第一单元 简易方程（期末复习讲义-培优版）知识梳理+10个考点讲练+6个奥数拓展+真题演练 共67题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册真题汇编必刷压轴练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第一单元 简易方程『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练6个奥数拓展+真题演练 共67题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一：方程的意义 2 知识点二：等式的性质 3 知识点三：方程的解与解方程 3 知识点五：列方程解应用题 3 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 等式的认识及列等量关系式 4 高频考点二 应用等式的性质1解方程 5 高频考点三 应用等式的性质2解方程 5 高频考点四 应用等式的性质1和2解方程 6 高频考点五 解含括号的方程 7 高频考点六 方程的检验 7 高频考点七 列简易方程 8 高频考点八 列方程解含一个未知数的问题 9 高频考点九 列方程解含两个未知数的问题 10 高频考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 10 奥数拓展 拔尖冲刺 11 奥数拓展一 应用等式的性质1和2解方程 11 奥数拓展二 解含括号的方程 12 奥数拓展三 列简易方程 13 奥数拓展四 列方程解含一个未知数的问题 13 奥数拓展五 列方程解含两个未知数的问题 14 奥数拓展六 列方程解决稍复杂的实际问题 14 优选真题 实战演练 15 知识点一：方程的意义 1. 方程和等式：方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 2.方程必须具备两个条件：（1）必须是等式； （2）必须含有未知数。 知识点二：等式的性质 等式的性质： 1.等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 2.等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 知识点三：方程的解与解方程 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 2. 求方程的解的过程叫做解方程。 知识点四：解方程的基本方法 1. 利用等式的基本性质解方程 （1）等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 （2）等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 2. 利用四则运算转化关系解方程。 （1）加法：加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 （2）乘法：因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 （3）减法：被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 （4）除法：被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 3. 方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点五：列方程解应用题 1. 列方程解应用题：列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2. 列方程解应用题的一般步骤 （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 高频考点一 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·吉林·期末）春节快到了，某超市购进540个小中国结，比购进的大中国结的5倍少60个，超市购进多少个大中国结？先写出等量关系，然后根据等量关系列方程解答。 等量关系式： 。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）世界荒漠化日益危害人类的生存环境，荒漠化面积约有0.36亿平方千米，比耕地面积的2倍还多0.08亿平方千米。全世界耕地面积有多少？ (1)请将下面线段图补充完整并分析题中的数量关系。 数量关系：（    ）×2＋（    ）＝（    ）。 (2)列方程解答。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东潍坊·期末）饲料加工厂计划每天生产饲料0.8吨，需要60天完成任务。由于技术改进每天多生产0.4吨，实际几天完成任务？（先写出等量关系式，再列方程解答。） 高频考点二 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁盘锦·期末）解方程（带*号的写出检验过程）。 *4.5x－1.5x＝7.5           210－65x＝15 3（x－2.7）＝12            0.35＋x＝7 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东广州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．5n×0.2＝n B．如果a＝b，那么a＋2b＝3b C．x＋y＝7是方程 D．x＝0是方程的解 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·内蒙古通辽·期末）五年级的同学们为贫困地区的孩子捐助学习用品和生活用品，计划购买相同的书包和运动鞋。五年级一班买了5个书包和4双运动鞋共用去737元。五年级二班买了6个书包和5双运动鞋，共用去910元。书包和运动鞋的单价分别是多少元？ 高频考点三 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北张家口·期末）明代范钦所建天一阁是我国古代著名藏书楼。初藏古籍时，将书卷分置上、下两匮（古代藏书的器具），两匮共藏古籍540卷，上匮所藏卷数是下匮的2.6倍，上、下两匮各藏古籍多少卷？（列方程解答） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西延安·期末）看图列方程，并求出方程的解。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西南昌·期末）消防演练。 (1)周四上午，30名消防员来到学校进行消防演习，刘老师去超市买30瓶矿泉水，至少需要多少钱？ (2)同学们都来到操场参加消防安全知识演习活动，五六年级学生共有627人，其中五年级的学生人数是六年级的1.2倍。两个年级各有学生多少人？ 高频考点四 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·天津河东·期末）春节快到了，某超市开始采购年货。购进了90箱年画，比购进中国结箱数的2倍还多20箱。该超市购进了多少箱中国结？（列方程解答） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）国华小学重阳节开展“敬老爱老”活动，五年级有180人参加活动，比四年级参加活动人数的2倍多20人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江台州·期末）如图所示，两个完全一样的直角三角形ABC和直角三角形DEF部分重叠在一起，阴影部分的面积是( )平方厘米，OD长( )厘米。 高频考点五 解含括号的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西南昌·期末）解方程。 12.8x－5.6x＝2.16     6.9＋0.15x＝12    （x－3.7）÷0.4＝17.5 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东江门·期末）在学校“垃圾分类”知识竞赛中，五年（1）班和五年（2）班共有120人参加。五（1）班参赛人数比五（2）班的2倍少6人。五（1）班和五（2）班各有多少人参加？（用方程解答） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东济南·期末）小马虎在计算一道混合运算题时，错抄成，这样的计算结果是69，则这道混合运算题的正确答案是( )。 高频考点六 方程的检验 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一杯奶茶8元，每个蛋糕6元。孙红买了5杯奶茶和个蛋糕，奶茶和蛋糕一共( )元；当时，奶茶和蛋糕一共( )元。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·湖南张家界·期末）解方程，带*的要检验。 *2x＋3.5＝10.7                    *5x－x＝9.6 4（x＋2.4）＝18.8                 24－6x＝7.8 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河北邢台·期末）填序号。 ①    ②    ③ ④    ⑤ (1)等式有( )，方程有( )。 (2)方程( )解是。 高频考点七 列简易方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·江西新余·期末）下列选项中，不能用方程＋5＝48来解释的是（    ）。 A．左图中长方形的面积是48平方米，阴影部分的面积是平方米。 B．小军和小红共集邮票48张，小红收集了张邮票，小军收集的邮票数是小红的5倍。 C．一个长方形的周长是48分米，长是5分米，宽为分米。 D． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北孝感·期末）下列选项中能用方程“3x－x＝44”来表示的是（    ）。 A． B． C．涂色小正方形的面积为x平方米，大正方形的面积为44平方米。 D．长方形的周长是44厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·浙江温州·期末）如图为三个大小、形状完全相同的长方形，根据图中的数量关系，下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点八 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北武汉·期末）AB两地相距682.5千米，甲乙两车同时从AB两地相对开出，6.5小时相遇，甲车的速度是每小时52千米，乙车的速度是多少？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东东莞·期末）宝墨园是大型岭南文化山水园林。它的占地面积为10公顷，比清晖园占地面积的5倍少1公顷，清晖园的占地面积是多少公顷？（先写等量关系，再用方程解答） 等量关系： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北黄石·期末）春节探亲路上要合理规划行程。甲、乙两辆汽车同时从黄石出发前往荆州走亲访友，甲车每小时行85千米，乙车每小时行70千米，经过多少小时两车相距45千米？（列方程解答） 高频考点九 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）圆圆和乐乐共收集了210张纪念邮票，圆圆和乐乐各收集了多少张纪念邮票？（用方程解答） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·江西新余·期末）赣南脐橙和寻乌蜜桔是江西省赣州市的特产水果，水果批发商店共运进脐橙和蜜桔900千克，脐橙的质量是蜜桔的3.5倍，商店运进脐橙、蜜桔各多少千克？（画一画或说一说你的思考过程再用方程解答） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东济南·期末）有一批810吨货物。甲车先运了3次，然后甲车与乙车一起又运了5次，正好运完。已知甲车比乙车每次多运20吨，那么甲、乙两车每次各运多少吨？（用方程解决） 高频考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·黑龙江绥化·期末）学校阅览室给学生订了98份刊物，学生刊物的份数比教师刊物的6倍还多2份。学校给教师订了多少份刊物？（列方程解） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·上海虹口·期末）学校组织学生参加为期三天的夏令营，为学生分配宿舍。如果每间住4人，那么正好住满；如果每间住6人，那么正好空出10间宿舍。宿舍一共有多少间？学生有多少人？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 奥数拓展一 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（25-26五年级上·四川成都·阶段检测）解方程。 80＋4x＝100     98÷（m＋1.02）＝7           3（4x＋5）＝8x－2（3x－15） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山东烟台·期末）妈妈给小青26元，让她去买5斤香蕉、4斤苹果且告诉她26元刚好能买5斤香蕉和4斤苹果。结果她买的数量给弄颠倒了，最后还剩下1.6元。那么苹果每斤( )元。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）五年级同学乘车去博物馆参观。如果租5辆车，则有10名同学没有座位；如果租6辆车，则多出32个座位。 （1）每辆车上有多少个座位？（列方程解答） （2）一共有多少名同学去博物馆参观？ 奥数拓展二 解含括号的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）解方程（42－3x）÷9＝4.5时，先把（    ）看作一个整体，再把（    ）看作一个整体。 A．42－3x；3x B．（42－3x）÷9；3x C．3x；42－3x D．无法判断 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河北·单元测试）妈妈给了亮亮10元6角钱，正好可以买3千克香蕉和2千克苹果，结果亮亮把香蕉和苹果的数量弄颠倒了，因此少花了0.7元钱。香蕉和苹果每千克的价钱各是多少元？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人；现调为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 奥数拓展三 列简易方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）根据下面的数量关系，不可以用方程2x＋3＝20表示的是（    ）。 ①买2kg香蕉，每千克香蕉x元，带了20元，还差3元。 ②乐乐有x元，哥哥的钱数比乐乐的2倍多3元，哥哥有20元。 ③苹果每千克x元，芒果每千克价格比苹果贵2元，买3kg芒果共花20元。 ④五年级一班和五年级二班的劳动基地都种了向日葵。五年级一班收了xkg葵花籽，五年级二班收了20kg葵花籽，比五年级一班的2倍还多3kg。 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图所示，大正方形的边长为a厘米，小正方形的边长为b厘米。 （1）用字母式子表示a和b之间的等量关系：( )；如果a是6厘米，那么b是( )厘米。 （2）大正方形的周长是48厘米，根据题意列出方程：( )。 （3）小正方形的面积是25平方厘米，根据题意列出方程：( )。 （4）大长方形的周长是66厘米，根据题意列出方程：( )。 奥数拓展四 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江宁波·期末）箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球，每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了若干次后，乒乓球正好取完，羽毛球还剩6个。原来乒乓球和羽毛球各有多少个？ 若设( )为x，可以列得方程5x＝3x＋6；若设( )为x，可以列得方程x÷5＝（x－6）÷3。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）箱子里装有一定数量的乒乓球和羽毛球，乒乓球的数量是羽毛球的2倍。每次取出6个乒乓球和2个羽毛球，取了几次后，乒乓球取完了，羽毛球还剩8个。一共取了( )次，羽毛球原来有( )个。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025五年级上·全国·专题练习）甲、乙两地相距800千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，5小时后两车在距中点50千米处相遇，则快车每小时比慢车快( )千米。 奥数拓展五 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·全国·课后作业）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18km处相遇（如下图）。已知甲车的速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行驶了多少千米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖北十堰·小升初真题）甲每小时跑14.4千米，乙每小时跑10.8千米，乙比甲多跑2分钟，结果比甲少跑了120米，那么甲跑了( )米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2023五年级上·广东汕尾·竞赛）高新小学有72名学生参加迎春杯数学比赛，平均分是60分，其中男生的平均分是65分，女生的平均分是57分。那么，女生比男生多多少人参加比赛？ 奥数拓展六 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西西安·期中）儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·全国·单元测试）今年爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年之后，爷爷的年龄将是他的3倍，今年小李的年龄是多少？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）一天傍晚，爷爷骑自行车从家里、小聪从学校同时出发，相向而行。爷爷的速度是小聪的3倍少20米/分钟，经过5分钟相遇，相遇时爷爷超过中点450米。小聪家距离学校多少千米？（列方程解答） 1．（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）下面的问题可以用方程2x＋25＝85解决的是（    ）。 一件上衣85元，比一条裤子价格的2倍贵25元，一条裤子多少元？（解：设一条裤子x元） 一个等腰三角形的周长是85厘米，底边长为25厘米，腰长是多少厘米？（解：设其中一条腰长是x厘米） ① ② ③ ④ A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26五年级上·河北承德·期末）下面选项中的数量关系，可以用方程3x＋x＝24来表示的是（    ）。 A．学校舞蹈队有女生24人，男生x人，女生人数是男生的3倍。 B．苹果和香蕉一共有24千克，苹果有x千克，香蕉的质量是苹果的3倍。 C．妈妈比聪聪大24岁，聪聪x岁，妈妈的年龄是聪聪的3倍。 3．（24-25五年级上·山西吕梁·期末）从甲地到乙地的铁路线全长1956千米。两列火车相向同时出发。经过12小时相遇。已知快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？设慢车平均每小时行驶千米。则下列方程错误的是（    ）。 A． B． C． 4．（25-26五年级上·西藏林芝·期末）下面能用方程“”解决的是（    ）。 A．一个长方形花坛的周长是117米，宽是9米，它的长是多少米 B．将117个相同的积木摆成个数相等的2排，还差9个积木，每排摆多少个积木 C．工艺品商户购进117个“泥人张”塑品，每天卖出9个，多少天卖完 D．超市运来117袋大米，比运来面粉袋数的2倍还多9袋，运来面粉多少袋 5．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）下面各题中的数量关系能用方程3x－x＝24表示的是（    ）。 A．合唱队共有24人，男生x人，女生的人数是男生的3倍 B．鸡兔同笼，兔有x只，鸡的只数是兔的3倍，鸡的脚的只数比兔多24 C．今年丫丫x岁，妈妈的年龄是丫丫的3倍，2年前妈妈比丫丫大24岁 D．一个数的3倍等于24减去它本身 6．（25-26五年级上·河南商丘·期末）有一个两位小数，把它的小数点向右移动一位，得到一个新的数，把这个新的数与x相加，和是14.5，根据数量关系列方程是( )。 7．（25-26五年级上·河北邢台·期末）如果2x＋5＝13，那么3x－2＝( )。 8．（25-26五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）昆虫爱好者发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下近似关系：n＝7t－21［n表示蟋蟀每分钟叫的次数，t表示当时气温（℃）］。当气温达到25℃时，蟋蟀每分钟叫( )次，如果蟋蟀每分钟叫189次，当时的气温是( )℃。 9．（25-26五年级上·河北唐山·期末）豆豆用10元买了3支同样的圆珠笔和7本同样的练习本，剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元。一支圆珠笔的售价是( )元？（提示：此题是填空题，不必写计算过程。） 10．（24-25五年级上·浙江台州·期末）如图，平行四边形中阴影部分的面积比空白部分多20cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 11．（24-25五年级上·湖南郴州·期末）方程和方程的解相等。( )（判断对错） 12．（24-25五年级上·海南海口·期末）如果a＋5＝b＋4（a和b都是自然数），那么a＞b。( )（判断对错） 13．（23-24五年级上·河南周口·期末）李磊在纸上写了一个数，他把这个数与这个数本身相加、相减、相除，所得的和、差、商加起来是10.6，李磊在纸上写的这个数是5.3。( )（判断对错） 14．（25-26五年级上·北京·期末）计算下面各题。 0.4×（3.6－1.2）    9.6÷1.6×2.8 7.5×3.6＋3.6×2.5    1.5×（10.8÷6） 12.3÷0.4÷2.5    7x－0.8＝38.4 15．（25-26五年级上·西藏林芝·期末）看图列综合算式并计算。 16．（25-26五年级上·河北承德·期末）妈妈在水果店里买了苹果和桃子共3.64千克，其中苹果的质量是桃子质量的3倍。妈妈买了多少千克桃子？（用方程解答） 17．（25-26五年级上·河南平顶山·期末）正阳文化广场正在开展知识竞赛活动，共有140名学生参加，其中男生人数是女生人数的2.5倍，参加知识竞赛的男、女生各有多少人？（列方程解答） 18．（24-25五年级上·上海闵行·期末）某停车场的收费价格如下： 1小时或1小时以内 收费5元 超过1小时的部分 每小时按6元收费，不足1小时按1小时算。 超过12小时的部分 每小时按8元收费，不足1小时按1小时算。 李叔叔交了53元停车费，他在停车场最多停了多长时间？ 19．（25-26五年级上·湖北黄石·期末）五年级1班为“三好学生”准备了一批笔记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？准备的笔记本和钢笔各有多少？ 20．（23-24五年级下·重庆合川·期末）晓峰的爸爸在离家4000米的动物园上班，如果以每分钟200米的速度骑车上班，正好准时到动物园。有一天，他出发几分钟后，因车出现小故障停车3分钟，为了保证安全，后面的路必须每分钟少行50米，结果比平时晚到8分钟。爸爸的车是在离动物园多远处出现的故障？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第一单元 简易方程『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练6个奥数拓展+真题演练 共67题） 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一：方程的意义 2 知识点二：等式的性质 3 知识点三：方程的解与解方程 3 知识点五：列方程解应用题 3 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 等式的认识及列等量关系式 4 高频考点二 应用等式的性质1解方程 6 高频考点三 应用等式的性质2解方程 9 高频考点四 应用等式的性质1和2解方程 11 高频考点五 解含括号的方程 13 高频考点六 方程的检验 15 高频考点七 列简易方程 17 高频考点八 列方程解含一个未知数的问题 19 高频考点九 列方程解含两个未知数的问题 21 高频考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 23 奥数拓展 拔尖冲刺 24 奥数拓展一 应用等式的性质1和2解方程 24 奥数拓展二 解含括号的方程 27 奥数拓展三 列简易方程 30 奥数拓展四 列方程解含一个未知数的问题 31 奥数拓展五 列方程解含两个未知数的问题 33 奥数拓展六 列方程解决稍复杂的实际问题 35 优选真题 实战演练 37 知识点一：方程的意义 1. 方程和等式：方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 2.方程必须具备两个条件：（1）必须是等式； （2）必须含有未知数。 知识点二：等式的性质 等式的性质： 1.等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 2.等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 知识点三：方程的解与解方程 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 2. 求方程的解的过程叫做解方程。 知识点四：解方程的基本方法 1. 利用等式的基本性质解方程 （1）等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 （2）等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 2. 利用四则运算转化关系解方程。 （1）加法：加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 （2）乘法：因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 （3）减法：被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 （4）除法：被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 3. 方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点五：列方程解应用题 1. 列方程解应用题：列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2. 列方程解应用题的一般步骤 （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 高频考点一 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·吉林·期末）春节快到了，某超市购进540个小中国结，比购进的大中国结的5倍少60个，超市购进多少个大中国结？先写出等量关系，然后根据等量关系列方程解答。 等量关系式： 。 【答案】大中国结的数量×5－60＝小中国结的数量；120个 【思路引导】根据题意，超市购进的小中国结数量（540个）比大中国结数量的5倍少60个，根据求一个数的几倍是多少，用这个数×几，即大中国结数量乘5再减去60等于小中国结数量。据此得出等量关系，可以设超市购进x个大中国结，根据等量关系列出方程，求出方程的解。 【规范解答】等量关系式：大中国结的数量×5－60＝小中国结的数量。 解：设超市购进x个大中国结。 5x－60＝540 5x－60＋60＝540＋60 5x＝600 5x÷5＝600÷5 x＝120 答：超市购进120个大中国结。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）世界荒漠化日益危害人类的生存环境，荒漠化面积约有0.36亿平方千米，比耕地面积的2倍还多0.08亿平方千米。全世界耕地面积有多少？ (1)请将下面线段图补充完整并分析题中的数量关系。 数量关系：（    ）×2＋（    ）＝（    ）。 (2)列方程解答。 【答案】(1)图见详解；耕地面积×2＋0.08亿平方千米＝荒漠化面积 (2)0.14亿平方千米 【思路引导】（1）根据题意，耕地面积的线段是1段，荒漠化面积的线段应画成与耕地面积等长的2段，再额外加一小段表示0.08亿平方千米。题中数量关系是：耕地面积乘2，再加上0.08亿平方千米，结果等于荒漠化面积，据此解答。 （2）根据题意，设全世界耕地面积为x亿平方千米，依据“耕地面积×2＋0.08＝荒漠化面积”的数量关系，代入数据列出方程，再依据方程的性质求解，据此解答。 【规范解答】（1）线段图补充：荒漠化面积的线段画为“耕地面积线段×2＋一小段（标注0.08亿平方千米）”。 数量关系：耕地面积×2＋0.08亿平方千米＝荒漠化面积 （2）解：设全世界耕地面积有x亿平方千米。 2x＋0.08＝0.36 2x＋0.08−0.08＝0.36−0.08 2x＝0.28 2x÷2＝0.28÷2 x＝0.14 答：全世界耕地面积有0.14亿平方千米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东潍坊·期末）饲料加工厂计划每天生产饲料0.8吨，需要60天完成任务。由于技术改进每天多生产0.4吨，实际几天完成任务？（先写出等量关系式，再列方程解答。） 【答案】实际每天生产饲料的吨数×实际完成的天数＝计划每天生产饲料的吨数×计划完成的天数（等量关系不唯一） 40天 【思路引导】实际每天生产饲料的吨数×实际完成的天数＝计划每天生产饲料的吨数×计划完成的天数（等量关系有多种形式）。可以设实际天完成任务，计划每天生产0.8吨，实际每天生产0.8＋0.4＝1.2吨，将数值代入等量关系式即可列方程求解。 【规范解答】依据“实际每天生产饲料的吨数×实际完成的天数＝计划每天生产饲料的吨数×计划完成的天数”这个等量关系（等量关系有多种形式）列出下列方程并解答。 解：设实际天完成任务。 （0.8＋0.4）＝0.8×60 1.2＝48 1.2÷1.2＝48÷1.2 ＝40 答：实际40天完成任务。 高频考点二 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·辽宁盘锦·期末）解方程（带*号的写出检验过程）。 *4.5x－1.5x＝7.5           210－65x＝15 3（x－2.7）＝12            0.35＋x＝7 【答案】x＝2.5；x＝3 x＝6.7；x＝6.65 【思路引导】*4.5x－1.5x＝7.5，将左边合并成3x，根据等式的性质2，两边同时除以3即可； 210－65x＝15，根据等式的性质1和2，两边同时加65x，再同时减15，最后同时除以65即可； 3（x－2.7）＝12，根据等式的性质1和2，两边同时除以3，再同时加2.7即可； 0.35＋x＝7，根据等式的性质1，两边同时减0.35即可。 方程的检验：要将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【规范解答】*4.5x－1.5x＝7.5 解：3x＝7.5 3x÷3＝7.5÷3 x＝2.5 方程的检验：方程的左边＝4.5x－1.5x ＝4.5×2.5－1.5×2.5 ＝11.25－3.75 ＝7.5 ＝方程的右边 所以x＝2.5是方程4.5x－1.5x＝7.5的解。 210－65x＝15 解：210－65x＋65x＝15＋65x 15＋65x＝210 15＋65x－15＝210－15 65x＝195 65x÷65＝195÷65 x＝3 3（x－2.7）＝12 解：3（x－2.7）÷3＝12÷3 x－2.7＝4 x－2.7＋2.7＝4＋2.7 x＝6.7 0.35＋x＝7 解：0.35＋x－0.35＝7－0.35 x＝6.65 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东广州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．5n×0.2＝n B．如果a＝b，那么a＋2b＝3b C．x＋y＝7是方程 D．x＝0是方程的解 【答案】D 【思路引导】可以先算出5×0.2的结果，再与n相乘，字母和数字相乘，数字在前，字母在后，据此化简即可。 将a＝b代入a＋2b中，看是否等于3b。 含有未知数的等式叫方程。 根据等式的性质1在方程x－6＝6的两边分别加上6，求出方程的解，再判断。 据此分析判断四个选项，找出错误的即可。 【规范解答】A．5n×0.2＝5×0.2×n＝1×n＝n，原题化简正确。 B．如果a＝b，那么a＋2b＝b＋2b＝3b。原题化简正确。 C．x＋y＝7含有未知数x和y，且是等式，所以它是方程。 D． 解：x－6＋6＝6＋6 x＝12 所以，x＝0不是方程的解。原题计算错误。 故答案为：D 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·内蒙古通辽·期末）五年级的同学们为贫困地区的孩子捐助学习用品和生活用品，计划购买相同的书包和运动鞋。五年级一班买了5个书包和4双运动鞋共用去737元。五年级二班买了6个书包和5双运动鞋，共用去910元。书包和运动鞋的单价分别是多少元？ 【答案】书包的单价为45元，运动鞋的单价为128元。 【思路引导】由题中可知五年级二班比五年级一班多买了一个书包和一双运动鞋，所以五年级二班比五年级一班多花的钱数为一个书包和一双运动鞋的钱数。我们可以设其中的一个未知数为x，然后根据等量关系：书包的单价×5＋运动鞋的单价×4＝737，据此列方程并求解。 【规范解答】五年级二班比五年级一班多花的钱数为：910－737＝173（元） 即：一个书包＋一双运动鞋＝173（元） 解：设书包的单价为x元。那么运动鞋的单价表示为173－x元。 5x＋4（173－x）＝737 5x＋4×173－4x＝737 5x＋692－4x＝737 x＋692＝737 x＋692－692＝737－692 x＝45 运动鞋的单价为：173－45＝128（元） 答：书包的单价为45元，运动鞋的单价为128元。 高频考点三 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北张家口·期末）明代范钦所建天一阁是我国古代著名藏书楼。初藏古籍时，将书卷分置上、下两匮（古代藏书的器具），两匮共藏古籍540卷，上匮所藏卷数是下匮的2.6倍，上、下两匮各藏古籍多少卷？（列方程解答） 【答案】上匮藏古籍390卷，下匮藏古籍150卷。 【思路引导】设下匮所藏卷数是x卷，则上匮所藏卷数是2.6x卷，根据“上匮所藏卷数＋下匮所藏卷数＝古籍540卷”列方程解答。 【规范解答】解：设下匮所藏卷数是x卷，则上匮所藏卷数是2.6x卷。 2.6x＋x＝540 （2.6＋1）x＝540 3.6x＝540 3.6x÷3.6＝540÷3.6 x＝150 2.6x＝2.6×150＝390（卷） 答：上匮藏古籍390卷，下匮藏古籍150卷。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西延安·期末）看图列方程，并求出方程的解。 【答案】2x＝50＋100；x＝75 【思路引导】根据题意可知，天平平衡时，左右两边物体重量相同，所以2x＝50＋100，然后利用等式的性质2，等式左右两边同时除以2即可解题。 【规范解答】2x＝50＋100 解：2x＝150 2x÷2＝150÷2 x＝75 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西南昌·期末）消防演练。 (1)周四上午，30名消防员来到学校进行消防演习，刘老师去超市买30瓶矿泉水，至少需要多少钱？ (2)同学们都来到操场参加消防安全知识演习活动，五六年级学生共有627人，其中五年级的学生人数是六年级的1.2倍。两个年级各有学生多少人？ 【答案】(1)46.8元 (2)五年级：342人；六年级：285人 【思路引导】（1）由图可知单瓶1.8元/瓶，整箱36元/箱，每箱24瓶，要求最少的钱，可以买一箱，再买瓶，一箱36元，再计算6瓶单瓶的费用，二者相加即可求解； （2）根据题意，设六年级有学生x人，五年级的学生人数是六年级的1.2倍，则五年级的学生人数为1.2x人，已知五六年级学生共有627人，列出方程：x＋1.2x＝627，化简等式左侧含未知数的项，再根据等式的性质2，等式两边再同时除以2.2，解出x，即可求出六年级学生的人数，再用总人数减去六年级的人数，可得五年级人数，即可求出两个年级各有学生多少人。 【规范解答】（1）30－24＝6（瓶） 6瓶单瓶的费用： 1.8×6＝10.8（元） 总费用：36＋10.8＝46.8（元） 答：至少需要46.8元。 （2）解：设六年级有学生x人，则五年级有学生1.2x人。 x＋1.2x＝627 2.2x＝627 x＝627÷2.2 x＝285 五年级：627－285＝342（人） 答：五年级有学生342人，六年级有学生285人。 高频考点四 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·天津河东·期末）春节快到了，某超市开始采购年货。购进了90箱年画，比购进中国结箱数的2倍还多20箱。该超市购进了多少箱中国结？（列方程解答） 【答案】35箱 【思路引导】根据题意，设该超市购进了x箱中国结。数量关系式是：中国结箱数×2＋20箱＝年画的箱数。据此列出方程。再根据等式的性质1，在方程两边同时减去20。再根据等式的性质2，在方程两边同时除以2，即可求解。 【规范解答】解：设该超市购进了x箱中国结。 2x＋20＝90 2x＋20－20＝90－20 2x＝70 2x÷2＝70÷2 x＝35 答：该超市购进了35箱中国结。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）国华小学重阳节开展“敬老爱老”活动，五年级有180人参加活动，比四年级参加活动人数的2倍多20人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【答案】80人 【思路引导】设四年级参加活动的有x人。五年级参加活动的人数是四年级参加活动人数的2倍多20人，即四年级参加活动的人数×2＋20人＝五年级参加活动的人数，列方程：2x＋20＝180，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设四年级参加活动的有x人。 2x＋20＝180 2x＋20－20＝180－20 2x＝160 2x÷2＝160÷2 x＝80 答：四年级参加活动的有80人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江台州·期末）如图所示，两个完全一样的直角三角形ABC和直角三角形DEF部分重叠在一起，阴影部分的面积是( )平方厘米，OD长( )厘米。 【答案】 15 4 【思路引导】根据图可知，阴影部分面积＝大三角形ABC的面积减去一个小三角形DOC的面积；右下角梯形的面积＝大三角形DEF的面积减去小三角形DOC的面积；大三角形ABC的面积＝大三角形DEF的面积，所以阴影部分面积等于右下角梯形面积；梯形的上底是（9－3）厘米，下底是9厘米，高是2厘米，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出右下角梯形面积，即阴影部分面积； 设OD长x厘米，则AB长是（x＋2）厘米，根据阴影部分是一个梯形面积，高是3厘米，根据梯形面积公式列方程，解方程，即可求出OD的长度，据此解答。 【规范解答】（9－3＋9）×2÷2 ＝（6＋9）×2÷2 ＝15×2÷2 ＝30÷2 ＝15（平方厘米） 解：设OD长x厘米，则AB长是（x＋2）厘米。 （x＋x＋2）×3÷2＝15 （2x＋2）×3÷2＝15 （2x＋2）×3÷2÷3×2＝15÷3×2 2x＋2＝5×2 2x＋2＝10 2x＋2－2＝10－2 2x＝8 2x÷2＝8÷2 x＝4 两个完全一样的直角三角形ABC和直角三角形DEF部分重叠在一起，阴影部分的面积是15平方厘米，OD长4厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是要清楚，阴影部分的面积等于右下角梯形的面积。 高频考点五 解含括号的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西南昌·期末）解方程。 12.8x－5.6x＝2.16     6.9＋0.15x＝12    （x－3.7）÷0.4＝17.5 【答案】x＝0.3；x＝34；x＝10.7 【思路引导】①先计算方程的左边，把方程化为7.2x＝2.16。根据等式的性质，方程的两边同时除以7.2求解； ②根据等式的性质，方程的两边同时减6.9，再同时除以0.15即可求解； ③根据等式的性质，方程的两边同时乘0.4，再同时加3.7即可求解。 【规范解答】12.8x－5.6x＝2.16 解：7.2x＝2.16 7.2x÷7.2＝2.16÷7.2 x＝0.3 6.9＋0.15x＝12 解：6.9＋0.15x－6.9＝12－6.9 0.15x＝5.1 0.15x÷0.15＝5.1÷0.15 x＝34 （x－3.7）÷0.4＝17.5 解：（x－3.7）÷0.4×0.4＝17.5×0.4 x－3.7＝7 x－3.7＋3.7＝7＋3.7 x＝10.7 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东江门·期末）在学校“垃圾分类”知识竞赛中，五年（1）班和五年（2）班共有120人参加。五（1）班参赛人数比五（2）班的2倍少6人。五（1）班和五（2）班各有多少人参加？（用方程解答） 【答案】五（1）班：78人；五（2）班：42人 【思路引导】设五（2）班有x人，五（1）班参赛人数比五（2）班的2倍少6人，即五（1）班人数＝五（2）班人数×2－6人，五（1）班有（2x－6）人，五年（1）班和五年（2）班共有120人参加，列方程：x＋（2x－6）＝120，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设五（2）班有x人，则五（1）班有（2x－6）人。 x＋（2x－6）＝120 x＋2x－6＝120 3x－6＋6＝120＋6 3x＝126 3x÷3＝126÷3 x＝42 五（1）班：42×2－6 ＝84－6 ＝78（人） 答：五（1）班有78人，五（2）班有42人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东济南·期末）小马虎在计算一道混合运算题时，错抄成，这样的计算结果是69，则这道混合运算题的正确答案是( )。 【答案】255 【思路引导】由题意知：抄错之后的计算结果是69，即（△÷2.3）×30－21＝69，将△看作未知数，利用等式的性质，将△求出来，再代入正确的算式中，计算出答案，即可解答。 【规范解答】（△÷2.3）×30－21＝69 解：（△÷2.3）×30－21＋21＝69＋21 （△÷2.3）×30＝90 （△÷2.3）×30÷30＝90÷30 △÷2.3＝3 △÷2.3×2.3＝3×2.3 △＝6.9 将△＝6.9代入正确算式中，求出结果。 正确算式：（△＋2.3）×30－21 ＝（6.9＋2.3）×30－21 ＝9.2×30－21 ＝276－21 ＝255 【考点剖析】“错中求解”关键“将错就错”，通过错的数算出对的数，再求解正确答案。 高频考点六 方程的检验 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一杯奶茶8元，每个蛋糕6元。孙红买了5杯奶茶和个蛋糕，奶茶和蛋糕一共( )元；当时，奶茶和蛋糕一共( )元。 【答案】 或 76 【思路引导】①用奶茶的单价8元乘购买的杯数再加上蛋糕的单价6元乘蛋糕的数量个，即可表示出奶茶和蛋糕一共多少钱； ②将代入表示出的式子即可求出奶茶和蛋糕一共多少钱。 【规范解答】（）元 （元） 奶茶和蛋糕一共（）元；当时，奶茶和蛋糕一共76元。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·湖南张家界·期末）解方程，带*的要检验。 *2x＋3.5＝10.7                    *5x－x＝9.6 4（x＋2.4）＝18.8                 24－6x＝7.8 【答案】x＝3.6；x＝2.4 x＝2.3；x＝2.7 【思路引导】第一个方程利用等式的性质等式两边同时减3.5算出来2x是多少，再利用等式的性质等式两边同时除以2算出来答案。再把所得的解代入等式的左边进行计算，比较左右两边的得数，进行检验。 第二个方程先算出来5x－x是4x，再利用等式的性质等式两边同时除以4算出来答案。再把所得的解代入等式的左边进行计算，比较左右两边的得数，进行检验。 第三个方程先利用等式的性质等式两边同时除以4算出来x＋2.4是多少，再利用等式的性质等式两边同时减2.4算出来答案。 第四个方程先利用“减数＝被减数－差”算出来6x是多少，再利用等式的性质等式两边同时除以6算出来答案。 【规范解答】*2x＋3.5＝10.7    解：2x＋3.5－3.5＝10.7－3.5 2x＝7.2 2x÷2＝7.2÷2 x＝3.6 方程左边＝2x＋3.5 ＝2×3.6＋3.5 ＝7.2＋3.5 ＝10.7 ＝方程右边 所以x＝3.6是方程的解。 *5x－x＝9.6 解：4x＝9.6 4x÷4＝9.6÷4 x＝2.4 方程左边＝5x－x ＝5×2.4－2.4 ＝12－2.4 ＝9.6 ＝方程右边 所以x＝2.4是方程的解。 4（x＋2.4）＝18.8 解：4（x＋2.4）÷4＝18.8÷4 x＋2.4＝4.7 x＋2.4－2.4＝4.7－2.4 x＝2.3 24－6x＝7.8 解：6x＝24－7.8 6x＝16.2 6x÷6＝16.2÷6 x＝2.7 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河北邢台·期末）填序号。 ①    ②    ③ ④    ⑤ (1)等式有( )，方程有( )。 (2)方程( )解是。 【答案】(1) ②④⑤ ②⑤ (2)② 【思路引导】等式是含有“＝”且左右两边相等的式子，方程是同时含有未知数和“＝”的等式。先判断各式子：①x＋7.9＜16含未知数但用“＜”连接，不是等式也不是方程；②0.23x＝4.6既含未知数又有“＝”，既是等式也是方程；③55＞m÷0.4含未知数但用“＞”连接，不是等式也不是方程；④15×2.4＝36有“＝”但不含未知数，是等式不是方程；⑤66−x＝38既含未知数又有“＝”，既是等式也是方程，因此等式有②④⑤，方程有②⑤。接着判断哪个方程的解是x＝20，根据“方程的解能使方程左右两边相等”，将x＝20代入②中，左边0.23×20＝4.6与右边相等，代入⑤中左边66−20＝46与右边38不相等，故方程②的解是x＝20。最终答案：（1）等式有②④⑤，方程有②⑤；（2）方程②的解是x＝20。 【规范解答】（1）①x＋7.9＜16不是等式也不是方程；②0.23x＝4.6既是等式也是方程；③55＞m÷0.4不是等式也不是方程；④15×2.4＝36是等式不是方程；⑤66−x＝38既是等式也是方程，因此等式有②④⑤，方程有②⑤。 （2）代入x＝20到②：0.23×20＝4.6，与右边相等；代入x＝20到⑤：66−20＝46≠38，不相等。故方程②的解是x＝20。 高频考点七 列简易方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·江西新余·期末）下列选项中，不能用方程＋5＝48来解释的是（    ）。 A．左图中长方形的面积是48平方米，阴影部分的面积是平方米。 B．小军和小红共集邮票48张，小红收集了张邮票，小军收集的邮票数是小红的5倍。 C．一个长方形的周长是48分米，长是5分米，宽为分米。 D． 【答案】C 【思路引导】我们逐一分析每个选项，判断其对应的方程是否为＋5＝48： A．图中长方形被分为6个相等的小正方形，总面积是由一个阴影小正方形的面积+5个空白小正方形的面积=48平方米，阴影面积为，因此方程应为+5＝48。 B．小红收集张，小军是小红的5倍即5张，总数为＋5＝48。 C．长方形周长公式为长加宽，因此方程应为（5＋）×2＝48。 D．上面是千克，下面是5千克，总数为＋5＝48。 【规范解答】A．6个小正方形总面积为48，方程为＋5＝48，符合方程； B．小红张，小军5张，总数＋5＝48，符合方程； C．周长为：（5＋）×2＝48，不符方程； D．上下两部分共＋5＝48，符合方程。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北孝感·期末）下列选项中能用方程“3x－x＝44”来表示的是（    ）。 A． B． C．涂色小正方形的面积为x平方米，大正方形的面积为44平方米。 D．长方形的周长是44厘米。 【答案】B 【思路引导】A．女生人数加男生人数等于44人，应该用加法； B．菠萝蜜重量比榴莲重量多44kg，应用减法； C．大正方形平均分成四份，44应该是4个小正方形的面积； D．利用长方形的周长公式列出算式。 【规范解答】A． 女生人数加男生人数等于44人，所以是3x＋x＝44，与题意不符； B．菠萝蜜重量是榴莲的3倍，是3x，菠萝蜜重量比榴莲重量多44kg，所以是3x－x＝44，符合题意； C． 大正方形平均分成四份，一个小正方形的面积是x，所以大正方形面积是4x＝44，不符合题意； D．根据长方形的周长公式，可列出算式（3x＋x）×2＝44，不符合题意； 故答案为：B。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·浙江温州·期末）如图为三个大小、形状完全相同的长方形，根据图中的数量关系，下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】 三个长方形大小、形状完全相同，表示的数据也相同，如图，根据①＝②、①＝③和②＝③，都可以列出方程，据此分析。 【规范解答】A．根据①＝③可得：； B．根据①＝②可得：； C．根据②＝③可得：； D．③表示x和206的和，选项方程错误。 方程错误的是。 故答案为：D 高频考点八 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北武汉·期末）AB两地相距682.5千米，甲乙两车同时从AB两地相对开出，6.5小时相遇，甲车的速度是每小时52千米，乙车的速度是多少？ 【答案】每小时53千米 【思路引导】速度×时间＝路程，设乙车的速度是x千米/时，根据甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设乙车的速度是每小时x千米。 52×6.5＋6.5x＝682.5 338＋6.5x＝682.5 338＋6.5x－338＝682.5－338 6.5x＝344.5 6.5x÷6.5＝344.5÷6.5 x＝53 答：乙车的速度是每小时53千米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东东莞·期末）宝墨园是大型岭南文化山水园林。它的占地面积为10公顷，比清晖园占地面积的5倍少1公顷，清晖园的占地面积是多少公顷？（先写等量关系，再用方程解答） 等量关系： 【答案】清晖园占地面积×倍数－少的面积＝宝墨园的占地面积 2.2公顷 【思路引导】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，此题的等量关系是：清晖园占地面积×5－1公顷＝宝墨园的占地面积。设清晖园的占地面积是x公顷，根据等量关系，列出方程解答即可。 【规范解答】等量关系：清晖园占地面积×5－1公顷＝宝墨园的占地面积 解：设清晖园的占地面积是x公顷， 5x－1＝10 5x－1＋1＝10＋1 5x＝11 5x÷5＝11÷5 x＝2.2 答：清晖园的占地面积是2.2公顷。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北黄石·期末）春节探亲路上要合理规划行程。甲、乙两辆汽车同时从黄石出发前往荆州走亲访友，甲车每小时行85千米，乙车每小时行70千米，经过多少小时两车相距45千米？（列方程解答） 【答案】3小时 【思路引导】由题意可知，两车相距的距离就是两车的路程差，设经过x小时后两车相距45千米，甲、乙两辆汽车同时从黄石出发，根据路程＝速度×时间，用较快速度的路程－较慢速度的路程＝45，列出方程，再解方程即可。 【规范解答】解：设经过x小时后两车相距45千米。 85x－70x＝45 15x＝45 15x÷15＝45÷15 x＝3 答：经过3小时两车相距45千米。 高频考点九 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）圆圆和乐乐共收集了210张纪念邮票，圆圆和乐乐各收集了多少张纪念邮票？（用方程解答） 【答案】乐乐42张；圆圆168张 【思路引导】因为圆圆的邮票张数是乐乐的4倍，设乐乐有张邮票，则圆圆有4x张邮票，又知：圆圆和乐乐共收集了210张纪念邮票，即圆圆的邮票张数＋乐乐的邮票张数＝210张，据此等量关系列方程求解即可。 【规范解答】解：设乐乐为张，圆圆为张。 4×42＝168（张） 答：乐乐收集了42张邮票，圆圆收集了168张邮票。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·江西新余·期末）赣南脐橙和寻乌蜜桔是江西省赣州市的特产水果，水果批发商店共运进脐橙和蜜桔900千克，脐橙的质量是蜜桔的3.5倍，商店运进脐橙、蜜桔各多少千克？（画一画或说一说你的思考过程再用方程解答） 【答案】 见详解；脐橙700千克；蜜桔200千克 【思路引导】蜜桔：用1段线段表示，标注“x千克”； 脐橙：用3.5段等长线段表示（3段完整线段＋0.5段线段），标注“3.5x千克”； 总质量：将蜜桔和脐橙的线段括起来，标注“900千克”。 把蜜桔质量看作1份，脐橙是3.5份，总份数为4.5份对应900千克；设蜜桔为x千克，脐橙为3.5x千克，列方程x＋3.5x＝900，解得蜜桔200千克，脐橙700千克。 【规范解答】 解：设蜜桔的质量是x千克，则脐橙的质量是3.5x千克。 x＋3.5x＝900 （1＋3.5）x＝900 4.5x＝900 4.5x÷4.5＝900÷4.5 x＝200 当x＝200时，脐橙的质量：3.5x＝3.5×200＝700（千克） 答：商店运进脐橙700千克，蜜桔200千克。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东济南·期末）有一批810吨货物。甲车先运了3次，然后甲车与乙车一起又运了5次，正好运完。已知甲车比乙车每次多运20吨，那么甲、乙两车每次各运多少吨？（用方程解决） 【答案】甲车每次运70吨；乙车每次运50吨 【思路引导】解答这道题需明确列方程解应用题的一般步骤：确定等量关系；将未知量设为；根据等量关系列方程；解方程；作答。这道题将未知量乙车每次运的吨数设为吨，同时用表示甲车每次运的吨数。题目中的等量关系为甲车运的吨数＋乙车运的吨数＝总吨数。两辆车运的吨数＝次数×每次运的吨数。据此列方程解答。 【规范解答】根据分析： 解：设乙车每次运的吨数为吨，则甲车每次运的吨数为吨。 （吨） 答：甲车每次运70吨，乙车每次运50吨。 【考点剖析】解答这道题的关键是确定列方程所需的等量关系，根据等量关系列出方程并求解。 高频考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·黑龙江绥化·期末）学校阅览室给学生订了98份刊物，学生刊物的份数比教师刊物的6倍还多2份。学校给教师订了多少份刊物？（列方程解） 【答案】16份 【思路引导】根据题意，设学校给教师订了x份刊物，根据数量关系式：教师刊物的份数×6＋2＝学生刊物的份数，列方程为6x＋2＝98，解方程即可得解。 【规范解答】解：设学校给教师订了x份刊物， 6x＋2＝98 6x＋2－2＝98－2 6x＝96 6x÷6＝96÷6 x＝16 答：学校给教师订了16份刊物。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·上海虹口·期末）学校组织学生参加为期三天的夏令营，为学生分配宿舍。如果每间住4人，那么正好住满；如果每间住6人，那么正好空出10间宿舍。宿舍一共有多少间？学生有多少人？ 【答案】 宿舍30间；学生120人 【思路引导】设宿舍有x间，如果每间住4人，那么正好住满，则学生有4x人；如果每间住6人，则可以住6x人，但是空出10间宿舍，说明可以多住10×6＝60人，即每间住6人比每间住4人可以多住60人，即可列出方程6x－4x＝10×6，求出方程的解，即宿舍的数量，进而计算出学生人数。 【规范解答】解：设宿舍一共有x间，则学生有4x人。 6x－4x＝10×6 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 4×30＝120（人） 答：宿舍有30间，学生有120人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 【答案】8.5千米 【思路引导】根据题意可知，在离家1.5千米处，红红仍然以相同的速度向前行走，明明以每小时6千米的速度返回拿借书卡再追赶红红，明明比红红多走了（1.5×2）千米，两人行走的时间却是相同的。设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米，则此时明明行走的路程是（x＋1.5×2）千米，根据红红行走的路程÷速度＝明明行走的路程÷速度，列出方程求出x的值是明明开始返回，红红行走的路程，再加上明明返回时已经走的路程和距离图书馆的距离即可。 【规范解答】解：设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米。 x÷4＝（x＋1.5×2）÷6 x÷4×24＝（x＋3）÷6×24 6x＝（x＋3）×4 6x＝4x＋12 6x－4x ＝4x＋12－4x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 6＋1.5＋1＝8.5（千米） 答：他们家到图书馆的距离是8.5千米。 【考点剖析】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 奥数拓展一 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（25-26五年级上·四川成都·阶段检测）解方程。 80＋4x＝100     98÷（m＋1.02）＝7           3（4x＋5）＝8x－2（3x－15） 【答案】x＝5；m＝12.98；x＝1.5 【思路引导】根据等式的基本性质，对每个方程进行求解。 （1）根据等式性质，两边同时减去80，再两边同时除以4，求出x的值。 （2）先把（m＋1.02）看作一个整体，先用98÷7算出（m＋1.02），再两边同时减去1.02，求出m的值。 （3）先利用乘法分配律去括号，得到12x＋15＝8x－6x＋30，整理后12x＋15＝2x＋30，再利用等式的基本性质，两边同时减去15，再两边同时减去2x，最后两边同时除以10，求出x的值。 【规范解答】80＋4x＝100 解：80＋4x－80＝100－80 4x＝20 4x÷4＝20÷4 x＝5 98÷（m＋1.02）＝7 解：m＋1.02＝98÷7 m＋1.02＝14 m＋1.02－1.02＝14－1.02 m＝12.98 3（4x＋5）＝8x－2（3x－15） 解：12x＋15＝8x－6x＋30 12x＋15＝2x＋30 12x＋15－15＝2x＋30－15 12x＝2x＋15 12x－2x＝2x＋15－2x 10x＝15 10x÷10＝15÷10 x＝1.5 【考点剖析】当方程中有除法形式，且除数是含未知数的式子时，可先把除数部分看成整体，利用等式性质逐步转化，求出未知数。 对于有括号的方程，先去括号（注意符号变化），再通过等式的基本性质把逐步把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，最后求解，要熟练运用乘法分配律和等式性质。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山东烟台·期末）妈妈给小青26元，让她去买5斤香蕉、4斤苹果且告诉她26元刚好能买5斤香蕉和4斤苹果。结果她买的数量给弄颠倒了，最后还剩下1.6元。那么苹果每斤( )元。 【答案】2 【思路引导】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立。总价＝单价×数量。由题意得，香蕉的单价×5＋苹果的单价×4＝26元，香蕉的单价×4＋苹果的单价×5＝26－1.6＝24.4元。然后利用等式的性质将其变形并求解即可。 【规范解答】香蕉的单价×5＋苹果的单价×4＝26元……① 香蕉的单价×4＋苹果的单价×5＝26－1.6＝24.4元……② 等式①两边同时乘上4得：（香蕉的单价×5＋苹果的单价×4）×4＝26×4 香蕉的单价×5×4＋苹果的单价×4×4＝104 香蕉的单价×20＋苹果的单价×16＝104……③ 等式②两边同时乘上5得：（香蕉的单价×4＋苹果的单价×5）×5＝24.4×5 香蕉的单价×4×5＋苹果的单价×5×5＝24.4×5 香蕉的单价×20＋苹果的单价×25＝122……④ 等式④减去等式③得：苹果的单价×（25－16）＝122－104 苹果的单价×9＝18 苹果的单价＝18÷9 苹果的单价＝2（元） 故苹果每斤2元。 【考点剖析】本题主要考查学生根据题意列等量关系式的能力，得到等量关系式后，需要仔细观察两个等式的特点，利用等式的性质将其变形为合适的式子并相减，得到只有一个未知数的式子。然后直接求解即可。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）五年级同学乘车去博物馆参观。如果租5辆车，则有10名同学没有座位；如果租6辆车，则多出32个座位。 （1）每辆车上有多少个座位？（列方程解答） （2）一共有多少名同学去博物馆参观？ 【答案】（1）42个 （2）220名 【思路引导】（1）根据题意可知，乘车去博物馆参观的总人数一定，等量关系：每辆车可乘坐的人数×5＋10＝每辆车可乘坐的人数×6－32，据此列出方程，并求解。 （2）把上一题求出的每辆车可乘坐的人数代入方程左边或右边，即可求出总人数。 【规范解答】（1）解：设每辆车上有个座位。 5＋10＝6－32 5＋10－5＝6－32－5 10＝－32 －32＋32＝10＋32 ＝42 答：每辆车上有42个座位。 （2）5×42＋10 ＝210＋10 ＝220（名） 答：一共有220名同学去博物馆参观。 【考点剖析】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 奥数拓展二 解含括号的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）解方程（42－3x）÷9＝4.5时，先把（    ）看作一个整体，再把（    ）看作一个整体。 A．42－3x；3x B．（42－3x）÷9；3x C．3x；42－3x D．无法判断 【答案】A 【思路引导】解如a（bx±c）＝m的方程时，可以把括号部分看作一个整体，再把bx看作一个整体，据此解答。 【规范解答】（42－3x）÷9＝4.5 解：（42－3x）÷9×9＝4.5×9 42－3x＝40.5 42－40.5－3x＋3x＝40.5－40.5＋3x 1.5＝3x 3x＝1.5 3x÷3＝1.5÷3 x＝0.5 解方程（42－3x）÷9＝4.5时，先把（42－3x）看作一个整体，再把3x看作一个整体。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查解方程的熟练程度、方程变形的依据以及解方程的步骤等知识。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河北·单元测试）妈妈给了亮亮10元6角钱，正好可以买3千克香蕉和2千克苹果，结果亮亮把香蕉和苹果的数量弄颠倒了，因此少花了0.7元钱。香蕉和苹果每千克的价钱各是多少元？ 【答案】香蕉2.4元；苹果1.7元 【思路引导】把10元6角转化为10.6元，买3千克香蕉和2千克苹果需要10.6元，买2千克香蕉和3千克苹果需要（10.6－0.7）元，则1千克香蕉比1千克苹果贵0.7元，把香蕉的单价设为未知数，用含有字母的式子表示出苹果的单价，等量关系式：香蕉的单价×3＋苹果的单价×2＝10.6元，据此列方程解答。 【规范解答】10元6角＝10.6元 3千克香蕉＋2千克苹果 ＝2千克香蕉＋2千克苹果＋1千克香蕉 ＝10.6元 2千克香蕉＋3千克苹果 ＝2千克香蕉＋2千克苹果＋1千克苹果 ＝10.6元－0.7元 ＝9.9元 1千克香蕉－1千克苹果 ＝10.6元－9.9元 ＝0.7元 解：设每千克香蕉x元，则每千克苹果（x－0.7）元。 3x＋2（x－0.7）＝10.6 3x＋2x－2×0.7＝10.6 3x＋2x－1.4＝10.6 5x－1.4＝10.6 5x－1.4＋1.4＝10.6＋1.4 5x＝12 5x÷5＝12÷5 x＝2.4 2.4－0.7＝1.7（元） 答：每千克香蕉2.4元，每千克苹果1.7元。 【考点剖析】分析题意明确少花的钱数是每千克香蕉比每千克苹果贵的钱数并找出等量关系式准确列出方程是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人；现调为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】12分 【思路引导】先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案。 【规范解答】解：设原来一等奖平均分为 x，二等奖平均分为 y，三等奖平均分为z。 ①[10x＋20y＋40z＝15（x－3）＋25（y－2）＋30（z－1） 10x＋20y＋40z＝15x－45＋25y－50＋30z－30 5 x＋5y－10z＝125 x＋y－2z＝25 因为原二等奖比三等奖平均分数多6分 所以y－z＝6 ②z＝ y－6 将②z＝ y－6代入①式中得： x＋y－2（y－6）＝25 x＋y－2y＋12＝25 x－y＝13 则 （x－3）－（y－2） ＝x－3－y＋2 ＝x－y－1 ＝13 －1 ＝12（分） 【考点剖析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数。 奥数拓展三 列简易方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）根据下面的数量关系，不可以用方程2x＋3＝20表示的是（    ）。 ①买2kg香蕉，每千克香蕉x元，带了20元，还差3元。 ②乐乐有x元，哥哥的钱数比乐乐的2倍多3元，哥哥有20元。 ③苹果每千克x元，芒果每千克价格比苹果贵2元，买3kg芒果共花20元。 ④五年级一班和五年级二班的劳动基地都种了向日葵。五年级一班收了xkg葵花籽，五年级二班收了20kg葵花籽，比五年级一班的2倍还多3kg。 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】A 【思路引导】根据每个选项表示的等量关系，逐一分析，看能不能用方程表示。 【规范解答】由分析可得： ①用香蕉购买的单价乘购买的千克数，可得需要的钱数，即（元），再列出等量关系式：买香蕉的钱-带的钱数＝差的钱，可以列方程：，不可以用方程表示； ②哥哥的钱数比乐乐的2倍多3元，可列方程为：乐乐钱数的2倍＋3元＝哥哥钱数，即，可以用方程表示； ③芒果每千克价钱比苹果贵2元，则芒果每千克为元，可列方程芒果每千克钱数×购买的千克数＝20元，即，不可以用方程表示； ④五（2）班比五（1）班的2倍还多3千克，可列方程五（1）班千克数×2＋3千克＝20千克，即，可以用方程表示。 故答案为：A 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图所示，大正方形的边长为a厘米，小正方形的边长为b厘米。 （1）用字母式子表示a和b之间的等量关系：( )；如果a是6厘米，那么b是( )厘米。 （2）大正方形的周长是48厘米，根据题意列出方程：( )。 （3）小正方形的面积是25平方厘米，根据题意列出方程：( )。 （4）大长方形的周长是66厘米，根据题意列出方程：( )。 【答案】 2a＝3b 4 4a＝48 b2＝25 4a＋5b＝66 【思路引导】（1）观察图形知，2个a等于3个b，即可写出a与b的关系是2a＝3b；把a＝6，代入2a＝3b中，即可求出b的值； （2）据正方形的周长＝边长×4，即可列出方程； （3）据正方形的面积＝边长×边长，即可列出方程； （4）据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可列出方程。 【规范解答】据分析知：（1）a和b之间的等量关系：2a＝3b；当a＝6厘米时，3b＝12，b＝4； （2）正方形的周长＝边长×4，可列方程为：4a＝48； （3）正方形的面积＝边长×边长，可列方程为：b2＝25； （4）长方形的周长＝（长＋宽）×2，可列方程为：4a＋5b＝66。 【考点剖析】掌握方程的概念，会用含字母的式子表示数，熟悉正方形与长方形的面积和周长的公式，这是解决此题的关键。 奥数拓展四 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江宁波·期末）箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球，每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了若干次后，乒乓球正好取完，羽毛球还剩6个。原来乒乓球和羽毛球各有多少个？ 若设( )为x，可以列得方程5x＝3x＋6；若设( )为x，可以列得方程x÷5＝（x－6）÷3。 【答案】 取的次数 原来乒乓球和羽毛球的个数 【思路引导】若设取的次数为x，根据等量关系：取出乒乓球的总个数＝取出羽毛球的总个数＋羽毛球剩下的个数，列方程解答即可；若设原来乒乓球和羽毛球的个数为x个，根据等量关系：乒乓球的总个数÷每次取出乒乓球的个数＝（羽毛球的总个数－羽毛球剩下的个数）÷每次取出羽毛球的个数，列方程解答即可。 【规范解答】解：设取的次数为x。 5x＝3x＋6 5x－3x＝3x＋6－3x 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 5×3＝15（个） 答：原来乒乓球和羽毛球各有15个。 解：设原来乒乓球和羽毛球的个数为x个。 x÷5＝（x－6）÷3 3x＝5x－30 2x＝30 x＝15 原来乒乓球和羽毛球各有15个。 若设取的次数为x，可以列得方程5x＝3x＋6；若设原来乒乓球和羽毛球的个数为x，可以列得方程x÷5＝（x－6）÷3。 【考点剖析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）箱子里装有一定数量的乒乓球和羽毛球，乒乓球的数量是羽毛球的2倍。每次取出6个乒乓球和2个羽毛球，取了几次后，乒乓球取完了，羽毛球还剩8个。一共取了( )次，羽毛球原来有( )个。 【答案】 8 24 【思路引导】根据题意，设一共取了x次，则取了6x个乒乓球，2x个羽毛球，用羽毛球取的个数加上还剩的个数，即可求出羽毛球的总个数为（2x＋8）个；乒乓球的个数是羽毛球的2倍，用羽毛球的总个数乘2，即可求出乒乓球的个数，而乒乓球的个数等于6x，据等量关系式：羽毛球的个数×2＝乒乓球的个数，列出方程为：（2x＋8）×2＝6x。 根据等式的性质，解方程即可求出取的次数，进而代入2x＋8中，求出羽毛球原来的个数。 【规范解答】解：设一共取了x次，则取了6x个乒乓球，2x个羽毛球。 （2x＋8）×2＝6x 4x＋16＝6x 4x＋16－4x＝6x－4x 16＝2x 2x÷2＝16÷2 x＝8 2×8＋8 ＝16＋8 ＝24（个） 因此，箱子里装有一定数量的乒乓球和羽毛球，乒乓球的数量是羽毛球的2倍。每次取出6个乒乓球和2个羽毛球，取了几次后，乒乓球取完了，羽毛球还剩8个。一共取了8次，羽毛球原来有24个。 【考点剖析】本题的解题关键在于正确表示羽毛球的原始数量和取出次数的关系，将实际问题转化为数学问题求解。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025五年级上·全国·专题练习）甲、乙两地相距800千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，5小时后两车在距中点50千米处相遇，则快车每小时比慢车快( )千米。 【答案】20 【思路引导】根据题意，设快车每小时比慢车快x千米，那么5小时内快车比慢车多行驶的路程为5x千米。由于两车在距中点50千米处相遇，快车比慢车多走了50×2千米，据此建立方程求解，据此解答。 【规范解答】解：设快车每小时比慢车快x千米。 5x＝50×2 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 快车每小时比慢车快20千米。 【考点剖析】关键是找到等量关系：“快车5小时的路程差=距中点距离的2倍”，通过方程求解速度差。 奥数拓展五 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·全国·课后作业）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18km处相遇（如下图）。已知甲车的速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行驶了多少千米？ 【答案】甲车行驶了216km；乙车行驶了180km。 【思路引导】根据题意，两车在距离中点18km处相遇，可知甲车行驶的路程比一半多18km，乙车行驶的路程比一半少18km，则甲车比乙车多行驶了km，据此列方程解答即可。 【规范解答】解：设乙车的速度是x千米/时，则甲车的速度是1.2x千米/时。 （km） （km） 答：甲车行驶了216km，乙车行驶了180km。 【考点剖析】本题距离中点18km处相遇，甲车比乙车多行驶的路程应是两个18km，理解到这一步是关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖北十堰·小升初真题）甲每小时跑14.4千米，乙每小时跑10.8千米，乙比甲多跑2分钟，结果比甲少跑了120米，那么甲跑了( )米。 【答案】1920 【思路引导】根据1小时＝60分钟，1千米＝1000米，统一单位。设甲跑了x小时，则乙跑时间＝甲跑的时间＋乙比甲多跑的时间，根据甲的速度×甲的时间－乙的速度×乙的时间＝乙比甲少跑的路程，列出方程求出x的值是甲跑的时间，甲的速度×甲的时间＝甲跑的路程。 【规范解答】2分钟＝小时＝小时 120米＝0.12千米 解：设甲跑了x小时。 14.4x－（x＋）×10.8＝0.12 14.4x－10.8x－0.36＝0.12 3.6x－0.36＋0.36＝0.12＋0.36 3.6x＝0.48 3.6x÷3.6＝0.48÷3.6 x＝ x＝ 14.4×＝1.92（千米）＝1920（米） 甲跑了1920米。 【考点剖析】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2023五年级上·广东汕尾·竞赛）高新小学有72名学生参加迎春杯数学比赛，平均分是60分，其中男生的平均分是65分，女生的平均分是57分。那么，女生比男生多多少人参加比赛？ 【答案】18人 【思路引导】本题可以用方程来解决，设男生有x人，则女生有（72－x）人。根据“总数＝平均数×份数”可知，男生的平均分是65分，则男生的总分为65x分；女生的平均分是57分，则女生的总分为57（72－x）分；全班的平均分是60分，则全班的总分为：72×60＝4320（分）。最后根据“男生总分＋女生总分＝全班总分”即可列出方程：65x＋57（72－x）＝72×60。解出这个方程即可知道男生有多少人，女生有多少人，最后再用女生人数减去男生人数即可求出女生比男生多多少人。 【规范解答】解：设男生有x人，则女生有（72－x）人。 65x＋57（72－x）＝72×60 65x＋4104－57x＝4320 8x＋4104＝4320 8x＝4320－4104 8x＝216 x＝216÷8 x＝27 72－27＝45（人） 45－27＝18（人） 答：女生比男生多18人参加比赛。 【考点剖析】根据平均数的意义，进而明确男、女生的总分和全班总分之间的关系是解题的关键。 奥数拓展六 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西西安·期中）儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 【答案】30件 【思路引导】设共购进这种女童装上衣件，则卖出件，根据单价×数量＝总价，可得总收入为元，总成本为元，根据总收入－总成本＝盈利钱数，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设共购进这种女童装上衣件。 答：儿童服装商店共购进这种女童装上衣30件。 【考点剖析】本题主要考查列方程解应用题，关键是找到等量关系，同时要注意利润是售价减成本。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·全国·单元测试）今年爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年之后，爷爷的年龄将是他的3倍，今年小李的年龄是多少？ 【答案】12岁 【思路引导】假设现在小李的年龄是x岁，现在爷爷就是5x岁，12年后小李是（x＋12）岁，爷爷是（5x＋12）岁，再根据数量关系“12年后爷爷的年龄＝小李的年龄×3”列出方程并解答。 【规范解答】解：设今年小李x岁，那么今年爷爷5x岁。 5x＋12＝3（x＋12） 5x＋12＝3x＋36 5x－3x＝36－12 2x＝24 x＝12 答：今年小李的年龄是12岁。 【考点剖析】找出等量关系：“12年后爷爷的年龄＝小李的年龄×3”是列方程解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）一天傍晚，爷爷骑自行车从家里、小聪从学校同时出发，相向而行。爷爷的速度是小聪的3倍少20米/分钟，经过5分钟相遇，相遇时爷爷超过中点450米。小聪家距离学校多少千米？（列方程解答） 【答案】1.9千米 【思路引导】速度×时间＝路程，设小明的速度是x米/分钟，则爷爷的速度是（3x－20）米/分钟，相遇时爷爷超过中点450米，说明爷爷比小明多行驶（450×2）米，根据爷爷的速度×相遇时间－小聪的速度×相遇时间＝两人路程差，列出方程求出x的值是小聪速度，小聪速度×3－20＝爷爷速度。再根据两人速度和×相遇时间＝总路程，即可求出小聪家距离学校的距离。 【规范解答】解：设小聪的速度是x米/分钟。 （3x－20）×5－5x＝450×2 15x－100－5x＝900 10x－100＝900 10x－100＋100＝900＋100 10x＝1000 10x÷10＝1000÷10 x＝100 100×3－20 ＝300－20 ＝280（米/分钟） （280＋100）×5 ＝380×5 ＝1900（米） ＝1.9（千米） 答：小聪家距离学校1.9千米。 【考点剖析】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系，理解相遇时爷爷超过中点450米比小明多行驶的路程。 1．（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）下面的问题可以用方程2x＋25＝85解决的是（    ）。 一件上衣85元，比一条裤子价格的2倍贵25元，一条裤子多少元？（解：设一条裤子x元） 一个等腰三角形的周长是85厘米，底边长为25厘米，腰长是多少厘米？（解：设其中一条腰长是x厘米） ① ② ③ ④ A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】根据每一项给出的图片或句子分析出所含的数量关系，并列出方程进行判断即可。 从①中图片可知，数量关系为“1个足球的价钱＋2个排球的价钱＝总价”； 从②中图片可知，数量关系为“上部分线段的长度＋下部分线段的长度＝总长度”； ③中的数量关系为“裤子的价格的2倍＋25元＝上衣的价格”； ④中的数量关系为“两条腰长＋底边的长度＝等腰三角形的周长”。 【规范解答】①：一个足球25元，一个排球x元，一个足球和2个排球一共85元，根据数量关系可以列方程为2x＋25＝85，符合题意； ②：上部分一条线段为x，下部分有2条这样的线段加上一条表示25的线段，合起来一共85，根据数量关系可以列方程为x＋2x＋25＝85，也就是3x＋25＝85，不符合题意； ③：设一条裤子为x元，根据数量关系可以列出方程2x＋25＝85，符合题意； ④：设一条腰长为x厘米，根据数量关系可以列出方程2x＋25＝85，符合题意。 因此，可以用方程2x＋25＝85解决的是①③④。 2．（25-26五年级上·河北承德·期末）下面选项中的数量关系，可以用方程3x＋x＝24来表示的是（    ）。 A．学校舞蹈队有女生24人，男生x人，女生人数是男生的3倍。 B．苹果和香蕉一共有24千克，苹果有x千克，香蕉的质量是苹果的3倍。 C．妈妈比聪聪大24岁，聪聪x岁，妈妈的年龄是聪聪的3倍。 【答案】B 【思路引导】找出各选项的等量关系，列出方程。选择符合题意的选项。 A．等量关系：男生人数×3＝女生人数 B．香蕉质量＋苹果质量＝一共的质量 C．妈妈的年龄－聪聪的年龄＝相差的岁数 【规范解答】A．列方程为：3x＝24，该选项不符合题意。 B．列方程为：3x＋x＝24，该选项符合题意。 C．列方程为：3x－x＝24，该选项不符合题意。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·山西吕梁·期末）从甲地到乙地的铁路线全长1956千米。两列火车相向同时出发。经过12小时相遇。已知快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？设慢车平均每小时行驶千米。则下列方程错误的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】同时出发相遇问题，根据，设慢车平均每小时行驶千米，快车平均每小时行驶90千米，经过12小时相遇。分别算出两列火车各自行驶的路程，再根据等量关系式：列出方程即可。 【规范解答】设慢车平均每小时行驶千米，则慢车行驶的路程为：，快车行驶的路程为；，根据等量关系列方程为：，或。选项A、B 正确。 故答案为：C 4．（25-26五年级上·西藏林芝·期末）下面能用方程“”解决的是（    ）。 A．一个长方形花坛的周长是117米，宽是9米，它的长是多少米 B．将117个相同的积木摆成个数相等的2排，还差9个积木，每排摆多少个积木 C．工艺品商户购进117个“泥人张”塑品，每天卖出9个，多少天卖完 D．超市运来117袋大米，比运来面粉袋数的2倍还多9袋，运来面粉多少袋 【答案】D 【思路引导】先分别分析每个选项的数量关系，根据题意列出对应的方程，再与题目给出的方程“”进行对比，选出正确的选项。 【规范解答】A．长方形的周长＝（长＋宽）×2。根据题意，设长方形的长是米，列出方程为：（＋9）×2＝117，化简得2＋18＝117，即117－2＝18，因此，不能用方程“”解决； B．设每排摆个积木，2排的总个数为2，则2排的总个数－现有的积木个数＝还差的积木个数，据此可列出方程：2－117＝9，因此，不能用方程“”解决； C．每天卖出的个数乘天数等于购进的总个数。设天卖完，每天卖出9个，天卖出的个数为9，已知总个数是117个，据此可列出方程：9x＝117，因此，不能用方程“”解决； D．“大米比运来面粉袋数的2倍还多9袋”，即大米的袋数减去面粉袋数的2倍等于9袋。设运来面粉袋，面粉袋数的2倍为2，已知大米有117袋，据此可列出方程：117－2＝9，与题意相符。 故答案为：D 5．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）下面各题中的数量关系能用方程3x－x＝24表示的是（    ）。 A．合唱队共有24人，男生x人，女生的人数是男生的3倍 B．鸡兔同笼，兔有x只，鸡的只数是兔的3倍，鸡的脚的只数比兔多24 C．今年丫丫x岁，妈妈的年龄是丫丫的3倍，2年前妈妈比丫丫大24岁 D．一个数的3倍等于24减去它本身 【答案】C 【思路引导】先明确方程3x－x＝24的数量关系：“一个量是x，另一个量是它的3倍（即3x），两者的差为24”。据此逐一分析。 【规范解答】A．合唱队共有24人，男生x人，女生的人数是男生的3倍，则女生人数为3x人，根据“男生人数＋女生人数＝24”可列方程为x＋3x＝24，不符合； B．兔有x只，则兔的脚的只数是4x只，鸡的只数是兔的3倍，则鸡的只数是3x只，鸡的脚的只数是（2×3x）只；鸡的脚的只数比兔多24，根据“鸡的脚的只数－兔的脚的只数＝24”可列方程为2×3x－4x＝24，不符合； C．今年丫丫x岁，妈妈的年龄是丫丫的3倍，则妈妈3x岁，2年前妈妈比丫丫大24岁，年龄差不变，仍为24岁，根据“妈妈的年龄－丫丫的年龄＝24”可列方程为3x－x＝24，符合； D．一个数的3倍等于24减去它本身，设这个数为x，这个数的3倍为3x，因此可列方程为3x＝24－x，即x＋3x＝24，不符合。 故答案为：C 【考点剖析】B选项中需明确鸡有2只脚，兔有4只脚，分别表示出鸡和兔的脚的只数，再根据数量关系列出方程；C选项中需明确年龄差不变。 6．（25-26五年级上·河南商丘·期末）有一个两位小数，把它的小数点向右移动一位，得到一个新的数，把这个新的数与x相加，和是14.5，根据数量关系列方程是( )。 【答案】 【思路引导】解答这道题需明确：将一个小数的小数点向右移动一位，它就扩大到原来的10倍。题目中已知有一个两位小数，即原数是，则新数为。根据等量关系：原数＋新数＝14.5，列出方程即可。 【规范解答】根据分析： 有一个两位小数，把它的小数点向右移动一位，则新数为。 根据等量关系，可列方程为： 7．（25-26五年级上·河北邢台·期末）如果2x＋5＝13，那么3x－2＝( )。 【答案】10 【思路引导】先利用等式的基本性质1：等式两边同时加或减去同一个数，所得结果还是等式，将方程的两边同时减5。再利用等式的基本性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，将等式的两边除以2，求出方程的解；再将解代入3x－2里面并求出答案。 【规范解答】2x＋5＝13 解：2x＋5－5＝13－5 2x＝8 2x÷2＝8÷2 x＝4 3x－2 ＝3×4－2 ＝12－2 ＝10 如果2x＋5＝13，那么3x－2＝10。 8．（25-26五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）昆虫爱好者发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下近似关系：n＝7t－21［n表示蟋蟀每分钟叫的次数，t表示当时气温（℃）］。当气温达到25℃时，蟋蟀每分钟叫( )次，如果蟋蟀每分钟叫189次，当时的气温是( )℃。 【答案】 154 30 【思路引导】根据题目，将t＝25代入关系式n＝7t－21，解关于n的方程即可，将n＝189代入关系式n＝7t－21，解关于t的方程即可。 【规范解答】t＝25时 n＝7×25－21 ＝175－21 ＝154（次） n＝189时 189＝7t－21 7t－21＋21＝189＋21 7t＝210 7t÷7＝210÷7 t＝30 因此，当气温达到25℃时，蟋蟀每分钟叫154次，如果蟋蟀每分钟叫189次，当时的气温是30℃。 9．（25-26五年级上·河北唐山·期末）豆豆用10元买了3支同样的圆珠笔和7本同样的练习本，剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元。一支圆珠笔的售价是( )元？（提示：此题是填空题，不必写计算过程。） 【答案】1.52 【思路引导】已知：用剩下的钱买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元，说明一支圆珠笔比一本练习本多：0.14＋0.8＝0.94（元），且（10＋0.14）元能买（3＋1）支圆珠笔和7本同样的练习本，设一本练习本的售价是x元，则一支圆珠笔的售价是（x＋0.94）元，且4支圆珠笔的总价＋7本练习本的总价＝（10＋0.14）元，结合单价×数量＝总价，列方程求解即可。（也可找出其他等量关系，列方程求解，方法不唯一） 【规范解答】解：设一本练习本的售价是x元，则一支圆珠笔的售价是（x＋0.94）元 7x＋4（x＋0.94）＝10＋0.14 7x＋4x＋4×0.94＝10＋0.14 7x＋4x＋3.76＝10＋0.14 7x＋4x＋3.76＝10.14 11x＋3.76＝10.14 11x＋3.76－3.76＝10.14－3.76 11x＝6.38 11x÷11＝6.38÷11 x＝0.58 x＋0.94＝0.58＋0.94＝1.52 所以豆豆用10元买了3支同样的圆珠笔和7本同样的练习本，剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元。一支圆珠笔的售价是1.52元。 【考点剖析】剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元，也就是多加0.14元可以多买1支圆珠笔。 解题关键：用剩下的钱买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元，说明一支圆珠笔比一本练习本多：0.14＋0.8＝0.94（元） 10．（24-25五年级上·浙江台州·期末）如图，平行四边形中阴影部分的面积比空白部分多20cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】40 【思路引导】观察图形发现，平行四边形、梯形、三角形的高相等，设它们的高都是hcm。梯形的上底是（12－8）cm、下底是12cm，三角形的底是8cm；根据“阴影部分的面积比空白部分多20cm2”得出等量关系：梯形的面积－三角形的面积＝20cm2，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，据此列出方程，并求出方程的解，即梯形的高，再根据梯形的面积公式求出阴影部分的面积。 【规范解答】解：设梯形、三角形的高是hcm。 （12－8＋12）×h÷2－8×h÷2＝20 16×h÷2－8×h÷2＝20 8h－4h＝20 4h＝20 4h÷4＝20÷4 h＝5 梯形的面积： （12－8＋12）×5÷2 ＝16×5÷2 ＝40（cm2） 阴影部分的面积是40cm2。 【考点剖析】利用梯形的面积、三角形的面积公式，结合梯形、三角形的面积差列出方程，求出梯形的高是解题的关键。 11．（24-25五年级上·湖南郴州·期末）方程和方程的解相等。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】，先利用等式的性质1，方程两边同时加上15，再利用等式的性质2，方程两边同时除以5；，先利用等式的性质1，方程两边同时减去1，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2，由此求出两个方程的解，最后判断它们的解是否相等，据此解答。 【规范解答】 解： 解： 由上可知，方程和方程的解都是，所以它们的解相等，题目说法正确。 故答案为：√ 12．（24-25五年级上·海南海口·期末）如果a＋5＝b＋4（a和b都是自然数），那么a＞b。( )（判断对错） 【答案】 × 由a＋5＝b＋4，可得a＋5－4＝b＋4－4，即a＋1＝b，b比a大，则a＜b。 【思路引导】根据等式的性质1，两边同时减去4，可得a＋5－4＝b＋4－4，可得a＋1＝b。由于a和b都是自然数（包括0），b总是比a大1，因此a＜b。据此判断。 【规范解答】由a＋5＝b＋4，两边同时减去4，可得a＋5－4＝b＋4－4，即a＋1＝b，则a＜b，原题说法错误。 故答案为：× 理由：由a＋5＝b＋4，可得a＋5－4＝b＋4－4，即a＋1＝b，b比a大，则a＜b。 13．（23-24五年级上·河南周口·期末）李磊在纸上写了一个数，他把这个数与这个数本身相加、相减、相除，所得的和、差、商加起来是10.6，李磊在纸上写的这个数是5.3。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】假设这个数为x，这个数与这个数本身相加，则为2x，这个数与这个数本身相减，结果为0，这个数与这个数本身相除，结果为1，根据，所得的和、差、商加起来是10.6，可知2x＋0＋1＝10.6，据此解出方程即可求出x的结果。 【规范解答】解：设这个数为x。 2x＋0＋1＝10.6 2x＋1＝10.6 2x＋1－1＝10.6－1 2x＝9.6 2x÷2＝9.6÷2 x＝4.8 这个数是4.8，原题干说法错误。 故答案为：× 14．（25-26五年级上·北京·期末）计算下面各题。 0.4×（3.6－1.2）    9.6÷1.6×2.8 7.5×3.6＋3.6×2.5    1.5×（10.8÷6） 12.3÷0.4÷2.5    7x－0.8＝38.4 【答案】0.96；16.8； 36；2.7； 12.3；x＝5.6 【思路引导】0.4×（3.6－1.2）应先算括号里面的减法，再算乘法，依次计算； 9.6÷1.6×2.8应先算除法，再算乘法，依次计算； 7.5×3.6＋3.6×2.5应先利用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，提取3.6，再算括号里的加法，最后算乘法，依次计算； 1.5×（10.8÷6）应先算括号里的除法，再算乘法，依次计算； 12.3÷0.4÷2.5应先利用除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c），把后面的两个除数相乘，再算除法，依次计算； 7x－0.8＝38.4应运用等式的性质1和2：等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘或除以同一个数（0除外），等式依然成立。利用这一性质，逐步推导出方程的解。 【规范解答】0.4×（3.6－1.2）           ＝0.42.4                  ＝0.96   9.6÷1.6×2.8 ＝62.8                  ＝16.8 7.5×3.6＋3.6×2.5           ＝3.6（7.5＋2.5）         ＝3.610                   ＝36 1.5×（10.8÷6） ＝1.51.8 ＝2.7 12.3÷0.4÷2.5                 ＝12.3（0.4×2.5）    ＝12.31                           ＝12.3                          7x－0.8＝38.4 解：7x0.80.8＝38.40.8 7x＝39.2 7x7 ＝39.27 x ＝5.6 15．（25-26五年级上·西藏林芝·期末）看图列综合算式并计算。 【答案】 【思路引导】看图可知，2个足球和3个篮球共474元，根据足球单价×足球个数＋篮球单价×篮球个数＝总钱数，列出方程，根据等式的性质1和2，两边同时减86×3的积，再同时除以2即可计算出的值，即足球的单价。 【规范解答】 解： 足球的单价是108元。 16．（25-26五年级上·河北承德·期末）妈妈在水果店里买了苹果和桃子共3.64千克，其中苹果的质量是桃子质量的3倍。妈妈买了多少千克桃子？（用方程解答） 【答案】0.91千克 【思路引导】根据题意，苹果和桃子的总质量是3.64千克，且苹果的质量是桃子质量的3倍。设买了千克桃子，则苹果的质量为千克，利用总质量关系列方程求解。 【规范解答】解：设妈妈买了千克桃子，则苹果的质量为千克。 答：妈妈买了0.91千克桃子。 17．（25-26五年级上·河南平顶山·期末）正阳文化广场正在开展知识竞赛活动，共有140名学生参加，其中男生人数是女生人数的2.5倍，参加知识竞赛的男、女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】参加知识竞赛的男、女生各有100人、40人 【思路引导】设女生有x人，则男生有2.5x人，根据男生人数＋女生人数＝总人数，列出方程求出x的值是女生人数，总人数－女生人数＝男生人数。 【规范解答】解：设参加知识竞赛的女生有x人。 2.5x＋x＝140 3.5x＝140 3.5x÷3.5＝140÷3.5 x＝40 140－40＝100（人） 答：参加知识竞赛的男、女生各有100人、40人。 18．（24-25五年级上·上海闵行·期末）某停车场的收费价格如下： 1小时或1小时以内 收费5元 超过1小时的部分 每小时按6元收费，不足1小时按1小时算。 超过12小时的部分 每小时按8元收费，不足1小时按1小时算。 李叔叔交了53元停车费，他在停车场最多停了多长时间？ 【答案】 9小时 【思路引导】假设停车12小时，超出1小时的时长为12－1＝11小时，每小时收费6元，超出部分的费用6×11＝66元，与1小时或1小时以内的固定费用5元相加求出总费用为5＋66＝71元，因为停车费53元小于停车12小时的总费用71元，说明停车时间没有超过12小时。 设他在停车场最多停了x小时，超出1小时的时长为（x－1）小时，每小时收费6元，所以超出部分的费用为6（x－1）元，与1小时或1小时以内的固定费用5元相加即为总停车费53元，据此可列方程为5＋6（x－1）＝53，化简得6x－1＝53，先算6x＝53＋1，再算x＝54÷6，据此解答。 【规范解答】解：设他在停车场最多停了x小时。 5＋6（x－1）＝53 5＋6x－6×1＝53 5＋6x－6＝53 6x－1＝53 6x＝53＋1 6x＝54 x＝54÷6 x＝9 答：他在停车场最多停了9小时。 【考点剖析】先计算1~12小时时段的总费用与总停车费作比较，确认停车时长是否超过12小时，再根据“固定费用＋超时费用＝总费用”列方程求解即可。 19．（25-26五年级上·湖北黄石·期末）五年级1班为“三好学生”准备了一批笔记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？准备的笔记本和钢笔各有多少？ 【答案】“三好学生”有12人；笔记本有68本；钢笔有34支 【思路引导】设501班共有x位“三好学生”，根据第一种分配方案：笔记本总数＝5x＋8，钢笔总数＝3x−2，根据第二种分配方案：笔记本总数＝4x＋20，钢笔总数＝2x＋10，根据两种分配方案的笔记本的本数不变列方程为5x＋8＝4x＋20，解方程求出x的值，就是501班“三好学生”的总数，再把x的值分别代入5x＋8和2x＋10即可分别求出准备的笔记本和钢笔各有多少。 【规范解答】解：设501班共有x位“三好学生”。 5x＋8＝4x＋20 5x＋8－4x＝4x＋20－4x x＋8＝20 x＋8－8＝20－8 x＝12 把x＝12代入5x＋8，得： 5×12＋8 ＝60＋8 ＝68（本） 把x＝12代入2x＋10，得： 2×12＋10 ＝24＋10 ＝34（支） 答：501班共有12位“三好学生”， 准备的笔记本有68本，钢笔有34支。 【考点剖析】设501班共有x位“三好学生”，找出两种分配方案笔记本的数量，明确两种分配方案的笔记本的本数不变是解题的关键。 20．（23-24五年级下·重庆合川·期末）晓峰的爸爸在离家4000米的动物园上班，如果以每分钟200米的速度骑车上班，正好准时到动物园。有一天，他出发几分钟后，因车出现小故障停车3分钟，为了保证安全，后面的路必须每分钟少行50米，结果比平时晚到8分钟。爸爸的车是在离动物园多远处出现的故障？ 【答案】3000米 【思路引导】根据时间＝路程÷速度，用4000÷200＝20分钟，求出晓峰的爸爸上班需要的时间；设出发x分钟后车出现小故障，x分钟前的速度是每分钟200米，x分钟行驶200x米；晓峰爸爸这天上班时间是20＋8＝28分钟；用28－出现小故障前的时间－停留的时间，就是出现小故障后到动物园上班的时间；为了保证安全，后面的路必须每分钟少行50米，这时的速度是200－50＝150米；用出现小故障前行驶的路程＋出现小故障后行驶的路程＝晓峰家到动物园的路程，列方程：200x＋（4000÷200＋8－x－3）×（200－50）＝4000，求出出发x分钟后车出现小故障，再根据速度×时间＝路程，用200×出现小故障前的时间，即可求出爸爸的车是在离家多远出现的故障，再用家到动物园的路程－从家到车出现小故障的距离，即可求出爸爸的车离动物园多远处出现的故障。 【规范解答】解：设出发x分钟后车出现小故障。 200x＋（4000÷200＋8－x－3）×（200－50）＝4000 200x＋（20＋8－x－3）×150＝4000 200x＋（28－x－3）×150＝4000 200x＋（25－x）×150＝4000 200x＋25×150－150x＝4000 50x＋3750＝4000 50x＋3750－3750＝4000＝3750 50x＝250 50x÷50＝250÷50 x＝5 4000－200×5 ＝4000－1000 ＝3000（米） 答：爸爸的车是在离动物园3000米处出现的故障。 【考点剖析】本题考查方程的实际应用，关键是求出出现小故障的时间，进而利用速度、时间和路程三者的关系，列方程，解方程，进行解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $