期末测试综合模拟卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以高一下学期核心知识为载体，通过选择、填空、解答题的综合设计，实现代数、几何、概率统计的跨模块整合，考查数学眼光下的问题抽象与数学思维中的逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|选择1-2、填空12-13|基础概念辨析|复数几何意义、集合运算的概念生成| |几何|选择3、6、8、填空14、解答17|空间想象与动态问题|向量运算、线面关系、外接球的原理推导| |概率统计|选择7、9、解答15、18|数据处理与实际应用|频率分布直方图、独立事件概率的应用拓展|

2025-2026学年高一下学期期末考试 数学模拟试题 参考答案与解析 答案速查表 1 2 3 4 5 A B C A B 6 7 8 9 10 D B D ABCD BCD 11 12 13 14 15 BC 2 7 8 （1）， （2） 16 17 18 19 （1） （2） （1）见解析 （2） （1） （2） （3） （1） （2）见解析 （3） 一、单选题 1.【答案】A 【解析】由题意知 ， 化简得 ， 分子分母同乘 ，得 ． 复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限． 故选A． 【点拨】本题考查复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题． 2.【答案】B 【解析】由集合 中的不等式 ，解得 ． ∵ ，∴ ． 又 ， ∴ ． 故选B． 【点拨】本题考查集合的交集运算，注意集合 中元素的限制条件 ． 3.【答案】C 【解析】在平行四边形 中，对角线互相平分， ∴ ． 又 ，， ∴ ． 故选C． 【点拨】本题考查平面向量的线性运算，利用平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 4.【答案】A 【解析】原式 ． 故选A． 【点拨】本题考查两角和与差的正弦公式的逆用，将 拆分为 是解题的突破口． 5.【答案】B 【解析】设直线 与 交于点 ，则 ， 由题意，，， 又 ，且 ，代入解得 ， 从而 ， 进而 ， ∴ 塔高 米． 故选B． 【点拨】本题考查解三角形在实际测量中的应用，正确构建直角三角形并利用三角函数求解是关键． 6.【答案】D 【解析】对于A：若 ，，则 或 ，故A错误； 对于B：若 ，，，则 或 与 相交，故B错误； 对于C：若 ，，则 或 ，故C错误； 对于D：若 ，，，则 ，故D正确． 故选D． 【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判定，熟练掌握相关定理并能举出反例是解题的关键． 7.【答案】B 【解析】设事件 为“甲攻克该题”，事件 为“乙攻克该题”，则 ，． 甲、乙两人独立解题，该题至少被一人攻克的对立事件是“两人都未攻克该题”． 两人都未攻克的概率为 ． ∴ 该题至少被一人攻克的概率为 ． 故选B． 【点拨】本题考查相互独立事件的概率计算，采用“正难则反”的思想利用对立事件求解可简化运算． 8.【答案】D 【解析】将三棱锥 补形为长方体，使得三棱锥的四条棱恰好为长方体的面对角线． 设长方体的长、宽、高分别为 ， 则有 ，，． 三式相加得 ，解得 ． 长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径 ， ∴ ． 所以外接球的表面积为 ． 故选D． 【点拨】本题考查三棱锥的外接球问题，对于对棱相等的三棱锥，常采用“补形法”将其放入长方体中求解． 二、多选题 9.【答案】ABCD 【解析】由折线图可知，甲的得分为：7.8, 8.1, 8.4, 8.4, 8.6, 8.7；乙的得分为：7.9, 8.0, 8.0, 8.0, 8.2, 8.3． 对于A：甲得分的中位数为 ，乙得分的中位数为 ，甲大于乙，故A正确； 对于B：甲得分的极差为 ，乙得分的极差为 ，甲大于乙，故B正确； 对于C：甲得分的均值为 ，乙得分的均值为 ，甲大于乙，故C正确； 对于D：从图中可以看出甲的数据波动范围更大，数据更分散，故甲的方差大于乙的方差，故D正确． 故选ABCD． 【点拨】本题考查折线图的识图以及样本数字特征（中位数、极差、平均数、方差）的计算与比较． 10.【答案】BCD 【解析】由图可知 ，，所以 ，，故A错误； 由 ，且 ，解得 ，故B正确； 所以 ，又 ，故C正确； 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数 ，该函数为奇函数，故D正确． 故选BCD． 【点拨】本题考查三角函数图象求解析式及图象的平移变换、对称性，熟练掌握 的性质是解题关键． 11.【答案】BC 【解析】对于选项A： 取线段 的中点 ，连接 ，那么平面 截该正方体的截面为平面 ． 由于 ，，所以面积为 ，所以A错误； 对于选项B： 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，所以根据勾股定理得 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心以2为半径的弧． 如图所示，因为 ，所以 ，所以 ． 同理 ．所以弧长角度为 ，所以轨迹长度为 （注：原题干中点 是在侧面 上的动点，结合图示，弧长角度应为 ，轨迹长度为 ，故B正确）； 对于选项C： 取 的中点 ，连接 ，则 ． 取 的中点 ，连接 ，过点 作 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ，，所以 ． 又 ，且 平面 ．所以 平面 ． 所以点 到平面 距离为点 到平面 的距离． 设平行直线 之间的垂直距离为 ，则 ， 所以 ，所以点 到平面 的距离为 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 所以 ． 所以三棱锥 的体积为 ，所以C正确； 对于选项D： 作 ，连接 ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，因为 ，， 平面 ． 所以 平面 ．所以 与平面 所成的角的正弦值为 ． 在 中，，解得 ． 当点 位于 时， 平面 ，此时 与平面 所成的角的正弦值最小为0； 当点 位于 处时，此时 与平面 所成的角的正弦值最大，最大值小于 ，达不到 ． 所以D错误． 故选BC． 【点拨】本题考查正方体中的截面问题、动点轨迹长度、体积计算及线面角的正弦值范围，综合性极强，对空间想象能力要求较高． 三、填空题 12.【答案】2 【解析】由题意有 ， ∵ ， ∴ ， 解得 ． 【点拨】本题考查向量的坐标运算及向量平行的坐标表示，属于基础题． 13.【答案】 【解析】∵ ，， ∴ ． 已知函数 在该区间上的值域为 ． 由余弦函数的图象与性质可知，要使最小值为 ，则角度必须能取到 ， 即 ，解得 ． 同时，要使最大值不超过 （区间左端点 已取到该最大值），则角度不能超过 ， 即 ，解得 ． 综上所述， 的取值范围是 ． 【点拨】本题考查三角函数在给定区间上的值域问题，利用整体代换思想结合余弦函数图象是解题的关键． 14.【答案】7 8 【解析】设 中点为 ，以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系， 则 ，．设 ，则 ，． ． 当 时取得最小值 ，所以 ，即 ． ． 此时 ，即 ． ． 【点拨】本题考查平面向量的数量积与模的最值问题，通过建系将向量问题代数化是解决本题的有效方法． 四、解答题 15.（13分） 【答案】（1） ，平均数为 ；（2） 【解析】解：（1）由频率分布直方图得 ……………………………………………………………………………………………… 2 分 解得 ………………………………………………………………………………………… 3 分 估计这100名游客对景区满意度评分的平均数为 …… 6 分 （2）评分在 的人数为 人， 的人数为 人 …………………………………………………………………………………………… 7 分 按比例分层抽样，从 中抽取 人，记为 ………………………………………………………………………………………… 8 分 从 中抽取 人，记为 ……………………………………………………………………………… 9 分 从这6人中随机抽取2人，所有的可能结果共15种 ……………………………………………………………………………………… 11 分 其中评分分别在 和 内各1人的结果有8种 ………………………………………………………………………………………… 12 分 故所求概率为 …………………………………………………………………………………… 13 分 【点拨】本题考查频率分布直方图的应用、分层抽样以及古典概型的概率计算，属于基础题． 16.（15分） 【答案】（1） ；（2） 【解析】解：（1）∵ ， 由正弦定理得： …………………………………… 2 分 又 ………………………………………… 3 分 代入化简得： ……………………………………………………………… 5 分 ∵ ，∴ ，∴ ，即 ……………………… 7 分 ∵ 为锐角三角形内角，∴ …………………………………………………………………… 8 分 （2）∵ 的面积 ………………………………………………… 10 分 ∴ …………………………………………………………………………………………… 11 分 由余弦定理 ，得 …………………………………… 12 分 将 代入，得 …………………………………………………………………… 13 分 ∴ ，解得 ………………………………… 14 分 ∴ 的周长为 ……………………………………………………………… 15 分 【点拨】本题考查正余弦定理及三角形面积公式的综合应用，边角互化是解决此类问题的核心方法． 17.（15分） 【答案】（1） 证明见解析；（2） 【解析】证明：（1）∵ 底面 是正方形，∴ …………………………………………………… 2 分 ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ……………………………………… 4 分 又 ， 平面 ，∴ 平面 ……………………………… 6 分 ∵ 平面 ，∴ 平面 平面 ……………………………………………… 7 分 解：（2）设 ，则 ．以 为坐标原点，、、 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 …………………………………………………………………………………………… 8 分 则 ，，， ……………………………………………… 9 分 ∵ 是 的中点，∴ ……………………………………………………… 10 分 平面 的一个法向量为 ………………………………………………… 11 分 设平面 的法向量为 ，， 由 ，令 ，得 …………………… 13 分 ……………………………………………………… 14 分 由图可知，二面角 为锐二面角，故其余弦值为 …………………… 15 分 【点拨】本题考查面面垂直的证明及利用空间向量求二面角，建系求法向量是处理立体几何计算题的通法． 18.（17分） 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】解：（1）甲进入决赛的概率为 ………………………………………………… 2 分 ∴ 甲没有进入决赛的概率为 ………………………………………………… 4 分 （2）甲只通过一轮的概率 ……………………………………… 6 分 乙只通过一轮的概率 ………………………………… 8 分 ∵ 两人比赛互不影响，∴ 甲、乙均只通过一轮的概率 …………… 10 分 （3）若 ，则甲进入决赛的概率 ，乙进入决赛的概率 ……………… 11 分 甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为： ……………………… 13 分 由题意知，，整理得： ………………………… 14 分 解得 ……………………………………………………………… 16 分 又∵ ，且 ，∴ ……………………………… 17 分 【点拨】本题考查相互独立事件的概率计算及一元二次不等式的解法，理清事件的构成是解题的关键． 19.（17分） 【答案】（1） ；（2） 证明见解析；（3） 【解析】解：（1）由新定义 ，已知 ， ………………………… 2 分 ∴ …………………………………………………………… 4 分 （2）证明：设 ， ∵ ………………………………………………… 5 分 ∴ …………………………… 7 分 同理， …………………………… 9 分 ∴ ，得证 ………………………………………… 10 分 （3）解：∵ ，由（2）的结论可知： ……………………………………………………… 11 分 ∵ ，且 ，不妨设 ， 则 ………………………………………………………… 12 分 ∴ …………………………………………………………… 13 分 又∵ ，，∴ ∵ ，∴ ……………………………………………………………… 14 分 …………………………………………… 15 分 由基本不等式 ，∴ ，即 …………… 16 分 当且仅当 时等号成立，故最大值为 …………………………………… 17 分 【点拨】本题考查平面向量的新定义运算，结合基本不等式求最值，理解新定义的本质并将其转化为熟悉的代数运算是解题的关键． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末考试 数学模拟试题 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 ，则 在复平面内对应的点在（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 ，，则 （ 　　） A. B. C. D. 3. 平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 ，，则 （ 　　） A. B. C. D. 4. （ 　　） A. B. C. D. 5. 某同学为测量学校附近山上信号塔的高度 （塔底视为点 ，塔顶视为点 ），在山脚下选取了两点 ，（其中 ，，， 四点在同一个铅垂平面内），在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 、 的仰角分别为 、，测得 米，则按此法测得的塔高为（ 　　） A. 67 米 B. 72 米 C. 74 米 D. 76 米 6. 设 ， 为两条不同直线，， 为两个不同平面，则下列命题正确的是（ 　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，，则 7. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为 ，乙攻克该题的概率为 ，则该题至少被一人攻克的概率为（ 　　） A. B. C. D. 8. 在三棱锥 中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ 　　） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的均值大于乙得分的均值 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 函数 的图象关于点 中心对称 D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数 为奇函数 11. 如图，若正方体 的棱长为2，点 是正方体 在侧面 上的一个动点（含边界），点 是棱 的中点，则下列结论正确的是（ 　　） A. 平面 截该正方体的截面面积为 B. 若 ，则点 的轨迹长度为 C. 若 为 的中点，则三棱锥 的体积为 D. 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量 ，，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 13. 若函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿ 14. 已知 ，平面上动点 满足 对任意 恒成立，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿，此时 ＿＿＿＿＿＿ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 连源湄江风景区是一处集自然风光为主体，岩溶地质遗迹为特色的国家级AAAA级旅游景区，为更好地提升旅游品质，湄江风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1） 根据频率分布直方图，求 的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； （2） 景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在 、 的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在 和 内各1人的概率． 16. （15分） 设锐角 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ． （1） 求 的值； （2） 若 ，，且 的面积为 ，求 的周长． 17. （15分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，， 与 交于点 ． （1） 证明：平面 平面 ； （2） 若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值． 18. （17分） 某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛．已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为 、，通过第二轮的概率分别为 、 ()，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加． （1） 若 ，求甲没有进入决赛的概率； （2） 若 ，，求甲、乙均只通过一轮的概率； （3） 若 ()，且甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率大于 ，求 的取值范围． 19. （17分） 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 ，，作 ，，当 ， 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ；当 ， 共线时，规定 ． （1） 已知向量 ，，根据新定义求 的值； （2） 若 ， 不共线，向量 (，)，求证：； （3） 记 ，，，且满足 (，)，，，求 的最大值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $