期末备考04 向量的坐标运算 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以向量坐标运算技巧与共线策略为核心，系统整合坐标运算、共线判定、垂直与分点问题，形成“方法-题型-应用”的完整逻辑链，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标运算|5单选+3多选+2填空|法则应用、向量相等列方程、坐标系建立|从坐标运算基础到垂直/分点应用，体现几何直观| |共线问题|4单选+1解答|充要条件x₁y₂=x₂y₁、参数设向量法|共线判定→三点共线→图形性质，培养推理意识| |综合应用|2解答|坐标表示解决图形问题|整合运算与共线，用数学语言表达几何关系|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考04 测试范围：向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． (3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单． 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1． (2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 一、单选题 1.【人教A版必修二习题6.3第10题】已知，则与垂直的单位向量的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．【人教A版必修二习题6.3第14题】已知，，，四点，则四边形是 A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．（人教A版必修二习题6.3.4节练习第5题）已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．【人教A版必修二习题6.3第9题】已知，，且//，则的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 5.（人教A版必修二习题6.3.4节练习第5题改编）已知，向量，.若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列叙述中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则三点共线 C．若，，则线段的中点坐标为 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 7．已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 8．下列选项中正确的是（    ） A．设向量，，若，共线，则 B．已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是 C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为 D．若平面向量，满足，则的最大值是5 三、填空题 9．【人教A版必修二习题6.3第13题】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 10．（人教A版必修二习题6.3.4节练习第5题改编）已知点，向量，，若点是线段上靠近点的三等分点，则在上的投影向量的坐标表示为______. 四、解答题 11．（人教A版必修二习题6.3.3节例5改编）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 12．已知点，向量，，. (1)若A，，三点共线，求实数的值； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标. 13．【人教A版必修二习题6.3第12题】（1）已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，，当t=1，，，2时，分别求出P的坐标. 【变式】（2）当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第三象限？ （3）四边形OABP是否能构成平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 14．已知向量，，. (1)若向量与共线．求与的夹角； (2)若与夹角为锐角，求x的取值范围； (3)若向量与共线，在方向上的投影向量的坐标； (4)若向量与共线，，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考04 测试范围：向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． (3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单． 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1． (2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 一、单选题 1.【人教A版必修二习题6.3第10题】已知，则与垂直的单位向量的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合模的定义求解即可. 【解析】设该单位向量为，显然，由题意得，，则， 解得，或，，则的坐标是或. 2．【人教A版必修二习题6.3第14题】已知，，，四点，则四边形是 A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】首先求出，，的坐标，即可判断，且，即可判断. 【详解】因为，，，，所以，，， 所以，即且，又，即，又，，即，所以四边形为矩形. 3．（人教A版必修二习题6.3.4节练习第5题）已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】，，．点是线段的三等分点， ，或者． ， 或． 或．∴P点的坐标为或． 4．【人教A版必修二习题6.3第9题】已知，，且//，则的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用平面向量平行的坐标表示结合模的定义求解即可. 【详解】设，由得，，由//得，，解得，，或，，则或，即的坐标是或. 5.（人教A版必修二习题6.3.4节练习第5题改编）已知，向量，.若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点C的坐标为，因为，，，可得， 设点P的坐标为，则，若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，则，解得，故点P的坐标为. 二、多选题 6．下列叙述中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则三点共线 C．若，，则线段的中点坐标为 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【分析】根据共线向量坐标公式可以判断选项A，B；根据中点坐标公式判断选项C；根据两向量垂直的坐标公式和单位向量的模确定选项D. 【详解】对于A，因，则，故A正确；对于B，若，，，则，，因为，所以，又，有公共点，所以A，B，C三点共线，B正确；由中点坐标公式可得线段的中点坐标为，C错误；对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，故D正确. 7．已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算求得，再结合单位向量、投影向量的定义、垂直关系的向量表示逐项判断. 【详解】由向量，，得，对于A，与共线的单位向量的坐标为或，A错误；对于B，在方向上的投影向量为，B正确； 对于C，设与垂直的向量，则与垂直的单位向量的坐标为或，C错误； 对于D，，解得，D正确. 8．下列选项中正确的是（    ） A．设向量，，若，共线，则 B．已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是 C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为 D．若平面向量，满足，则的最大值是5 【答案】ACD 【分析】根据向量共线的坐标公式、数乘的几何意义、投影向量的计算以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】对于A，由共线，则，解得，故A正确；对于B，由向量，，则，设，则，由是线段的三等分点，则或，可得或，解得或，故B错误；对于C，设与的夹角为，在方向上的投影向量，其坐标为， 故C正确；对于D，，设与的夹角为，由， 则，当时，取得最大值为，故D正确. 三、填空题 9．【人教A版必修二习题6.3第13题】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【答案】 【分析】由题 可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且，， ,,,．所以点P的坐标为. 10．（人教A版必修二习题6.3.4节练习第5题改编）已知点，向量，，若点是线段上靠近点的三等分点，则在上的投影向量的坐标表示为______. 【答案】 【分析】利用等分点的坐标公式求出点的坐标，再用投影向量公式即可求解. 【详解】已知点，向量，，点是线段的三等分点，设，则，，由已知得，即，解得：，，即，所以，则在上的投影向量的坐标为。 四、解答题 11．（人教A版必修二习题6.3.3节例5改编）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）设，又、、，，.又四边形是平行四边形，所以，，即，解得，顶点A的坐标为. （2） 存在.由（1）可知，，，，设， 则.又，，解得， 即. 12．已知点，向量，，. (1)若A，，三点共线，求实数的值； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【分析】（1）根据题意可得，.，结合A，，三点共线，应用向量共线的坐标表示，可得答案; （2）设与垂直的单位向量的坐标，由此列出相应的方程组，解得答案； （3）由题意确定，根据向量的相等列出方程组，求得答案. 【详解】（1）因为向量，，， 所以，，，所以，. 因为A，，三点共线，所以，所以，所以. （2）设与垂直的单位向量的坐标.所以 ， 所以 或 ，所以，或. （3）设点的坐标为，所以，， 因为点在线段的延长线上，且，所以， 所以，所以 ，所以 ，所以点的坐标为. 13．【人教A版必修二习题6.3第12题】（1）已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，，当t=1，，，2时，分别求出P的坐标. 【变式】（2）当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第三象限？ （3）四边形OABP是否能构成平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【详解】（1）设，，，， 当时，，则P的坐标为； 当时，，则P的坐标为； 当时，，则P的坐标为； 当时，，则P的坐标为. （2）因为点 当时，解得时，点P在x轴上； 当时，解得时，点P在y轴上； 当时,解得时，点P在第三象限. （3）若能构成平行四边形，则有，即（1，2）=（3﹣4t，3﹣5t），所以，不等式无解，故不存在t使四边形OABP构成平行四边形． 14．已知向量，，. (1)若向量与共线．求与的夹角； (2)若与夹角为锐角，求x的取值范围； (3)若向量与共线，在方向上的投影向量的坐标； (4)若向量与共线，，求t的值． 【答案】(1)；(2)且.；(3)；(4) 【分析】（1）根据向量与共线，求出，，根据向量夹角公式坐标运算可得结果； （2）根据夹角为锐角则点乘大于0并去掉共线同方向的情况即可； （3）根据投影向量的计算公式即可. （4）根据向量数量积及模的坐标运算求出，结合已知可得结果. 【详解】（1）因为向量与共线，所以（），则，解得，所以，，得，所以，因为， 所以与的夹角为. （2）若与夹角为锐角，则，且不同向共线，即，且，解得且. （3）由（1）知，则 ，则在方向上的投影向量的坐标为. （4）因为，，， 所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $