（期末复习）第七单元《三角形、平行四边形和梯形》(知识梳理+易错点拨+15个考点讲练+压轴题训练 共60题）2024-2025学年苏教版数学四年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年苏教版数学四年级下学期金牌培优讲义 第七单元《三角形、平行四边形和梯形》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+15个考点讲练+压轴题专练 共60题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 模块二 高频易错考点点拨 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏常州·期末）在下面的梯形里画一条线段，按要求把梯形分成两个图形。 【答案】见详解 【思路点拨】三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形；两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 （1）把梯形的各个顶点标上字母，如图所示：在梯形ABCD中，连接BC或者AD就把梯形分成了两个三角形。 （2）把梯形的各个顶点标上字母，如图所示，在梯形ABCD中，AB平行于CD，要分成一个平行四边形和梯形，根据平行四边形和梯形的特征，只需要画EF平行于AC或EF平行于BD即可。                                【规范解答】 （画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）用硬纸条和图钉做一个三角形，至少要用( )根硬纸条和( )枚图钉。 【答案】 3 3 【思路点拨】根据三角形有3条边，3个顶点解答即可。 【规范解答】三角形的3条边需要3根硬纸条；然后，将3根硬纸条依次连接起来（纸条末端有重叠部分）；最后用3枚图钉钉在重叠部分。如图： 所以用硬纸条和图钉做一个三角形，至少要用3根硬纸条和3枚图钉。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏扬州·期末）信封挡住了一张三角形纸片（如图），从露出的这部分可以推测，这是一个什么图形？（    ）。【提示：可以想想，也可以在图中画一画】 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查三角形的构成，以及直角锐角钝角的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。 【规范解答】A．漏出来的部分我们可以看出这是一个锐角，所以可能是锐角三角形，符合题意； B．漏出一部分锐角那么下面可能有一个角是直角和一个锐角，所以可能是直角三角，符合题意； C．由于我们只能看到一个锐角，下方可能会是一个钝角加一个锐角，所以也有可能是钝角三角形，符合题意； D．由于A、B、C都符合题意，所以应该选D。 故答案为：D 重难点考点02：三角形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏·期末）画出下面各图形底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高； （2）在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高； （3）梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高。注意作高用虚线，并标出垂足。 【规范解答】据分析作图如下： 【精练题01】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）画出下面图形底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】作三角形的高：从三角形底边所对应的顶点向它的对边作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底； 作平行四边形的高：从平行四边形的底边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号；据此作图。 【规范解答】根据分析如图： （平行四边形的高画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）画出下面每个图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号，据此画图即可。 【规范解答】根据上述分析，作图如下： （画法不唯一） 重难点考点03：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（22-23四年级下·江苏扬州·期末）小明的凳子脚松动了，下面几种加固方法，你觉得（    ）最稳固。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，据此可知，利用三角形的稳定性在板凳腿与板凳面之间加一根斜木条固定，形成一个三角形，比较稳固。 【规范解答】 A．，加固后形成的是一个四边形，不具有稳定性。 B．，加固后形成的是一个四边形，不具有稳定性。 C．，加固后形，成两个三角形，具有稳定性。 D．，加固后形成的是两个四边形，不具有稳定性。 故答案为：C 【精练题01】（21-22四年级下·江苏南通·期末）学校书吧有两张书桌，桌面形状如右下图。笑笑想给它们配上玻璃，她量了两张桌面所有边的长度，并按照尺寸配了两块玻璃。下面的四种说法，正确的是（    ）。 A．两种玻璃都与桌面吻合 B．两种玻璃与桌面都不吻合 C．三角形玻璃与桌面吻合，平行四边形玻璃与桌面不一定吻合 D．平行四边形玻璃与桌面吻合，三角形玻璃与桌面不一定吻合 【答案】C 【思路点拨】三角形具有稳定性，平行四边形具有易变性，据此解答。 【规范解答】根据三角形和平行四边形的特性，三角形玻璃与桌面吻合，平行四边形玻璃与桌面不一定吻合。 故答案为：C 【精练题02】（21-22四年级下·江苏·期末）下面的特性属于三角形的是（    ）。 A．有两组对边分别平行 B．只有一组对边平行 C．具有稳定性 D．有两个角是直角 【答案】C 【思路点拨】平行四边形的两组对边平行，梯形只有一组对边平行，三角形具有稳定性，根据三角形的内角和为180°可知，一个三角形最多有一个直角。据此解答。 【规范解答】A．有两组对边分别平行是平行四边形的特性； B．只有一组对边平行是梯形的特性； C．具有稳定性是三角形的特性； D．有两个角是直角不是三角形的特性； 故答案为：C。 重难点考点04：三角形三边关系 【精讲题】（23-24四年级下·江苏南通·期末）把一根11厘米长的吸管剪成3段（每段长均为整厘米数），再用这三段吸管围成一个三角形。这3段吸管的长度可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米；也可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 【答案】 1 5 5 2 4 5 【思路点拨】三段吸管的总长度是11厘米，而且每段长均为整厘米数，我们需要找到所有可能的三个整数，它们的和是11，且满足三角形的三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 【规范解答】三个整数合起来是11的情况为：，其中满足三角形三边的关系的有：，也就是这3段吸管的长度可能是1厘米、5厘米、5厘米；2厘米、4厘米、5厘米；3厘米、3厘米、5厘米；3厘米、4厘米、4厘米；一共有4种情况能围成一个三角形，选择两种填入即可。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）有两根8厘米的小棒，如果再添一根小棒能围成一个三角形，这根小棒最长是( )厘米，这时三角形的周长是( )厘米。（取整厘米数） 【答案】 15 31 【思路点拨】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此计算出小棒最长为多少厘米；将三角形三条边长相加即为三角形的周长。 【规范解答】8＋8＝16（厘米） 小棒长度＜16，这根小棒最长为15厘米。 15＋8＋8＝31（厘米） 这根小棒最长是15厘米，这时三角形的周长是31厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏南通·期末）把一根10厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形。第一剪不符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答。 【规范解答】根据分析： A．左边部分为3厘米，右边部分为7厘米，7＞3，那么右边部分如果分成2段，肯定大于左边部分，符合三角形三边关系，能连成三角形； B．左边部分为5厘米，右边部分为5厘米，5＝5，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能连成三角形； C．左边部分为2厘米，右边部分为8厘米，8＞2，那么右边部分如果分成2段，肯定大于左边部分，符合三角形三边关系，能连成三角形； D．左边部分为4厘米，右边部分为6厘米，6＞4，那么右边部分如果分成2段，肯定大于左边部分，符合三角形三边关系，能连成三角形。 所以第一剪不符合要求的是。 故答案为：B 重难点考点05：三角形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·江苏泰州·期末）在一个三角形中，∠1＝95°，∠2＝25°，那么∠3＝( )°，这是一个( )三角形；一个等腰三角形的底角是45°。它的顶角是( )°，它是一个( )三角形。 【答案】 60 钝角 90 直角/等腰直角 【思路点拨】三角形的内角和为180°，用180°依次减去95°和25°，可以计算出∠3的度数；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形； 等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等；先用45°乘2计算出两个底角的度数，再用180°减去两个底角的度数，计算出顶角的度数；据此解答。 【规范解答】根据分析： 180°－95°－25°＝60° 所以在一个三角形中，∠1＝95°，∠2＝25°，那么∠3＝60°，这是一个钝角三角形； 180°－45°×2 ＝180°－90° ＝90° 所以一个等腰三角形的底角是45°。它的顶角是90°，它是一个直角三角形。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏常州·期末）一个等腰三角形的一个底角是65°，它的顶角是( )°，这个三角形按角分是( )三角形。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 【答案】 50 锐角 直角 【思路点拨】根据三角形三个内角的度数和是180°，已知等腰三角形的一个底角是65°，则另一个底角也是65°，所以，用180°减2个65°即得到顶角的度数； 根据三角形的分类，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，结合三角形三个角的大小，确定是什么三角形。 把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，则应沿底边上的高剪开，剪开后使每个小三角形里面都有一个直角，所以，每个小三角形都是直角三角形。 【规范解答】180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 因为这个等腰三角形三个内角分别是65°、65°、50°，它的顶角是50°。三个内角都是锐角，所以这个三角形按角分是锐角三角形。 若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是直角三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，已知∠1＝48°，∠2＝84°。这个三角形的∠3是( )°，这是一个( )三角形，也是一个( )三角形。 【答案】 48 锐角 等腰 【思路点拨】三角形内角和为180°，用180°减去∠1再减去∠2即可求出∠3的度数，根据三个角的度数，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；等腰三角形两个底角相等，据此填空即可。 【规范解答】180°－∠1－∠2 ＝180°－48°－84° ＝48° 这个三角形的∠3是48°，这是一个锐角三角形，也是一个等腰三角形。 重难点考点06：三角形的分类 【精讲题】（23-24四年级下·江苏南通·期末）在一个等腰三角形中，顶角是70°，它的一个底角是( )°；在一个直角三角形中，另一个锐角是( )°。 【答案】 55 35 【思路点拨】等腰三角形的两个底角度数相等，已知顶角是70°，三角形的内角和是180°，据此用180°减去顶角的度数，再用求出的差除以2，即可求出它的一个底角是多少度； 有一个角是直角的三角形是直角三角形，三角形的内角和是180°，已知一个锐角是55°，据此用180°减去90°再减去已知的锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。 【规范解答】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° 即在一个等腰三角形中，顶角是70°，它的一个底角是55°；在一个直角三角形中，另一个锐角是35°。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏连云港·期末）一个三角形既是直角三角形，又是等腰三角形，那么它的两个锐角都是( )°。 【答案】45 【思路点拨】有一个角是直角的三角形是直角三角形；等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和为180°。由题意得，直接用180°减去直角的度数得到两个底角的度数和，然后再除以2即可得到两个底角的度数。据此解答。 【规范解答】（180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 故一个三角形既是直角三角形，又是等腰三角形，那么它的两个锐角都是45°。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）如下图，图1是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成了一个三角形。如果将支撑架调节成图2的样子，∠1＝50°，∠2＝80°，则∠3＝( )°，按角分类，这是一个( )三角形；如果将支撑架调节成图3的样子，则变成一个( )三角形。 【答案】 50 锐角 钝角 【思路点拨】根据三角形的内角和180°，计算出∠3的度数，根据三个角的度数可以判断出三角形的类型；根据图3三角形的样子，观察三个角的形状，判断三角形的类型。 三角形类型按角分：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90°； 2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90°； 3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90°，小于180°。 【规范解答】180°－50°－80° ＝130°－80° ＝50° ∠3＝50°，三个角均小于90°，所以按角分类，这是一个锐角三角形。 图3的三角形，观察图形可知，有一个角大于90°，小于180°，所以图3是一个钝角三角形。 重难点考点07：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·江苏淮安·期末）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是( )厘米。 【答案】12 【思路点拨】结合所学知识可知，等腰三角形的两条腰长相等，现在已知底比腰长3厘米，那么两条腰的总长度就比底短了6厘米，用周长加上6厘米后，剩下的厘米数再除以3，就可以算出底长是多少，再减去3厘米就是腰长。据此解答即可。 【规范解答】结合分析，30＋3＋3＝36（厘米） 底长为：36÷3＝12（厘米） 腰长为：12－3＝9（厘米） 所以它的底是12厘米。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏南通·期末）一个等腰三角形的两条边分别是17厘米和8厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．42 B．33 C．33或42 D．50 【答案】A 【思路点拨】两条边相等的三角形是等腰三角形。任意三角形的两边之和必须大于第三边。如果这个等腰三角形的第三条边是8厘米，8＋8＜17，8厘米、8厘米、17厘米的线段不能围成三角形，这个等腰三角形的第三条边是17厘米。将三角形三条边长度相加，即可算出它的周长。 【规范解答】17＋17＋8＝42（厘米） 它的周长是42厘米。 故答案为：A 【精练题02】（23-24四年级下·江苏南通·期末）下面四个图形如果按（    ）分类，可以将图①、④分为一类，图②、③分为另一类。 A．是否是轴对称图形 B．对边是否平行 C．边数是否相同 D．是否含有直角 【答案】A 【思路点拨】图形的分类方法有很多种，可以按边的条数分类，也可以按是否是轴对称图形分类，也可以按颜色分类等等。 【规范解答】A．按是否是轴对称图形分类，图形①、④是轴对称图形，图形②、③不是轴对称图形。图形①、④分为一类，图形②、③分为一类； B．按对边是否平行分类，图形④对边平行，图形①、②、③对边不平行。图形④一类，图形①、②、③一类； C．按边数是否相同分类，图形①、②有3条边，图形③、④有4条边。图形①、②分为一类，图形③、④分为一类； D．按是否含有直角分类，图形②有直角，图形①、③、④没有直角。图形②一类，图形①、③、④一类。 下面四个图形如果按是否是轴对称图形分类，可以将图①、④分为一类，图②、③分为另一类。 故答案为：A 重难点考点08：画三角形 【精讲题】（21-22四年级下·江苏扬州·期末）在方格纸上画一个底3厘米、高4厘米的三角形，一个底4厘米，高3厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】由题意得，每个小方格的面积是1平方厘米，那么每个小方格的边长就是1厘米。三角形的底为3厘米，高为4厘米，那么它的底和高分别占3个格子和4个格子。平行四边形的底为4厘米，高为3厘米，那么它的底和高分别占4个格子和3个格子。据此作图。 【规范解答】作图如下： （答案不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏南通·期末）如图，每个小正方形的边长都表示1厘米。 ①给涂色的图形添上一个小方格，使其成为一个轴对称图形，并画出它的对称轴。 ②将平行四边形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 ③以线段AB为底，画出一个高是2厘米的锐角三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此可知，要使涂色的图形添上一个小方格后成为一个轴对称图形，这个小方格应在3个小方格为一列的下边或上边，与3个小方格组成一列。 （2）作旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可。 （3）三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。据此画图即可。 【规范解答】 【精练题02】（22-23四年级下·江苏徐州·期末）下图中两条平行线之间的距离是2厘米。 （1）以点A和点B为顶点，画出两个不同的三角形，要求画出的第三个顶点都在l1。 （2）量一量：画出的三角形的高都是（    ）厘米。 （3）能在平行线之间画出高是3厘米的三角形吗？在□里打√。 能□        不能□ 【答案】（1）见详解 （2）2 （3）不能 【思路点拨】（1）在l1上任取一点，分别连接这一点和A、B两点，即可画出三角形。 （2）平行线间的距离处处相等，画出的三角形的高都是这两条平行线之间的距离。 （3）这两条平行线之间的距离是2厘米，且AB的长度也不是3厘米，所以不能画出高是3厘米的三角形。 【规范解答】（1） （2）量一量：画出的三角形的高都是（2）厘米。 （3）能在平行线之间画出高是3厘米的三角形吗？在□里打√。 不能 重难点考点09：平行四边形的概念及特点 【精讲题】（22-23四年级下·江苏镇江·期末）在下面的梯形中画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个梯形。 【答案】见详解 【思路点拨】把梯形分成一个平行四边形和一个梯形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形只有一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个梯形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底（非顶点）作另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个梯形。 【规范解答】据分析作图如下： （画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏南通·期末）请从数学的角度描述下面两个图形一个相同和不同的特征： 相同特征： 。 不同特征： 。 【答案】 都有四条边 平行四边形有两组对边平行，梯形只有一组对边平行 【思路点拨】第一个图形是平行四边形，有四条边，四个角中两个锐角、两个钝角；是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；没有对称轴，不是轴对称图形； 第二个图形是梯形，有四条边，四个角中两个锐角、两个钝角；只有一组对边平行，等腰梯形有1条对称轴；据此解答。 【规范解答】根据分析： 相同特征：都有四条边；（答案不唯一） 不同特征：平行四边形有两组对边平行，梯形只有一组对边平行。（答案不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏南通·期末）下图中（    ），再顺次连接A、B、C、D四个点，能够形成平行四边形。 A．将A点向上平移1格，再向右平移1格 B．将B点向下平移1格，再向左平移1格 C．将C点向上平移1格，再向右平移1格 D．将D点向右平移1格，再向下平移1格 【答案】D 【思路点拨】平行四边形的定义：平行四边形，是在同一平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；据此解答。 【规范解答】根据分析： A．如图： 观察发现将A点向上平移1格，再向右平移1格后，顺次连接A、B、C、D四个点，不能形成平行四边形； B．如图： 观察发现将B点向下平移1格，再向左平移1格，顺次连接A、B、C、D四个点，不能形成平行四边形； C．如图： 观察发现将C点向上平移1格，再向右平移1格，顺次连接A、B、C、D四个点，不能形成平行四边形； D．如图： 观察发现将D点向右平移1格，再向下平移1格，顺次连接A、B、C、D四个点，能形成平行四边形。 故答案为：D 重难点考点10：平行四边形的不稳定性及应用 【精讲题】（21-22四年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形具有( )的特性，把平行四边形的框架拉成长方形框架后，框架的( )没变，( )变了。 【答案】 不稳定性 周长 面积 【思路点拨】因为平行四边形具有不稳定性，易变形，所以可以把将一个平行四边形拉成长方形，因为四条边的长度不变，可知周长不变；底边不变，高变长，可知面积变大，如下图，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，平行四边形具有不稳定性的特性，把平行四边形的框架拉成长方形框架后，框架的周长没变，面积变了。 【精练题01】（22-23四年级下·江苏徐州·期末）如图，剪两根长度相等的长吸管和两根长度相等的短吸管，用线穿起来做成一个长方形。拉成平行四边形，下列说法错误的是（    ）。 A．可以拉成不同的平行四边形 B．周长变了 C．长方形容易变形 D．周长不变 【答案】B 【思路点拨】四边形具有不稳定性，长方形拉成平行四边形，可以拉成不同的平行四边形。长方形的长是平行四边形的底，长方形的宽是平行四边形的另一组对边，长方形的宽大于平行四边形的高，所以周长不变，面积变小。 【规范解答】A．平行四边形具有不稳定性，容易变形，可以拉成不同的平行四边形。可以拉成不同的平行四边形说法正确； B．长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。周长变了说法错误； C．四边形都具有不稳定性，容易变形。长方形容易变形说法正确； D．长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。周长不变说法正确。 说法错误的是周长变了。 故答案为：B 【精练题02】（22-23四年级下·江苏南京·期末）某摄影工作室推出一款平行四边形的活动相框（如图），相邻两边的长分别是16厘米和10厘米，面积是128平方厘米。把这个相框拉成长方形，周长是( )厘米，面积( )（填“变大”、“变小”或“不变”）    【答案】 52 变大 【思路点拨】把平行四边形拉成长方形，平行四边形的一条边是长方形的长，相邻的一条边是长方形的宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式计算即可。长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式计算出长方形面积，再与平行四边形面积比较大小。 【规范解答】（16＋10）×2 ＝26×2 ＝52（厘米） 16×10＝160（平方厘米） 160＞128 摄影工作室推出一款平行四边形的活动相框（如图），相邻两边的长分别是16厘米和10厘米，面积是128平方厘米。把这个相框拉成长方形，周长是（52）厘米，面积（变大）。（填“变大”、“变小”或“不变”）    重难点考点11：平行四边形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）小明用两根10厘米和两根7厘米的木条钉成了一个长方形，然后把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底长10厘米，它的高可能（    ）厘米。 A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】A 【思路点拨】小明用两根10厘米和两根7厘米的木条钉成了一个长方形，然后把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底长10厘米，那么平行四边形的另一条边长7厘米，如图： 高把平行四边形分成了一个直角三角形和梯形，直角三角形的直角边一定小于斜边，也就是高一定小于7厘米，所以小于7厘米的选项可选。 【规范解答】如图： 在直角三角形中直角边小于斜边，所以高小于7厘米，即行四边形的底长10厘米，它的高小于7厘米，选项中6厘米符合题意。 故答案为：A 【精练题01】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）一个平行四边形相邻两条边的长度分别是5厘米和7厘米，其中一条边上的高是6厘米，这条高所对应的底边长度是（　　）。 A．5厘米 B．6厘米 C．7厘米 D．都有可能 【答案】A 【思路点拨】因为高是6厘米，这条高和平行四边形的一条边所在的直角三角形中，斜边大于直角边，平行四边形的一条边7厘米大于高6厘米，7厘米＞6厘米，故这条高对应的底边长度是5厘米。 【规范解答】根据上述分析可得： 一个平行四边形相邻两条边的长度分别是5厘米和7厘米，其中一条边上的高是6厘米，这条高所对应的底边长度是5厘米。 故答案为：A 【精练题02】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）画出下面图形底边上的高，并写出这两个图形的一个相同特征。 相同特征：__________。 【答案】图见详解；都是四边形 【思路点拨】在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高；根据观察可知，这两个图形都是四边形。 【规范解答】 如图：（高画法不唯一） 相同特征：都是四边形。（答案不唯一） 重难点考点12：画平行四边形 【精讲题】（23-24四年级下·江苏淮安·期末）看清要求，仔细操作。 （1）画一个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形，再把这个平行四边形向右平移4格。 （2）画一个上底和高都是2厘米，下底是3厘米的直角梯形。 （3）把图①绕O点逆时针旋转90°。 （4）画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解（平行四边形、梯形画法不唯一） 【思路点拨】（1）平行四边形的定义：平行四边形，是在平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；根据平行四边形的概念，画出这个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形；作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点； （2）梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，直角梯形有2个直角； （3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可； （4）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形；据此作图。 【规范解答】（1）（2）（3）（4）如图： （平行四边形、梯形画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）下图中每个小方格表示1平方厘米。 （1）把图①绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）将旋转后的图形向右平移8格，画出平移后的图形。 （3）以线段MN为底，画一个高为2厘米的平行四边形，并画出底边上的一条高。 （4）把图②补全，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解（平行四边形画法不唯一） 【思路点拨】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可； （2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点； （3）1×1＝1（平方厘米），那么每个小方格的边长为1厘米；平行四边形的定义：平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；作平行四边形的高：从平行四边形中MN为底的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号； （4）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形；据此作图。 【规范解答】（1）（2）（3）（4）如图： （平行四边形画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）按要求画一画，填一填。 （1）把上面的图形补全，使它成为轴对称图形。 （2）在上面方格图中画一个底和高都是4厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） （3）在上面方格图中画一个上底2厘米，下底4厘米，高是2厘米的梯形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】（1）沿一条直线对折后两部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形。把图形补全，使它成为一个轴对称图形，需要先数格子，在对称轴的另一侧找到对应的顶点，依次连接这些点； （2）画两条长度为4厘米的平行线段，两条平行线段之间的距离为4厘米，然后把两条平行线段对应端点连结起来即可得到符合条件的平行四边形； （3）画两条平行线段，上面一条长2厘米，下面一条长4厘米，两条平行线段之间的距离为2厘米，再把两条线段对应的端点连结起来即可得到符合条件的梯形。 【规范解答】（1）下图为补全的轴对称图形； （2）下图为底和高都是4厘米的平行四边形；（答案不唯一） （3）下图为上底2厘米，下底4厘米，高是2厘米的梯形。（答案不唯一） 重难点考点13：梯形的概念及特点 【精讲题】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 【答案】上底4厘米；下底16厘米 【思路点拨】根据一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍可知，缩短的长度是梯形上底的（4－1）倍，用缩短的长度除以这个倍数即可求出梯形上底的长度，再乘4即可求出梯形下底的长度，据此解答即可。 【规范解答】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 答：它的上底是4厘米，下底是16厘米。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏泰州·期末）下边方格图中的阴影部分表示80，整个长方形表示( )，图中最大的梯形表示( )。 【答案】 320 280 【思路点拨】观察上图可知，把整个长方形平均分成4份，阴影部分相当于其中的1份，阴影部分表示80，所以整个长方形表示80×4＝320；如下图，最大梯形相当于整个长方形减去阴影部分的一半，即等于320－80÷2＝280；据此即可解答。 【规范解答】80×4＝320 320－80÷2 ＝320－40 ＝280 方格图中的阴影部分表示80，整个长方形表示 320，图中最大的梯形表示280。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）宿迁市袁家村进行展览活动，主办方对如图所示的空地进行美化，将其分为两个区域，其中三角形种茶花、梯形种月季，请在图形上画出每种花所在的区域（图中线段m和线段n平行）。 【答案】见详解 【思路点拨】线段m和线段n平行，作梯形的上底和下底，连接线段m和线段n上面两个端点，即可把五边形分成一个三角形和一个梯形，三角形区域标注“茶花”， 梯形区域标注“月季”，据此作图即可。 【规范解答】 重难点考点14：梯形的高及画法 【精讲题】（21-22四年级下·江苏淮安·期末）画出下面梯形的高。 【答案】见详解 【思路点拨】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。据此作图。 【规范解答】 【精练题01】（22-23四年级下·江苏南通·期末）梯形的高可以把梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（    ）。 A．两个三角形 B．两个梯形 C．一个三角形和一个梯形 D．一个三角形和一个四边形 【答案】A 【思路点拨】梯形的高可以把梯形分成两个图形，如下图： ，梯形的高把梯形分成一个三角形和一个梯形； ，梯形的高把梯形分成两个梯形； ，梯形的高把梯形分成一个三角形和一个四边形；据此解答。 【规范解答】由分析可得： 梯形的高可以把梯形分成两个图形，可以分成一个三角形和一个梯形、两个梯形、一个三角形和一个四边形，不可能分成两个三角形。 故答案为：A 【精练题02】（22-23四年级下·江苏南通·期末）林宇用4根麦秆围成一个直角梯形，梯形的高是( )厘米，如果他拿走其中( )厘米长的麦秆，剩下的三根就不能围成三角形。 【答案】 8 13 【思路点拨】直角梯形有一个直角，这意味着其中一条腰与底垂直，这条腰也是直角梯形的高。依此填空； 三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。 【规范解答】林宇用4根麦秆围成一个直角梯形，梯形的高是8厘米； 10＋8＝18（厘米），18厘米＜19厘米；19－10＝9（厘米），9厘米＞8厘米，因此如果他拿走其中13厘米长的麦秆，剩下的三根就不能围成三角形。 重难点考点15：画梯形 【精讲题】（22-23四年级下·江苏南京·期末）在下面的方格纸上画一个底是4厘米、高是3厘米的平行四边形，再画一个高是3厘米的等腰梯形。（每个小方格表示1平方厘米）    【答案】见详解 【思路点拨】（1）方格的面积是1平方厘米，边长为1厘米，画两条长4厘米的平行线段，平行线段间的距离为3厘米，把两条线段的对应端点连接起来即可得到一个平行四边形。 （2）画两条长度不一样的平行线段，两条平行线段共一条对称轴，平行线段间的距离为3厘米，把两条线段的对应端点连接起来即可得到一个等腰梯形。 【规范解答】 （图不唯一） 【精练题01】（21-22四年级下·江苏·期末）在下面的点子图中画一个底是3厘米、高是4厘米的平行四边形和一个上底是2厘米、下底是4厘米，高是3厘米的梯形。（每两点间的长度代表1厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】（1）先画两条平行的线段，长度都为3厘米，两条平行线段之间的距离为4厘米，再把两条线段对应端点连结起来即可。 （2）先画两条平行的线段，上面一条长为2厘米，下面一条长为4厘米，两条平行线段之间的距离为3厘米，再把两条线段对应端点连结起来即可。 【规范解答】 【精练题02】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）以图中的10个交点为顶点，画出最大的等腰梯形。 【答案】见详解 【思路点拨】一组对边相等且不平行，另一组对边平行的四边形是等腰梯形。因为是最大的等腰梯形，则要选择最长的边为梯形的上下底，并以交点为顶点的等腰梯形。 【规范解答】最大的等腰梯形是一个上底占3个顶点，下底占5个顶点，两条腰相等的梯形。如图： 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（21-22四年级下·江苏淮安·期末）在一个三角形中，第一条边长是9厘米，第二条边长是5厘米，第三条边的长一定大于（    ）厘米。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【规范解答】因为9－5＜第三边＜9＋5，所以4＜第三边＜14，即第三边的取值在4～14厘米（不包括4厘米和14厘米），所以第三条边的长一定大于4厘米。 故答案为：B 2．（21-22四年级下·江苏淮安·期末）把两个周长都是60厘米的等边三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）厘米。 A．120 B．100 C．80 D．90 【答案】C 【思路点拨】三角形的周长＝边长×3，等边三角形的周长是60厘米，所以用60除以3求出三角形每条边的长度；因为拼成的平行四边形的每条边的长度都与等边三角形的边长相等，所以用三角形每条边的长度乘4即可。 【规范解答】60÷3＝20（厘米） 20×4＝80（厘米） 所以这个平行四边形的周长是80厘米。 故答案为：C 3．（23-24四年级下·江苏无锡·期末）一个平行四边形相邻两条边的长度分别为8厘米，14厘米，其中一条底边上的高是9厘米，这条底边长（    ）。 A．5厘米 B．8厘米 C．9厘米 D．14厘米 【答案】B 【思路点拨】依据在直角三角形中，斜边大于直角边，平行四边形高是9厘米，两条边中只有当14为斜边时，14＞9，则对应的底边为8厘米，据此选择即可。 【规范解答】8厘米＜9厘米，9厘米＜14厘米。 这条底边长8厘米。 故答案为：B 4．（23-24四年级下·江苏常州·期末）用下面的四组小棒拼四边形，（    ）可以拼成等腰梯形。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先根据梯形的概念，上底和下底的长度不一样，再根据等腰梯形的概念，等腰梯形的两条腰相等，据此分析每个选项，选出可以拼成等腰梯形的即可。 【规范解答】A．梯形的上底和下底长度不相等，不可能四条边都一样长，不符合题意； B．上底和下底长度不一样，两条腰长度一样，符合题意； C．两条腰长度一样的情况下，另外两根小棒的长度也相等，则上底和下底相等，不符合题意； D．四条边都不相等，不符合题意。 可以拼成等腰梯形。 故答案为：B 5．（23-24四年级下·海南海口·期末）一个等腰三角形的两条边的长度分别是7厘米和3厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】17 【思路点拨】根据三角形三条边之间的关系，在三角形中，任意两边之和大于第三边，由此可知，3＋3＝6（厘米），6＜7，所以3厘米不能是腰，根据等腰三角形的两腰相等，可知这个等腰三角形的底是3厘米，两条腰分别是7厘米，进而根据等腰三角形周长＝底边长度＋腰长度×2进行解答即可。 【规范解答】3＋3＝6（厘米） 6＜7 所以这个等腰三角形的底是3厘米，两条腰分别是7厘米。 3＋7×2 ＝3＋14 ＝17（厘米） 这个三角形的周长是17厘米。 6．（23-24四年级下·江苏·期末）三个等边三角形组成下边的图形，图中的∠1是( )°；沿着三角形的边从点A走到点B（不回头），路程最长是( )米，最短是( )米。 【答案】 60 50 25 【思路点拨】因为等边三角形的三个内角都是60°，三条边都相等，所以∠1和两个60°角组成一个平角，用180°减去2个60°角的和即可求出∠1； 沿着三角形的边从点A走到点B，最长是经过最小三角形的边×2＋中间三角形的边×2＋最大三角形的边×2；最短就是直走下边三个三角形的三条边；据此解答即可。 【规范解答】∠1＝180°－（60°＋60°） ＝180°－120° ＝60° 最长：5×2＋7×2＋13×2 ＝10＋14＋26 ＝24＋26 ＝50（米） 最短：5＋7＋13＝25（米） 三个等边三角形组成上边的图形，图中的∠1是60°；沿着三角形的边从点A走到点B（不回头），路程最长是50米，最短是25米。 7．（23-24四年级下·江苏·期末）用一根铁丝围成相邻两条边分别长10厘米和8厘米的平行四边形，这个平行四边形的周长是( )厘米；如果用这根铁丝围一个等边三角形，围成的等边三角形的边长是( )厘米。 【答案】 36 12 【思路点拨】平行四边形的对边相等，它的周长就是四条边长度的和，求出平行四边形的周长。平行四边形和等边三角形的周长相等，均等于铁丝的长度，等边三角形的三条边相等，则用平行四边形的周长除以3就是等边三角形的边长，据此解答。 【规范解答】 （厘米） （厘米） 所以这个平行四边形的周长是36厘米，围成的等边三角形的边长是12厘米。 8．（23-24四年级下·江苏·期末）某三角形中有两个角分别是50°、70°，第三个角是( )°，它是( )三角形；如果两个角都是60°，那么第三个角是( )°，它是( )三角形。 【答案】 60 锐角 60 等边 【思路点拨】已知三角形中有两个角分别是50°、70°，根据三角形内角等于180°，用180°－50°－70°＝60°，求出第三个角的度数，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；两个角都是60°，那么第三个角是180°－60°－60°＝60°，‌等边三角形是三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，所以它是等边三角形，据此解答即可。 【规范解答】180°－50°－70° ＝130°－70° ＝60° 所以另一个角是60°，它是锐角三角形； 180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 所以第三个角是60°，它是等边三角形。 某三角形中有两个角分别是50°、70°，第三个角是60°，它是锐角三角形；如果两个角都是60°，那么第三个角是60°，它是等边三角形。 9．（20-21四年级下·江苏苏州·期末）用一根长80厘米的铁丝围成一个等腰梯形，上、下底之和为50厘米，一条腰长为30厘米。( ) 【答案】× 【思路点拨】把80厘米的铁丝围成一个等腰梯形，那么这个梯形的周长应为80厘米，求出梯形的周长与80厘米比较，因为是等腰梯形，所以两腰都是30厘米，50加30再加30即为这个梯形的周长，最后与80比较即可。 【规范解答】50＋30＋30 ＝80＋30 ＝110（厘米） 110≠80 这个梯形的周长是110厘米，所以这句话不对。 故答案为：× 10．（21-22四年级下·江苏宿迁·期末）一个三角形中，最多有1个直角，至少有2个锐角。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据三角形的内角和为180°可知，如果一个三角形中有2个或3个直角或钝角，那么这个三角形的内角和一定大于180°，即一个三角形中最多有1个直角或钝角，至少有2个锐角。 【规范解答】一个三角形的内角和为180°，则三角形最多有1个直角，至少有2个锐角。说法正确。 故答案为：√ 11．（23-24四年级下·江苏无锡·期末）一个等腰三角形的周长是25厘米，底比腰短2厘米，它的底是多少厘米？（先将线段图补充完整，再解答） 【答案】7厘米；线段图见详解 【思路点拨】根据题意，把线段图补充完整后，观察线段图可以看出，底比腰短2厘米，周长加上2厘米，相当于3份的腰长，除以3可以算出1份的腰长，知道腰长进而可以求出底的长度。 【规范解答】 25＋2＝27（厘米） 27÷3＝9（厘米） 9－2＝7（厘米） 答：它的底是7厘米。 12．（23-24四年级下·江苏淮安·期末）小明准备用一根铁丝围成一个等腰三角形，已知其中两条边的长分别是15厘米和30厘米。这根铁丝至少是多少厘米？ 【答案】60厘米 【思路点拨】等腰三角形的两腰相等，三角形的周长为三边之和；求这根铁丝至少是多少厘米，那么就是将较短的15厘米作为三角形的腰长，用15厘米加上15厘米，再加上30厘米计算出这根铁丝至少是多少厘米；据此解答。 【规范解答】15＋15＋30＝60（厘米） 答：这根铁丝至少是60厘米。 13．（23-24四年级下·江苏常州·期末）一根毛线正好可以围成一个底是15厘米，腰是18厘米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长最大是多少厘米？ 【答案】17厘米 【思路点拨】等腰三角形的腰相等，将三条边的长度相加先求出这根毛线的长度，再根据等边三角形边长相等，用这个毛线的长度除以3求出的商即为这个等边三角形的边长最大的长度。 【规范解答】15＋18＋18 ＝33＋18 ＝51（厘米） 51÷3＝17（厘米） 答：这个等边三角形的边长最大是17厘米。 14．（23-24四年级下·江苏南通·期末）有一个等腰三角形，底比腰短5厘米，底角是75°。 (1)它的顶角是( )°。 (2)把它的三条边紧贴桌面转一周后，测量长度为34厘米（如图），它的腰长( )厘米。 【答案】(1)30 (2)13 【思路点拨】（1）等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和为180°。由题意得，等腰三角形的一个底角为75°，那么另一个底角的度数也为75°，直接用180°减去两个底角的度数即可得到顶角的度数。 （2）等腰三角形的周长＝两条腰的长度之和＋底边的长度。由题意得，等腰三角形的周长为34厘米。其中，底比腰短5厘米，那么直接用底的长度加上5厘米即可得到腰的长度。等腰三角形的周长加上5厘米就等于一条腰的长度的3倍，再用除法即可算出一条腰的长度。 【规范解答】（1）180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 故这个等腰三角形的顶角是30°。 （2）（34＋5）÷3 ＝39÷3 ＝13（厘米） 这个等腰三角形的腰长为13厘米。 15．（23-24四年级下·江苏盐城·期末）幸福小区花圃里有一块等腰三角形的警示牌，其中两条边的长分别是25厘米和50厘米。用铝合金条给这块警示牌包上边，至少需要多少厘米的铝合金条？ 【答案】125厘米 【思路点拨】等腰三角形的两腰相等，所以，有两条边长度相等，根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；先根据三边关系求出第三条边的长度，再把三条边的长度相加，即可求出至少需要多少厘米的铝合金条。 【规范解答】25＋25＝50，不符合三角形的三边关系； 25＋50＞50，符合三角形的三边关系。 25＋50＋50 ＝75＋50 ＝125（厘米） 答：至少需要125厘米的铝合金条。 $$2024-2025学年苏教版数学四年级下学期金牌培优讲义 第七单元《三角形、平行四边形和梯形》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+15个考点讲练+压轴题专练 共60题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 模块二 高频易错考点点拨 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏常州·期末）在下面的梯形里画一条线段，按要求把梯形分成两个图形。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）用硬纸条和图钉做一个三角形，至少要用( )根硬纸条和( )枚图钉。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏扬州·期末）信封挡住了一张三角形纸片（如图），从露出的这部分可以推测，这是一个什么图形？（    ）。【提示：可以想想，也可以在图中画一画】 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 重难点考点02：三角形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏·期末）画出下面各图形底边上的高。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）画出下面图形底边上的高。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）画出下面每个图形指定底边上的高。 重难点考点03：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（22-23四年级下·江苏扬州·期末）小明的凳子脚松动了，下面几种加固方法，你觉得（    ）最稳固。 A． B． C． D． 【精练题01】（21-22四年级下·江苏南通·期末）学校书吧有两张书桌，桌面形状如右下图。笑笑想给它们配上玻璃，她量了两张桌面所有边的长度，并按照尺寸配了两块玻璃。下面的四种说法，正确的是（    ）。 A．两种玻璃都与桌面吻合 B．两种玻璃与桌面都不吻合 C．三角形玻璃与桌面吻合，平行四边形玻璃与桌面不一定吻合 D．平行四边形玻璃与桌面吻合，三角形玻璃与桌面不一定吻合 【精练题02】（21-22四年级下·江苏·期末）下面的特性属于三角形的是（    ）。 A．有两组对边分别平行 B．只有一组对边平行 C．具有稳定性 D．有两个角是直角 重难点考点04：三角形三边关系 【精讲题】（23-24四年级下·江苏南通·期末）把一根11厘米长的吸管剪成3段（每段长均为整厘米数），再用这三段吸管围成一个三角形。这3段吸管的长度可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米；也可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）有两根8厘米的小棒，如果再添一根小棒能围成一个三角形，这根小棒最长是( )厘米，这时三角形的周长是( )厘米。（取整厘米数） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏南通·期末）把一根10厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形。第一剪不符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 重难点考点05：三角形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·江苏泰州·期末）在一个三角形中，∠1＝95°，∠2＝25°，那么∠3＝( )°，这是一个( )三角形；一个等腰三角形的底角是45°。它的顶角是( )°，它是一个( )三角形。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏常州·期末）一个等腰三角形的一个底角是65°，它的顶角是( )°，这个三角形按角分是( )三角形。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，已知∠1＝48°，∠2＝84°。这个三角形的∠3是( )°，这是一个( )三角形，也是一个( )三角形。 重难点考点06：三角形的分类 【精讲题】（23-24四年级下·江苏南通·期末）在一个等腰三角形中，顶角是70°，它的一个底角是( )°；在一个直角三角形中，另一个锐角是( )°。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏连云港·期末）一个三角形既是直角三角形，又是等腰三角形，那么它的两个锐角都是( )°。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）如下图，图1是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成了一个三角形。如果将支撑架调节成图2的样子，∠1＝50°，∠2＝80°，则∠3＝( )°，按角分类，这是一个( )三角形；如果将支撑架调节成图3的样子，则变成一个( )三角形。 重难点考点07：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·江苏淮安·期末）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是( )厘米。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏南通·期末）一个等腰三角形的两条边分别是17厘米和8厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．42 B．33 C．33或42 D．50 【精练题02】（23-24四年级下·江苏南通·期末）下面四个图形如果按（    ）分类，可以将图①、④分为一类，图②、③分为另一类。 A．是否是轴对称图形 B．对边是否平行 C．边数是否相同 D．是否含有直角 重难点考点08：画三角形 【精讲题】（21-22四年级下·江苏扬州·期末）在方格纸上画一个底3厘米、高4厘米的三角形，一个底4厘米，高3厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏南通·期末）如图，每个小正方形的边长都表示1厘米。 ①给涂色的图形添上一个小方格，使其成为一个轴对称图形，并画出它的对称轴。 ②将平行四边形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 ③以线段AB为底，画出一个高是2厘米的锐角三角形。 【精练题02】（22-23四年级下·江苏徐州·期末）下图中两条平行线之间的距离是2厘米。 （1）以点A和点B为顶点，画出两个不同的三角形，要求画出的第三个顶点都在l1。 （2）量一量：画出的三角形的高都是（    ）厘米。 （3）能在平行线之间画出高是3厘米的三角形吗？在□里打√。 能□        不能□ 重难点考点09：平行四边形的概念及特点 【精讲题】（22-23四年级下·江苏镇江·期末）在下面的梯形中画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个梯形。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏南通·期末）请从数学的角度描述下面两个图形一个相同和不同的特征： 相同特征： 。 不同特征： 。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏南通·期末）下图中（    ），再顺次连接A、B、C、D四个点，能够形成平行四边形。 A．将A点向上平移1格，再向右平移1格 B．将B点向下平移1格，再向左平移1格 C．将C点向上平移1格，再向右平移1格 D．将D点向右平移1格，再向下平移1格 重难点考点10：平行四边形的不稳定性及应用 【精讲题】（21-22四年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形具有( )的特性，把平行四边形的框架拉成长方形框架后，框架的( )没变，( )变了。 【精练题01】（22-23四年级下·江苏徐州·期末）如图，剪两根长度相等的长吸管和两根长度相等的短吸管，用线穿起来做成一个长方形。拉成平行四边形，下列说法错误的是（    ）。 A．可以拉成不同的平行四边形 B．周长变了 C．长方形容易变形 D．周长不变 【精练题02】（22-23四年级下·江苏南京·期末）某摄影工作室推出一款平行四边形的活动相框（如图），相邻两边的长分别是16厘米和10厘米，面积是128平方厘米。把这个相框拉成长方形，周长是( )厘米，面积( )（填“变大”、“变小”或“不变”）    重难点考点11：平行四边形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）小明用两根10厘米和两根7厘米的木条钉成了一个长方形，然后把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底长10厘米，它的高可能（    ）厘米。 A．6 B．7 C．10 D．11 【精练题01】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）一个平行四边形相邻两条边的长度分别是5厘米和7厘米，其中一条边上的高是6厘米，这条高所对应的底边长度是（　　）。 A．5厘米 B．6厘米 C．7厘米 D．都有可能 【精练题02】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）画出下面图形底边上的高，并写出这两个图形的一个相同特征。 相同特征：__________。 重难点考点12：画平行四边形 【精讲题】（23-24四年级下·江苏淮安·期末）看清要求，仔细操作。 （1）画一个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形，再把这个平行四边形向右平移4格。 （2）画一个上底和高都是2厘米，下底是3厘米的直角梯形。 （3）把图①绕O点逆时针旋转90°。 （4）画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）下图中每个小方格表示1平方厘米。 （1）把图①绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）将旋转后的图形向右平移8格，画出平移后的图形。 （3）以线段MN为底，画一个高为2厘米的平行四边形，并画出底边上的一条高。 （4）把图②补全，使它成为一个轴对称图形。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏盐城·期末）按要求画一画，填一填。 （1）把上面的图形补全，使它成为轴对称图形。 （2）在上面方格图中画一个底和高都是4厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） （3）在上面方格图中画一个上底2厘米，下底4厘米，高是2厘米的梯形。（每个小方格的边长表示1厘米） 重难点考点13：梯形的概念及特点 【精讲题】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 【精练题01】（23-24四年级下·江苏泰州·期末）下边方格图中的阴影部分表示80，整个长方形表示( )，图中最大的梯形表示( )。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）宿迁市袁家村进行展览活动，主办方对如图所示的空地进行美化，将其分为两个区域，其中三角形种茶花、梯形种月季，请在图形上画出每种花所在的区域（图中线段m和线段n平行）。 重难点考点14：梯形的高及画法 【精讲题】（21-22四年级下·江苏淮安·期末）画出下面梯形的高。 【精练题01】（22-23四年级下·江苏南通·期末）梯形的高可以把梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（    ）。 A．两个三角形 B．两个梯形 C．一个三角形和一个梯形 D．一个三角形和一个四边形 【精练题02】（22-23四年级下·江苏南通·期末）林宇用4根麦秆围成一个直角梯形，梯形的高是( )厘米，如果他拿走其中( )厘米长的麦秆，剩下的三根就不能围成三角形。 重难点考点15：画梯形 【精讲题】（22-23四年级下·江苏南京·期末）在下面的方格纸上画一个底是4厘米、高是3厘米的平行四边形，再画一个高是3厘米的等腰梯形。（每个小方格表示1平方厘米）    【精练题01】（21-22四年级下·江苏·期末）在下面的点子图中画一个底是3厘米、高是4厘米的平行四边形和一个上底是2厘米、下底是4厘米，高是3厘米的梯形。（每两点间的长度代表1厘米） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）以图中的10个交点为顶点，画出最大的等腰梯形。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（21-22四年级下·江苏淮安·期末）在一个三角形中，第一条边长是9厘米，第二条边长是5厘米，第三条边的长一定大于（    ）厘米。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（21-22四年级下·江苏淮安·期末）把两个周长都是60厘米的等边三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）厘米。 A．120 B．100 C．80 D．90 3．（23-24四年级下·江苏无锡·期末）一个平行四边形相邻两条边的长度分别为8厘米，14厘米，其中一条底边上的高是9厘米，这条底边长（    ）。 A．5厘米 B．8厘米 C．9厘米 D．14厘米 4．（23-24四年级下·江苏常州·期末）用下面的四组小棒拼四边形，（    ）可以拼成等腰梯形。 A． B． C． D． 5．（23-24四年级下·海南海口·期末）一个等腰三角形的两条边的长度分别是7厘米和3厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 6．（23-24四年级下·江苏·期末）三个等边三角形组成下边的图形，图中的∠1是( )°；沿着三角形的边从点A走到点B（不回头），路程最长是( )米，最短是( )米。 7．（23-24四年级下·江苏·期末）用一根铁丝围成相邻两条边分别长10厘米和8厘米的平行四边形，这个平行四边形的周长是( )厘米；如果用这根铁丝围一个等边三角形，围成的等边三角形的边长是( )厘米。 8．（23-24四年级下·江苏·期末）某三角形中有两个角分别是50°、70°，第三个角是( )°，它是( )三角形；如果两个角都是60°，那么第三个角是( )°，它是( )三角形。 9．（20-21四年级下·江苏苏州·期末）用一根长80厘米的铁丝围成一个等腰梯形，上、下底之和为50厘米，一条腰长为30厘米。( )（判断对错） 10．（21-22四年级下·江苏宿迁·期末）一个三角形中，最多有1个直角，至少有2个锐角。( )（判断对错） 11．（23-24四年级下·江苏无锡·期末）一个等腰三角形的周长是25厘米，底比腰短2厘米，它的底是多少厘米？（先将线段图补充完整，再解答） 12．（23-24四年级下·江苏淮安·期末）小明准备用一根铁丝围成一个等腰三角形，已知其中两条边的长分别是15厘米和30厘米。这根铁丝至少是多少厘米？ 13．（23-24四年级下·江苏常州·期末）一根毛线正好可以围成一个底是15厘米，腰是18厘米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长最大是多少厘米？ 14．（23-24四年级下·江苏南通·期末）有一个等腰三角形，底比腰短5厘米，底角是75°。 (1)它的顶角是( )°。 (2)把它的三条边紧贴桌面转一周后，测量长度为34厘米（如图），它的腰长( )厘米。 15．（23-24四年级下·江苏盐城·期末）幸福小区花圃里有一块等腰三角形的警示牌，其中两条边的长分别是25厘米和50厘米。用铝合金条给这块警示牌包上边，至少需要多少厘米的铝合金条？ $$