第三单元 因数与倍数（易错笔记）易错知识梳理+十八大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共56题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册培优讲练

第三单元 因数与倍数 【易错知识点拨+十八大易错考点+真题拔尖练 共56题】 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、没有理解因数和倍数是相互依存的关系。 2、没有理解3的倍数的特征。 3、误认为2是合数。理解质数和合数的意义和区别，区分质数与合数的依据是因数的个数。 4、没有掌握用短除法分解质因数。用短除法分解质因数时，可以先用最小质因数去除，要分解 到商是质数为止，再写成质因数相乘的形式。 5、对公因数的概念理解不透彻。准确理解公因数的意义，掌握找公因数的方法。 6、对最大公因数和最小公倍数理解不准确。正确理解最大公因数和最小公倍数的意义。 易错考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·福建漳州·期中）2024年巴黎奥运会于当地时间7月26日开幕，8月11日闭幕。参赛的中国运动员平均年龄25岁，中国代表团共取得40金、27银和24铜的好成绩。 (1)上面横线上的数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，既是奇数又是合数的有( )。 (2)上面横线上的数中，含有因数8的数有( )。既是2的倍数又有因数5的是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·河南焦作·期中）运动会上，五年级排队入场，每一列都刚好是16人，五年级可能有（    ）人。 A．56 B．94 C．112 D．116 易错考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）一个数既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有（    ）个。 A．9 B．5 C．3 D．2 【变式训练】（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）如果a＝2×3，b＝2×2×3×3，a的因数有( )，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 易错考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【变式训练】（23-24五年级下·江苏·课后作业）小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 易错考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有( )人在玩游戏。 【变式训练】（25-26五年级上·广东湛江·期中）一个数既是72的因数，又是18的倍数，这样的数有哪几个？ 易错考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【变式训练】（2023五年级上·辽宁·专题练习）学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 易错考点六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕尾·期末）若m、n都是非零自然数，n÷m＝8，则m和n的最大公因数是（    ）。 A．8 B．n C．m D．1 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 易错考点七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·广西桂林·期末）一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是( )，最小是( )。 34．（25-26五年级上·广东揭阳·期末）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是( )。 易错考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）如果A是奇数，那么1093＋89＋A＋25的结果还是奇数。( )（判断对错） 【变式训练】（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 易错考点九：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·辽宁大连·期末）187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏徐州·期末）根据算式8679×9768，可以判断下面的说法中有（    ）条是正确的。 ①积是2的倍数    ②积是3的倍数    ③积是2和3的公倍数    ④积的因数至少有3个。 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 易错考点十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26四年级上·河北承德·期末）妈妈买了一些鸡蛋，鸡蛋的个数在20－30之间，这些鸡蛋2个2个地数、3个3个地数都能正好数完，妈妈一共买了( )个鸡蛋。 【变式训练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）倍数。一个三位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的是（    ）。 ①一定是30的倍数。         ②个位上只能是0。 ③十位上的数不可以是7。       ④百位、十位、个位上的数字之和是3的倍数。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 易错考点十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州毕节·期末）数学家哥德巴赫很早就提出一个猜想：任意大于2的偶数都可以写成两个质数的和，下面的式子中，能反映这个猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25五年级下·河南信阳·期末）2025年6月1日是第75个儿童节，阳光小学五年级5个班176名学生和7名老师在学校礼堂里举行了庆六一联欢活动，51名小演员给大家带来了魔术、小品、诗朗诵、舞蹈、独唱、课本剧等16个节目，中间还穿插了“你画我猜”“我演你猜”等6个师生互动节目和抽奖环节，在这2小时15分钟里，孩子们的笑声一直在礼堂中回荡。 文中画横线的数中，偶数有( )，合数有( )，奇数有( )，质数有( )，( )既是3的倍数又含有因数5。 易错考点十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（2025五年级下·四川·专题练习）一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 【变式训练】（23-24五年级下·山西晋中·期中）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 易错考点十三：质因数的含义 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南邵阳·期中）因为156＝52×3，所以52和3都是156的质因数。( )（判断对错） 【变式训练】（24-25五年级下·江苏·课后作业）（1），5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2），3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 易错考点十四：分解质因数 【典例精讲】（25-26五年级上·广东佛山·期中）中医药是中华民族几千年智慧的结晶，为弘扬民族文化，学校决定在校园劳动基地种植中草药，其中“枸杞”的种植面积正好是65平方米。 （1）笑笑测量“枸杞”园，发现它是一个长方形，长与宽正好是两个不同的质数，“枸杞”园的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）已知每平方米枸杞树可产枸杞0.36千克，这块“枸杞”园所收获的枸杞卖给药材店收入936元，平均每千克枸杞可卖多少元？ 【变式训练】（24-25五年级下·江苏南通·期末）乐乐在数学阅读时，认识了“史密斯数”。如：27＝3×3×3，3＋3＋3＝2＋7，即27是“史密斯数”；51＝3×17，3＋1＋7＝11，5＋1不等于11，所以51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。在15、20、22、65、85这五个数中，符合“史密斯数”特征的有( )、( )。 易错考点十五：公因数与最大公因数 【典例精讲】（25-26五年级上·福建泉州·期末）社区智能管家准备将180盒糕点和240袋养生茶分装成礼包，每个礼包糕点数量相同，养生茶的数量也相同，全部装完。最多可以装成( )个礼包，每个礼包中最少有( )盒糕点，( )袋养生茶。 【变式训练】（24-25五年级下·山西太原·期末）如图，小明用这幅图正确地表示了8和另一个数的公因数。 (1)8和另一个数的最大公因数是( )。 (2)另一个数是( )。你怎么知道的？在横线上写一写：____________。 (3)小明通过这个例子，发现了“一个数越大，它的因数就越多”，这个结论对吗？写明理由。__________。 易错考点十六：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有( )个，此时苹果和梨共有( )袋。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）学校门厅有一个长20分米，宽12分米的长方形宣传栏。如果把同学们用完全相同的正方形纸完成的书画作品，既不重叠、也无缝隙地正好贴满宣传栏，正方形纸的边长最大是几分米？这个宣传栏能贴满多少幅这样的正方形书画作品？ 易错考点十七：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26四年级上·河北承德·期末）一箱鸡蛋，两个两个地拿，三个三个地拿，五个五个地拿，都正好拿完没有剩余，这箱鸡蛋最少有（    ）个。 A．30 B．50 C．90 【变式训练】（25-26五年级上·甘肃定西·期末）五年级参加合唱社团活动的人数在50~60人之间，7人7人地数差1人，8人8人地数也差1人，你知道合唱社团一共有多少人吗？ 易错考点十八：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 【变式训练】（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。 1．（25-26五年级上·陕西渭南·期末）用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 4．（23-24五年级下·全国·课后作业）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 5．（24-25五年级上·湖北宜昌·期末）用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）从下面的卡片中任取三张，按要求组成三位数。（每小题写两个） (1)偶数：_____________ (2)3的倍数：____________ (3)5的倍数：____________ (4)既是2的倍数，又是3的倍数：____________ (5)既是2的倍数，又是5的倍数：____________ (6)既是2，5的倍数，又是3的倍数：____________ 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2    ②3÷8＝0.375      ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7   ⑤55÷11＝5     ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9      ⑧24÷4＝6        ⑨14÷3＝4……2 第一类：（①       ），第二类：（②             ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 8．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）小轩家无线网的密码是一个六位数ABCDEF，A既是偶数又是质数，B既是6的倍数又是6的因数，C既是奇数又是合数，D是最小的合数，E是8的最小因数，F是最小的自然数。小轩家无线网的密码是( )。 9．（24-25五年级下·江苏泰州·期末）1＋3＋5＋7＋…＋39的和是( )数，的积是( )数。（填“奇”或“偶”） 10．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 11．（25-26四年级上·河北保定·期末）个位上是0的自然数，不一定是2、3、5的倍数。( )（判断对错） 12．（24-25五年级上·河北邯郸·期末）如果A是奇数，那么123＋141＋A＋37的结果一定还是奇数。( )（判断对错） 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( )（判断对错） 14．（24-25五年级下·全国·课后作业）你能用短除法求出下面每组数的最小公倍数吗？ 16和24    21和28      20和50            15和10 15．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 16．（23-24五年级下·河南南阳·期中）两个相邻的奇数的和是96，这两个数分别是多少？ 17．（23-24五年级下·湖北武汉·期中）学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。辅导员一共拿来了48件上衣和72条长裤，如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，最多可以有多少名学生同时参赛？ 18．（25-26五年级上·辽宁大连·期末）会展中心举办展会，会场占地是一个长42米、宽36米的长方形场地。 (1)工作人员给会场铺设地毯，若使用相同的正方形地毯（边长是整米数，不裁剪），铺满这个长方形会场，有多少种不同的铺法，每种方法分别用多少块地毯？ (2)请你帮工作人员算一算，如果选用下面两种地毯块，哪种更省钱？ 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 20．（24-25五年级下·江苏徐州·期末）为了筹备艺术节活动，手工社团购买了一批长40厘米，宽24厘米的长方形卡纸（如图）。 （1）如果裁剪成同样大小的正方形卡片，且没有剩余。正方形卡片的边长最长是多少厘米？能裁剪成多少张这样的正方形卡片？ （2）如果用这种长方形卡纸拼一个稍大的正方形造型（如图），至少需要多少张这样的长方形卡纸？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数与倍数 【易错知识点拨+十八大易错考点+真题拔尖练 共56题】 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、没有理解因数和倍数是相互依存的关系。 2、没有理解3的倍数的特征。 3、误认为2是合数。理解质数和合数的意义和区别，区分质数与合数的依据是因数的个数。 4、没有掌握用短除法分解质因数。用短除法分解质因数时，可以先用最小质因数去除，要分解 到商是质数为止，再写成质因数相乘的形式。 5、对公因数的概念理解不透彻。准确理解公因数的意义，掌握找公因数的方法。 6、对最大公因数和最小公倍数理解不准确。正确理解最大公因数和最小公倍数的意义。 易错考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·福建漳州·期中）2024年巴黎奥运会于当地时间7月26日开幕，8月11日闭幕。参赛的中国运动员平均年龄25岁，中国代表团共取得40金、27银和24铜的好成绩。 (1)上面横线上的数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，既是奇数又是合数的有( )。 (2)上面横线上的数中，含有因数8的数有( )。既是2的倍数又有因数5的是( )。 【答案】(1) 7、11、25、27 2024、26、8、40、24 7、11 25、27 (2) 2024、8、40、24 40 【易错思路引导】（1）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 （2）在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，据此用一个数除以8，如果能整除，这个数就含有因数8。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【规范解答】（1）上面横线上的数中，奇数有7、11、25、27，偶数有2024、26、8、40、24，质数有7、11，既是奇数又是合数的有25、27。 （2）2024÷8＝253、8÷8＝1、40÷8＝5、24÷8＝3 上面横线上的数中，含有因数8的数有2024、8、40、24。既是2的倍数又有因数5的是40。 【变式训练】（24-25五年级下·河南焦作·期中）运动会上，五年级排队入场，每一列都刚好是16人，五年级可能有（    ）人。 A．56 B．94 C．112 D．116 【答案】C 【易错思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是16人，那么全班总人数一定是16的倍数，据此解答。 【规范解答】A．56除以16有余数，则56不是16的倍数，该选项不符合题意； B．94除以16有余数，则94不是16的倍数，该选项不符合题意； C．112÷16＝7，则112是16的倍数，因此五年级可能有112人，该选项符合题意； D．116除以16有余数，则116不是16的倍数，该选项不符合题意。 故答案为：C 易错考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）一个数既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有（    ）个。 A．9 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【易错思路引导】先找出36的因数，再从这些因数中找出4的倍数，最后统计符合条件的数的个数。 【规范解答】因为36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，36÷9＝4，36÷12＝3，36÷18＝2，36÷36＝1，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 因为4÷4＝1，12÷4＝3，36÷4＝9，所以4、12、36是4的倍数。 因此，既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有3个。 故答案为：C 【变式训练】（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）如果a＝2×3，b＝2×2×3×3，a的因数有( )，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1、2、3、6 6 36 【易错思路引导】，，，由此得出6的所有因数，倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此得出答案。 【规范解答】， 因为，所以6的因数是：1、2、3、6 36是6的倍数，所以6和36的最大公因数是6，最小公倍数是36。 a的因数有1、2、3、6，a和b的最大公因数是6，最小公倍数是36。 易错考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【答案】 14 42 【易错思路引导】根据题意先找出42的因数，再从42的因数里面找出同时是2和7的倍数的数，小的数是小红的年龄，大的数是妈妈的年龄。 【规范解答】小红的年龄：需同时是2和7的倍数，即最小公倍数为14。 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 其中只有14和42是14的倍数。排除不合理数据（如14岁与小红同龄），妈妈的年龄应为42岁。 因此，小红14岁，妈妈42岁。 【变式训练】（23-24五年级下·江苏·课后作业）小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 【答案】选择边长为40厘米的正方形软垫 【易错思路引导】4米＝400厘米，想刚好铺满，那么长方形泡沫软垫的长和宽以及正方形泡沫软垫的边长必须是400的因数，据此分析解答。 【规范解答】4米＝400厘米 20是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第一种规格的软垫； 40是400的因数，所以可以选择第二种规格的软垫； 50是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第三种规格的软垫； 60不是400的因数，所以不能选择第四种规格的软垫。 答：选择边长为40厘米的软垫可以铺满整个房间，因为40是400的因数。 易错考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有( )人在玩游戏。 【答案】24 【易错思路引导】“同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功”说明抱团游戏的人数既是6的倍数又是8的倍数，因为抱团游戏的人数在20和30人之间，找到在20到30之间两个数共同的倍数即是抱团游戏的人数。 【规范解答】6的倍数：6、12、18、24、30、36……； 8的倍数：8、16、24、32、40、48……； 抱团游戏的人数在20和30人之间； 所以，有24人在玩游戏。 【变式训练】（25-26五年级上·广东湛江·期中）一个数既是72的因数，又是18的倍数，这样的数有哪几个？ 【答案】 18、36、72，共3个 【易错思路引导】首先根据找一个数的因数，可以一对一对的找，把72写成两个数的乘积，依次找出72的因数；然后再从72的因数中找出18的倍数即可。 【规范解答】1×72＝72 2×36＝72 3×24＝72 4×18＝72 6×12＝72 8×9＝72 72的因数是：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 其中18的倍数有：18（18×1＝18）、36（18×2＝36）、72（18×4＝72）。 答：既是72的因数，又是18的倍数，这样的数有：18、36、72，共3个。 易错考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【易错思路引导】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【规范解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 【变式训练】（2023五年级上·辽宁·专题练习）学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【答案】 5 37 【易错思路引导】由题意可知，这些绘本的本数减去2就是7的倍数，再根据求一个数的倍数的方法，再结合绘本的本数在30~40之间，据此解答即可。 【规范解答】7的倍数且在30~40之间的数是35 35＋2＝37（本） 37÷7＝5（本）⋯⋯2（本） 则平均每班分得5本，一共购买了37本。 【考点剖析】本题考查倍数，明确求一个数的倍数的方法是解题的关键。 易错考点六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕尾·期末）若m、n都是非零自然数，n÷m＝8，则m和n的最大公因数是（    ）。 A．8 B．n C．m D．1 【答案】C 【易错思路引导】已知n ÷ m ＝ 8，说明n是m的8倍，即n ＝ 8m，可知。根据最大公因数的性质，当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数。 【规范解答】据分析可知，若m、n都是非零自然数，n÷m＝8，则m和n的最大公因数是m。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 【答案】716089 【易错思路引导】，所以7的最小倍数是7；，所以1只有一个因数；每个数都既是它本身的因数又是它本身的倍数；最小的自然数是0；，，所以8的因数有1、2、4、8；最大的一位数是9，据此解答。 【规范解答】A：，所以7的最小倍数是7； B：，所以1只有一个因数； C：6既是6的因数又是6的倍数； D：最小的自然数是0； E：，，8的因数有1、2、4、8，最大的因数是8； F：最大的一位数是9； 所以A是7，B是1，C是6，D是0，E是8，F是9。这个密码是716089。 答：这个密码是716089。 易错考点七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·广西桂林·期末）一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 90 45 【易错思路引导】个位与十位上的数字之和是9并且这个两位数是5的倍数，则个位为“0”或“5”，由此即可填空。 【规范解答】当个位为0时，十位为9－0＝9； 当个位为5时，十位为9－5＝4； 即一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是90，最小是45。 34．（25-26五年级上·广东揭阳·期末）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是( )。 【答案】30 【易错思路引导】根据既是3的倍数，又是5的倍数，并且还是一个偶数，可知这个数是2的倍数，2、3、5倍数的特征：个位数必须是0，而且各个数位上的数字之和是3的倍数，要使这个数最小，个位是0，十位最小是3，此时这个数是30，3＋0＝3，3是3的倍数，所以这个数最小是30；据此解答。 【规范解答】由分析可得： 3＋0＝3 所以，一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是30。 易错考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）如果A是奇数，那么1093＋89＋A＋25的结果还是奇数。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】根据奇数和偶数的性质：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。1093和89都是奇数，它们的和是偶数；A是奇数，25也是奇数，A＋25的和是偶数；两个偶数的和是偶数。因此，整个表达式的和是偶数。 【规范解答】1093是奇数，89是奇数，1093＋89的和是偶数。 A是奇数，25是奇数，A＋25的和是偶数。 1093＋89的和与A＋25的和都是偶数，两个偶数的和是偶数。 所以，1093＋89＋A＋25的结果是偶数，不是奇数。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【易错思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【规范解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 易错考点九：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·辽宁大连·期末）187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【答案】 1 2 2 3 【易错思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【规范解答】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏徐州·期末）根据算式8679×9768，可以判断下面的说法中有（    ）条是正确的。 ①积是2的倍数    ②积是3的倍数    ③积是2和3的公倍数    ④积的因数至少有3个。 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【易错思路引导】个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此分别判断8679和9768是否是2或3的倍数，再根据一个数的倍数的倍数一定是这个数的倍数，一个数除了1和它本身还有别的因数，这个数是合数，合数至少有3个因数，逐条分析。 【规范解答】9768是2的倍数。 8＋6＋7＋9＝30，8679是3的倍数。 因此8679×9768的积是2的倍数，也是3的倍数，也可以说是2和3的公倍数，积一定是个合数，积的因数至少有3个，说法中有4条是正确的。 故答案为：D 易错考点十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26四年级上·河北承德·期末）妈妈买了一些鸡蛋，鸡蛋的个数在20－30之间，这些鸡蛋2个2个地数、3个3个地数都能正好数完，妈妈一共买了( )个鸡蛋。 【答案】24或30 【易错思路引导】由题意可得，20到30之间的2的倍数有，20、22、24、26、28、30；3的倍数有21、24、27、30，最后根据鸡蛋的个数在20到30之间解答即可。 【规范解答】根据分析可知： 根据分析可知20至30间既是2的倍数又是3的倍数的是24和30。 妈妈买了一些鸡蛋，鸡蛋的个数在20－30之间，这些鸡蛋2个2个地数、3个3个地数都能正好数完，妈妈一共买了24或30个鸡蛋。 【变式训练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）倍数。一个三位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的是（    ）。 ①一定是30的倍数。         ②个位上只能是0。 ③十位上的数不可以是7。       ④百位、十位、个位上的数字之和是3的倍数。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【易错思路引导】一个数同时是2、3、5的倍数，需要同时满足两个条件： 第一个条件：个位是0，即满足2和5的倍数特征； 第二个条件：各位数字之和是3的倍数，即满足3的倍数特征； 【规范解答】①2、3、5的最小公倍数为2×3×5＝30，因此同时是这三个数倍数的数一定是30的倍数，说法正确； ②同时是2和5的倍数，个位只能是0，说法正确； ③例如270是2、3、5的倍数，且十位是7，说法错误； ④是3的倍数的数，各位数字之和必须是3的倍数，说法正确。 因此，正确的说法为①②④ 故答案为：B 【考点剖析】综合运用2、3、5的倍数特征，以及最小公倍数的概念来判断说法的正确性。 易错考点十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州毕节·期末）数学家哥德巴赫很早就提出一个猜想：任意大于2的偶数都可以写成两个质数的和，下面的式子中，能反映这个猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【易错思路引导】质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；1既不是质数也不是合数；根据题意，分析四个选项中是否一个偶数等于两个质数的和。 【规范解答】A．4＝1＋3，1不是质数，不符合猜想； B．10＝2＋8，8是合数，不符合猜想； C．28＝21＋7，21是合数，不符合猜想； D．36＝31＋5，31和5都是质数，符合猜想。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级下·河南信阳·期末）2025年6月1日是第75个儿童节，阳光小学五年级5个班176名学生和7名老师在学校礼堂里举行了庆六一联欢活动，51名小演员给大家带来了魔术、小品、诗朗诵、舞蹈、独唱、课本剧等16个节目，中间还穿插了“你画我猜”“我演你猜”等6个师生互动节目和抽奖环节，在这2小时15分钟里，孩子们的笑声一直在礼堂中回荡。 文中画横线的数中，偶数有( )，合数有( )，奇数有( )，质数有( )，( )既是3的倍数又含有因数5。 【答案】 176、16、6、2 75、176、51、16、6、15 75、5、7、51、15 5、7、2 75、15 【易错思路引导】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数；既是3的倍数又含有因数5的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】75，5，176，7，51，16，6，2，15中， 偶数有：176、16、6、2； 合数有：75、176、51、16、6、15； 奇数有：75、5、7、51、15； 质数有：5、7、2； 75是5的倍数；7＋5＝12，12能被3整除，所以75也是3的倍数； 5是5的倍数；5不能被3整除，所以5不是3的倍数； 15是5的倍数；1＋5＝6，6能被3整除。所以15也是3的倍数。 75、15既是3的倍数又含有因数5。 偶数有176，16，6，2，合数有75，176，51，16，6，15，奇数有75、5、7、51、15，质数有5、7、2，75、15既是3的倍数又含有因数5。 易错考点十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（2025五年级下·四川·专题练习）一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 【答案】120＝2×2×2×3×5 【易错思路引导】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，2是唯一的偶质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；最小的质数是2。 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数。 分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数，据此解答。 【规范解答】百位上的数是1，十位上的数是2，个位上的数是0；这个三位数是120； 所以这个数写成质数相乘的形式是120＝2×2×2×3×5 【变式训练】（23-24五年级下·山西晋中·期中）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【答案】17904 【易错思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数。 【规范解答】1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最大的一位数是9；最小的偶数是0；最小的合数是4，这个五位数是17904。 易错考点十三：质因数的含义 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南邵阳·期中）因为156＝52×3，所以52和3都是156的质因数。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】质因数需满足两个条件：是原数的因数且本身是质数。3是质数且是156的因数，但52是合数，不符合质因数的定义。 【规范解答】根据质因数的定义，质因数必须是质数且是原数的因数。156＝52×3中，3是质数且能整除156，因此3是156的质因数；但52＝2×2×13，是合数，不符合质数的条件，因此52不是156的质因数。故原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（24-25五年级下·江苏·课后作业）（1），5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2），3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 【答案】（1），所以5和7都是35的因数，因为5与7都是质数，所以都是35的质因数。 （2），所以3和9都是27的因数，又因为，说明9是合数，所以9不是27的质因数。 【易错思路引导】因数：因数是指整数a除以整数b（）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，而这个因数一定是一个质数。据此解答。 【规范解答】（1），所以5和7都是35的因数，因为5与7都是质数，所以都是35的质因数。 （2），所以3和9都是27的因数，又因为，说明9是合数，所以9不是27的质因数。 易错考点十四：分解质因数 【典例精讲】（25-26五年级上·广东佛山·期中）中医药是中华民族几千年智慧的结晶，为弘扬民族文化，学校决定在校园劳动基地种植中草药，其中“枸杞”的种植面积正好是65平方米。 （1）笑笑测量“枸杞”园，发现它是一个长方形，长与宽正好是两个不同的质数，“枸杞”园的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）已知每平方米枸杞树可产枸杞0.36千克，这块“枸杞”园所收获的枸杞卖给药材店收入936元，平均每千克枸杞可卖多少元？ 【答案】（1）13；5； （2）40元 【易错思路引导】（1）长方形的面积＝长×宽，而长方形的面积是65平方米，65是合数，每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，把65分解质因数即可求得“枸杞”园的长和宽； （2）先求出“枸杞”的种植面积一共可以产多少千克枸杞，即65×0.36，再根据“单价＝总价÷数量”求出平均每千克枸杞可卖的钱数，即936÷（65×0.36），据此解答。 【规范解答】 （1） 65＝5×13 所以，“枸杞”园的长是13米，宽是5米。 （2）936÷（65×0.36） ＝936÷23.4 ＝40（元） 答：平均每千克枸杞可卖40元。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏南通·期末）乐乐在数学阅读时，认识了“史密斯数”。如：27＝3×3×3，3＋3＋3＝2＋7，即27是“史密斯数”；51＝3×17，3＋1＋7＝11，5＋1不等于11，所以51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。在15、20、22、65、85这五个数中，符合“史密斯数”特征的有( )、( )。 【答案】 22 85 【易错思路引导】根据“史密斯数”的定义可知，把一个数分解质因数后，所有质因数每个数位上的数字和等于原数每个数位上的数字的和，将15、20、22、65、85这5个数进行质因数分解后进行辨别即可。 【规范解答】，，15不是“史密斯数”； ，，20不是“史密斯数”； ，，22是“史密斯数”； ，，65不是“史密斯数”； ，，85是“史密斯数”， 符合“史密斯数”特征的有22、85。 易错考点十五：公因数与最大公因数 【典例精讲】（25-26五年级上·福建泉州·期末）社区智能管家准备将180盒糕点和240袋养生茶分装成礼包，每个礼包糕点数量相同，养生茶的数量也相同，全部装完。最多可以装成( )个礼包，每个礼包中最少有( )盒糕点，( )袋养生茶。 【答案】 60 3 4 【易错思路引导】这道题的核心是求最大公因数，因为要把糕点和养生茶全部分装完，且每个礼包的两种物品数量相同，礼包的最大个数就是 180 和 240 的最大公因数。用糕点总数除以礼包的最大个数可得出每个礼包中最少有几盒糕点；再用养生茶总数除以礼包的最大个数可得出每个礼包中最少有几袋养生茶。 【规范解答】180＝2×2×3×3×5 240＝2×2×2×2×3×5 所以180和240的最大公因数：2×2×3×5＝60； 每个礼包的糕点数量：180÷60＝3（盒）； 每个礼包的养生茶数量：240÷60＝4（袋）。 所以最多可以装成60个礼包，每个礼包中最少有3盒糕点，4袋养生茶。 【变式训练】（24-25五年级下·山西太原·期末）如图，小明用这幅图正确地表示了8和另一个数的公因数。 (1)8和另一个数的最大公因数是( )。 (2)另一个数是( )。你怎么知道的？在横线上写一写：____________。 (3)小明通过这个例子，发现了“一个数越大，它的因数就越多”，这个结论对吗？写明理由。__________。 【答案】(1)4 (2) 12 见详解 (3)不对；理由见详解 【易错思路引导】（1）公因数是指两个或多个数共有的因数，其中最大的那个就是最大公因数。从图中可知，8和另一个数的公因数有1、2、4，所以最大公因数是4。 （2）从图中可以看到，另一个数的因数有1、2、3、4、6、12，12最大，所以这个数是12。 （3）例如17比12大，12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个；17的因数有1、17，共2个。可见数的大小和因数的多少没有必然的关系，因数的多少取决于数的分解质因数的结果，而不是数本身的大小。 【规范解答】（1）8和另一个数的公因数有1、2、4，最大公因数是4。 8和另一个数的最大公因数是4。 （2）另一个数是12；因为另一个数的因数有1、2、3、4、6、12，12最大，所以这个数是12。 （3）例如：17比12大，12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个；17的因数有1、17，共2个。 结论是不对的，因为数的大小和因数的多少没有必然的关系，因数的多少取决于数的分解质因数的结果，而不是数本身的大小。 易错考点十六：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有( )个，此时苹果和梨共有( )袋。 【答案】 12 5 【易错思路引导】把苹果和梨子分别装在袋子里，要使每袋的个数相同，也就是说每袋的个数既是苹果总数的因数，也是梨子总数的因数，那么每袋的个数就是苹果总数和梨子总数的公因数，题目问每袋最多多少个，就是求苹果总数和梨子总数的最大公因数，所以本题先求出36和24的最大公因数，也就求出每袋的个数，然后用苹果的总个数除以每袋的个数，就是苹果的袋数，用梨子的总个数除以每袋的个数，就是梨子的袋数。 【规范解答】36的因数有：1，36，3，12，4，9，6 24的因数有：1，24，2，12，3，8，4，6 36和24的公因数有：1，3，4，6，12其中12最大，所以36和24的最大公约数是12。       （袋） 有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有12个，此时苹果和梨共有5袋。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）学校门厅有一个长20分米，宽12分米的长方形宣传栏。如果把同学们用完全相同的正方形纸完成的书画作品，既不重叠、也无缝隙地正好贴满宣传栏，正方形纸的边长最大是几分米？这个宣传栏能贴满多少幅这样的正方形书画作品？ 【答案】4分米；15幅 【易错思路引导】根据题意，正方形纸的最大边长是20分米和12分米的最大公因数；将20和12先分别分解质因数，两个数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数；再分别用长、宽除以这个最大公因数，再把所得的商相乘即可解答。 【规范解答】20＝2×2×5 12＝2×2×3 所以20和12的最大公因数是2×2＝4，正方形纸的边长最大是4分米； 20÷4×（12÷4） ＝5×3 ＝15（幅） 答：正方形纸的边长最大是4分米，这个宣传栏能贴满15幅这样的正方形书画作品。 易错考点十七：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26四年级上·河北承德·期末）一箱鸡蛋，两个两个地拿，三个三个地拿，五个五个地拿，都正好拿完没有剩余，这箱鸡蛋最少有（    ）个。 A．30 B．50 C．90 【答案】A 【易错思路引导】根据题意，鸡蛋的数量必须同时能被2、3、5整除，即这个数是2、3、5的公倍数。要求“最少有”多少个，即求最小公倍数。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 因为两个两个地拿、三个三个地拿、五个五个地拿都正好拿完没有剩余，所以鸡蛋的数量是2、3、5的公倍数。要求最少的个数，即求2、3、5的最小公倍数。由于2、3、5互质（没有共同的质因数），最小公倍数为2×3×5＝30。因此，这箱鸡蛋最少有30个。 故答案为：A 【变式训练】（25-26五年级上·甘肃定西·期末）五年级参加合唱社团活动的人数在50~60人之间，7人7人地数差1人，8人8人地数也差1人，你知道合唱社团一共有多少人吗？ 【答案】55人 【易错思路引导】根据题意可知，五年级参加合唱社团活动的人数既比7的倍数少1，也比8的倍数少1，根据求两个数的最小公倍数的方法，求出7和8的倍数少1在50～60之间，即可解答。 【规范解答】7与8的最小公倍数为7×8＝56； 56－1＝55（人） 答：合唱社团一共有55人。 易错考点十八：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 【答案】200m 【易错思路引导】求出40和50的最小公倍数，即把40和50进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，即可求出再隔多远又有一盏路灯不需要移动。据此解答。 【规范解答】 40和50的最小公倍数： 答：至少隔200m又有一盏路灯不需要移动。 【变式训练】（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。 【答案】21.6 【易错思路引导】已知豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，那么54和72的最小公倍数就是他们步长的最小公倍数，即216厘米，用216除以豆豆和爸爸每步的长，即可得知豆豆走四步和爸爸走三步的距离是一样的。由于人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下（4＋3－1）＝6个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印）。每走216厘米，雪地上留下的脚印数＝6，又知雪地上留下60个脚印，所以他们走了60÷6＝10次的216厘米，所以周长＝216×10＝2160厘米，据此解答。 【规范解答】54＝2×3×3×3 72＝2×2×2×3×3 2×2×2×3×3×3 ＝4×2×3×3×3 ＝8×3×3×3 ＝24×3×3 ＝72×3 ＝216 72与54的最小公倍数是216。 每走216厘米会留下的脚印为：216÷72＋216÷54－1 ＝3＋4－1 ＝7－1 ＝6（个） 花圃的周长是：216×（60÷6） ＝216×10 ＝2160（厘米） 2160厘米＝21.6米 这个花圃的周长是21.6米。 【考点剖析】本题主要通过求解豆豆和爸爸步长的最小公倍数，然后根据脚印数量推算出花圃的周长。 1．（25-26五年级上·陕西渭南·期末）用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【答案】B 【易错思路引导】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。 【规范解答】既是2的倍数，又是5的倍数，个位一定是0； 750＞570，则既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是750。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【易错思路引导】根据题意，把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数相同，求每组的人数就是求两个小区报名的居民的公因数，因为求的是每组最多有多少人，所以就是求两个小区报名的居民的最大公因数，利用分解质因数的方法求解即可。 【规范解答】 所以48和42的最大公因数是 所以每个小组最多有6人。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 【答案】A 【易错思路引导】要将两根绳子截成等长且无剩余的跳绳，最长跳绳长度是两根绳子长度的最大公因数；利用分解质因数法求出最大公因数，再通过每根绳子长度除以最大公因数，得到各自的段数，相加即为总段数。 【规范解答】求最长跳绳长度（最大公因数）： 分解质因数：，，两者的公共质因数是2，因此最长跳绳长度是2m。 计算总段数：（根），（根）， 总段数：（根） 截成的跳绳最长是2m，此时一共能截成12根。 故答案为：A 4．（23-24五年级下·全国·课后作业）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 【答案】D 【易错思路引导】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。 【规范解答】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意； B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意； C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意； D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。 因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。 故答案为：D 【考点剖析】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。 5．（24-25五年级上·湖北宜昌·期末）用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 420 【易错思路引导】同时是2，3，5的倍数的特征：个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除。要使得由2，0，4三个数字组成的三位数同时是2，3，5的倍数的最大三位数，这个三位数的个位数字是0，因为4＞2，那么百位上的数字是最大的数字4，十位上的数字是2，所以这个最大三位数是420。 【规范解答】根据分析： 用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是420。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）从下面的卡片中任取三张，按要求组成三位数。（每小题写两个） (1)偶数：_____________ (2)3的倍数：____________ (3)5的倍数：____________ (4)既是2的倍数，又是3的倍数：____________ (5)既是2的倍数，又是5的倍数：____________ (6)既是2，5的倍数，又是3的倍数：____________ 【答案】(1)102，720 (2)102，270 (3)120，710 (4)102，270 (5)120，710 (6)120，210 【易错思路引导】2的倍数：个位是0，2，4，6，8的数； 3的倍数：各个数位上的数字和是3的倍数的数； 5的倍数：个位是0和5的数； 奇数：个位是1、3、5、7、9的数； 偶数：个位是0、2、4、6、8的数； 结合的时候要满足对应的条件。 【规范解答】（1）偶数：102，720； （2）3的倍数：102，270； （3）5的倍数：120，710； （4）既是2的倍数，又是3的倍数：102，270； （5）既是2的倍数，又是5的倍数：120，710； （6）既是2，5的倍数，又是3的倍数：120，210。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2    ②3÷8＝0.375      ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7   ⑤55÷11＝5     ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9      ⑧24÷4＝6        ⑨14÷3＝4……2 第一类：（①       ），第二类：（②             ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 【答案】第一类：（①④⑤⑦⑧），第二类：（②③⑥⑨） 倍，因 【易错思路引导】观察算式可知，①④⑤⑦⑧属于整数除法，商是整数且无余数；②③⑥⑨属于非整数除法，含小数商或有余数。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。如，我们就说36是18的倍数，18是36的因数。 整数除法中，当被除数能被除数整除（商为整数、无余数）时，被除数与除数存在 “倍数 - 因数” 的关系；若不能整除，则商为小数或存在余数，不构成倍数 - 因数关系。 【规范解答】由分析可得： 第一类：①④⑤⑦⑧； 第二类：②③⑥⑨； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 8．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）小轩家无线网的密码是一个六位数ABCDEF，A既是偶数又是质数，B既是6的倍数又是6的因数，C既是奇数又是合数，D是最小的合数，E是8的最小因数，F是最小的自然数。小轩家无线网的密码是( )。 【答案】269410 【易错思路引导】本题考查质数、合数、因数、倍数、自然数等概念的综合应用。根据每个字母的条件逐一确定数字：A是偶质数，只能是2；B既是6的倍数又是6的因数，且为一位数，只能是6；C是奇合数，且为一位数，只能是9；D是最小合数，是4；E是8的最小因数，是1；F是最小自然数，是0。组合后得到密码。 【规范解答】A既是偶数又是质数，唯一的偶质数是2，因此。 B既是6的倍数又是6的因数，6的因数有1、2、3、6，6的倍数有6、12等，但B为一位数，因此。 C既是奇数又是合数，一位数中奇合数有9，因此。 D是最小的合数，合数大于1且有其他因数，最小合数是4，因此。 E是8的最小因数，8的因数有1、2、4、8，最小因数是1，因此。 F是最小的自然数，自然数从0开始，因此。 综上，密码为269410。 9．（24-25五年级下·江苏泰州·期末）1＋3＋5＋7＋…＋39的和是( )数，的积是( )数。（填“奇”或“偶”） 【答案】 偶 奇 【易错思路引导】根据题意，判断1＋3＋5＋7＋……＋39的和的奇偶性，可通过数奇数的个数，结合“偶数个奇数相加和为偶数，奇数个奇数相加和为奇数”的规律分析；判断1×3×5×7×……×39的积的奇偶性，依据“奇数乘奇数的积为奇数”的性质分析。据此解答。 【规范解答】（1）判断1＋3＋5＋7＋……＋39的和的奇偶性从1到39的奇数，依次为1、3、5、……、39，一共有20个奇数（可通过（39＋1）÷2＝20得出个数）。因为20是偶数，根据“偶数个奇数相加的和为偶数”，所以1＋3＋5＋7＋……＋39的和是偶数。 （2）判断1×3×5×7×……×39的积的奇偶性式子1×3×5×7×……×39中，所有的因数都是奇数。根据“奇数乘奇数的积为奇数”，不管有多少个奇数相乘，积都是奇数，所以1×3×5×7×……×39的积是奇数。 1＋3＋5＋7＋…＋39的和是偶数，的积是奇数。 【考点剖析】关键是掌握奇数和偶数的运算性质，准确判断奇数的个数，进而确定和与积的奇偶性。 10．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 【答案】 12 5 【易错思路引导】第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 【规范解答】第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 【考点剖析】首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 11．（25-26四年级上·河北保定·期末）个位上是0的自然数，不一定是2、3、5的倍数。( )（判断对错） 【答案】 √ 【易错思路引导】根据2、3、5的倍数特征：个位上是0的自然数一定是2和5的倍数，因为2的倍数特征是个位是0、2、4、6、8，5的倍数特征是个位是0或5；但3的倍数特征要求各位数字之和是3的倍数，与个位数字无关。因此，个位上是0的自然数不一定是3的倍数，从而不一定同时是2、3、5的倍数。 【规范解答】根据分析可知，一个自然数个位上是0，这个自然数是2和5的倍数，但不一定是3的倍数，例如，110是2和5的倍数，110的各位数字之和是1＋0＝2，2不是3的倍数，所以110不是3的倍数，故个位上是0的自然数不一定是2、3、5的倍数。原题说法正确。 故答案为：√ 12．（24-25五年级上·河北邯郸·期末）如果A是奇数，那么123＋141＋A＋37的结果一定还是奇数。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的数。根据奇数和偶数的运算性质，偶数个的奇数相加，得到的结果是偶数。据此可得出答案。 【规范解答】123＋141＋A＋37式子中，123、141、37都是奇数，如果A是奇数，则是4个奇数相加，是偶数个，则得到的结果是偶数。原题说法错误。 故答案为：× 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】根据奇数和偶数的乘法性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。质数中，2是唯一的偶质数，其余都是奇质数。若两个质数的积是奇数，则这两个质数必须都是奇数（因为若有一个是偶数，即2，则积为偶数，与条件矛盾）。 【规范解答】由分析可知，两个质数的积是奇数时，这两个质数一定都是奇数。例如，3和5都是奇质数，它们的积15是奇数；若有一个质数是2（如2和3），积6是偶数，不满足条件。 故答案为：√ 14．（24-25五年级下·全国·课后作业）你能用短除法求出下面每组数的最小公倍数吗？ 16和24    21和28      20和50            15和10 【答案】48；84；100；30 【易错思路引导】对于每组数，使用短除法，先用公因数连续去除，直到商之间的公因数只有1，再将所有除数和商相乘得到最小公倍数。 【规范解答】 ； ； 所以，16和24的最小公倍数是48；21和28的最小公倍数是84；20和50的最小公倍数是100；15和10的最小公倍数是30。 15．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 【答案】9463 【易错思路引导】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，一位数中最大的奇数是9； 除了1和本身，还有别的因数的数是合数，最小的合数是4； 同时是2和3的倍数，就是2和3的最小公倍数，即2×3＝6； 只有1和本身的数是质数，最小的质数是2，D比最小的质数大1，那么D是3。据此填空。 【规范解答】一位数中最大的奇数是9，所以A＝9； 最小的合数是4，所以B＝4； 一位数中同时是2和3的倍数的数是2×3＝6，所以C＝6； 最小的质数是2，所以D＝2＋1＝3。 答：张阿姨的取件码是9463。 16．（23-24五年级下·河南南阳·期中）两个相邻的奇数的和是96，这两个数分别是多少？ 【答案】47和49 【易错思路引导】奇数是不能被2整除的数，即1、3、5、7、……，相邻的两个奇数之间的相差2。即可以设较小的奇数为x，那么较大的奇数（x＋2），则这两个数的和是x＋x＋2，即可列出方程求得这两个奇数。 【规范解答】解：设较小的奇数为x，则另一个奇数为（x＋2）。 x＋x＋2＝96 2x＝94 x＝94÷2 x＝47 47＋2＝49 答：这两个数分别是47和49。 17．（23-24五年级下·湖北武汉·期中）学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。辅导员一共拿来了48件上衣和72条长裤，如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，最多可以有多少名学生同时参赛？ 【答案】24名 【易错思路引导】本题考查的是求最大公因数应用题，掌握求最大公因数的方法是解答关键。此题需要求出48和72的最大公因数，即可解答。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 48和72的最大公因数是2×2×2×3＝24。 答：最多可以有24名学生同时参赛。 18．（25-26五年级上·辽宁大连·期末）会展中心举办展会，会场占地是一个长42米、宽36米的长方形场地。 (1)工作人员给会场铺设地毯，若使用相同的正方形地毯（边长是整米数，不裁剪），铺满这个长方形会场，有多少种不同的铺法，每种方法分别用多少块地毯？ (2)请你帮工作人员算一算，如果选用下面两种地毯块，哪种更省钱？ 【答案】(1)4种；边长1米：1512块；边长2米：378块；边长3米：168块；边长6米：42块 (2)边长6分米 【易错思路引导】（1）找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。分别求出42和36的因数，再找出42和36的公因数，每种公因数对应一种铺法；计算每种边长下沿长和宽方向的地毯数量，相乘得到总块数。 （2）根据图可知，分别计算两种地毯沿会场长和宽方向铺设块数，相乘得到总块数，再用总块数×每块价格得到总费用，再比较两种地毯的总费用，费用低的更省钱，注意单位名数的统一。 【规范解答】（1）42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42。 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 42和36的公因数有：1，2，3，6，共有4种铺法。 边长1米时：块数：42×36＝1512（块） 边长2米时：块数： （42÷2）×（36÷2） ＝21×18 ＝378（块） 边长3米时： （42÷3）×（36÷3） ＝14×12 ＝168（块） 边长是6米时： （42÷6）×（36÷6） ＝7×6 ＝42（块） 答：有4种不同的铺法，边长1米用1512块，边长2米用378块，边长3米用168块，边长6米用42块。 （2）42米＝420分米；36米＝360分米。 边长2分米地毯： （420÷2）×（360÷2）×4 ＝210×180×4 ＝37800×4 ＝151200（元） 边长6分米的地毯： （420÷6）×（360÷6）×29 ＝70×60×29 ＝4200×29 ＝121800（元） 151200＞121800，边长6分米的地毯更省钱。 答：边长6分米的地毯更省钱。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 【答案】57个 【易错思路引导】由题可知，4个4个拿多1个，即苹果数除以4余1；5个5个拿多2个，即除以5余2；6个6个拿多3个，即除以6余3。观察可知，若苹果数增加3个，则分别能被4、5、6整除，即苹果数是4、5、6的公倍数减3。据此解答。 【规范解答】  4的倍数有：4，16，20，24，28，32，36，40，44，48，60，64 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 4，5，6的最小公倍数是60。 （个） 答：这一箱苹果至少有57个。 20．（24-25五年级下·江苏徐州·期末）为了筹备艺术节活动，手工社团购买了一批长40厘米，宽24厘米的长方形卡纸（如图）。 （1）如果裁剪成同样大小的正方形卡片，且没有剩余。正方形卡片的边长最长是多少厘米？能裁剪成多少张这样的正方形卡片？ （2）如果用这种长方形卡纸拼一个稍大的正方形造型（如图），至少需要多少张这样的长方形卡纸？ 【答案】（1）8厘米；15张 （2）15张 【易错思路引导】（1）要裁剪成同样大小且无剩余的正方形卡片，正方形的边长应是40和24的最大公因数。利用分解质因数法计算，对40和24分解质因数：40＝2×2×2×5，24＝2×2×2×3。所以40和24的最大公因数是2×2×2＝8，即正方形卡片的边长最长是8厘米。长方形卡纸的长边可以剪40÷8＝5（张），宽边可以剪24÷8＝3（张）。总共能裁剪的数量是5×3＝15（张）。 （2）要拼一个稍大的正方形，正方形的边长应是40和24的最小公倍数。利用分解质因数法计算，40＝2×2×2×5，24＝2×2×2×3，所以40和24的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。则大正方形的边长为120厘米。长需要120÷40＝3（张），宽需要120÷24＝5（张）。总共需要3×5＝15（张）。 【规范解答】（1）40＝2×2×2×5 24＝2×2×2×3 2×2×2＝8（厘米） 40÷8＝5（张） 24÷8＝3（张） 5×3＝15（张） 答：正方形卡片的边长最长是8厘米，能裁剪成15张这样的正方形卡片。 （2）40＝2×2×2×5 24＝2×2×2×3 2×2×2×3×5＝120（厘米） 120÷40＝3（张） 120÷24＝5（张） 3×5＝15（张） 答：至少需要15张这样的长方形卡纸。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $