专题02 平面向量的数量积及其应用11大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为主线，通过11类题型系统覆盖数量积核心考点，提炼坐标法、定义法等解题方法，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积的基本运算|8题|坐标法、定义法、基底法|从定义到运算，构建数量积计算体系| |数量积的几何意义|6题|几何图形转化|连接代数运算与几何意义，培养直观想象| |求夹角/模/投影向量|5+5+6题|公式法、坐标法|围绕数量积公式，深化概念应用| |垂直关系/锐角钝角|4+5题|充要条件判定|强化逻辑推理，突破易错点| |综合应用|4+8+10题|实际问题建模、多法融合|从几何物理应用到综合解答，提升数学语言表达能力|

专题02 平面向量的数量积及其应用 题型1 数量积的基本运算（重点） 题型7 向量中的垂直关系（常考点） 题型2 数量积的几何意义（难点） 题型8 向量在几何和物理上的应用 题型3 已知数量积求夹角（重点） 题型9 向量中的锐角、钝角问题（易错点） 题型4 已知数量积求模（重点） 题型10 数量积多选题汇编（重点） 题型5 求投影向量（常考点） 题型11 数量积解答题汇编（重点） 题型6 已知模、投影向量求数量积或夹角（常考点） 题型一 数量积的基本运算（共8小题） 1．（坐标法）（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】因为向量，，所以. 2．（坐标法）（25-26高一下·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则. ∵分别为的中点，∴， ， . 3．（定义法）（25-26高一下·浙江·期中）已知与的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以 4．（定义法）（25-26高一下·四川成都·期中）在平行四边形中，，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量的加法法则可知, 在平行四边形中，，，， 所以，, 故. 5．（基底法）（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 【答案】1 【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点， 所以 ， ， ， ， . 6．（定义法）（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】在梯形中，令，由，得， 由，得，所以 . 7.（基底法）（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 8．（基底法）（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 【答案】 【详解】由为中线可得，.    又点为中线的三等分点，所以. 因为点为的中点，所以， 又， 所以. 题型二 数量积的几何意义（共6小题） 9．（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：由，则， 又，， 则，故D正确. 10．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（   ） A．10 B．20 C．26 D．52 【答案】C 【详解】取、中点、，连接、， 由垂径定理可知，、， 则 . 11．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】B 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B    12．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 13．（25-26高一下·浙江·期中）已知中，，，为所在平面内一点，且，则_____． 【答案】 【详解】由可知为的外心， 故. 14．（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【详解】 . 如图，过点O作于点E，于点F. 根据数量积的几何定义，得 . 题型三 已知数量积求夹角（共5小题） 15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，，代入数据得，则夹角为 16．（坐标法）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以，又因为， 所以. 故选：B. 17．（坐标法）（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 18．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 19．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得，， 则； （2）由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 题型四 已知数量积求模（共5小题） 20．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：由数量积的定义， 所以， 因此. 22．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图，在正六边形中，若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】根据图知，，. 则， 所以. 故选：B. 23．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则_______. 【答案】4 【详解】因为，，所以， 可知， ， 即. 故答案为：4. 24．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算 (1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由已知，． ， ． （2） ． 题型五 求投影向量（共6小题） 25．（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 且 ； 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为. 26．（2026·湖南浙江·模拟预测）若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 27.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 28．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以在上的投影向量为：. 29．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 30．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 是的外接圆圆心，是中点， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于H，则， 所以， 即为向量在向量上的投影向量，， 题型六 已知模、投影向量求数量积或夹角（共9小题） 31．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 32．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知单位向量，满足，设与的夹角为 则，解得， 因为，故. 33．（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是单位向量，且， 所以，所以， 所以. 34．（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由，，得，，． 35．（2026·云南昆明·二模）若平面内的两个向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以 所以，所以. 36.（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】/ 【详解】由向量，，得， 由在上的投影向量为， 得，解得，因此， 而，则， 所以与的夹角为. 37．（25-26高一下·天津·月考）已知非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以两边平方得 将代入上式可得， 可得，又因为， 所以， 将，代入上式可得， 设，， 即，因此. 38．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，化简得， 在上的投影向量为：． 39．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面向量、、满足，且， 由题意可得，则，即，可得， 同理可得，， 所以， ，同理可得， 所以， 故向量和向量的夹角的余弦值为. 题型七 向量中的垂直关系（共4小题） 40．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】， 若，则， 即，解得. 故选：B. 41．（25-26高一下·四川南充·期中）已知平面向量，，若，则________． 【答案】1 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，即， 解得. 42．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 43．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知向量，的夹角为，，，则___________． 【答案】 【详解】由，得，即，所以. 又，所以，即. 所以. 题型八 向量在几何和物理上的应用（共4小题） 44.（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设航船方向与河岸夹角为，所以，所以， ，分钟. 故选：C. 45．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 46．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ） A．N B．2500N C．1250N D．N 【答案】D 【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，重力为， 则， 因为他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人， 所以，解得， 所以平均每只胳膊的最大拉力大小约为. 47．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 题型九 向量中的锐角、钝角问题（共5小题） 48．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，解得. 49．（25-26高一下·河北廊坊·阶段检测）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 由题意知，且与不反向共线， 当时，即，整理得，解得. 当与反向共线时，令，即，解得. 综上，的取值范围是. 50．（25-26高一下·山西·期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【详解】由题设，又与的夹角为锐角， 所以，则， 所以，可得且. 51．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 52．（25-26高一下·全国·课后作业）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 【答案】 【详解】三点组成三角形，则，即：， 据此可得：，且：， 则满足题意时有：， 即，解得：. 综上可得，实数的取值范围是或. 题型十 数量积多选题汇编（共8小题） 53．（多选）（25-26高一下·辽宁·期中）已知平面向量满足，则下列说法正确的是（   ） A．若＝5，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为2，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】ABC 【详解】对于A，因为， 所以，即与同向，所以，故A正确； 对于B，，则， 所以，故B正确； 对于C，由题，则， 由，得，故C正确； 对于D，由题，则， 由得，D错误． 54．（多选）（25-26高一下·宁夏·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【详解】对于A项，，因为，所以， 即，得到，故A正确； 对于B项，设与的夹角为，则，故B错误； 对于C项，因为，所以，故C正确； 对于D项，在上的投影向量为 ，故D错误. 55．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）已知向量满足，则（   ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．当与的夹角为时， D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，设向量的夹角为，由向量夹角公式，由于,所以，故A错误； 对于B，由，两边平方化简得：，因为在上的投影向量为，代入数据可得，故B选项正确； 对于C，由当与的夹角为，，，故C正确； 对于D，，令，，这里，当时，取最大值，故的最大值为，故D正确； 56．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（    ） A． B．的最小值为 C．向量在向量上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【详解】已知，，均为单位向量，则， 对其展开得：， 代入模长得，解得， 选项A：，两向量垂直，A正确； 选项B：， 这是开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为， 因此的最小值为，B错误； 选项C：向量在向量上的投影向量为，C正确； 选项D：，夹角范围为，因此，D正确. 57．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】因为， 故，故A正确； 因为， 所以， 又，所以，故B正确； 向量在向量上的投影向量为，故C正确； ， 当时，取得最小值，取得最小值，故D 错误. 58．（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）下列选项中，正确的是（    ） A．在平行四边形中， B．在中，若，则为钝角三角形 C．若是的重心，则 D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】在平行四边形中，与 方向相同，长度相等，所以，所以A正确； 在中，与的夹角为，若，则， 所以为锐角，不能说明为钝角三角形，所以B错误； 若是的重心，记的中点为， 则， 即，所以C正确； 若与的夹角为， 则在方向上的投影向量为， 所以D正确. 59．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】由 可得， 整理得，A正确． 为的直径，，设，则， 所以为等边三角形，，B正确． ，C错误. 向量在向量上的投影向量为，D正确． 60．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．在中，已知，则向量在上的投影向量为 D．在中，若点满足，则为的垂心 【答案】ACD 【详解】对于A选项，因为， 又，所以， 所以，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B选项，，故， 所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，如图设线段的中点为， 则，， 所以，所以， 设，则.在上的投影向量为,故C正确； 对于D选项，因为，所以 故，同理可得，故为的垂心，故D正确． 题型十 数量积解答题汇编（共10小题） 61．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量． (1)若与垂直，求的值； (2)若向量，若与共线，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， ， 由垂直关系：， 解得：. （2）， ， 若与共线，则， 所以. ， 所以. 62．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，． (1)当时，求k的值； (2)当时，求k的值； (3)若向量且，求实数x，k的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由，可得，解得． （2）因为，所以，解得． （3）因为， 所以，解得． 63．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）（1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 【答案】（1）（i），  ；（ii）；（2）最小值为 【详解】（1）（i）由，代入向量坐标得， 可得方程组，解得，. （ii）由（i）得，故，则，， 由两向量平行的坐标关系得， 化简得，解得. （2）由，，得， 则， 令，其对称轴为， 当时，， 因此，的最小值为. 64．（25-26高一下·广西河池·期中）已知为平面向量，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)或；(2)或 【详解】（1）设，由，所以，又， 所以，解得或， 所以或； （2）由，所以， ， 又， 所以，解得或. 65．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），解得， 由，则，解得； （2）由，则，， ，则，， 故. 66．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知向量，． (1)若向量在向量上的投影向量为，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围； (3)对，求证：当取得最小值时，． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析． 【详解】（1）向量在向量上的投影向量为， 因为，，代入可得：； 故，化简得：，解得； （2）因为向量与的夹角为锐角，等价于，且向量与不共线， 故需满足：，解得：； 故的取值范围为； （3）为关于的二次函数， 因为，所以时，取到最小值， 即在时取最小值； 此时； 故． 67．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. (1)当时，用向量表示与； (2)求证：为定值. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【详解】（1）因为AQ为边BC的中线， 所以， 当时，，所以； （2）由（1）可知， 所以， 而， 所以 又因为M，P，N三点共线， 所以 ，可得（定值）. 68．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【答案】(1)，；(2)①；② 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. （2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 69．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 70．（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（） (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）根据题意可得，，， 代入变换可得，即； （2）， 得，同理可得， ； 所以， 则，， 所以； （3）因为 ； 且 所以 ； 因此 由， 可得， 即，又，解得． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量的数量积及其应用 题型1 数量积的基本运算（重点） 题型7 向量中的垂直关系（常考点） 题型2 数量积的几何意义（难点） 题型8 向量在几何和物理上的应用 题型3 已知数量积求夹角（重点） 题型9 向量中的锐角、钝角问题（易错点） 题型4 已知数量积求模（重点） 题型10 数量积多选题汇编（重点） 题型5 求投影向量（常考点） 题型11 数量积解答题汇编（重点） 题型6 已知模、投影向量求数量积或夹角（常考点） 题型一 数量积的基本运算（共8小题） 1．（坐标法）（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．8 2．（坐标法）（25-26高一下·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 3．（定义法）（25-26高一下·浙江·期中）已知与的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．（定义法）（25-26高一下·四川成都·期中）在平行四边形中，，，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（基底法）（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 6．（定义法）（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 7.（基底法）（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 8．（基底法）（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 题型二 数量积的几何意义（共6小题） 9．（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（   ） A．10 B．20 C．26 D．52 11．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 12．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高一下·浙江·期中）已知中，，，为所在平面内一点，且，则_____． 14．（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________. 题型三 已知数量积求夹角（共5小题） 15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 16．（坐标法）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 17．（坐标法）（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 题型四 已知数量积求模（共5小题） 20．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（    ） A． B．3 C． D．4 21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 22．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图，在正六边形中，若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 23．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则_______. 24．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算 (1)；(2)． 题型五 求投影向量（共6小题） 25．（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南浙江·模拟预测）若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 27.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型六 已知模、投影向量求数量积或夹角（共9小题） 31．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 32．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（    ） A．2 B． C． D． 34．（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 35．（2026·云南昆明·二模）若平面内的两个向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 36.（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________. 37．（25-26高一下·天津·月考）已知非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型七 向量中的垂直关系（共4小题） 40．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 41．（25-26高一下·四川南充·期中）已知平面向量，，若，则________． 42．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 43．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知向量，的夹角为，，，则___________． 题型八 向量在几何和物理上的应用（共4小题） 44.（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 45．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 46．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ） A．N B．2500N C．1250N D．N 47．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 题型九 向量中的锐角、钝角问题（共5小题） 48．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高一下·河北廊坊·阶段检测）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高一下·山西·期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 51．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 52．（25-26高一下·全国·课后作业）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 题型十 数量积多选题汇编（共8小题） 53．（多选）（25-26高一下·辽宁·期中）已知平面向量满足，则下列说法正确的是（   ） A．若＝5，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为2，则 D．若在上的投影向量为，则 54．（多选）（25-26高一下·宁夏·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 55．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）已知向量满足，则（   ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．当与的夹角为时， D．的最大值为 56．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（    ） A． B．的最小值为 C．向量在向量上的投影向量为 D． 57．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 58．（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）下列选项中，正确的是（    ） A．在平行四边形中， B．在中，若，则为钝角三角形 C．若是的重心，则 D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 59．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 60．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．在中，已知，则向量在上的投影向量为 D．在中，若点满足，则为的垂心 题型十 数量积解答题汇编（共10小题） 61．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量． (1)若与垂直，求的值； (2)若向量，若与共线，求． 62．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，． (1)当时，求k的值； (2)当时，求k的值； (3)若向量且，求实数x，k的值． 63．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）（1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 64．（25-26高一下·广西河池·期中）已知为平面向量，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且，求实数的值． 65．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 66．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知向量，． (1)若向量在向量上的投影向量为，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围； (3)对，求证：当取得最小值时，． 67．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. (1)当时，用向量表示与； (2)求证：为定值. 68．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 69．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 70．（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（） (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $