2025年山东省济宁市嘉祥县中考数学二模试卷

2025年山东省济宁市嘉祥县中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列运算结果为负数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.年月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域将用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 4.榫卯结构是在两个木构件上采用的一种凹凸结合的连接方式如图为中间穿孔的卯结构，它的主视图为(    ) A. B. C. D. 5.如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.九章算术中有一道“凫雁相逢”问题凫：野鸭，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要天，大雁从北海飞到南海需要天如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.在平行四边形中，点为边上的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在每个小正方形的边长均为的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，抛物线为常数交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． 抛物线与直线有且只有一个交点； 的取值范围为； 若点，点，点在该函数图象上，则； 若将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为； 若点关于直线的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确结论的序号有(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12.分解因式： ______． 13.一副三角板按如图所示的方式摆放，，，若，则的度数为______． 14.如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；作直线交射线于点，交于点，交于点若，，则的长为______． 15.如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，，半圆与直线相切设半圆，半圆，，半圆的半径分别是，，，，则当时，______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 17.本小题分 综合与实践：在一次“测量不可到达物体高度”的综合实践活动中，某小组选择在学校实验楼顶测量学校围墙外面的一栋高楼的高度，测量过程及相关数据如下表： 课题 测量学校围墙外面的一栋高楼的高度 工具 测角仪，秒表，实心球 示意图 操作步骤 如图，小组成员首先在教学楼的顶楼观测点处测得校外一栋高楼的底部处的俯角为，测得高楼的顶部处的仰角为． 然后在观测点处让一个实心球自由下落，重复操作次，实心球下落时间单位：分别是：，，，，，，，，，． 物理知识 物体自由下落的高度单位：与下落时间单位：的关系是． 参考数据 ，，，，， 请你根据上表中的数据计算： 实心球下落时间的平均值； 计算校外的高楼的高度． 18.本小题分 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． 求反比例函数的表达式； 求的长度； 请直接写出阴影部分的面积． 19.本小题分 在大数据时代下，提升初中生的信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩百分制，按以下六组进行整理得分用表示，没有分以下的同学：：，：，：，：，：，：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩部分数据为： 组：，，，，，，；组的数据为：，，． 平均数 中位数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，完成下列问题： ______， ______； 根据统计结果，______年级的成绩更整齐；八年级组测试成绩的中位数是______； 若七、八年级各有人，测试成绩不低于分，则认定该学生为一等奖请估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有多少人？ 20.本小题分 如图，点是的直径的延长线上一点，点是上一点，连接，，，． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 21.本小题分 某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过套；已知购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元乒乓球拍售价为元套，羽毛球拍售价为元套． 分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； 商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 22.本小题分 【问题情境】在矩形中，点为边上一个动点，连接将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点． 【探究发现】 如图，若，求的度数； 如图，当，且时，求的长； 【拓展延伸】 若矩形满足：：，点为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的正切值． 23.本小题分 已知二次函数解析式为． 若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； 若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； 该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：．，是正数，不符合题意； B.，是正数，不符合题意； C.，是负数，符合题意； D.，是正数，不符合题意； 故选：． 先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意既不是正数也不是负数． 2.【答案】  【解析】解：，则不符合题意， ，则不符合题意， ，则不符合题意， ，则符合题意， 故选：． 利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂乘法法则逐项判断即可． 本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：如图为中间穿孔的卯结构，它的主视图为： 故选：． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 5.【答案】  【解析】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：根据题意可列方程为：， 故选：． 根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程大雁的路程总路程，据此即可列出方程． 本题考查从实际问题中抽出一元一次方程．理解题意是关键． 7.【答案】  【解析】解：取的中点，连接，则， 点为的中点，，， ， ， 为的中点，为的中点， ，， 于点， ， ， 故选：． 取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图所示：连接、、， ， 是直径， ， 根据网格图形可知：，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 所对的圆心角是， 的长为． 故选：． 连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，利用弧长公式求解即可． 本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确地作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：对于一次函数，令，即， 解得， 点坐标为， 设点坐标为， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， 则， ， ． 在和中， ， ≌， ，，则，， 点横坐标为，纵坐标为， 点坐标， 点、都在反比例函数的图象上， ， 解得或舍去； ． 故选：． 本题可先求出点的坐标，再设出点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标，最后将点、坐标代入反比例函数解析式求解． 本题综合考查了一次函数与反比例函数的性质以及正方形的性质．解题的关键在于利用正方形的性质得到点坐标与点坐标的关系，再结合反比例函数上点的坐标特征列方程求解． 10.【答案】  【解析】解：抛物线为常数交轴于点， ，，则有， ， 抛物线与直线有且只有一个交点，故正确； 抛物线为常数与轴的一个交点在和之间，对称轴直线为， 另一个交点在和之间， 根据图示可得，当时，， ， 当时，， ，故正确； 若点，点，点在该函数图象上，对称轴直线为，离对称轴直线越近，函数值越小， ，，， ，故错误； 二次函数， 平移后得抛物线的解析式为，故正确； 当时，则， 点关于直线的对称点为， 顶点坐标，则， 如图所示，作点关于轴对称点，作点关于轴对称点， ，， 四边形， 当点，，，四点共线时，值最小， ， 周长的最小值为，故错误． 综上所述，正确的有， 故选：． 根据判别式可判定；根据图示可得当时，，可判定；根据对称轴即函数对称轴性质可判定；根据函数平移规律可判定；根据轴对称最短路径的计算可判定． 本题考查了二次函数图象的图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算，平移规律，轴对称最短路径的计算是关键． 11.【答案】  【解析】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 根据既在根号下，又在分母上，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分解因式中提公因式法和公式法的综合运用，首先提取公因式，然后再运用平方差公式进行分解即可． 【解答】 解：原式 ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：如图； ，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 该题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质和对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ． ， ， ，，， ， ，， 平分， ， ， ． 故答案为：． 分别求出，可得结论． 本题考查作图基本作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质， 15.【答案】  【解析】解：，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，，半圆与直线相切．如图，过点作直线于点， ． ， ， ， 解得：， 同理：可求出，，，， ， 故答案为：． 通过解直角三角形找出是解题的关键．过点作直线于点，由直线的解析式可得出，根据切线的性质结合解直角三角形即可得出、、、、的值，代入即可得出结论． 本题考查了切线的性质，规律型：图形的变化类，正比例函数的性质，解答本题的关键是找出规律解决问题． 16.【答案】；   ，．  【解析】原式； 原式 ， ， ， 原式． 先根据立方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂化简，然后计算加减法即可； 根据分式的混合运算化简，然后将转化为代入化简后的式子计算即可． 本题考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17.【答案】实心球下落时间的平均值为；   校外高楼的高度约为．  【解析】解：， 实心球下落时间的平均值为； 把代入，得， 在中，由，得， ， 作于点， ，得， ， ， 答：校外高楼的高度约为． 根据平均数的计算方法计算即可； 先求出的高度为，在中，由，得，在中，由，得，即可求得的高度． 本题考查了平均数的计算以及三角函数的应用，熟练掌握方法是解答本题的关键． 18.【答案】；  ；   阴影部分的面积为；理由见解答过程．  【解析】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接，如图， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， 由勾股定理得：， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ； 阴影部分的面积为；理由如下： 如图，连接、，设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于， ，， 在和中， ， ≌， ， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； 根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； 设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，，根据全等三角形的判定得到≌，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 19.【答案】，；   八，；   人．  【解析】人， ， ， ． 故答案为：；． ， 八年级的成绩更整齐； 将八年级学生的成绩从小到大进行排序，排在第的是，第的是，则中位数， 故答案为：八，． 七、八两个年级信息素养一等奖的学生人数相加可得： 人， 答：可以估算该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有人． 根据八年级等级的学生人数为人，占总调查人数的，求出的值即可；用调查的总人数减去其他项的人数即可得出的值；求出八年级等级的人数所占百分比即可； 根据方差进行判断即可；根据中位数定义进行判断即可； 分别求出七、八两个年级信息素养一等奖的学生人数相加即可． 本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联，求中位数，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，理解条形统计图和扇形统计图的特点． 20.【答案】见解析；  的半径为．  【解析】证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：， ， ， ， 故的半径为． 根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到是的切线； 根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21.【答案】每套乒乓球拍的进价是元，每套羽毛球拍的进价是元；   购进乒乓球拍的套数不少于套且不超过套，购进套乒乓球拍，套羽毛球拍，才能使这批体育用品全部售完时，获利最大．  【解析】解：设每套乒乓球拍的进价是元，每套羽毛球拍的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每套乒乓球拍的进价是元，每套羽毛球拍的进价是元； 设购进套乒乓球拍，则购进套羽毛球拍， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， ． 设这批体育用品全部售完获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时套． 答：购进乒乓球拍的套数不少于套且不超过套，购进套乒乓球拍，套羽毛球拍，才能使这批体育用品全部售完时，获利最大． 设每套乒乓球拍的进价是元，每套羽毛球拍的进价是元，根据“购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进套乒乓球拍，则购进套羽毛球拍，根据“购进乒乓球拍的套数不超过套，且购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出购进乒乓球拍数量的范围，设这批体育用品全部售完获得的总利润为元，利用总利润每套的销售利润销售数量购进数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 22.【答案】；  ；  或．  【解析】四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处， ， 是等边三角形， ， ； 将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ∽， ，即， 负值已舍去， 即的长为； 设，， 分两种情况：当点在、之间时， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，， ； 当与重合时，， ； 综上所述，的正切值为或． 由矩形的性质和锐角三角函数定义，得，再由折叠性质得：，故是等边三角形，即可得结论； 由折叠性质得：，，则，再证∽，根据相似的性质可得的长； 分类讨论且结合作图，当点在、之间时，得，运用勾股定理得，，故；当与重合时，，，即可作答． 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23.【答案】；  顶点坐标为；  或．  【解析】解：把代入， 得，即， 解得或者， 抛物线开口向下， ， 二次函数解析式为； 将该二次函数的图象向上平移两个单位后得到的函数解析式为， 平移后的函数图象与轴仅有一个交点， ， ， ， ， 解析式为， ， 顶点坐标为； 当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小， 则比更加远离对称轴直线， ，， 离对称轴直线最近的距离为， 应离对称轴直线更近即对称轴直线在与之间， 离对称轴直线最远的距离为或， 由题意可得， ； 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 对于，，始终都有， 综上所述，或． 直接利用待定系数法代入点坐标求参数即可写出函数解析式； 先确定平移后的函数表达式，根据平移后的函数图象与轴仅有一个交点即可求原函数顶点坐标； 由题意分当时，抛物线开口向上以及当时，抛物线开口向下两种情况进行思考． 本题考查二次函数的解析式、图象平移、顶点坐标以及函数值的比较，需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标公式、图象平移规律及函数增减性的应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$