专题03 平面向量中的范围与最值问题10大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以10类题型系统整合平面向量范围与最值问题，涵盖坐标法、极化恒等式等核心方法，构建代数运算与几何直观融合的解题体系，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积最值|题型1-4（4+5+6+6题）|坐标法、定义法、几何意义、极化恒等式|从向量数量积定义出发，通过坐标转化、几何投影、恒等式变形解决动态最值| |模的最值|题型5-7（5+6+3题）|公式法、数形结合、坐标法|结合模的代数定义与几何意义，将模长问题转化为距离或函数最值| |夹角与参数最值|题型8-10（7+4+6题）|夹角公式、参数分离、不等式法|从向量夹角定义延伸至含参数代数式，通过推理运算与模型构建求范围|

专题03 平面向量中的范围与最值问题 题型1 坐标法求数量积的最值（范围） 题型6 数形结合求模的最值（范围） 题型2 定义法求数量积的最值（范围） 题型7 坐标法求模的最值（范围） 题型3 数量积的几何意义求数量积的最值（范围） 题型8 求向量夹角的最值（范围） 题型4 极化恒等式求数量积的最值（范围） 题型9 求一个参数的代数式的最值（范围） 题型5 求模的最值（范围） 题型10 求含两个参数的代数式的最值（范围） 题型一 坐标法求数量积的最值（范围）（共4小题） 1．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 3．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 4．（25-26高一下·四川资阳·期中）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 题型二 定义法求数量积的最值（范围）（共5小题） 5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·北京·期中）在中，，是边的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 9．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 题型三 数量积的几何意义求数量积的最值（范围）（共6小题） 10．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 13．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（ ） A．-10 B．-8 C．10 D．24 14．（25-26高一下·广东东莞·期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________    题型四 极化恒等式求数量积的最值（范围）（共6小题） 16．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 21．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 题型五 求模的最值（范围）（共5小题） 22．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 24．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（    ） A． B．的最小值为 C．向量在向量上的投影向量为 D． 25．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 题型六 数形结合求模的最值（范围）（共6小题） 27．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 28．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 29．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 30．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________. 31．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 32．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. (1)求； (2)若， （i）求； （ii）求的取值范围. 题型七 坐标法求模的最值（范围）（共3小题） 33.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________． 34.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________． 35．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 题型八 求向量夹角的最值（范围）（共7小题） 36．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一下·广东东莞·期中）已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，，，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39.（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 40．（25-26高一下·福建·月考）已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 41．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 42．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______. 题型九 求含一个参数的代数式的最值（范围）（共4小题） 43．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46.（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 题型十 求含两个参数的代数式的最值（范围）（共6小题） 47．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 48．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______． 49．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 50．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 51．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________． 52．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量中的范围与最值问题 题型1 坐标法求数量积的最值（范围） 题型6 数形结合求模的最值（范围） 题型2 定义法求数量积的最值（范围） 题型7 坐标法求模的最值（范围） 题型3 数量积的几何意义求数量积的最值（范围） 题型8 求向量夹角的最值（范围） 题型4 极化恒等式求数量积的最值（范围） 题型9 求一个参数的代数式的最值（范围） 题型5 求模的最值（范围） 题型10 求含两个参数的代数式的最值（范围） 题型一 坐标法求数量积的最值（范围）（共4小题） 1．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系， 则，设， ， 所以， 又，当时取得最小值为， 因为，所以， 当时取得最大值为， 则的取值范围为，选项BCD符合. 3．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 4．（25-26高一下·四川资阳·期中）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 【答案】 【详解】如图，分别以,为建立平面直角坐标系，则， 设，则，， 当在边或边上时，， 所以， 当在边上时，，， 当在边上时，，， 所以的取值范围为， 题型二 定义法求数量积的最值（范围）（共5小题） 5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 、 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 7．（25-26高一下·北京·期中）在中，，是边的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 设，则，，且， 则， 因为，所以，所以，即. 8．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意因为，所以 点是边上靠近的四等分点，故， 联立，解得 已知与所成的夹角为，可得， 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处：， 此时， 故答案为：. 9．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 【答案】 【详解】设， ，， ， ， 即，故， ， ， 由基本不等式得， ，故，当且仅当时取等号， ，故的最大值为． 题型三 数量积的几何意义求数量积的最值（范围）（共6小题） 10．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由投影的定义知，结合图形得， 当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为， 此时； 当P与C或B点重合时，最小为， 此时， ∴. 11．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正六边形的对称性可知，易知正六边形的每个内角为. 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值； 当最小时，取得最小值. 可知当与重合时，取得最大值， ，此时.. 当与重合时，取得最小值，此时， 此时，故的取值范围为. 12．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正八边形的性质可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 13．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（ ） A．-10 B．-8 C．10 D．24 【答案】BCD 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是. 14．（25-26高一下·广东东莞·期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 15．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________    【答案】 【详解】    如图，过作交延长线（或反向延长线）于点， 则， 因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值， 此时，，， 则此时，即. 题型四 极化恒等式求数量积的最值（范围）（共6小题） 16．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】【解法一：坐标法+二次函数】以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 【解法二：极化恒等式】设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 19．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【详解】由， 且，，，， 所以 ， 当时，的最大值为1. 【解法二：】 （极化恒等式）取中点，连接， 由极化恒等式知，， 因为为定长，所以当最小，即点为中的时，取的最大值， 此时. 所以当时，的最大值为1. 21．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 题型五 求模的最值（范围）（共5小题） 22．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】（+三角函数有界性）由，得，而，则，， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：C 23．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】（+二次函数）因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 24．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（    ） A． B．的最小值为 C．向量在向量上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【详解】已知，，均为单位向量，则， 对其展开得：， 代入模长得，解得， 选项A：，两向量垂直，A正确； 选项B：， 这是开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为， 因此的最小值为，B错误； 选项C：向量在向量上的投影向量为，C正确； 选项D：，夹角范围为，因此，D正确. 25．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：, , 当且仅当时，. 26．（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 题型六 数形结合求模的最值（范围）（共6小题） 27．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 28．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】（向量的三角不等式）平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 29．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为为的中点，则，则， 由题意可知：，， 设点到直线的距离为， 则，解得， 可得，所以的最小值为. 30．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为非零向量满足. 所以向量与的夹角为，设， 则. 所以有，则，所以点的轨迹为以为圆心的圆. 过点，作，垂足为，交圆于点. 根据图象可得出即为的最小值. 在中，有，所以有. 又，所以. 31．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 【答案】2 【详解】如图， 取中点为，连接，则，且， 设为和的夹角，则 ， 且， 当且仅当时，即与反向时等号成立， 因， ，则当时，有最大值， 此时三点共线. 于是共线且点在点与之间，故. 32．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. (1)求； (2)若， （i）求； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)4；(2)（i）；（ii）. 【详解】（1）解：因为为弦的中点，所以且， 所以 ， 所以； （2）（i）因为，，， 所以，所以. （ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 由， ， 所以 所以． 题型七 坐标法求模的最值（范围）（共3小题） 33.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解法一：由， 即， 而（为与的夹角）， 所以， 解得， 所以的最小值为． 解法二：设，由，得， 取线段上靠近的三等分点，则，且． 由，得． 如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则． 设，由，得，易得点的轨迹是圆， 所以的最小值为，所以的最小值为， 即的最小值为． 34.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解法一：由， 即， 而（为与的夹角）， 所以， 解得， 所以的最小值为． 解法二：设，由，得， 取线段上靠近的三等分点，则，且． 由，得． 如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则． 设，由，得，易得点的轨迹是圆， 所以的最小值为，所以的最小值为， 即的最小值为． 35．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，， 又， 所以，即，解得. （2）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 题型八 求向量夹角的最值（范围）（共7小题） 36．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 所以， ，当且仅当，即时取等号，最小值为． 37．（25-26高一下·广东东莞·期中）已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，是两个单位向量，且夹角为，， 又因为， 所以 ， 又，所以，所以. 38．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，，，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是的中点， 又因为，所以是上靠近的三等分点， 所以， 因为，且， 所以，化简得， 可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以． 39.（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 【答案】1 ； 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 40．（25-26高一下·福建·月考）已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 【答案】 【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足， 可得，解得； 又，，所以， ，， ，的夹角为，则， 所以时，取得最小值为 41．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 【答案】 【详解】由，得⇔， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则 ，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减，因此， 所以向量，的夹角的取值范围为. 42．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______. 【答案】 【详解】当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形， 将不等式两边同时除以， 得，，，其中为单位向量， 因此题设不等式等价于， 记夹角为， 那么， 即， 从而，得， 由于，在上单调递减， 因此的最小值对应的最大值， 当时，二次函数有唯一零点， 此时，即， 满足不等式的等号条件，说明最小值是可取的， 则，夹角的最小值为时，则. 题型九 求含一个参数的代数式的最值（范围）（共4小题） 43．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 44．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，且和的夹角为， 所以， 由题意可知，且与不共线， 由，得出，解得， 如果与反向共线，则， 综上所述. 45．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 46.（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 【答案】C 【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ， 若 ， ∵ 存在θ使得 成立， 整理可得 ，即（其中不能为2） ，则， 移项并化简可得 由解得，由 解得 综上所述，所以λ的取值范围为 ． 故选：C 题型十 求含两个参数的代数式的最值（范围）（共6小题） 47．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 【答案】16 【详解】因为点共线，且在之间，所以存在实数使得， 则，整理得. 因为，所以. 所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为16. 48．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】在中，点是边上异于端点的一点，， 根据向量共线定理，可知，，． ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 49．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】    设（）， 由图可得： 因为为线段靠近的三等分点，故， 代入得： 结合题意得：，，其中，因此. 由基本不等式，可得， 将代入得：, 当且仅当（对应，即为中点）时等号成立. 故的最小值为. 50．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 51．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由，得，因此： ， 因为是中点，所以： ， 已知，，代入得： ， 因为三点共线，根据向量共线性质，系数和为， 即 ， ， 当且仅当结合，即，时取等号. 所以的最小值为. 52．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1)；(2) （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $