专题01 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算8大题型（期末专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以平面向量概念为起点，通过线性运算、几何应用、坐标表示的逻辑链条，系统覆盖8类核心题型，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|5题|易错点判断，多选为主|从向量基本属性出发，夯实基础认知| |线性运算|6题|化简与几何意义应用|衔接概念与运算，培养数学思维| |几何应用|8题|三角形、四边形中向量表示|突出难点，发展几何直观能力| |共线求参|6题|三点共线与参数计算|强化常考点，提升推理能力| |基本定理|8题|基底表示与综合应用|重点模块，体现数学语言表达| |坐标运算|5题|线性运算的坐标表示|实现几何到代数的转化| |模的运算|7题|模长计算与最值问题|深化坐标应用，培养运算能力| |坐标共线|6题|坐标形式的共线判定|综合代数与几何，巩固核心素养|

专题01 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 题型1 平面向量的有关概念（易错点） 题型5 平面向量基本定理的应用（重点） 题型2 向量加、减、数乘运算及几何意义 题型6 平面向量线性运算的坐标表示 题型3 向量线性运算的几何应用（难点） 题型7 向量模的坐标运算 题型4 已知向量共线（三点共线）求参数（常考点） 题型8 向量共线（三点共线）的坐标表示（常考点） 题型一 平面向量的有关概念（共5小题） 1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 3．（多选）（25-26高一上·福建莆田·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量的模可以比较大小，而向量无法比较大小，故A错误； 对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同，所以一定满足，故B正确； 对于C，当时，满足，，不一定满足，故C错误； 对于D，若，则与大小相等且方向相同； 又因为，则与大小相等且方向相同； 所以，与大小相等且方向相同，所以，故D正确. 4．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BD 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 5．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）下列命题中，不正确的有（    ） A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“”的充要条件是且 C．若与共线，与共线，则与共线 D．向量与不共线，则与都是非零向量 【答案】ABC 【详解】对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A错误； 对于B，充要条件是且方向相同，故B错误； 对于C，当时，与共线不一定成立，故C错误； 对于D，向量与不共线，则与都是非零向量，故D正确． 题型二 向量加、减、数乘运算及几何意义（共5小题） 6．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 7．（25-26高一下·广东深圳·月考）下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故错误； 根据向量加法的平行四边形法则可知B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 8．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图所示，在正六边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正六边形中，且， 所以， 因为， 所以. 9．（25-26高一下·河南南阳·期中）＝（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【详解】 ． 10．（多选）（25-26高一下·广西钦州·期中）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：； 选项B：； 选项C：； 选项D：. 题型三 向量线性运算的几何应用（共8小题） 11．（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知. 12．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，是上一点，满足是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】是的中点，， 又， 从而得到，进而可知. 13．（25-26高一下·湖北·期中）在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行四边形中有， 因为，所以， 所以. 14.（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 15．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则，故， 又，所以，则. 16．（多选）（25-26高一下·河南·月考）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，易知M为AC的中点，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，易得，可得，，，故C正确； 对于D，当P与M重合时，，，这与矛盾，故D错误．故选BC． 17．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（      ） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【答案】A 【详解】因为是与，同方向的单位向量的和向量， 所以向量所在的直线平分， 所以向量终点在的角平分线上， 则的轨迹一定通过的内心. 18．（25-26高一下·浙江·期中）已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】因为满足， 所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点， 设的中点为，连接， 因为是的外心，所以 因为，所以三点共线，即是边上的中线， 因为重心在中线上，且， 所以， 因为是中线，，三点共线， 所以， 所以的面积是 题型四 已知向量共线（三点共线）求参数（共6小题） 19．（25-26高一下·河北保定·期中）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（    ） A．. B． C． D． 【答案】A 【详解】由，设，则， 故，消去得. 20．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量不共线，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 21．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 22．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 23．（多选）（25-26高一下·黑龙江·期中）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为三点共线，所以. 所以，即，解得或. 24．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）若向量，不共线，且向量，同向共线，则______ 【答案】/ 【详解】因为向量，同向共线， 所以，，即，. 所以，整理得，即， 解得或. 又，即，所以. 题型五 平面向量基本定理的应用（共8小题） 25．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因点E是的中点，点D是的中点， 所以. 26．（2026·辽宁盘锦·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意，作图如下： 因为三点共线，所以可设 又，可得； 所以； 又因为三点共线，可设， 因此可得，解得； 所以 可得. 27．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，则，A正确，B不正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C正确； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 28．（25-26高一下·广东惠州·期中）在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________ 【答案】 【详解】由， 又，则，故. 29．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，D，E分别为AB，CD的中点，若向量，用表示向量．    【答案】 【详解】    由D，E分别为AB，CD的中点，利用中线向量公式可得：， 则， 因为，，所以，， 则代入可得：. 30．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. (1)设，试用表示： (2)设，求的最小值. 【答案】(1)；(2)4 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由（1）知，，而， 因此，而共线，则， 又，于是， 由于 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 31．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. (1)当时，用向量表示与； (2)求证：为定值. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【详解】（1）因为AQ为边BC的中线， 所以， 当时，，所以； （2）由（1）可知， 所以， 而， 所以 又因为M，P，N三点共线， 所以 ，可得（定值）. 32．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得，， ∵ 是边上的中线， ∴ 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入已知数值得 ， ∴ ，即中线 的长为. （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ②， ∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等， ∴ ， 解得 ， ∴ . 题型六 平面向量线性运算的坐标表示（共5小题） 33．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，那么向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，. 34．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，，，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，可知， 即， 即，令，而，， 所以，故点P的坐标为. 35．（25-26高一下·山东聊城·期中）已知平行四边形中，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平行四边形中， 则. 36．（25-26高一下·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】由题意，，， 设点的坐标为， ∴，， ∵点满足， ∴，解得， ∴. 37．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)，，． 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）因为， 又， 所以， 解得，即； （3）设为坐标原点，∵， ∴，即， 又， ∴，即， ∴． 题型七 向量模的坐标表示（共7小题） 38．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点与点，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以， 所以. 39．（25-26高一下·山东济南·月考）与向量同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与向量同向的单位向量是． 40．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平行四边形中，．则对角线的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设，由，得 所以,解得 所以点坐标为. 所以 . 41．（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，    则，， ， ． 故选：B． 42．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数______． 【答案】±1 【详解】由题意，得，所以，解得． 故答案为：±1. 43．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，，所以， 由模长公式得. （2）因为，且， 所以，所以， 因为，所以可得，解得. （3）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以，设，即， 得到，解得，即点的坐标为. 44．（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）已知点，，，． (1)若，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，， ，则，， 由，可得，解得. （2）因为，，则， 所以， 则， 所以当时，. 题型八 向量共线（三点共线）的坐标表示（共6小题） 45．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得，解得. 46．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得， 因为，所以，解得， 所以，则. 47．（25-26高一下·北京·期中）已知，，三点共线，那么c的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】由题可得，， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 48．（25-26高二上·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 49．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，且与共线，则______． 【答案】/ 【详解】由题意得， 因为与共线，则， 即，解得. 50．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 题型1 平面向量的有关概念（易错点） 题型5 平面向量基本定理的应用（重点） 题型2 向量加、减、数乘运算及几何意义 题型6 平面向量线性运算的坐标表示 题型3 向量线性运算的几何应用（难点） 题型7 向量模的坐标运算 题型4 已知向量共线（三点共线）求参数（常考点） 题型8 向量共线（三点共线）的坐标表示（常考点） 题型一 平面向量的有关概念（共5小题） 1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 3．（多选）（25-26高一上·福建莆田·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 5．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）下列命题中，不正确的有（    ） A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“”的充要条件是且 C．若与共线，与共线，则与共线 D．向量与不共线，则与都是非零向量 题型二 向量加、减、数乘运算及几何意义（共6小题） 6．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东深圳·月考）下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图所示，在正六边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·河南南阳·期中）＝（   ） A． B． C． D． E． 10．（多选）（25-26高一下·广西钦州·期中）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 题型三 向量线性运算的几何应用（共8小题） 11．（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，是上一点，满足是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 13．（25-26高一下·湖北·期中）在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（   ） A． B． C． D． 14.（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 16．（多选）（25-26高一下·河南·月考）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 17．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（      ） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 18．（25-26高一下·浙江·期中）已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（    ） A．2 B．3 C． D．4 题型四 已知向量共线（三点共线）求参数（共6小题） 19．（25-26高一下·河北保定·期中）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（    ） A．. B． C． D． 20.（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量不共线，且，则实数（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 22．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 23．（多选）（25-26高一下·黑龙江·期中）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）若向量，不共线，且向量，同向共线，则______ 题型五 平面向量基本定理的应用（共8小题） 25．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026·辽宁盘锦·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 27．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 28．（25-26高一下·广东惠州·期中）在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________ 29．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，D，E分别为AB，CD的中点，若向量，用表示向量．    30．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. (1)设，试用表示： (2)设，求的最小值. 31．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. (1)当时，用向量表示与； (2)求证：为定值. 32．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 题型六 平面向量线性运算的坐标表示（共5小题） 33．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，那么向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，，，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一下·山东聊城·期中）已知平行四边形中，则为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一下·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 37．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 题型七 向量模的坐标表示（共7小题） 38．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点与点，则（   ） A． B． C． D．5 39．（25-26高一下·山东济南·月考）与向量同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平行四边形中，．则对角线的长为（   ） A． B． C． D．3 41．（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 42．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数______． 43．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 44．（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）已知点，，，． (1)若，，求的值； (2)求的最小值． 题型八 向量共线（三点共线）的坐标表示（共6小题） 45．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 46．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一下·北京·期中）已知，，三点共线，那么c的值是（   ） A． B．1 C． D．3 48．（25-26高二上·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，且与共线，则______． 50．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $