。 A．奇数 B．质数 C．合数 【答案】C 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数；用若干个同样的小正方形边挨着边摆长方形，长方形的形状改变，面积不变。假设每个小正方形的面积是1，则由几个小正方形摆出长方形，长方形的面积就是几，“长方形的面积＝长×宽”，已知可以摆出4种不同的长方形，所以长方形的长和宽有4种情况，据此可知小正方形的个数一定是合数，据此解答。 【规范解答】假设每个小正方形的面积是1，则n个小正方形组成的长方形面积是n，假设组成长方形的长是a，宽是b，则n＝a1×b1＝a2×b2＝a3×b3＝a4×b4，说明n的因数除了1和它本身还有别的因数，n可能是奇数也可能是偶数，但是n一定是合数，即小正方形的个数一定是合数。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查质数合数的意义，根据合数的意义判断组成长方形的面积是合数是解答题目的关键。 5．（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 【答案】D 【思路引导】3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数；质数：在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。据此求解。 【规范解答】A．在研究因数和倍数时，所说的数一般指非0自然数，3.6是小数，所以不能说3.6是3的倍数，该选项错误； B．如果，那么和是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质的，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即，而不是，该选项错误； C．判断一个数是不是3的倍数，要看这个数各位上数字的和是不是3的倍数，而不是看个位上的数字，例如13、16、19，个位上分别为3、6、9，但它们都不是3的倍数，该选项错误； D．质数中2是偶数，其余质数都是奇数，当2和其他质数相乘时，积是偶数，比如；当两个不是2的质数相乘时，积是奇数，比如。所以任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数，该选项正确。 故答案为：D 6．（24-25五年级上·广东深圳·期末）长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，( )是质数，( )同时是2、5的倍数，( )是( )的倍数，( )再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 29 100 48 6 29 3 30 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】15＝3×5、6＝2×3 2×3×5＝30 长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，29是质数，100同时是2、5的倍数，48是6的倍数，29再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是3，最小公倍数是30。 7．（25-26五年级上·广西桂林·期末）AI数字解谜程序正在处理一组两位数谜题：一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 90 45 【思路引导】这个两位数是5的倍数，则个位数字是“0”或“5”，据此分别计算十位上的数，进而确定最大和最小。 【规范解答】当个位数字是0时，十位数字为9－0＝9，此时这个两位数为90； 当个位数字是5时，十位数字为9－5＝4，此时这个两位数是45。 因为90＞45，所以这个两位数最大是90，最小是45。 8．（25-26五年级上·广西桂林·期末）有一批鲜花订单，它需要把24枝百合花和32枝月季花，扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余。最多可以扎成( )束，每束里有( )枝月季花。 【答案】 8 4 【思路引导】将花扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余，则最多扎成的数量即为百合花的枝数和月季花枝数的最大公因数，用月季花的总枝数32枝除以最多扎成束数即可求出每束里有几枝月季花。 【规范解答】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 则24与32的最大公因数为2×2×2＝8； 32÷8＝4（枝） 即最多可以扎成8束，每束里有4枝月季花。 9．（25-26五年级上·四川成都·期中）已知，（为非零自然数），则是的( )数；如果的最小倍数是110，那么的最大因数是( )。 【答案】 因 10 【思路引导】已知C＝2×5×n，D＝2×5×11×n（n为非零自然数），可变形为D＝11×C。因数的定义是若整数a能被整数b（b≠0）整除，那么b是a的因数。因为D÷C＝11，商是整数且无余数，所以C是D的因数。 “最小倍数”的性质：一个数的最小倍数是它本身，已知D的最小倍数是110，因此D＝110。将D＝110代入D＝2×5×11×n，计算得110n＝110，解得n＝1。把n＝1代入C＝2×5×n，得C＝10；又因为一个数的最大因数是它本身，所以C的最大因数是10。 【规范解答】因为D＝2×5×11×n，C＝2×5×n 所以D÷C＝（2×5×11×n）÷（2×5×n）＝11 11是整数，所以C是D的因数。 因为D的最小倍数是110，所以D＝110。 2×5×11×n＝110 10×11×n＝110 110n＝110 110n÷110＝110÷110 n＝1 C＝2×5×1 ＝10×1 ＝10 所以如果D的最小倍数是110，那么C的最大因数是10。 【考点剖析】本题的关键在于紧扣因数和倍数的定义，以及“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的核心性质，先通过C和D的表达式推导得出C是D的因数，再利用D的最小倍数求出n的值，进而得到C的最大因数。 10．（25-26五年级上·甘肃定西·期末）因为2×8＝16，所以2和8都是因数，16是倍数。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（≠0），就叫做的倍数，就叫做的因数；进行解答即可。 【规范解答】因为，所以，，那么可以说2和8是16的因数，16是2和8的倍数。因数和倍数不能单独存在，因此原说法错误。 故答案为：× 11．（25-26五年级上·陕西渭南·期末）30有8个因数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】这道题的关键是先用列举法找出30的所有因数，再统计因数的数量，从而判断说法是否正确。本题中的因数是指能够整除30的整数。据此解答。 【规范解答】根据分析： 30÷1 ＝ 30，所以1和30是30的因数； 30÷2 ＝ 15，所以2和15是30的因数； 30÷3 ＝ 10，所以3和10是30的因数； 30÷5 ＝ 6，所以5和6是30的因数。 综上，30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个。 故答案为：√ 12．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 【答案】 ①1；84；②15；90；③14；28 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【规范解答】①7和12是互质数，所以7和12的最大公因数是1，最小公倍数是7×12＝84； ②45＝3×3×5，30＝2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5＝15； 45和30的最小公倍数是：2×3×3×5＝90； ③28和14是倍数关系，所以28和14的最大公因数是14，最小公倍数是28。 13．（25-26五年级上·福建泉州·期末）我们学过“3的倍数的特征”，你还记得规律的发现过程吗？请你来猜想和发现“4的倍数的特征”。 (1)下面各数，最后两位数是4的倍数的数用“________”画出，如112。 116   200   201   148   328   123   415   616   176   307 (2)在草稿纸上算一算，你找到的这些数( )（填“是”或“不是”）4的倍数。 (3)你发现了：____________________ (4)在草稿纸上再举几个例子验证一下你的发现，并优化上面的表达。 【答案】(1)116、200、148、328、616、176 (2)是 (3)见详解 (4)见详解 【思路引导】（1）明确“后两位数”的含义：对于三位数，取十位和个位；对于两位数，就是它本身；200的后两位是00（即0）。逐个计算后两位÷4，判断是否能整除：把能整除的数画出来。 （2）将第一步圈出的数分别除以4，验证是否能整除。 （3）观察发现，所有被画出的数最后两位均能被4整除，且这些数本身也能被4整除。 （4）选取不同位数（两位数、三位数、四位数）的新数，代入初步结论进行验证，确保规律的普适性；再将口语化的初步结论，优化为严谨规范的数学表述，让规律具备通用性和准确性， 【规范解答】（1）116：后两位16→16÷4＝4（能整除）→画出 200：后两位00→0÷4＝0（能整除）→画出 201：后两位01→1÷4（不能整除）→不画 148：后两位48→48÷4＝12（能整除）→画出 328：后两位28→28÷4＝7（能整除）→画出 123：后两位23→23÷4＝5……3（不能整除）→不画 415：后两位15→15÷4＝3……3（不能整除）→不画 616：后两位16→16÷4＝4（能整除）→画出 176：后两位76→76÷4＝19（能整除）→画出 307：后两位07→7÷4＝1……3（不能整除）→不画 所以画出的数：116、200、148、328、616、176。 （2）116÷4＝29 200÷4＝50 148÷4＝37 328÷4＝82 616÷4＝154 176÷4＝44 所以找到的这些数是4的倍数。 （3）我发现了：一个数，如果它的最后两位数字组成的数是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。 （4）132最后两位32÷4＝8（能被4整除），132÷4＝33（是4的倍数）；256最后两位56÷4＝14（能被4整除），256÷4＝64（是4的倍数）； 优化表达：一个数是4的倍数当且仅当它的最后两位数字组成的数是4的倍数。 14．（25-26五年级上·浙江金华·期末）小芳、小丽和小玉三人的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是45岁，她们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】13岁；17岁 【思路引导】相邻的奇数之间相差2，三人的年龄总和÷3＝中间年龄，中间年龄－2＝最小年龄，中间年龄＋2＝最大年龄。 【规范解答】45÷3＝15（岁） 15－2＝13（岁） 15＋2＝17（岁） 答：她们中最小的是13岁，最大的是17岁。 15．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）2025年12月—2026年2月期间，我市将以“回家过年”为主题推出系列文旅活动。其中，以“大槐树”村为主会场举办跨年文化节。市民可乘坐20路、30路等公交车往返活动现场。 上午9：00，20路、30路 公交车同时发车 20路公交车每8分钟发一次， 30路公交车每20分钟发一次 (1)至少再经过多长时间，20路和30路公交车又同时发车？ (2)为方便市民参与文化节活动，会场内设置了很多方向指示牌，如图是这些指示牌中的一种，根据图中的数据，请你计算出这种指示牌的面积是多少？ 【答案】(1)40分钟 (2)1.6平方分米 【思路引导】（1）求出两辆公交车间隔发车时间的最小公倍数是两车同时发车的间隔时间。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 （2）如图，指示牌的面积＝大长方形面积＋小长方形面积＋三角形面积，长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【规范解答】（1）8＝2×2×2、20＝2×2×5 2×2×2×5＝40（分钟） 答：至少再经过40分钟，20路和30路公交车又同时发车。 （2）2×0.6＋0.5×（0.9－0.6）＋1×0.5÷2 ＝1.2＋0.5×0.3＋0.25 ＝1.2＋0.15＋0.25 ＝1.6（平方分米） 答：这种指示牌的面积是1.6平方分米。 16．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【思路引导】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【规范解答】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 17．（25-26五年级上·广东深圳·期末）将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 【答案】6个 【思路引导】要将饼干和苹果平均分给小朋友，且没有剩余，小朋友的人数必须是24和42的公因数。每个小朋友都要分到饼干和苹果，这要求小朋友的人数不能超过24和42的最小值，但由于公因数对应的分得数量均为整数且大于等于1，因此所有公因数均满足条件。要求最多的小朋友人数，即求24和42的最大公因数，即可解答。 【规范解答】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 24和42的公因数有：1、2、3、6。 最大公因数是6。 答：最多能分给6个小朋友。 18．（24-25五年级上·安徽安庆·期末）一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 【答案】91个 【思路引导】2个2个地拿剩1个，说明梨的个数是2的倍数多1；3个3个地拿剩1个，说明梨的个数是3的倍数多1；5个5个地拿剩1个，说明梨的个数是5的倍数多1；综合一起，梨的个数也就是2、3、5的公倍数多1，先算出2、3、5的最小公倍数，再找出100以内最大的公倍数，最后加1即可得到最多有多少个梨。 【规范解答】2、3、5的最小公倍数是：2×3×5 ＝6×5 ＝30 100以内，2、3、5的公倍数有：30，60，90，其中最大的是90。 90＋1＝91（个） 答：这筐梨最多有91个。 【考点剖析】这道题的关键是：从“2个、3个、5个拿都剩1个”，得出梨的数量是2、3、5的公倍数加1；先算出2、3、5的最小公倍数是30，再找100以内最大的公倍数90，最后加1得到最多有91个梨。 19．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 【答案】（1）2；7；a＝b＝c          （2）6 【思路引导】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。 若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。 若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。 （2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。 【规范解答】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2； 若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7； 若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。 （2）根据题意可得： 8（x＋y）＋10x＋y＝99 解：8x＋8y＋10x＋y＝99 18x＋9y＝99 因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。 35＝11＋11＋13 27＝7＋7＋13 19＝5＋7＋7 13－11＝2 13－7＝6 7－5＝2 6＞2，则P（t）的最大值是6。 【考点剖析】第二小题中，根据数量关系列出方程，确定y是奇数，从而确定t的值是解题的关键。 20．（23-24五年级上·广西贺州·期末）五（1）班有一块劳动基地（如图）。 （1）这块地的面积是多少平方米？ （2）这块菜地某次采得西红柿57.6千克，同学们把它装入小袋子中送给敬老院的老人，平均每个袋子装1.8千克，需要多少个小袋子？ （3）在一次采摘中，同学们把摘得的豆角分别装在篮子里用来奖励美德银行中积分较高的同学，小机灵发现如果每个篮子装6千克刚好可以装完；如果每个篮子装8千克，也刚好可以装完。这次摘得的豆角至少有多少千克？ 【答案】（1）237.5平方米 （2）32个 （3）24千克 【思路引导】（1）如下图，把这块地分成一个正方形和一个三角形，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，分别求出正方形、三角形的面积，再相加，即是这块地的面积。 （2）已知采得西红柿57.6千克，平均每个袋子装1.8千克，求需要袋子的数量，用西红柿的质量除以每个袋子装的质量即可。 （3）根据题意，不论每个篮子装6千克豆角，还是装8千克豆角，都刚好可以装完，说明豆角的质量是6和8的公倍数；求豆角至少的质量，就是求6和8的最小公倍数。 【规范解答】（1）15×15＋（15－10）×（20－15）÷2 ＝225＋5×5÷2 ＝225＋12.5 ＝237.5（平方米） 答：这块地的面积是237.5平方米。 （2）57.6÷1.8＝32（个） 答：需要32个小袋子。 （3）6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即豆角至少有24千克。 答：这次摘得的豆角至少有24千克。 【考点剖析】（1）本题考查组合图形面积的求法，分析组合图形是由哪些基本图形组成，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，根据图形面积公式解答。 （2）本题考查小数除法的应用，掌握除数是小数的计算法则是解题的关键。 （3）本题考查最小公倍数的实际应用，利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $