第六单元 三角形、平行四边形和梯形（期末复习讲义-培优版）知识梳理+12个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共71题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年苏教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第六单元 三角形、平行四边形和梯形『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+12个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共71题） 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 三角形的概念与表示 4 知识点三 三角形的高 4 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 5 知识点五 三角形三边关系定理 5 知识点六 三角形的分类 5 知识点七 三角形和多边形的内角和 5 知识点八 认识平行四边形 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 三角形的高及画法 7 高频考点二 三角形三边关系 8 高频考点三 三角形的内角和 8 高频考点四 三角形的分类 9 高频考点五 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 10 高频考点六 画三角形 10 高频考点七 平行四边形的不稳定性及应用 11 高频考点八 平行四边形的高及画法 12 高频考点九 画平行四边形 13 高频考点十 梯形的高及画法 14 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 14 高频考点十二 画梯形 15 奥数拓展 拔尖冲刺 17 奥数拓展一 三角形三边关系 17 奥数拓展二 三角形的内角和 18 奥数拓展三 三角形的分类 19 奥数拓展四 平行四边形的高及画法 20 奥数拓展五 梯形的高及画法 20 优选真题 实战演练 21 【基础夯实 知识巩固】 21 【拓展提高 能力拔尖】 23 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八 认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九 认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十 平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 高频考点一 三角形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北廊坊·期末）按要求作图（每个小方格的边长为1cm）。 （1）图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 （2）画出图形②向右平移5格后的图形。 （3）在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）按要求画一画。 （1）“丙”字的甲骨文中是一个轴对称图形。请在图1中，根据对称轴补全这个轴对称图形。 （2）在图2中，画出三角形指定底边上的高。把这个三角形先向右平移6格，再向上平移2格，画出平移后的图形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·四川德阳·期末）按要求做一做。（每个小正方形的边长是1cm） （1）画出A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。 高频考点二 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·山东青岛·期末）一个三角形两条边的长分别是8cm和3cm，第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）有长度分别为6厘米、11厘米的两根小棒，要想围成一个三角形，第三根小棒的长度可以是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．17厘米 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）如下图，把一根12cm长的绳子剪成三段，围成一个三角形。如果第一刀剪在M处，那么第二刀剪在（    ）处，剪成的三段绳子一定能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 高频考点三 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·重庆长寿·期末）如图，将一个等腰三角形学具的三条边紧贴在直尺边沿，从0刻度开始转一圈，则底边的长是( )厘米；如果这个等腰三角形的顶角是40°，那么它的一个底角是( )度。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北唐山·期末）一个等腰三角形，顶角是86°，其中一个底角是（    ）。 A．47° B．86° C．94° 高频考点四 三角形的分类 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·重庆长寿·期末）以线段AB为三角形的一条直角边，画一个等腰直角三角形ABC，并将三角形ABC向右平移6格。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋城·期末）笑笑制作了一个等腰三角形的警示牌（如图），提醒大家不要践踏草坪。已知这个警示牌的一个底角是40°，那么它的顶角是( )°；按角分，这个三角形是( )三角形。 高频考点五 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西大同·期末）下面每个小方格都表示边长1厘米的正方形。 （1）画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （2）在方格纸上画一个底4厘米，高3厘米的等腰三角形，并画出它的对称轴。 （3）梯形ABCD，如果点A、B分别用数对（10，4）、（13，4）表示，则D点可以用数对（    ）表示。如果将梯形ABCD向右平移3格后，则点D可以用数对（    ）表示。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西大同·期末）一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，王丽说“它的第三条边可能是5厘米，也可能是11厘米。”她的说法是( )的。（填“正确”或“错误”）理由是( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西临汾·期末）已知一个等腰三角形，其中一个角是40°，关于这个等腰三角形，下面说法正确的是（    ）。 A．它的底角一定是40° B．若将它对折剪开得到两个三角形，这两个三角形可能是等边三角形 C．这个等腰三角形的三个角可能是40°、40°、100° 高频考点六 画三角形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南驻马店·期末）在下面的方格图中，每个小正方形的边长是1厘米，请画一个两条边都是3厘米，它们的夹角是90°的直角三角形，并画出它向右平移6格后的图形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北唐山·期末）按要求在方格中画图。（每小格的边长表示1cm） （1）以线段AB为底，画一个高4厘米的三角形。 （2）以线段CD为底，画一个高3厘米的平行四边形。 （3）以线段EF为上底，画一个高4厘米的梯形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁大连·期末）在下面点子图中按要求画图。   高频考点七 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽8厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能是（    ）厘米。 A．7 B．8 C．9 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·吉林·期末）活动晾衣架、伸缩门是利用了平行四边形________的特点设计的。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（23-24四年级下·河北唐山·期末）木匠师傅做了一个长方形框架（如图），发现容易变形，打算进行加固。最好的一种加固方案是（    ）。 A． B． C． 高频考点八 平行四边形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建莆田·期末）请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北唐山·期末）按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建三明·期末）按要求在点子图上作图。（相邻两点之间的距离表示1cm） (1)画一个底是4cm、高是3cm的平行四边形，并作出它的高。 (2)画一个上底是5cm，下底是6cm，高是4cm的梯形，并画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 高频考点九 画平行四边形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北唐山·期末）学校要建一个科技活动基地，形状是平行四边形。 （1）在下面方格纸上，找到点D，画出平行四边形ABCD。 （2）若从点M出发，铺一条到AB最短的路。请在图上画出这条路。 （3）请画出平行四边形ABCD的高，高是（    ）cm。       【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·天津南开·期末）动手画。 （1）下面方格中每个小正方形的边长为1cm，请以给出的线段为底画一个高为3cm的平行四边形，并画出一条高。 （2）在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。    【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·浙江温州·期末）画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 高频考点十 梯形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建莆田·期末）已知的线段为梯形的下底，将梯形补画完整，并画出底边上的高。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北廊坊·期末）在方格纸上按要求画图形。（温馨提示：不用尺子画图要减分的哦） （1）如图，以AB、BC为梯形的两条边，找到点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高，标出垂足E。 （3）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分为一个平行四边形和一个三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）按要求完成下面各题。 (1)在图中把平行四边形画完整。 (2)画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 (3)画出这个梯形的高。 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·浙江杭州·期末）下面说法正确的有（    ）句。 ①两个完全相同的梯形一定可以拼成一个平行四边形。 ②在同一平面内，直线a和直线b分别垂直于直线c，那么直线a和直线b的关系是互相平行。 ③不存在等腰直角梯形。 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）在下面方格中，按要求画图。 （1）在下面方格中画出一个直角梯形和一个等腰梯形。 （2）标出直角梯形的上底、下底和高。 （3）画一条线段，把等腰梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·北京丰台·期末）在下面的方格中画图形（每个小方格表示边长1厘米的正方形）。 ①画一个底和高都是3厘米的平行四边形。 ②连接图中的四个点，构成一个等腰梯形。 高频考点十二 画梯形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁盘锦·期末）在下面的格子图上画一个面积为36平方厘米的正方形；画一个上底是4厘米，下底是8厘米，高是7厘米的直角梯形。（每个小方格表示边长是1厘米的正方形） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）按要求画图。 （1）以图中的两条线段作为平行四边形的两条边，在方格图中补全这个平行四边形。 （2）在平行四边形内画一条线，将它分成2个完全一样的梯形。 （3）先画一个梯形，再在梯形中画一条线段，将它分成一个平行四边形和一个三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西西安·期末）按要求画图。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画出图形①的所有对称轴。 （2）画出将三角形绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出将三角形先向左平移5格，再向下平移3格后的图形。 （4）画一个底是2厘米，高是4厘米的平行四边形。 （5）画一个高是5厘米的等腰梯形。 奥数拓展一 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·课后作业）三角形有两条边的长都是4cm，那么第三条边的长一定大于4cm。( )（判断对错） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 奥数拓展二 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图，被信封遮住的三角形是什么三角形。（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰三角形 E．前面几个答案都不对 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开，就可以得到一个等腰三角形。 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少度。 奥数拓展三 三角形的分类 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级·全国·随堂练习）按要求在下面的三角形中画一条线段，把下面三角形分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级·全国·随堂练习）如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）一个三角形最小的内角是（    ）°时，这个三角形一定是锐角三角形。 A．35 B．45 C．46 奥数拓展四 平行四边形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·江苏无锡·期末）把一张长16厘米、宽8厘米的长方形纸对折两次后展开（如图所示），以展开图上10个点为顶点，在长方形内，画一个高是8厘米的最大平行四边形，底是( )厘米；画一个高是8厘米的最小等腰梯形，上底与下底的和是( )厘米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级上·山东烟台·期中）（1）画一画：以下面左边竖线为三角形的底边，画一个等腰三角形，并画出底边上的高。 （2）变一变：把下面右边的图形变成一个平行四边形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个平行四边形（长方形除外）相邻两边的长度分别是6厘米、4厘米，那么6厘米这条边上的高可能是（    ）厘米。 A．6 B．5 C．4 D．3 奥数拓展五 梯形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·甘肃兰州·期末）按要求作图。 下图中，，请利用这组平行线画一个等腰梯形，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高。（方法提示：①可以先画出等腰梯形的对称轴；②也可以用其他你喜欢的方法。） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，这个梯形的高是( )厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图，梯形的上底和腰相等，下底长度是上底的2倍。请把梯形分成大小相等、形状相同的4部分。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·河南新乡·期末）红星路小学在农耕园里开辟了两块花圃（如图），总务处张老师沿着每块花圃的一周围上栅栏。下面说法中，（    ）是正确的。 A．两个花圃用的栅栏同样长 B．长方形花圃用的栅栏长 C．平行四边形花圃用的栅栏长 2．（25-26四年级上·河北廊坊·期末）下面这些实际生活中的场景，没有利用平行四边形容易变形的特点的是（    ）。 A．B． C． D． 3．（25-26四年级上·福建福州·期末）根据以下四位同学观察一个图形的描述，可以确定这个图形是（    ）。 甲：它有两组对边互相平行。 乙：它相对的角都是相等的。 丙：用铁丝围这个图形，沿着其中一个顶点展开后是下面这样一条线段。 丁：它不是一个轴对称图形。 A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．长方形 4．（25-26四年级上·河北邢台·期末）图形之间通过点的运动是可以相互转换的，如图，如果点沿着梯形的下底向点移动最后重合，在这个过程中，梯形会先变成_____形，再变成梯形，最后变成_____形。 5．（25-26四年级上·甘肃甘南·期末）梯形的4个角的度数和是( )度。 6．（25-26四年级上·河北邢台·期末）如图，线段BE与线段______互相平行，点E到线段AC的距离是线段______的长。梯形BCDE的高是线段______。 7．（14-15四年级上·全国·课后作业）有一组对边平行的四边形叫梯形。( )（判断对错） 8．（25-26四年级上·湖南衡阳·期末）一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( )（判断对错） 9．（25-26四年级上·福建龙岩·期末）如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 10．（24-25四年级上·青海果洛·阶段检测）画一画，填一填。 （1）把点子图中的图形补充成一个完整的平行四边形，并画出BC底边上的一条高。 （2）如果每相邻两点的距离是2厘米，那么平行四边形BC边上的高是（    ）厘米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·甘肃武威·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．一组对边相等另一组对边平行的四边形一定是平行四边形。 B．条形统计图能清楚地表示出数量的多少。 C．直线、线段、射线都可以量出它们的长度。 D．一个整数省略万位后面的尾数约等于10万，这个数最大是99999。 2．（25-26四年级上·浙江宁波·期末）两组对边分别平行的四边形，四个角都相等，相邻两边长度不相等，下面哪个图形同时符合前面三个条件（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．正方形 3．（25-26四年级上·福建莆田·期末）如图所示，一个四边形被遮挡住了一部分，露出的部分是一个平行四边形。 我认为奇奇说得( )（填“对”或“不对”），理由是：_________。 4．（25-26四年级上·新疆阿克苏·期末）在一张梯形纸上剪一刀，分成两个图形。如果其中一个是平行四边形，那么另一个图形可能是( )形，也可能是( )形。 5．（24-25四年级下·河南新乡·期末）一个梯形的下底是上底的4倍，如果将这个梯形的下底缩短12厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 6．（25-26四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平行四边形是特殊的梯形，具有容易变形的特性。( )（判断对错） （判断对错） 8．（25-26四年级上·山东烟台·期末）成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是( )度，下面是成成利用所学知识研究五边形内角和的三种方法，你能用算式表达出成成的研究思路吗？ ______________       ______________       ______________ 9．将一根24厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。 （1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。 （2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线分一分（必要时可用尺量一下）。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或列表等。） 10．①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第六单元 三角形、平行四边形和梯形『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+12个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共71题） 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 三角形的概念与表示 4 知识点三 三角形的高 4 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 5 知识点五 三角形三边关系定理 5 知识点六 三角形的分类 5 知识点七 三角形和多边形的内角和 5 知识点八 认识平行四边形 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 三角形的高及画法 7 高频考点二 三角形三边关系 9 高频考点三 三角形的内角和 10 高频考点四 三角形的分类 12 高频考点五 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 14 高频考点六 画三角形 16 高频考点七 平行四边形的不稳定性及应用 18 高频考点八 平行四边形的高及画法 19 高频考点九 画平行四边形 22 高频考点十 梯形的高及画法 24 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 27 高频考点十二 画梯形 29 奥数拓展 拔尖冲刺 32 奥数拓展一 三角形三边关系 32 奥数拓展二 三角形的内角和 34 奥数拓展三 三角形的分类 38 奥数拓展四 平行四边形的高及画法 40 奥数拓展五 梯形的高及画法 42 优选真题 实战演练 44 【基础夯实 知识巩固】 44 【拓展提高 能力拔尖】 49 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八 认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九 认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十 平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 高频考点一 三角形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北廊坊·期末）按要求作图（每个小方格的边长为1cm）。 （1）图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 （2）画出图形②向右平移5格后的图形。 （3）在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 【答案】图见详解 【思路引导】（1）沿一条直线对折后两部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形。把图形补全，使它成为一个轴对称图形，需要先数格子，在对称轴的另一侧找到对应的顶点，依次连接这些点； （2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点；确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连接对应点； （3）在AB所在直线的上方，找一条与AB平行且距离为4格（4cm）的直线，在该直线上任取一点作为三角形的顶点，再连接点A和点B，构成三角形；作三角形的高：从三角形底边所对的顶点向它的对边作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底；据此作图。 【规范解答】画图如下： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）按要求画一画。 （1）“丙”字的甲骨文中是一个轴对称图形。请在图1中，根据对称轴补全这个轴对称图形。 （2）在图2中，画出三角形指定底边上的高。把这个三角形先向右平移6格，再向上平移2格，画出平移后的图形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形； （2）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。 【规范解答】（1）（2）如图： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·四川德阳·期末）按要求做一做。（每个小正方形的边长是1cm） （1）画出A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。 【答案】 （1）（2）见详解 【思路引导】（1）画三角形的高：从三角形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做三角形的底。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点，据此作图。 【规范解答】如图所示 【考点剖析】熟练掌握画高的方法，以及如何画出轴对称图形是本题的解题关键。 高频考点二 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·山东青岛·期末）一个三角形两条边的长分别是8cm和3cm，第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 10 6 【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【规范解答】8＋3＝11（cm） 8－3＝5（cm） 5cm＜第三条边＜11cm （cm） （cm） 所以一个三角形两条边的长分别是8cm和3cm，第三条边最长是10cm，最短是6cm。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）有长度分别为6厘米、11厘米的两根小棒，要想围成一个三角形，第三根小棒的长度可以是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．17厘米 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和。已知两边为6厘米和11厘米，第三边应满足：11−6 ＜ 第三边 ＜ 11＋6，即5厘米 ＜ 第三边 ＜ 17厘米。 【规范解答】根据分析，第三根小棒的长度应该大于5厘米，小于17厘米。 A．5厘米＝5厘米，不符合要求； B．5厘米 ＜ 9厘米 ＜ 17厘米，符合要求； C．17厘米＝17厘米，不符合要求。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）如下图，把一根12cm长的绳子剪成三段，围成一个三角形。如果第一刀剪在M处，那么第二刀剪在（    ）处，剪成的三段绳子一定能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】根据题意，要使三段绳子能围成三角形，必须满足任意两段之和大于第三段。把一根12厘米长的绳子剪成三段，围成一个三角形。题图中“M”不是整根绳子的正中点，而当第一刀剪在M处后，只有再在标号③处剪，所得的三段长度才都符合“两边之和大于第三边”的条件，从而一定能够围成三角形。选择正确的答案即可。 【规范解答】根据分析可知： A．如果第二刀剪在①处，则两边之和是M往左的绳子的长度，小于第三边，因此不能围成三角形。 B．如果第二刀剪在②处，则两边之和是M往左的绳子的长度，小于第三边，因此不能围成三角形。 C．如果第二刀剪在③处，则两边之和是③往左的绳子的长度，大于第三边；或者两边之和是M往右的绳子的长度，也大于第三边；因此能围成三角形。 D．如果第二刀剪在④处，M往左的绳子和④往右的绳子长度之和，等于中间的绳子长度，不能围成三角形。 故答案为：C 高频考点三 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·重庆长寿·期末）如图，将一个等腰三角形学具的三条边紧贴在直尺边沿，从0刻度开始转一圈，则底边的长是( )厘米；如果这个等腰三角形的顶角是40°，那么它的一个底角是( )度。 【答案】 2 70 【思路引导】这道题要分两步计算，先看等腰三角形的边长：从直尺刻度能看出腰的长对应5到8厘米，长度是3厘米，由于从0开始，到8厘米位置，说明周长是8厘米，底边用周长减2条腰的长算出底边长度是2厘米；再算底角度数，依据等腰三角形“内角和是180°、两个底角相等”的性质，用180°减去顶角40°，再除以2，就能得出一个底角是70°。 【规范解答】先算腰长：85＝3（厘米） 再算周长（从直尺0到8厘米）：80＝8（厘米） 底边的长：83×2＝86＝2（厘米） 一个底角的度数：  （180°40°）÷2＝140°÷2＝70° 底边的长是2厘米；它的一个底角是70度。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 【答案】 40 直角 【思路引导】三角形的内角和是180°，等腰三角形的特点是两个底角相等，用180°减100°，即可求出两个底角的和是80°，再除以2即可求出底角的度数是40°。若把这个等腰三角形对折，将顶角100°平分成两个50°的角，再根据三角形内角和，用180°减40°再减50°，即可求出三角形的第三个角，再看这个三角形中最大的角属于什么角，这个三角形就属于什么三角形，因为被分成的两个三角形完全一样，所以其中一个属于什么三角形，另一个也属于什么三角形。 【规范解答】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 100°÷2＝50° 180°－40°－50° ＝140°－50° ＝90° 一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是40°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是直角三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北唐山·期末）一个等腰三角形，顶角是86°，其中一个底角是（    ）。 A．47° B．86° C．94° 【答案】A 【思路引导】三角形内角和是180°，等腰三角形两个底角相等，用180°减去顶角就是两个底角之和，然后再除以2即为一个底角的度数。 【规范解答】180°－86°＝94° 94°÷2＝47° 一个等腰三角形，顶角是86°，其中一个底角是47°。 故答案为：A 高频考点四 三角形的分类 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·重庆长寿·期末）以线段AB为三角形的一条直角边，画一个等腰直角三角形ABC，并将三角形ABC向右平移6格。 【答案】见详解 【思路引导】两腰相等并且有一个角是直角的三角形叫等腰直角三角形。所以先过点A或者点B，画一条与AB垂直的线。然后以点A或者点B为端点，截取与AB同样长的线段，线段另一个点为点C。这是三角形的另一条直角边。最后连接BC或AC，据此画出三角形ABC。 作平移后的图形步骤：找点（找出构成图形的关键点）；定方向、距离（确定平移方向和平移距离）；画线（过关键点沿平移方向画出平行线）；定点（由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置）；连点（连接对应点）。 【规范解答】如图： 等腰直角三角形ABC画法不唯一。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 【答案】 67 等腰 锐角 【思路引导】根根据题意，三角形的内角和是180°，用180°减去67°减去46°就是撕去的那个角的度数； 三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； 三角形按边分类：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，等腰三角形的两个底角也是相等的。三条边都相等的三角形叫等边三角形，据此判断。 【规范解答】180°－67°－46° ＝113°－46° ＝67° 一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是67度。 因为67°、67°、46°都是锐角，67°＝67°，所以原来这块纸片的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋城·期末）笑笑制作了一个等腰三角形的警示牌（如图），提醒大家不要践踏草坪。已知这个警示牌的一个底角是40°，那么它的顶角是( )°；按角分，这个三角形是( )三角形。 【答案】 100 钝角 【思路引导】根据题意，明确三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，已知其中一个底角为40°，另一个底角也是40°，用180°减去两个40°，就是顶角的度数；三角形按角分类： 三角形按角分类分为：锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 100°＞90° 笑笑制作了一个等腰三角形的警示牌（如图），提醒大家不要践踏草坪。已知这个警示牌的一个底角是40°，那么它的顶角是100°；按角分，这个三角形是钝角三角形。 高频考点五 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西大同·期末）下面每个小方格都表示边长1厘米的正方形。 （1）画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （2）在方格纸上画一个底4厘米，高3厘米的等腰三角形，并画出它的对称轴。 （3）梯形ABCD，如果点A、B分别用数对（10，4）、（13，4）表示，则D点可以用数对（    ）表示。如果将梯形ABCD向右平移3格后，则点D可以用数对（    ）表示。 【答案】（1）（2）见详解 （3）（11，6）；（14，6） 【思路引导】（1）三角形的一个顶点绕O逆时针转90°到O的正下方，另一个顶点逆时针转90°转到O的左下方，连接新点得到旋转后图形。 （2）画等腰三角形：画底边4厘米（占4格），取中点向上3格画顶点，连接两腰，对称轴是过顶点和底中点的直线。 （3）D在A（10，4）右边1格、上面2格，所以是（11，6）；向右平移3格后，列数＋3，行数不变，变为（14，6）。 【规范解答】如图： 梯形ABCD，如果点A、B分别用数对（10，4）、（13，4）表示，则D点可以用数对（11，6）表示。如果将梯形ABCD向右平移3格后，则点D可以用数对（14，6）表示。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西大同·期末）一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，王丽说“它的第三条边可能是5厘米，也可能是11厘米。”她的说法是( )的。（填“正确”或“错误”）理由是( )。 【答案】 错误 当第三条边是5厘米时，5＋5＜11，无法构成三角形（说法不唯一） 【思路引导】要判断第三条边能不能是5厘米或11厘米，得记“三角形两边之和大于第三边”的规则。先看若第三条边是5厘米：两条短边5＋5＝10厘米，10比11小，不满足规则；再看若第三条边是11厘米：5＋11＝16厘米（大于11），11＋11＝22厘米（大于5），满足规则。所以第三条边只能是11厘米，王丽说法错。 【规范解答】假设第三条边是5厘米：检查三角形三边关系，两条较短边之和为5＋5＝10（厘米），10厘米＜11厘米，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，所以第三条边不能是5厘米。 假设第三条边是11厘米：检查三边关系：5＋11＝16（厘米），16厘米＞11厘米；11＋11＝22（厘米），22厘米＞5厘米，满足“三角形任意两边之和大于第三边”，所以第三条边只能是11厘米。 综上，王丽的说法是错误的。理由是：当第三条边是5厘米时，5＋5＜11，无法构成三角形，所以第三条边只能是11厘米，不能是5厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西临汾·期末）已知一个等腰三角形，其中一个角是40°，关于这个等腰三角形，下面说法正确的是（    ）。 A．它的底角一定是40° B．若将它对折剪开得到两个三角形，这两个三角形可能是等边三角形 C．这个等腰三角形的三个角可能是40°、40°、100° 【答案】C 【思路引导】根据题意，等腰三角形有两个相等的角，已知一个角为40°，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若40°为顶角，则底角为（180°－40°）÷2＝140°÷2＝70°。若两个底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝180°－80°＝100°。以此选择即可。 【规范解答】根据分析可知： A．它的底角不一定是40°。故此选项错误。 B．若将它对折剪开得到两个三角形，这两个三角形不可能是等边三角形。故此选项错误。 C．这个等腰三角形的三个角可能是40°、40°、100°。故此选项正确。 故答案为：C 高频考点六 画三角形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南驻马店·期末）在下面的方格图中，每个小正方形的边长是1厘米，请画一个两条边都是3厘米，它们的夹角是90°的直角三角形，并画出它向右平移6格后的图形。 【答案】见详解 【思路引导】以一个点为顶点，沿垂直方向与水平方向画两条边长是3厘米的线段（占3个格子的边长），使它们的夹角是90°，再把第三条边连接起来即为直角三角形； 作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。 【规范解答】如图： （答案不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北唐山·期末）按要求在方格中画图。（每小格的边长表示1cm） （1）以线段AB为底，画一个高4厘米的三角形。 （2）以线段CD为底，画一个高3厘米的平行四边形。 （3）以线段EF为上底，画一个高4厘米的梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）因为三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。所以从AB上方（或下方）的某一点，向AB作一条垂直于AB的线段，长度为4厘米（即4个小格的长度）。连接这个点与A、B两点，就得到了以AB为底，高4厘米的三角形。（答案不唯一） （2）平行四边形的对边平行且相等，高是从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段就是平行四边形的高。从CD上方（或下方）的某一点，向CD作一条垂直于CD的线段，长度为3厘米（3个小格的长度）。过这条垂线段的另一个端点，作CD的平行线段，长度与CD相等，然后连接各点，就得到了以CD为底，高3厘米的平行四边形。（答案不唯一） （3）梯形是只有一组对边平行的四边形，高是两底之间的距离。从EF下方的某一点，向EF作一条垂直于EF的线段，长度为4厘米（4个小格的长度）。过这条垂线段的另一个端点，画一条与EF平行的线段作为下底，下底的长度可以根据需要确定（只要与EF平行且不相等即可），然后连接各点，就得到了以EF为上底，高4厘米的梯形。（答案不唯一） 【规范解答】 （答案不唯一） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁大连·期末）在下面点子图中按要求画图。   【答案】见详解 【思路引导】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。平行四边形是两组对边平行且相等的四边形。梯形是只有一组对边平行的四边形。等腰直角三角形的两条腰相等，有一个直角。据此画图即可。 【规范解答】据分析作图如下： （画法不唯一） 高频考点七 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽8厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能是（    ）厘米。 A．7 B．8 C．9 【答案】A 【思路引导】当长方形被拉成平行四边形时，底的长度不变（仍为原长方形的长12厘米），因为拉伸后框架倾斜，高是从底边对应的顶点向底边作垂线，这个高一定小于原来长方形的另一条边（斜边大于直角边），长度会缩短，所以平行四边形的高会小于原长方形的宽（8厘米）。 【规范解答】A．7厘米＜8厘米，符合。 B．8厘米＝8厘米，不符合。 C．9厘米＞8厘米，不符合。 平行四边形框架的高可能是7厘米。 故答案为：A 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·吉林·期末）活动晾衣架、伸缩门是利用了平行四边形________的特点设计的。 【答案】不稳定性 【思路引导】平行四边形的不稳定性是指当四边形的边长固定时，其形状和大小不能完全确定，因为平行四边形的夹角可以改变，从而形成无数个边长相同但夹角不同的平行四边形，‌所以受力容易变形。活动晾衣架和伸缩门都需要能够伸缩和变形，而平行四边形具有不稳定的特性，即容易变形但各边长度保持不变，因此利用了这一特点来实现伸缩功能。 【规范解答】活动晾衣架、伸缩门是利用了平行四边形不稳定性的特点设计的。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（23-24四年级下·河北唐山·期末）木匠师傅做了一个长方形框架（如图），发现容易变形，打算进行加固。最好的一种加固方案是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】沿着长方形相对的两个顶点加一根木条，形成两个三角形，可利用三角形的稳定性加固长方形的框架，据此解答。 【规范解答】A．将长方形框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； B．将长方形框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； C．将长方形框架分成了两个三角形，三角形具有稳定性，符合题意。 故答案为：C 高频考点八 平行四边形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建莆田·期末）请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）过一条边的另一个端点作与另一条长度相等的平行线段，再把这两条平行线段的另一个端点连接起来即可得到一个平行四边形，再从平行四边形的一个端点作对边的垂线段，即可得到平行四边形的一条高； （3）结合等腰梯形两腰相等的特点，让下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等，再同时两腰长相等。 【规范解答】（1）根据量角器得使用方法，量出角度为110°，如图： （2）结合平行四边形特点，两组对边分别平行且相等，分别作出与这两条线段长度相等的平行线段，如图： （3）下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形，两腰长相等，如图： （画法不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北唐山·期末）按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【答案】见详解 【思路引导】根据平行四边形和梯形的特点画图。 （1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，找到线段EF（并数出长度），在网格中任意找一点G，从G点出发作一条与EF平行且长度相等的线段GH，连接E到G，F到H，这样四边形EFHG就是平行四边形。（答案不唯一） （2）高是指从平行四边形的一条边上的任意一点，向它的对边作垂线，这点和垂足之间的线段即为高。以画出的平行四边形EFHG的一条边，选择EF为底边，在它的对边GH上任意找一点，向底边EF作一条垂线，标出直角符号，即为平行四边形的高。 （3）有一个角是直角，并且只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是直角梯形。观察图中给出三个点A、B、C，需要构造出一个直角，所以从A点出发向上作一条垂直于AB的线段AD，连接D和C，形成四边形ABCD，并且AB和DC是平行的，并且AD垂直于AB，所以ABCD是一个直角梯形。 【规范解答】（1）（2）（3）画图如下： （答案不唯一） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建三明·期末）按要求在点子图上作图。（相邻两点之间的距离表示1cm） (1)画一个底是4cm、高是3cm的平行四边形，并作出它的高。 (2)画一个上底是5cm，下底是6cm，高是4cm的梯形，并画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）根据平行四边形的特征，先画AB＝4厘米，再过这一线段的C点作AB垂直线段CD＝3厘米，过点C作AB的平行线段CE＝4厘米，再分别连接AC、BE，四边形ABEC就是所画的底为4厘米，高为3厘米的平行四边形。 （2）根据梯形的特征，先画线段AB∥线段CD且线段AB＝6厘米，线段CD＝5厘米，高＝4厘米，再分别连接AC、BD，四边形ABCD就是梯形，过点C作线段BD的平行线，交线段AB在点K，就把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】（1）作图如下： （2）作图如下： 高频考点九 画平行四边形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北唐山·期末）学校要建一个科技活动基地，形状是平行四边形。 （1）在下面方格纸上，找到点D，画出平行四边形ABCD。 （2）若从点M出发，铺一条到AB最短的路。请在图上画出这条路。 （3）请画出平行四边形ABCD的高，高是（    ）cm。       【答案】（1）（2）（3）作图见详解；4 【思路引导】（1）平行四边形的特点是两组对边平行且相等，我们可以根据这个性质确定点D的位置，进而画出平行四边形ABCD。 （2）从直线外一点到这条直线的所有连线里，垂线段的长度是最短的。所以我们从点M向AB作一条垂线段，这条垂线段就是从M出发到AB的最短路径。 （3）平行四边形的高是从一条边上的一点向对边作的垂线段的长度。如果我们以AD为底，对应的高就是垂直于AD的线段长度，结合方格纸的1厘米单位，这个高的长度为4cm。 【规范解答】（1）（2）（3） 高是4cm。（高的画法答案不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·天津南开·期末）动手画。 （1）下面方格中每个小正方形的边长为1cm，请以给出的线段为底画一个高为3cm的平行四边形，并画出一条高。 （2）在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。    【答案】见详解 【思路引导】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，高画出3格；平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高； （2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。 【规范解答】（1）、（2）如下图所示： （第（2）小题的画法不唯一） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·浙江温州·期末）画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）绘制上底为4厘米、下底为6厘米的梯形：在方格纸上先确定梯形的上下两条水平线。在上边线上量取4格（表示4厘米），在下边线上量取6格（表示6厘米）。连接上下边线两侧的端点，即可得到一个梯形。 （2）绘制“高比对应的底少2厘米”的平行四边形：先在方格纸上画出一条水平线作为底边，设定长度为B格。因为高比底少2厘米，所以高＝B－2（格）。在底边上方竖直向上量出（B－2）格，再画一条与底边等长（B格）且平行的线段作为顶边。将顶边与底边的左右端点用斜线相连，即可得到一个平行四边形。 【规范解答】（1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形如下： （2）5－2＝3（厘米） 在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形（底是5厘米，高是3厘米）如下： （画法不唯一） 高频考点十 梯形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·福建莆田·期末）已知的线段为梯形的下底，将梯形补画完整，并画出底边上的高。 【答案】见详解 【思路引导】梯形只有一组对边平行，梯形的上、下底之间的距离是梯形的高，据此作图即可。 【规范解答】作图如下（答案不唯一）： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北廊坊·期末）在方格纸上按要求画图形。（温馨提示：不用尺子画图要减分的哦） （1）如图，以AB、BC为梯形的两条边，找到点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高，标出垂足E。 （3）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分为一个平行四边形和一个三角形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）等腰梯形的上底与下底平行，两腰相等。由题可知，先过点C作出一条与AB平行的线，再在这条线上确定出点D，使AD与BC相等，据此作出等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高。即从点B向边CD作垂线，垂足为E，点E在CD上。 （3）取梯形的一条腰上的一个端点，作另一条腰的平行线，即可截出平行四边形，那么剩余的图形就是三角形。 【规范解答】如图所示： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）按要求完成下面各题。 (1)在图中把平行四边形画完整。 (2)画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 (3)画出这个梯形的高。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）平行四边形的两组对边平行且相等。以斜着的边上面的端点为一点，过这点画下面边的平行线。再以下面边的右边端点为一点，过这个点画斜边的平行线。两条平行线的交点就是平行四边形的一个顶点。据此画出图形。 （2）梯形只有一组对边平行。过平行四边形的一个顶点画一条线，这样就可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 （3）从梯形的上底到下底的垂直线段，就是梯形的高。把直角三角尺的一条直角边与梯形的下底重合，沿着另一条直角边画线段，让这条线段过上底，所画线段即为梯形的高，标上垂直符号。 【规范解答】（1）画法如下所示： （2）画法如下所示：（答案不唯一） （3）画法如下所示：（答案不唯一） 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·浙江杭州·期末）下面说法正确的有（    ）句。 ①两个完全相同的梯形一定可以拼成一个平行四边形。 ②在同一平面内，直线a和直线b分别垂直于直线c，那么直线a和直线b的关系是互相平行。 ③不存在等腰直角梯形。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】①将其中一个梯形翻转倒置，使它们的腰重合，上底与另一个的下底拼接，就能拼成一个平行四边形，因此说法正确。 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此说法正确。 ③等腰直角梯形就意味着上下底平行且两腰都垂直，此时是长方形，而非梯形，因此不存在等腰直角梯形。 【规范解答】由分析可得，①②③说法都正确。 因此说法正确的有3句。 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）在下面方格中，按要求画图。 （1）在下面方格中画出一个直角梯形和一个等腰梯形。 （2）标出直角梯形的上底、下底和高。 （3）画一条线段，把等腰梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；等腰梯形的两腰相等；直角梯形中存在两个直角。 （2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；高一般用虚线表示，并画上垂足符号；据此作图。 （3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。要想将梯形分成一个平行四边形和一个梯形，则过上底的一个点（两端除外），作腰的平行线即可。 【规范解答】画图如下： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·北京丰台·期末）在下面的方格中画图形（每个小方格表示边长1厘米的正方形）。 ①画一个底和高都是3厘米的平行四边形。 ②连接图中的四个点，构成一个等腰梯形。 【答案】①②见详解 【思路引导】①两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，据此画底3个小格，高为3个小格的平行四边形即可； ②两腰相等的梯形叫做等腰梯形，在平行的一组对边中，一般位置在上的一条线段为上底，位置在下的为下底，据此解题。 【规范解答】①作图如下： （画法不唯一） ②作图如下： （画法不唯一） 高频考点十二 画梯形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·辽宁盘锦·期末）在下面的格子图上画一个面积为36平方厘米的正方形；画一个上底是4厘米，下底是8厘米，高是7厘米的直角梯形。（每个小方格表示边长是1厘米的正方形） 【答案】见详解 【思路引导】根据正方形的面积＝边长×边长，可知面积为36平方厘米的正方形边长是6厘米；直角梯形的特征：只有一组对边平行，有一个角是直角；根据直角梯形的特征及题目给出的边长数据直接画图即可。 【规范解答】画图如下： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）按要求画图。 （1）以图中的两条线段作为平行四边形的两条边，在方格图中补全这个平行四边形。 （2）在平行四边形内画一条线，将它分成2个完全一样的梯形。 （3）先画一个梯形，再在梯形中画一条线段，将它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）在同一平面内，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，根据平行四边形的定义，补全这个平行四边形即可。 （2）在平行四边形中，从一条边上的任意一点（顶点除外）向对边作垂线，即可把平行四边形分成两个完全相同的梯形。方法不唯一，合理即可。 （3）只有一组对边平行的四边形叫作梯形，据此画一个梯形；过上底边上的一个顶点，作腰的平行线即可将它分成一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】画图如下： （2、3题答案不唯一） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西西安·期末）按要求画图。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画出图形①的所有对称轴。 （2）画出将三角形绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出将三角形先向左平移5格，再向下平移3格后的图形。 （4）画一个底是2厘米，高是4厘米的平行四边形。 （5）画一个高是5厘米的等腰梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。①是一个组合图形，圆有无数条对称轴，但是正方形只有4条对称轴，所以组合后，这个图形有4条对称轴。 （2）根据旋转的特征，将三角形绕O点按顺时针方向旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （3）根据平移的特征，把三角形的各顶点分别先向左平移5格，再向下平移3格，依次连接各顶点，即可得到平移后的三角形。 （4）平行四边形的对边平行且相等，从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此画图。 （5）梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。据此画图。 【规范解答】 奥数拓展一 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·课后作业）三角形有两条边的长都是4cm，那么第三条边的长一定大于4cm。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。已知两条边均为4cm，设第三条边为x cm，则需满足，即，且，即。因此x的取值范围为。当时，可构成等边三角形；当时，也可构成三角形。题干中“一定大于4cm”的说法不成立，因为第三条边的长可以小于或等于4cm。 【规范解答】在三角形中，任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度都是4cm，设第三条边的长度为x cm。根据三角形三边关系，需满足： （1） （2） 因此，x的取值范围是。 当时，三边分别为4cm、4cm、4cm，满足，可构成等边三角形。 当时，三边分别为4cm、4cm、3cm，满足，，可构成等腰三角形。 题干中“第三条边的长一定大于4cm”的说法错误，因为第三条边的长可以小于4cm（如3cm）或等于4cm。 故答案为：× 【考点剖析】掌握三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 【答案】可以在7厘米处或8厘米处或9厘米处剪一刀 【思路引导】已知条件可求出其余两条线段的长度之和即为（厘米）；找出和为8的两个非零自然数，继而得出其余两条线段的长度；接下来找出能与4厘米围成三角形的一组线段长，由此可求出答案。 【规范解答】（厘米）    ，，不能围成三角形。 ，，不能围成三角形。 能围成三角形的三段可以是4厘米、3厘米和5厘米或4厘米、4厘米和4厘米，所以可以在7厘米或8厘米或9厘米处剪一刀。 【考点剖析】本题考查的是三角形边的关系，解题的关键是明白两边之和大于第三边。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 【答案】（1）不能 （2）见详解 【思路引导】（1）观察图可知：一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，第一段是4份，第二段是2份，第三段是2份，三角形任意两边之和大于第三边，据此判断； （2）先确定剩余份数，再通过尝试不同分法，找到满足三角形三边关系的剪法即可。 【规范解答】（1）由分析可知：2＋2＝4 不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形。 （2）纸条共8份，截下第一段后剩余6份。要摆成三角形，需满足任意两边之和大于第三边。将6份分成两段，有下面几种可能： 1份和5份：1＋2＜5，不符合三角形三边关系； 2份和4份：2＋2＝4，不符合三角形三边关系； 3份和3份：2＋3＞3，符合三角形三边关系； 围成三角形的三段长度为2份、3份、3份，所以将6份从中间等分点剪开。 【考点剖析】掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 奥数拓展二 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【答案】C 【思路引导】三角形的内角和是180˚，若三角形的两个内角和等于第三个角，则第三个角为：。而这个三角形中，一个内角大于另外两个内角之和，这个角应大于90˚，是个钝角，据此解答。 【规范解答】一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 【考点剖析】解决本题的关键是灵活运用三角形的内角和，求出这个角是个钝角，再根据三角形的分类解答。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图，被信封遮住的三角形是什么三角形。（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰三角形 E．前面几个答案都不对 【答案】B 【思路引导】三角形按照角分类，可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形； 三角形按照边分类，可以分为等边三角形和等腰三角形，三角形中两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形。 三角形的内角和是180°，直角是90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角，锐角是大于0°且小于90°的角，一个三角形中，如果出现一个直角或钝角，则另外的两个角必定是锐角，不可能再出现钝角或直角。据此分析解答。 【规范解答】A．由分析可知，要三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，图中已知其中一个角是直角，所以这个三角形不是锐角三角形；选项错误； B．由分析可知，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，图中已知角为直角，所以这个三角形一定是直角三角形，选项正确； C．由分析可知，要有一个角是钝角的三角形才是钝角三角形，由于已知其中一个角是直角，根据三角形的内角和是180°可知，有一个角是直角，则剩余的角不可能再出现一个钝角，所以这个三角形不可能是钝角三角形； D．由分析可知，两条边相等的三角形才是等腰三角形，由于图中三角形没有显示完全，不能确定是否为等腰三角形，选项错误； E．根据上述分析可知，B正确，所以E错误。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形分类以及三角形内角和等知识是解决此题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开，就可以得到一个等腰三角形。 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少度。 【答案】90°；108°；132°；126°；图见详解 【思路引导】等腰三角形两条腰长度相等，两个底角相等，三角形内角和是180°，根据等腰三角形的特征和三角形内角和画出图形，并确定每个角的大小，然后确定最大角的度数即可。 【规范解答】①如图∠A＝36°，AD＝BD，CD＝BD；∠ABD＝36°； 180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108° 所以∠ADB＝108°； ∠BDC＝180°－108°＝72°； （180°－72°）÷2 ＝108°÷2 ＝54° ∠C＝∠BDC＝54° 最大角是36°＋54°＝90°； ② ∠B＝36°，BD＝AB，AD＝DC； （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° ∠BDA＝72°，∠ADC＝180°－72°＝108°； （180°－108°）÷2 ＝72°÷2 ＝36° ∠DAC＝∠C＝36°； 最大角是72°＋36°=108°； ③如图∠ABC＝36°，让∠CBD＝24°，AD＝BD，CD＝BC，∠CDB＝24°， 180°－24°×2 ＝180°－48° ＝132° ∠ABD＝∠BAD＝36°－24°＝12°； 180°－12°×2 ＝180°－24° ＝156° ∠ADB＝156°； 最大角是132°； ④如图∠B＝36°，AD＝AB＝CD，∠ADB＝36°， 180°－36°×2 ＝180°－72° ＝108° ∠BAD＝108° 180°－36°＝144° （180°－144°）÷2 ＝36°÷2 ＝18° ∠C＝∠BAC＝18°； 最大角是108°＋18°＝126° 【考点剖析】分情况讨论，36°可以为顶角也可以为底角，或者是将36°拆分成两个角，三角形内角和是180°，根据依据等腰三角形性质分析内角组合，通过分割条件推导，得出最大内角可能值。 奥数拓展三 三角形的分类 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级·全国·随堂练习）按要求在下面的三角形中画一条线段，把下面三角形分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。 【答案】见详解 【思路引导】钝角三角形是指有一个角大于90度的三角形；锐角三角形是指三个角都小于90度的三角形。在原三角形中，画一条非垂直的线段，使得一边形成一个钝角三角形，另一边形成一个锐角三角形即可。 【规范解答】（答案不唯一） 【考点剖析】通过在三角形中画一条线段，将其分成满足特定条件的两个新三角形。理解钝角三角形和锐角三角形的定义，并根据这些定义进行图形划分。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级·全国·随堂练习）如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【思路引导】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【规范解答】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【考点剖析】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）一个三角形最小的内角是（    ）°时，这个三角形一定是锐角三角形。 A．35 B．45 C．46 【答案】C 【思路引导】若一个三角形最小的内角为指定度数，可假设还有一个角也是这个度数，根据三角形的内角和180°，可以求出第三个角；根据三角形的分类可以判断这个三角形是否是锐角三角形，据此解答。 【规范解答】A.若三角形最小的内角是35°，可假设还有一个角也是35°，此时第三个角：，110°是钝角，这个三角形是钝角三角形，不符合题意，该选项错误。 B.若三角形最小的内角是45°，可假设还有一个角也是45°，此时第三个角：，90°是直角，这个三角形是直角三角形，不符合题意，该选项错误。 C.若三角形最小的内角是46°，可假设还有一个角也是46°，此时第三个角：，46°、46°和88°都是锐角，这个三角形是锐角三角形，符合题意，该选项正确。 故答案为：C 【考点剖析】此题的关键点在于三角形中可同时有2个角都是最小的内角，根据三角形的内角和，求出第三个角，据此解答。 奥数拓展四 平行四边形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·江苏无锡·期末）把一张长16厘米、宽8厘米的长方形纸对折两次后展开（如图所示），以展开图上10个点为顶点，在长方形内，画一个高是8厘米的最大平行四边形，底是( )厘米；画一个高是8厘米的最小等腰梯形，上底与下底的和是( )厘米。 【答案】 12 16 【思路引导】 如图所示，长方形的长边被平均分成4份，其中1份是16÷4＝4（厘米）。要使最大的平行四边形的高是8厘米，则平行四边形的高等于长方形的宽，平行四边形的底应为3×4＝12（厘米）。 如图所示，画出的最小的等腰梯形的上底与下底的和为长方形的长，即16厘米。 【规范解答】16÷4＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 4＋12＝16（厘米） 则画出的最大的平行四边形的高是8厘米，与它对应的底是12厘米。 画出的最小的等腰梯形的上底与下底的和是16厘米。 【考点剖析】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质。平行四边形的两组对边平行，垂足所在的边叫做底。等腰梯形的两条腰相等。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级上·山东烟台·期中）（1）画一画：以下面左边竖线为三角形的底边，画一个等腰三角形，并画出底边上的高。 （2）变一变：把下面右边的图形变成一个平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，画等腰三角形；再从底边对应的顶点引一条垂直于底边的线为垂线；根据平行四边形的定义，在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，即可画出平行四边形。 【规范解答】 【考点剖析】本题考查的是等腰三角形的定义、垂线的定义、平行四边形的定义及画法。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个平行四边形（长方形除外）相邻两边的长度分别是6厘米、4厘米，那么6厘米这条边上的高可能是（    ）厘米。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【思路引导】6cm这条边作为底边，那么4cm那条边就是斜边，过顶点向6cm的底边画高线，根据点到直线的所有线段中垂直线段最短判断。 【规范解答】 根据点到直线的所有线段中垂直线段最短，高要小于4厘米。 故答案为：D 【考点剖析】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 奥数拓展五 梯形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·甘肃兰州·期末）按要求作图。 下图中，，请利用这组平行线画一个等腰梯形，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高。（方法提示：①可以先画出等腰梯形的对称轴；②也可以用其他你喜欢的方法。） 【答案】画图见详解 【思路引导】等腰梯形的两条腰相等，一组对边平行，等腰梯形是轴对称图形；平行和垂直的性质：同一平面内，两条直线分别垂直于第三条直线，那么两条直线一定互相平行；据此画一条直线c，使a⊥c，b⊥c，垂足分别是点A、B；在直线a上找两个点C、D，点C、D分别位于直线c的两边且CA＝DA；在直线b上找两个点E、F，点E、F分别位于直线c的两边且EB＝FB，再顺次连接点C、E和D、F，可得等腰梯形CEDF，直线c就是等腰梯形CEDF的对称轴（用虚线表示）；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，据此画这个等腰梯形的高。 【规范解答】画一个等腰梯形CEFD，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高CG，如下图： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，这个梯形的高是( )厘米。 【答案】16 【思路引导】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，由此可知，12厘米相当于这个直角梯形的上底的（4－1）倍，且梯形的高等于下底，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出上底，上底的长度乘4就是下底的长度（高），据此解答。 【规范解答】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 即这个梯形的高是16厘米。 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握直角梯形的特征、正方形的特征及应用。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图，梯形的上底和腰相等，下底长度是上底的2倍。请把梯形分成大小相等、形状相同的4部分。 【答案】见详解 【思路引导】梯形的上底和腰相等，即这个梯形是等腰梯形，要将梯形分成大小相等、形状相同的4部分，因此先将下底的中点与上底的两个端点连接，分成面积相等的三个大的等边三角形，然后将每个大等边三角形三边的中点连接起来，将这个等腰梯形分成12个大小相等的等边三角形，再将这12个大小相等的等边三角形分成大小相等、形状相同的4部分即可。 【规范解答】根据分析可知：每一种颜色代表一个部分，这四个部分是四个等腰梯形。 【考点剖析】此题考查的是平面图形的分割，熟练掌握等边三角形、等腰梯形的特点是解答此题的关键。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·河南新乡·期末）红星路小学在农耕园里开辟了两块花圃（如图），总务处张老师沿着每块花圃的一周围上栅栏。下面说法中，（    ）是正确的。 A．两个花圃用的栅栏同样长 B．长方形花圃用的栅栏长 C．平行四边形花圃用的栅栏长 【答案】C 【思路引导】两个图形的周长，都包含两条相同的底边和上方被公共直线替代的边，所以周长差异只在两条侧边上。 长方形的侧边是它的长，垂直于它的宽，平行四边形的侧边是一条斜线。 观察可知平行四边形的高与长方形的长相等，从平行四边形顶点向底边作的垂线，即平行四边形的高，构成一个直角三角形。在这个直角三角形里，平行四边形的侧边是斜边，高是直角边，根据直角三角形的斜边最长，可知斜边的长度大于直角边的长度。 由此可以比较出两个图形侧边的长度关系，进而判断周长的长短关系。 【规范解答】两个花圃底和高相等，长方形对边相等，平行四边形对边也相等，但平行四边形的斜边大于高，周长包含两条斜边，长方形周长包含两条高，所以平行四边形周长更长。 2．（25-26四年级上·河北廊坊·期末）下面这些实际生活中的场景，没有利用平行四边形容易变形的特点的是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】平行四边形的不稳定性就是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。这些特性在生活中有着广泛的应用。比如伸缩衣架、小区门口的电动门等。 【规范解答】A．伸缩门利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意； B．楼梯扶手没有利用平行四边形易变形特性，形状是固定的，选项符合题意； C．晾衣架利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意； D．升降机利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意。 故答案为：B 3．（25-26四年级上·福建福州·期末）根据以下四位同学观察一个图形的描述，可以确定这个图形是（    ）。 甲：它有两组对边互相平行。 乙：它相对的角都是相等的。 丙：用铁丝围这个图形，沿着其中一个顶点展开后是下面这样一条线段。 丁：它不是一个轴对称图形。 A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．长方形 【答案】A 【思路引导】我们需要结合四位同学的描述，逐一排除不符合条件的选项，从而锁定正确图形。 甲的描述“有两组对边互相平行”，可以直接排除三角形和梯形。 乙的描述“相对的角都是相等的”，进一步确认该图形属于平行四边形类图形。 丙的描述给出了边长为2cm、4.5cm、2cm、4.5cm，说明是两组对边分别相等的四边形。 丁的描述“不是一个轴对称图形”，可以排除长方形，因为长方形是轴对称图形。 【规范解答】A.平行四边形，满足“两组对边互相平行”和“相对的角相等”的条件；沿着其中一个顶点展开后的边长2cm、4.5cm、2cm、4.5cm，符合平行四边形两组对边分别相等的特征；普通平行四边形不是轴对称图形，满足丁的描述。 B.三角形，三角形没有两组对边互相平行，不符合甲的描述，所以错误。 C.梯形：梯形只有一组对边平行，不符合甲的描述，所以错误。 D.长方形：长方形是轴对称图形，不符合丁的描述，所以错误。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查平行四边形、三角形、梯形、长方形的边、角、对称性等基本性质。通过特征排除法快速锁定答案，先从最明确的条件入手（如“两组对边互相平行”），再用其他条件缩小范围。 4．（25-26四年级上·河北邢台·期末）图形之间通过点的运动是可以相互转换的，如图，如果点沿着梯形的下底向点移动最后重合，在这个过程中，梯形会先变成_____形，再变成梯形，最后变成_____形。 【答案】 平行四边 三角 【思路引导】根据题意，当D点向C点移动至某一位置时，AD与BC平行，便形成平行四边形； 继续移动后，AD不再与BC平行，图形又恢复为梯形；最终D点与C点重合，四边形退化为三角形。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 图形之间通过点的运动是可以相互转换的，如图，如果点沿着梯形的下底向点移动最后重合，在这个过程中，梯形会先变成平行四边形，再变成梯形，最后变成三角形。 5．（25-26四年级上·甘肃甘南·期末）梯形的4个角的度数和是( )度。 【答案】360 【思路引导】根据题意，梯形是四边形的一种，所有四边形的内角和都是360度。这是因为任何四边形都可以被分割成两个三角形，而每个三角形的内角和是180度，所以两个三角形的内角和加起来就是360度。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 梯形的4个角的度数和是360度。 6．（25-26四年级上·河北邢台·期末）如图，线段BE与线段______互相平行，点E到线段AC的距离是线段______的长。梯形BCDE的高是线段______。 【答案】 CD/DC BE/EB BC/CB 【思路引导】根据题意，在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。连接点到直线的线段中，垂直线段最短。梯形 BCDE 的高即为两条平行线间的垂直段 BC 。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 如图，线段BE与线段CD互相平行，点E到线段AC的距离是线段BE的长。梯形BCDE的高是线段BC。 7．（14-15四年级上·全国·课后作业）有一组对边平行的四边形叫梯形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】梯形的定义是只有一组对边平行的四边形。题干中“有一组对边平行的四边形”可能包括另一组对边也平行的情况（如平行四边形），此时不符合梯形定义。 【规范解答】梯形是指只有一组对边平行的四边形。如果四边形有一组对边平行，但另一组对边也平行（如平行四边形、长方形或正方形），则它不是梯形。原题说法未排除这种情况，因此错误。 故答案为：× 8．（25-26四年级上·湖南衡阳·期末）一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( )（判断对错） 【答案】× 【规范解答】已知两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形，且平行四边形是中心对称图形，其对称点是两条对角线的交点，如果过这个交点，任意画一条线段与一组对边相交（交点不在顶点上），则两边分成的图形一定是相同的梯形（如图）。 【考点剖析】根据分析可知： 一个平行四边形一定能分成2个相同的梯形。原题说法错误。 故答案为：× 9．（25-26四年级上·福建龙岩·期末）如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 【答案】∠1是60°；∠2是30° 【思路引导】观察图片可知，∠1和120°组成了一个平角，平角＝180°，所以∠1＋120°＝180°，∠1用180°－120°即可求出。上一步求出∠1的度数，题目中给出∠3是直角，∠3＝90°，且∠1＋∠2＋∠3＝180°，用180°－∠3－∠1即可求出∠2的度数。 【规范解答】∠1＋120°＝180°，所以∠1＝180°－120°＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°，因为∠1＝60°，∠3＝90°，所以∠2＝180°－∠3－∠1 ∠2＝180°－90°－60°＝30° 答：∠1是60°，∠2是30°。 10．（24-25四年级上·青海果洛·阶段检测）画一画，填一填。 （1）把点子图中的图形补充成一个完整的平行四边形，并画出BC底边上的一条高。 （2）如果每相邻两点的距离是2厘米，那么平行四边形BC边上的高是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解；（2）4 【思路引导】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形的底边BC占2格，所以从点A向右水平画线段，使得这条线段上有3个点子，此时上底与下底不仅相等，且平行，再把所画线段右边的端点与点C相连，即可得到平行四边形。把直角三角尺的直角边与底边BC重合，移动三角尺，使得平行四边形右上角的顶点在三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，过这一点沿着这条直角边向线段BC画线段，即为BC底边上的一条高。 （2）由（1）中所画的图可知，这条高上共有3个点，每相邻两点的距离是2厘米，所以高是2个2厘米，即为4厘米。 【规范解答】 （1） （2）2×2＝4（厘米） 如果每相邻两点的距离是2厘米，那么平行四边形BC边上的高是4厘米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·甘肃武威·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．一组对边相等另一组对边平行的四边形一定是平行四边形。 B．条形统计图能清楚地表示出数量的多少。 C．直线、线段、射线都可以量出它们的长度。 D．一个整数省略万位后面的尾数约等于10万，这个数最大是99999。 【答案】B 【思路引导】本题考查平行四边形、统计图、线和近似数等知识。选项A中，一组对边相等另一组对边平行不一定是平行四边形，如等腰梯形；选项B正确，条形统计图用条形长度表示数量，能清楚显示多少；选项C错误，直线和射线无限长，无法量长度；选项D错误，省略万位尾数约10万的最大数是104999。 【规范解答】A．一组对边相等另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形。例如，等腰梯形有一组对边平行（上底和下底），另一组对边相等（腰），但它不是平行四边形，因为平行四边形要求两组对边都平行。此选项错误。 B．条形统计图是用条形的长短来表示数量的多少，因此能清楚地表示出数量的多少。此选项正确。 C．直线是无限延伸的，没有端点，无法量出长度；射线有一个端点，无限延伸，也无法量出长度；只有线段有两个端点，可以量出长度。因此，不是都可以量出长度。此选项错误。 D．一个整数省略万位后面的尾数约等于10万，这个数最大是104999。因为省略万位尾数时，看千位数字：千位是0、1、2、3、4时舍去尾数，万位不变；千位是5、6、7、8、9时向万位进1。约等于10万的数范围是95000到104999。104999（千位是4，舍去尾数得100000）大于99999（千位是9，进1得100000），因此最大是104999。此选项错误。 故答案为：B 2．（25-26四年级上·浙江宁波·期末）两组对边分别平行的四边形，四个角都相等，相邻两边长度不相等，下面哪个图形同时符合前面三个条件（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．正方形 【答案】C 【思路引导】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。平行四边形是由两组平行线段组成的闭合图形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。据此解答即可。 【规范解答】A．平行四边形相邻的两个角不相等，不符合条件。 B．梯形的两腰不平行，不符合条件。 C．根据长方形的特征，符合两组对边分别平行，四个角都是直角都相等，相邻两边长度不相等。 D．正方形的四条边都相等，因此相邻两边长度相等，不符合条件。 两组对边分别平行的四边形，四个角都相等，相邻两边长度不相等，长方形同时符合前面三个条件。 故答案为：C 3．（25-26四年级上·福建莆田·期末）如图所示，一个四边形被遮挡住了一部分，露出的部分是一个平行四边形。 我认为奇奇说得( )（填“对”或“不对”），理由是：_________。 【答案】 不对 见详解 【思路引导】根据由四条边组成的封闭图形是四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。据此可得出不一定是平行四边形。 【规范解答】我认为奇奇说得不对，理由是：平行四边形的核心定义是两组对边分别平行的四边形。题目中仅露出四边形的一部分是平行四边形，无法确定未被遮挡部分的边是否满足“两组对边分别平行”这一关键条件，因此不能判定这个完整的四边形一定是平行四边形。 4．（25-26四年级上·新疆阿克苏·期末）在一张梯形纸上剪一刀，分成两个图形。如果其中一个是平行四边形，那么另一个图形可能是( )形，也可能是( )形。 【答案】 三角 梯 【思路引导】梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行。剪一刀后分成两个图形，其中一个为平行四边形，考虑两种常见剪法：一是从梯形的一个顶点剪到对边，使剪线平行于另一条腰，得到平行四边形和三角形；二是在梯形中剪一刀平行于底边，得到平行四边形（矩形）和梯形。因此，另一个图形可能是三角形或梯形。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 在一张梯形纸上剪一刀，分成两个图形。如果其中一个是平行四边形，那么另一个图形可能是三角形，也可能是梯形。 5．（24-25四年级下·河南新乡·期末）一个梯形的下底是上底的4倍，如果将这个梯形的下底缩短12厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 4 16 【思路引导】已知梯形下底的长度是上底的4倍，把梯形的上底看作1份，那么它的下底就是4份，因为将这个梯形的下底缩短12厘米，就变成了一个平行四边形，而平行四边形的对边相等，也就是梯形的下底减去12就等于它的上底，所以12对应的是下底比上底多的份数，然后求出一份的长度，即上底的长度，再根据倍数关系求出下底的长度。 【规范解答】4－1＝3（份） 12÷3＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 这个梯形的上底是4厘米，下底是16厘米。 【考点剖析】本题考查梯形和平行四边形的特征，解题关键是利用平行四边形对边相等的特征，结合梯形上底和下底的倍数关系，通过下底缩短的长度求出一份的长度，进而求出上底和下底的长度。 6．（25-26四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平行四边形是特殊的梯形，具有容易变形的特性。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不稳定，具有容易变形的特性。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。据此解答。 【规范解答】由分析可得，平行四边形不是特殊的梯形。原题说法错误。 故答案为：× 7．（25-26四年级上·河北邢台·期末）如图，已知a∥b，AE∥DH，BF∥CG，则图中有6个梯形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】只有一组对边平行的四边形是梯形。读题可知，a∥b，则AB∥EF、BC∥FG、CD∥GH，AE∥DH，BF∥CG。据此分析图中所能够形成的四边形，看是否为梯形，即可解答。 【规范解答】四边形ABEF，只有AB∥EF，是梯形； 四边形ACEG，只有AC∥EG，是梯形； 四边形ADEH，AD∥EH，AE∥DH，不是梯形； 四边形BCGF，BC∥GF，BF∥CG，不是梯形； 四边形BDHF，只有BD∥HF，是梯形； 四边形CDHG，只有CD∥HG，是梯形。 综上可知，图中有4个梯形，题目说法错误。 故答案为：× 8．（25-26四年级上·山东烟台·期末）成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是( )度，下面是成成利用所学知识研究五边形内角和的三种方法，你能用算式表达出成成的研究思路吗？ ______________       ______________       ______________ 【答案】 360 （度） （度） （度） 【思路引导】把四边形分成两个三角形，三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。 第一种把五边形分成三个三角形，三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和180°×3＝540°。 第二种把五边形分成一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，所以五边形的内角和180°＋360°＝540° 第三种把五边形分成五个三角形，三角形的内角和是180°，180°×5＝900°，再减去一个周角360°，所以五边形的内角和是900°－360°＝540°。 【规范解答】成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是360度。 9．将一根24厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。 （1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。 （2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线分一分（必要时可用尺量一下）。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或列表等。） 【答案】（1）不能；如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点； （2）如图：第二刀应该选择在A点左边线段上剪。 （3）5种情况 【思路引导】（1）在中点0处剪开之后，两边一样长，无论剪哪边，剪开之后两段的长度刚好等于第三段的长度，不能围成三角形。因为三角形中，任意两边之和大于第三边。 （2）由图可知，A点左边的长度大于A点右边的长度，第二刀应该选择在A点左边线段上剪，因为这样剪开之后两段的长度和大于A点右边的长度，能围成三角形。 (3)根据三角形的三边关系，可以采用列表法进行解答。 【规范解答】（1）由分析可知：不能，如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点； （2）由分析可知：第二刀应该选择在A点左边线段上剪。如图： （3）如下表： 腰长/厘米 底长/厘米 周长/厘米 1 22 不能围成 2 20 不能围成 3 18 不能围成 4 16 不能围成 5 14 不能围成 6 12 不能围成 7 10 24 8 8 24 9 6 24 10 4 24 11 2 24 12 0 不能围成 有5种情况 【考点剖析】本题考查了三角形的三边关系的应用，结合题意分析解答即可。 10．①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 【答案】见详解 【思路引导】（1）使用量角器画100度的角；（2）（3）小题用三角尺上的直角画指定底边上的高 【规范解答】 【考点剖析】掌握画角、画平行四边形、梯形的方法，以及画高的方法是解题关键。 第 1 页 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