专题5.2 统计8大题型归纳（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题5.2 统计题型归纳（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01随机数表法 题型02简单随机抽样的概率与总体 题型03分层随机抽样的计算 题型04各类统计图表 题型05总体百分位的估计 题型06众数、平均数、中位数的计算与关系 题型07多组数据平均数、标准差的计算 题型08频率分布直方图的相关计算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单随机抽样 理解每个个体被抽中的概率相等；掌握抽签法和随机数表法的操作步骤；能判断抽样方法是否满足等可能性 基础考点，常以选择题形式考查对抽样公平性的理解，注意区分有放回与无放回 分层随机抽样 掌握分层抽样的适用条件（层内差异小、层间差异大）；会计算各层应抽取的样本数（等比例分配为主）；理解加权平均估计总体均值 高频考点，常在解答题第一问出现，考查分层计算及总体估计，注意样本量分配与层权的关系 各类统计图表 能识别并绘制频率分布直方图、茎叶图、条形图、扇形图、折线图、散点图；能从图表中提取众数、中位数、平均数、分布特征等信息 每年必考，以选择题或填空题形式考查图表识读与信息提取，直方图的纵轴含义是易错点 总体百分位数的估计 掌握百分位数的定义及计算步骤（排序→计算位置→若整数取平均，若非整数向上取整）；理解中位数是第50百分位数 中等难度，常与统计图表结合考查，注意样本容量较小时估算的合理性 众数、平均数、中位数的计算与关系 熟练计算三数；理解三者在不同分布形态下的关系（对称、左偏、右偏）；能在频率分布直方图中估算三数 基础必考，常以选择题或填空题出现，考查对数据集中趋势的理解和估算，直方图中三数的位置判断是重点 多组数据平均数、标准差的计算 掌握由各组均值、方差及个体数求总均值和总方差的方法（加权平均、方差分解）；能利用公式简化计算 难度中等，常在解答题中作为综合计算步骤，考查对数据合并后数字特征的理解，注意方差的组内与组间分解 频率分布直方图的相关计算 能根据直方图求频率、频数、众数、中位数、平均数；理解面积等于频率，所有面积和为1；会估算落在某区间内的个体数 核心考点，每年必考，常以大题第一问或选择题形式出现，考查图表数据提取与计算能力，中位数的比例插值法是关键 知识点01 简单随机抽样 1、简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2、常见的两种简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. 3、总体平均数与样本平均数 总体平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 知识点02 分层随机抽样 1、分层随机抽样的概念：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 2、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3、分层随机抽样的平均数、方差计算 在分层随机抽样中，如果层数为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽样的样本容量分别为和，第1层、第2层的总体平均数分别为和，第1层、第2层的样本平均数分别为和，方差分别记为 ，总体平均数为，样本平均数为，方差记为则 （1）, （2） 知识点03 频率分布直方图 1、频率分布直方图的特点： ①， ②个小长方形的面积等于1， ③． 2、频率分布直方图中的统计数据 （1）频率分布直方图中的“平均数”：因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （2）频率分布直方图中的“中位数”：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也就有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。 （3）频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替。 知识点04 总体百分位数的估计 1、概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 2、可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： （1）按从小到大排列原始数据. （2）计算 （3）若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 知识点05 总体集中趋势的估计 1、相关概念 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数， 若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为； 2、众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 3、平均数相关结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 知识点06 总体离散程度的估计 用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； 一般地，设样本的数据为，样本的平均数为， 定义样本方差为； 简化公式：=（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） （4）样本的标准差是方差的算术平方根． 样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． （5）方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 题型一 随机数表法 解｜题｜技｜巧 简便易行，适用于总体容量不太大的简单随机抽样；需注意编号位数一致，避免漏码或重码 【典例1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【典例2】（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【变式1】（25-26高一下·福建厦门·期中）总体由编号为01，02，⋯  ，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下：��5 ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��5 ���� 39 ���� ��0 ，则选出来的第6个个体的编号为 _______ 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 题型二 简单随机抽样的概率与总体 答｜题｜模｜板 在简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，均等于样本容量与总体容量之比（即 n/N），且每次抽取相互独立（有放回）或不影响概率（无放回时总体足够大可近似），熟悉总体平均数与样本平均数的求值方法。 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【典例2】（25-26高二上·四川成都·期中）为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________. 【变式1】（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）为了解某中学2 500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法不正确的是（　  　） A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度 C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度 【变式2】（25-26高二上·广东茂名·期中）为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 题型三 分层随机抽样的计算 答｜题｜模｜板 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.按照比例求抽取的概率或数列。熟悉分层抽样平均数的求值。 【典例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【典例2】（多选）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）（多选）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【变式1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 题型四 各类统计图表 答｜题｜模｜板 对频率分布直方图、茎叶图、条形图（柱状图）、扇形图（饼图）、折线图、散点图、频率分布表中的数据的读取、多各统计数据的计算。 【典例1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【典例2】（多选）（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【变式1】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 题型五 总体百分位的估计 答｜题｜模｜板 对百分位的计算主要依照 非整数时向上取整，整数时取两项平均，请务必先排序。 【典例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【典例2】（2026·安徽合肥·二模）Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【变式1】（25-26高一下·全国·期末）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 【变式2】（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 题型六 众数、平均数、中位数的计算与关系 答｜题｜模｜板 众数：数据中出现次数最多的数（可多个）。在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标。 中位数：排序后处于中间位置的数。奇数个数据取中间一个，偶数个取中间两个的平均值。在直方图中，中位数是使左右面积相等的分界点。 平均数：所有数据之和除以数据个数。在直方图中，平均数为每个矩形中点乘以该矩形面积（频率）之和 单峰对称分布时，三者相等（如正态分布），右偏（正偏）分布：平均数 > 中位数 > 众数（长尾在右侧），左偏（负偏）分布：平均数 < 中位数 < 众数（长尾在左侧）。 众数反映一般水平，中位数反映中等水平，平均数反映整体水平，受极端值影响最大的是平均数。 【典例1】（25-26高二上·浙江·开学考试）众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽合肥·一模）某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【变式2】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛.两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论正确的是（   ） A．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差大 B．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数高 C．甲班参赛同学得分的平均数为84 D．乙班参赛同学得分的75%分位数为89 题型七 多组数据平均数、标准差的计算 答｜题｜模｜板 已知各组的均值、方差和个体数，求总体方差时，必须先用加权平均算出总均值，再计算组间方差，最后与组内方差相加。不能直接将各组方差简单平均。 【典例1】（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【典例2】（2026·安徽合肥·三模）（多选）已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（   ） A．平均数一定相等 B．中位数一定相等 C．标准差一定不相等 D．第百分位数可能相等 【变式1】（2026·辽宁大连·三模）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【变式2】（多选）（25-26高三下·陕西·阶段检测）（多选）已知甲组样本数据，由这组数据得到乙组样本数据，其中，则（   ） A．乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的倍 B．乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的倍 C．乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的倍 D．乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的倍 题型八 频率分布直方图的相关计算 答｜题｜模｜板 求频率：直接用对应小长方形面积（长×宽）。 求频数：频率 × 总体容量。 求众数：最高小长方形中点的横坐标。 求中位数：从左到右累加面积，找到使面积和等于0.5的位置（通过比例插值）。 求平均数：每个小长方形中点 × 该矩形面积之和。 【典例1】（25-26高一下·甘肃·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【典例2】（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【变式1】（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【变式2】（25-26高二下·上海闵行·期中）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·宁夏银川·期中）现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为__________. 2．（25-26高二上·广东·期中）某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南·期中）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个样本容量为4的样本，若其中个体在第一次就被抽取的可能性为，那么__________. 4．（2026·四川成都·三模）某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本． 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个； 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个． 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 2．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则___________ 3．（2026·河南·模拟预测）已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 5．（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二下·重庆·期中）（多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·山西·模拟预测）（多选）某公司统计了今年前5个月购买办公用品的费用（单位：元），分别为，，，，，则（    ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的平均数为 C．这组数据的第80百分位数为 D．添加一个新的数据，则方差变小 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 4．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 5．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 统计题型归纳（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01随机数表法 题型02简单随机抽样的概率与总体 题型03分层随机抽样的计算 题型04各类统计图表 题型05总体百分位的估计 题型06众数、平均数、中位数的计算与关系 题型07多组数据平均数、标准差的计算 题型08频率分布直方图的相关计算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单随机抽样 理解每个个体被抽中的概率相等；掌握抽签法和随机数表法的操作步骤；能判断抽样方法是否满足等可能性 基础考点，常以选择题形式考查对抽样公平性的理解，注意区分有放回与无放回 分层随机抽样 掌握分层抽样的适用条件（层内差异小、层间差异大）；会计算各层应抽取的样本数（等比例分配为主）；理解加权平均估计总体均值 高频考点，常在解答题第一问出现，考查分层计算及总体估计，注意样本量分配与层权的关系 各类统计图表 能识别并绘制频率分布直方图、茎叶图、条形图、扇形图、折线图、散点图；能从图表中提取众数、中位数、平均数、分布特征等信息 每年必考，以选择题或填空题形式考查图表识读与信息提取，直方图的纵轴含义是易错点 总体百分位数的估计 掌握百分位数的定义及计算步骤（排序→计算位置→若整数取平均，若非整数向上取整）；理解中位数是第50百分位数 中等难度，常与统计图表结合考查，注意样本容量较小时估算的合理性 众数、平均数、中位数的计算与关系 熟练计算三数；理解三者在不同分布形态下的关系（对称、左偏、右偏）；能在频率分布直方图中估算三数 基础必考，常以选择题或填空题出现，考查对数据集中趋势的理解和估算，直方图中三数的位置判断是重点 多组数据平均数、标准差的计算 掌握由各组均值、方差及个体数求总均值和总方差的方法（加权平均、方差分解）；能利用公式简化计算 难度中等，常在解答题中作为综合计算步骤，考查对数据合并后数字特征的理解，注意方差的组内与组间分解 频率分布直方图的相关计算 能根据直方图求频率、频数、众数、中位数、平均数；理解面积等于频率，所有面积和为1；会估算落在某区间内的个体数 核心考点，每年必考，常以大题第一问或选择题形式出现，考查图表数据提取与计算能力，中位数的比例插值法是关键 知识点01 简单随机抽样 1、简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2、常见的两种简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. 3、总体平均数与样本平均数 总体平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 知识点02 分层随机抽样 1、分层随机抽样的概念：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 2、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3、分层随机抽样的平均数、方差计算 在分层随机抽样中，如果层数为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽样的样本容量分别为和，第1层、第2层的总体平均数分别为和，第1层、第2层的样本平均数分别为和，方差分别记为 ，总体平均数为，样本平均数为，方差记为则 （1）, （2） 知识点03 频率分布直方图 1、频率分布直方图的特点： ①， ②个小长方形的面积等于1， ③． 2、频率分布直方图中的统计数据 （1）频率分布直方图中的“平均数”：因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （2）频率分布直方图中的“中位数”：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也就有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。 （3）频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替。 知识点04 总体百分位数的估计 1、概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 2、可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： （1）按从小到大排列原始数据. （2）计算 （3）若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 知识点05 总体集中趋势的估计 1、相关概念 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数， 若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为； 2、众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 3、平均数相关结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 知识点06 总体离散程度的估计 用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； 一般地，设样本的数据为，样本的平均数为， 定义样本方差为； 简化公式：=（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） （4）样本的标准差是方差的算术平方根． 样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． （5）方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 题型一 随机数表法 解｜题｜技｜巧 简便易行，适用于总体容量不太大的简单随机抽样；需注意编号位数一致，避免漏码或重码 【典例1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 【典例2】（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 【变式1】（25-26高一下·福建厦门·期中）总体由编号为01，02，⋯  ，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下：��5 ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��5 ���� 39 ���� ��0 ，则选出来的第6个个体的编号为 _______ 【答案】39 【分析】根据随机数表法抽样，先筛选出落在有效编号范围内的数，再剔除重复项后按顺序计数，即可得到第 6 个个体的编号. 【详解】因为生成的随机数中落在编号01，02，⋯  ，39，40内的数依次为： 06，35，02，35（重复），32，15，39，40， 剔除重复项后，按顺序选取的 6 个个体编号为：06，35，02，32，15，39， 故第6个个体的编号为39. 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 【答案】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 题型二 简单随机抽样的概率与总体 答｜题｜模｜板 在简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，均等于样本容量与总体容量之比（即 n/N），且每次抽取相互独立（有放回）或不影响概率（无放回时总体足够大可近似），熟悉总体平均数与样本平均数的求值方法。 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 【典例2】（25-26高二上·四川成都·期中）为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________. 【答案】1500只 【分析】根据样本数据估计总体数据即可. 【详解】由题可设该自然保护区中天鹅的数量的估计值为， 从而可得，解得， 故该自然保护区中天鹅的数量估计值为1500只. 故答案为：1500只. 【变式1】（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）为了解某中学2 500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法不正确的是（　  　） A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度 C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度 【答案】ABC 【分析】根据抽样调查、样本等基本概念对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意得调查方式是抽样调查，不是全面调查，故A错误； 对于B，400名家长中有380名家长持赞成态度，按照比例推算，全校2 500名学生家长中约2 375名家长持赞成态度，故B错误； 对于C，样本是400名家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，样本容量是400，故C错误； 对于D，该校约有×100%＝95%的家长持赞成态度，故D正确. 故选：ABC. 【变式2】（25-26高二上·广东茂名·期中）为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用简单随机抽样的定义求解即可. 【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为, 故选：A 题型三 分层随机抽样的计算 答｜题｜模｜板 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.按照比例求抽取的概率或数列。熟悉分层抽样平均数的求值。 【典例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可. 【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人， 所以A校人数在三所高中人数中占比为， 所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为. 【典例2】（多选）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）（多选）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. 【变式1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 【答案】B 【分析】先根据分层抽样比例算出、社区各自抽取的样本量，再计算60名样本居民用水量的总平均数，最后套用分层随机抽样的总体方差公式计算得到方差估计值. 【详解】总人数为（人），抽取人，则抽样比为. 而社区的权重为，社区的权重为. 这两个社区的居民用水量的平均数的估计值为， 所以这两个社区的居民用水量的方差的估计值如下， 为. 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【答案】9.5 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设抽取的样本容量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 题型四 各类统计图表 答｜题｜模｜板 对频率分布直方图、茎叶图、条形图（柱状图）、扇形图（饼图）、折线图、散点图、频率分布表中的数据的读取、多各统计数据的计算。 【典例1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 【典例2】（多选）（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 【变式1】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【答案】B 【详解】由图知阅读数量最大的是8月份，为83本；阅读数量最小的是6月份，为28本，故A正确，B错误. 阅读数量最大的月份比最小的月份多本，故C正确； 每月阅读数量超过40的有2，3，4，5，7，8共6个月，故D正确. 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 题型五 总体百分位的估计 答｜题｜模｜板 对百分位的计算主要依照 非整数时向上取整，整数时取两项平均，请务必先排序。 【典例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【答案】B 【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数， 即. 【典例2】（2026·安徽合肥·二模）Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【答案】C 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 【变式1】（25-26高一下·全国·期末）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 【答案】C 【详解】由题意知，区间的累计频率为， 区间的累计频率为， 区间的累计频率为. 由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内. 所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为 . 【变式2】（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】/ 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 题型六 众数、平均数、中位数的计算与关系 答｜题｜模｜板 众数：数据中出现次数最多的数（可多个）。在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标。 中位数：排序后处于中间位置的数。奇数个数据取中间一个，偶数个取中间两个的平均值。在直方图中，中位数是使左右面积相等的分界点。 平均数：所有数据之和除以数据个数。在直方图中，平均数为每个矩形中点乘以该矩形面积（频率）之和 单峰对称分布时，三者相等（如正态分布），右偏（正偏）分布：平均数 > 中位数 > 众数（长尾在右侧），左偏（负偏）分布：平均数 < 中位数 < 众数（长尾在左侧）。 众数反映一般水平，中位数反映中等水平，平均数反映整体水平，受极端值影响最大的是平均数。 【典例1】（25-26高二上·浙江·开学考试）众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，作出判断即可求解. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 由单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，可知平均数小于中位数，且中位数为右起第三个矩形内，所以. 故选：C. 【典例2】（2026·安徽合肥·一模）某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 【详解】这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 【变式1】（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 【变式2】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛.两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论正确的是（   ） A．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差大 B．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数高 C．甲班参赛同学得分的平均数为84 D．乙班参赛同学得分的75%分位数为89 【答案】C 【分析】A. 利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断. 【详解】对A，甲班参赛同学得分的极差为， 乙班参赛同学得分的极差为，故A错误； 对B，甲班参赛同学得分的中位数是， 乙班参赛同学得分的中位数是，故错误； 对C，甲班参赛同学得分的平均数为，故正确； 对D，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，， 取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为，故错误. 故选：C. 题型七 多组数据平均数、标准差的计算 答｜题｜模｜板 已知各组的均值、方差和个体数，求总体方差时，必须先用加权平均算出总均值，再计算组间方差，最后与组内方差相加。不能直接将各组方差简单平均。 【典例1】（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【分析】由统计中的数学特征进行计算即可． 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 【典例2】（2026·安徽合肥·三模）（多选）已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（   ） A．平均数一定相等 B．中位数一定相等 C．标准差一定不相等 D．第百分位数可能相等 【答案】ACD 【详解】不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确． 【变式1】（2026·辽宁大连·三模）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【分析】根据各地区的统计量（中位数，极差，平均数，众数，方差），判断是否满足题意. 【详解】甲地：需满足总体平均数，且中位数为0， 假设7天新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，第6天、第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 乙地：假设7天新增疑似病例为0，1，2，2，3，3，7，满足中位数为2， 其中一个众数为3，但是第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 丙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2， 方差，，但不符合该标志. 丁地：由极差可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人 ，此时平均数 ，与矛盾，故每天新增疑似病例不超过5人，丁地符合该标志. 【变式2】（多选）（25-26高三下·陕西·阶段检测）（多选）已知甲组样本数据，由这组数据得到乙组样本数据，其中，则（   ） A．乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的倍 B．乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的倍 C．乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的倍 D．乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的倍 【答案】AD 【详解】对于A，甲组数据的极差为， 则乙组样本数据的极差是 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的3倍，A正确； 对于B，设甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为，B错误； 对于C，设甲组数据的平均数为，则乙组数据的平均数为，C错误； 对于D，甲组数据的标准差为，则乙组数据的标准差为，D正确． 题型八 频率分布直方图的相关计算 答｜题｜模｜板 求频率：直接用对应小长方形面积（长×宽）。 求频数：频率 × 总体容量。 求众数：最高小长方形中点的横坐标。 求中位数：从左到右累加面积，找到使面积和等于0.5的位置（通过比例插值）。 求平均数：每个小长方形中点 × 该矩形面积之和。 【典例1】（25-26高一下·甘肃·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2)21.9 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． 【典例2】（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 【变式1】（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【答案】(1)6 (2)平均数为62.4，方差约为39.9 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以，解得， 因为：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数：， 抽样比为：因此 应抽取人数： 人； （2）因为与的频率之比为， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是， 这两组学生成绩的方差是 【变式2】（25-26高二下·上海闵行·期中）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 【分析】（1）先利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，再利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得， 则样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 所以用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）． （2）由频率分布直方图知， 成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以这两组学生成绩的平均数为， 所以这两组学生成绩的总方差为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·宁夏银川·期中）现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为__________. 【答案】 【分析】先确定起始位置，再从起始位置开始，按顺序每次读取两位数字，作为候选编号，最后按顺序筛选出的第个有效编号即可. 【详解】随机数表法 先从随机数表第个数字开始读取： 随机数表： 第个数字是（来自第一组 ），从左向右依次读取两位数字，并筛选出在范围内且不重复的编号： 第个： → 有效，对应编号                 第个： → 无效（），跳过 第个： → 有效，对应编号                 第个： → 无效（），跳过 第个： → 无效（），跳过               第个： → 有效，对应编号 所以，抽取的第支水笔的编号为. 2．（25-26高二上·广东·期中）某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的性质求解即可． 【详解】从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为． 故选：D． 3．（25-26高二上·云南·期中）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个样本容量为4的样本，若其中个体在第一次就被抽取的可能性为，那么__________. 【答案】20 【分析】利用简单随机抽样概率公式列方程计算即可. 【详解】因为用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中逐个抽取，个体在第一次就被抽取的可能性为， 因此，所以. 故答案为：20 4．（2026·四川成都·三模）某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在抽取的100人中，男生60人，女生40人， 故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是. 5．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本． 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个； 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个． 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【分析】根据抽样的定义及分类判断各个选项即可. 【详解】根据两种抽样的特点可得，无论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性相等， 都为，故A正确，B错误， 因为总体中有差异比较明显的三个层（一级品，二级品，三级品）， 所以方法二抽到的样本更有代表性，故C错误，D正确． 故选：AD． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】D 【分析】利用平均数和百分位数的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由饼图可知，平均数为：，故A正确； 对于B，，，故中位数在这一组， 设中位数为，则，解得，故B正确； 对于C，，，故第40百分位数在这一组， 设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，， 故第75百分位数在]这一组，设第75百分位数为， 则，解得，故D错误． 2．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则___________ 【答案】 【分析】将两个班级的成绩从小到大进行排列，再根据中位数和百分位数的概念求出即可. 【详解】甲班级学生成绩为：， 则； 乙班级学生成绩为：， 因为，所以， 故. 故答案为： 3．（2026·河南·模拟预测）已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数及方差的计算公式即可求解． 【详解】因为，所以， , 因为，即； 所以 ，即． 4．（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 【答案】C 【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小． 【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4， 所以甲队进攻能力比乙队强， 又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2， 所以乙队进球数波动较大． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 【答案】C 【详解】对于A项，将景区 A 的数据从小到大排序得， 因为，不是整数， 故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误； 对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误； 对于C项，因为景区的平均数：, 景区的平均数：, 所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确； 对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二下·重庆·期中）（多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则， 所以与的中位数都为，故A正确； 当时，余下8个数据的极差为，故B错误； 由，故C正确； 又， 由，所以， 所以，即余下8个数据的平均数为， 所以， 所以，故D正确. 2．（多选）（2026·山西·模拟预测）（多选）某公司统计了今年前5个月购买办公用品的费用（单位：元），分别为，，，，，则（    ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的平均数为 C．这组数据的第80百分位数为 D．添加一个新的数据，则方差变小 【答案】ABD 【分析】先将原始数据排序，再依次对应各统计量的定义计算判断即可 . 【详解】先将原始数据从小到大排序：. 选项A：极差为最大值减最小值，即，A正确； 选项B：总和为，平均数为，B正确； 选项C：，为整数，因此第80百分位数为第4项和第5项的平均值， 即，C错误； 选项D：原平均数为9320，添加新数据9320后，新平均数仍为9320；离均差平方和不变，数据个数从5变为6， 由方差的公式可知，分子（离均差平方和）不变，分母变大，方差变小，D正确. 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 4．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85； (2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 5．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $