“新定义题”（4大类14小类）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦新定义情境下知识迁移能力，通过向量、函数、复数、几何四大模块的新概念、新运算拓展，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与坐标系拓展|11题|非正交坐标系、向量新运算、复向量等|从正交坐标系到仿射坐标，向量运算从数量积到新定义运算，体现工具泛化| |函数与代数结构|6题|抽象函数新性质、双曲函数、新运算符号|以课本函数性质为基础，定义友好点对、局部反比例对称等新性质，构建代数推理链| |复数与三角进阶|5题|欧拉公式、复数三角形式、积化和差|从复数代数形式拓展到指数/三角形式，结合三角恒等变换深化数系认知| |几何与离散数学|10题|布罗卡尔点、离散曲率、二部图|平面几何定理（托勒密）、立体几何新模型（刍童）、图论概念，拓展空间观念与离散思维|

“新定义题”专项训练（解析卷） 一、 向量与坐标系拓展类 2 （一）非正交坐标系类（斜坐标/仿射坐标等） 2 （二）向量新运算类（向量积/向量⊕/向量⊗） 7 （三）向量新概念与新定理类（复向量/k向量/奔驰定理等） 9 二、 函数与代数结构类 14 （一）抽象函数与新性质类（勾函数/局部反比例对称/友好点对） 14 （二）特殊函数引入类（双曲函数） 17 （三）集合与实数新运算类 18 （四）代数新符号类（二阶行列式） 20 三、 复数与三角进阶类 21 （一）欧拉公式与复数指数形式类 21 （二）复数三角形式类 23 （三）三角变换新公式类（积化和差/和差化积） 24 四、 几何与离散数学类 24 （一）平面几何新定理与新中心类（布罗卡尔点/托勒密定理） 24 （二）立体几何新概念类（多面体离散曲率/刍童/等边圆锥） 29 （三）解析几何新概念类（正交点列） 32 （四）图论与离散概念类（二部图） 33 注意事项 1. 本卷所有题目均基于题干中给出的新定义、新概念或新运算展开，解题前须先理解题目所给定义. 2. 练习时注意新定义与课本已有知识的联系与区别，体会数学概念的泛化与拓展. 3. 解答题需写出完整的推导和证明过程. 1 2 3 4 5 AC （1）证明见解析 （2） （3）最大值为，最小值为 （1） （2）证明见解析 （3） （1） （2）① ② （1） （2） （3） 6 7 8 9 10 （1） （2）证明见解析 （1） （2） B （1） （2）证明见解析 （3） （1） （2）存在， （3） 11 12 13 14 15 （1）， （2）证明见解析 （3） （1）或 （2）证明见解析 （3） （1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） （1）或等 （2）见解析 （3）见解析 16 17 18 19 20 （1） （2）证明见解析 （3） （1） （2） （3） B A BCD 21 22 23 24 25 （1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1）根为，辐角主值分别为和 （2） （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1） （2）证明见解析 （3） 26 27 28 29 30 （1） （2）时面积最大为 （3） BCD 31 32 （1）是，理由见解析 （2）（ⅰ） （ⅱ）见解析 BC 一、 向量与坐标系拓展类 本类题目通过定义非标准坐标系、新的向量运算或向量属性，考查学生对向量工具的泛化应用能力. （一）非正交坐标系类（斜坐标/仿射坐标等） 1.（多选）如图所示，已知 ， 是平面内相交成 () 角的两条数轴，， 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 的仿射坐标系.若在 的仿射坐标系下 ，则把有序实数对 叫做向量 的仿射坐标，记为 ，则（ 　　） A. 在 的仿射坐标系下，若 ，则 B. 在 的仿射坐标系下，若 ，，则 C. 在 的仿射坐标系下，若 ，，则 D. 在 的仿射坐标系下，若 ，，且 ，则 【答案】AC 【解析】对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，依题意，， ， ， ， ，故C正确； 对于D，依题意，， ， ， ， 恒成立， ， ，，， ，， 而，所以不一定成立，故D错误. 【点拨】新定义题的通用解题步骤：①写出新运算的定义式（如仿射坐标转化为基底表示）；②将题目条件代入定义式；③运用已有知识（如向量数量积的分配律）求解，注意基底的夹角不再是90度. 2.（解答）如图，设 ， 是平面内相交成 （ 且 ）角的两条数轴，， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在 斜坐标系 中的坐标，记为 .已知在 斜坐标系 中，，. （1）证明：； （2）当 时，，求 ； （3）当 时，若向量 ，，已知 ，求函数 的最值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】（1）证明：， ， . （2），， 如图，中 . （3）， 由（1）可得， 令，则， ， 当时，， 当时，. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：斜坐标系的本质是基底不垂直的坐标系，计算时仍可沿用基底分解的基本方法，只是数量积公式不再简化，交叉项的内积为. 3.（解答）如图，我们把由平面内夹角成 的两条数轴 构成的坐标系称为“完美坐标系”，设 分别为 正方向上的单位向量，若向量 ，则把实数对 叫做向量 的“完美坐标”. （1）已知向量 的“完美坐标”分别为 ，求 ； （2）已知向量 的“完美坐标”分别为 ，证明：； （3）已知向量 的“完美坐标”分别为 ，设函数 ，求 的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1），， . （2）， ，， . （3）， 令， 则， ， ， 当时，， 当时，， 的值域为. 【点拨】新定义的理解策略：拆解题干中的新定义语句，提取关键要素，发现“完美坐标”实际上就是以夹角为的单位向量为基底的坐标表示，直接代入数量积的定义即可转化为常规三角函数最值问题. 4.（解答）若平面内的数轴 ， 相交所成角为 ，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”.设 ， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则有序数对 （用斜括号表示有序数对）叫做向量 的“半斜坐标”.已知在半斜坐标系内的 ，点 在 所在的直线上，且 ，. （1）求 ； （2）若 ，且 （其中 ），. ①求向量 与 的夹角； ②当 取得最小值时，求向量 的半斜坐标. 【答案】（1） （2）① ② 【解析】（1）由题意可得， ， . （2）①由， ， 由，联立解得或（舍），. ，则， ， 向量与的夹角为. ②设，则， ， ， ， ， 即当时，取得最小值，此时 ， 所以向量的半斜坐标为. 【点拨】新定义题的常见陷阱：新定义中的符号与课本符号形似但实不同，半斜坐标系下的数量积公式必须严格代入定义推导，不能直接套用直角坐标系的坐标乘积相加公式. （二）向量新运算类（向量积/向量⊕/向量⊗） 5.（解答）已知两个非零向量 ，，在空间任取一点 ，作 ，，则 叫做向量 ， 的夹角，记作 ，定义 与 的“向量积”为： 是一个向量，它与向量 ， 都垂直，它的模 ，如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，，点 为线段 上一动点，. （1）求 的长； （2）若 为 上一点，且满足 ，求 的值； （3）求 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）因为底面为矩形，底面， 所以，平面，又平面， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以，所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在Rt中， 又，所以，解得（负值已舍去），所以. （2）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，、平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. （3）由（2）知， 建立以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向的空间直角坐标系， 则，令，，可得， 又，得，从而有， 所以，得， 所以， 所以. 【点拨】新定义的理解策略：注意题目定义的“向量积”结果是一个向量而非数量，与课本中的数量积有本质区别，理解时需紧扣其方向与两向量均垂直的特性，结合空间几何关系求解. 6.（解答）已知向量 ，，且 ，定义向量的新运算：. （1）若向量 ，，且 ，求 ； （2）证明： 是 的充要条件. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1），且，，解得， . （2）证明：，， ，，即， . 反之，若，则，即， ，，. 综上，是的充要条件. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：将新运算“”的定义式写出后，观察发现其结构与向量共线的坐标表示高度相关，直接将新问题转化为已知的共线定理即可. 7.（解答）对于向量 ，，定义运算 ，已知向量 ，，. （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 与 夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，，， 所以，， 因为，所以，解得. （2）由题意知：， 因为，所以，解得， 此时，， 所以. 【点拨】新定义题的常见陷阱：新定义的“乘法”不一定满足交换律，在处理和时必须严格按照定义式的顺序代入坐标，不可想当然. （三）向量新概念与新定理类（复向量/k向量/奔驰定理等） 8.（单选）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、、 的面积分别记为 、、，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】是的垂心，延长交与点， ，同理， ， 又， ， 又， ， 不妨设，，，其中， ， ，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 【点拨】新定义的理解策略：精读定义，圈出关键词和公式，将题目给出的系数比例直接对应到三个子三角形的面积比例上，再结合垂心的几何性质转化为三角函数方程. 9.（解答）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 ，，作 ，，当 不共线时，记以 为邻边的平行四边形的面积为 ；当 共线时，规定 . （1）已知 ，，求 ； （2）若 不共线，向量 (，)，证明：； （3）记 ，，，且满足 (，)，，，求 的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）因为，共线，所以. （2）证明：由向，向量， 当时，， 因此， 同理， 所以； 当时，因为与共线，所以， 又， 所以； 同理，时，上式也成立. 综上，得证. （3）解：因为，不妨设，则， 又，所以，即， 由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立. 由（2）中结论可得， 即的最大值为. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：新定义的面积函数本质上是向量叉乘的模（或行列式的绝对值），具有线性分配性质，证明时可将其转化为坐标运算或直接利用其线性性质进行化简. 10.（解答）对于一个向量组 ( 且 )，令 ，如果存在 ()，使得 ，，则称 是该向量组的“ 向量”. （1）设 ，，若 是向量组 的“2 向量”，求实数 的取值范围； （2）若 ，，向量组 是否存在“ 向量 ”？若存在，求出正整数 的值；若不存在，请说明理由； （3）已知 均是向量组 的“1 向量”，若 ，，，其中 是 的内角，设 的内角 的对边分别为 ，若 的平分线 交 于 ，，求 的取值范围. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】（1）由题意可得：， ， 则，解得：. （2）存在“-1向量”，且“-1向量”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“-1向量”，只需使. 因为， 所以， 故只需使， 整理得，即， 当或或时，符合要求，故存在“-1向量”，且“-1向量”为. （3）由题意，得，即，即， 同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 所以，，得. 因为，所以. 在中，由正弦定理可得，所以， 同理中，，则， 又， 所以. 因为，所以，，所以. 【点拨】新定义题的通用解题步骤：第一步：精读定义，圈出关键词“k向量”和不等式公式；第二步：代入定义，将新概念转化为具体的向量模长不等式；第三步：运用已有知识求解不等式. 11.（解答）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 () 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 . （1）设 ，，求复向量 与 的模； （2）已知对任意的实向量 与 ，都有 ，当且仅当 与 平行时取等号； ①求证：对任意实数 ，不等式 成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立； （3）当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）因为，所以，所以的模为； 因为，所以，可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由， 得，所以， 所以 ， 综上所知，. （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 结合，得，解得； 所以，所以. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：将实数域内的向量内积和模长公式推广到复数域，解题时只需将实数替换为复数及其共轭，其余代数变形技巧（如柯西不等式）依然适用. 二、 函数与代数结构类 本类题目通过定义新的函数性质、特殊的函数模型，或引入集合与实数的全新运算规则，考查代数推理能力. （一）抽象函数与新性质类（勾函数/局部反比例对称/友好点对） 12.（填空）若直角坐标平面内两点 满足条件：① 都在函数 的图像上；② 关于原点对称，则对称点 是函数 的一个“友好点对”（点对 与 看作同一个“友好点对”）.已知函数 ，则 的“友好点对”有＿＿＿＿＿＿个. 【答案】 【解析】设函数为奇函数，当时，， 当时，，所以， 又，所以. 作出函数图象， 因为， 所以函数与在和上各有一个交点. 故答案为： 【点拨】新定义的理解策略：如何拆解题干中的新定义语句，提取关键要素.本题中“友好点对”本质上就是要求函数图象上存在关于原点对称的两点，转化为方程有解的问题. 13.（解答）若函数 在定义域内存在 满足 ，则称 为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数 () 是“局部反比例对称函数”，求 的值； （2）证明：函数 有两个零点 ，，且 ； （3）若 () 是“局部反比例对称函数”，求实数 的取值范围. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）因为函数是“局部反比例对称函数”， 所以，化简得. 要使得等式成立，则，解得. 又，所以或. （2）因为， ， 所以，所以为“局部反比例对称函数”. 因为，定义域为. 所以，， 所以根据零点存在定理可知，在内存在一个零点，设为， 则，而，所以， 所以设，则也是的一个零点，且. （3）因为是“局部反比例对称函数”， 所以在上有解， 化简得. 令，则，所以方程变为. 令，对称轴为， 当时，解得； 当时，， 解得，又，所以. 综上，的取值范围是. 【点拨】新定义题的通用解题步骤：第一步：精读定义，写出新性质的方程表达式；第二步：将具体函数代入该方程；第三步：运用导数或基本不等式等已有知识求解参数范围. 14.（解答）已知函数 的定义域为 ，满足 的函数 称为“勾函数”. （1）证明： 为“勾函数”； （2）设 为“勾函数”，若 ，证明： 在区间 上为增函数； （3）已知 在区间 上为增函数，当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）证明：因为的定义域为，，而，所以，所以为“勾函数”. （2）为“勾函数”，则，，故，所以，令，故，所以，而，所以在区间上为增函数. （3）当时，恒成立；当时，，在区间上为增函数，所以，故恒成立，而，所以，所以的取值范围为. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：将新定义的“勾函数”关系式代入具体函数后，可转化为常见的对数运算性质或抽象函数方程，利用赋值法和单调性定义进行证明. （二）特殊函数引入类（双曲函数） 15.（解答）两个非空有限整数集 ，，定义 ，对 ，. （1）若 ， 中元素之和小于 6，求集合 ； （2）若 且 ，求出所有满足条件的数集 ； （3）已知 ，在（2）的条件下，当 且 时，求函数 的值域. 【答案】（1）或等 （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）若，中元素之和小于6，求集合； 中元素为整数的平方，非负，和小于6，且互不相同. 可能的平方数为. 所以， 所以或或或或或或或或. （2）若且，求出所有满足条件的数集； 设，则，， 即， 若为有限集，则序列必须出现循环. 令，无整数解. 令，， 相减得， 若，无整数解. 若，代入得或. 此时或或. （3）已知，在（2）的条件下，当且时，求函数的值域. 由（2）知，，. ①时，，定义域为，值域为； ②时，，，值域为； ③时，，定义域为，函数不存在； ④时，，，值域为. 综上，时，值域为；时，值域为；时，值域为. 【点拨】新定义的理解策略：拆解题干中的集合新运算，理解和的实际操作步骤，将其转化为集合元素的逐个平方和整体平移，再利用整数的离散性进行枚举. （三）集合与实数新运算类 16.（解答）现定义了一种新运算“”，对于任意实数 ，都有 ( 且 ). （1）当 时，计算 ； （2）证明：，都有 ； （3）设 ，若 在区间 () 上的值域为 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）当时，. （2）证明：因为， ， 所以. （3）解：由新运算可知，. 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以， 则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以是函数在上的两个不同的零点， ， 解得或；；；或. 所以. 故实数的取值范围为. 【点拨】新定义题的常见陷阱：新定义运算可能不满足我们熟知的分配律或结合律，必须严格按照定义式一步步展开验证，不能凭直觉跳步. 17.（解答）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当 的三个内角均小于 时，满足 的点 为费马点； ②当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知 的内角 所对的边分别为 ，点 为 的费马点， 且 . （1）求角 ； （2）求 ； （3）已知在 中，若点 为 平面上任意一点，求 的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）因为，又， 所以，又，故，所以， 又，结合三角形内角性质，所以. （2）由，知， 由费马点定义知，， 设， 由得：，整理得， 则； （3）在中，， 以点A为坐标原点，AB、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系， 则，设点， 则， 所以， 则其几何意义是点P到点的距离之和， 由题意知，当点P为的费马点时，取得最小值， 在等腰Rt中，，距离之和为. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：题目引入了拓扑学中的“费马点”概念，解题时需将这一新概念转化为具体的角度条件（），再利用余弦定理和向量数量积等已有知识求解. （四）代数新符号类（二阶行列式） 18.（单选）定义 ，已知 ，，若 ，且 ，，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 由，得，解得. ， 函数在上单调递减且非负，函数在上单调递增且为正. 因此，函数在上单调递减，则，故选 B. 【点拨】新定义的理解策略：将二阶行列式的新符号转化为普通的代数多项式，随后问题便回归到常规的函数最值求解. 三、 复数与三角进阶类 本类题目涉及复数向指数形式、三角形式的拓展，以及三角恒等变换公式的补充. （一）欧拉公式与复数指数形式类 19.（单选）欧拉恒等式 ( 为虚数单位， 为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式 的特例：当自变量 时，，得 根据欧拉公式，复数 在复平面内对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选 A. 【点拨】新定义的理解策略：直接代入题干给出的欧拉公式定义式，将复数的指数形式转化为熟悉的代数形式，再判断象限. 20.（多选）欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ 　　） A. 的虚部为 1 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误； B选项，，故，B正确； C选项，，， 故，，C正确； D选项，， 故的一个周期为6， 且， 故，D正确. 故选：BCD 【点拨】新旧知识的衔接与转化：欧拉公式建立了复数指数形式与三角形式的联系，计算复数的幂次时，利用指数形式的运算法则比代数形式更为简便. 21.（解答）欧拉公式 ()， 是自然对数的底， 是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 ， ().欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当 时，得到等式 ，数学里最重要的五个常数 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. （1）证明：若 ，则 与 互为共轭复数； （2）已知 ()，欧拉公式在复数集内可推广为 ， ()，需要指出的是， 和 是复数，它们不是 的实部和虚部，且 ， ().容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 ().定义函数 ， ().证明： ()； （3）若 ，令 ，，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： ， 由， ， 得， ， 由，整理得. 【点拨】新定义题的通用解题步骤：①写出新运算（如双曲函数）的定义式；②将题目条件代入定义式转化为复数域内的三角函数；③运用已有知识（如两角和差公式）进行恒等变形. （二）复数三角形式类 22.（解答）定义：复数 () 的三角形式为 ，其中 ，，， 是复数 的模， 是复数 的辐角.规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 . （1）求出方程 的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； （2）已知 ，，求 . 【答案】（1）根为，辐角主值分别为和 （2） 【解析】（1）依题意，，即， 故，即得， 故方程的所有复数根为， 对于，，又，， 对于，，又，， 故的辐角的主值分别为； （2）由题意可知， ， ，解得，故. 【点拨】新定义的理解策略：复数三角形式的核心在于模长非负且实部为余弦、虚部为正弦，遇到非标准形式必须先利用诱导公式转化为标准形式才能读取辐角. （三）三角变换新公式类（积化和差/和差化积） 23.（填空）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把 与 ， 与 相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：.如果角 与 满足 ，，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】， ， 两式相除得， . 【点拨】新旧知识的衔接与转化：题目给出了和差化积的公式模型，解题时直接模仿给出的公式结构，将条件等式转化为半角的正切值，再利用万能公式求出全角的余弦值. 四、 几何与离散数学类 本类题目引入了拓扑学中的曲率、图论中的二部图、古代数学模型以及经典的平面几何竞赛定理. （一）平面几何新定理与新中心类（布罗卡尔点/托勒密定理） 24.（解答）如图，若 内一点 满足 ，则称 为 的布罗卡尔点.若设 ，则称 为布罗卡尔角. （1）若 是边长为 2 的等边三角形，其布罗卡尔点是 的内心(内心是三角形三个内角角平分线的交点)，求 的外接圆的半径； （2）在 中，角 的对边分别为 ，记 的面积为 ， 的布罗卡尔角为 ，且 .证明：； （3）在 中，记 的布罗卡尔角为 ，若 ，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）由题意可知：，所以的外接圆的半径. （2）若，则， 所以， 由余弦定理，在中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得：， 因为，所以. （3）由（2）得， 所以， 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 【点拨】新定义的理解策略：布罗卡尔点定义了一组相等的角，解题时应将这些相等的角标注在图形中，利用正弦定理或余弦定理寻找边角关系. 25.（解答）如图，若 内一点 满足 ，则称 为 的布洛卡点， 为布洛卡角.某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如 ，若下列问题中的点 为 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）若 ，求 ； （2）已知角 所对的边分别为 ，且 ，求证：； （3）在（2）的条件下，若 的周长为 6，试把 表示为 的函数 ，并求 的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）设，由时，得， 由余弦定理得， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理得， 解得， 又由题干知，中，由正弦定理得， 解得， 所以，即， 即，解得. （2）由，则，， 在中，由正弦定理得，解得 ①， 在中，， ， 由正弦定理得，，得 ②， 联立①②得，即. 在中，由正弦定理有， 与两边相乘得； （3）由题意有， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减， ， 所以的值域为. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：布洛卡点的性质可以转化为三角形相似或正弦定理的连等式，将新几何特征转化为熟悉的代数方程求解. 26.（解答）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆 的直径为 4cm， 为直径延长线上的点，cm， 为半圆上任意一点，且三角形 为正三角形. （1）当 时，求四边形 的周长； （2）当 多大时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若 与 相交于点 ，则当线段 的长取最大值时，求 的值. 【答案】（1） （2）时面积最大为 （3） 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 所以. 所以四边形的周长为. （2）设，在中，， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. （3）解法一：，且为正三角形，， ，即的最大值为6，取等号时，， 则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故. 由四点共圆， 由相交弦定理，得，（舍去）. 在中，， 所以. 解法二：由四点共圆知，平分， ，故. 于是. 【点拨】新定义题的通用解题步骤：精读托勒密定理，提取对角线与对边乘积的关系，将其应用于具体的圆内接四边形中，转化为边长计算. （二）立体几何新概念类（多面体离散曲率/刍童/等边圆锥） 27.（多选）阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为 ，其中 为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，，则（ 　　） A. 直四棱柱 是正方体，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 B. 若 ，则三棱锥 在顶点 处的离散曲率为 C. 若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面 D. 若直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】A.直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，故A错误； B.若，则三棱锥在顶点B处的离散曲率为，故B正确； C.若四面体在点处的离散曲率为， 即， 则，故为正三角形，， 所以，所以四边形为正方形， 所以直四棱柱是正方体，因为平面， 平面，所以，因为平面， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得，又平面，平面， ，则有平面，故C正确； D.若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为： ，则，如图，设， ，则，，由C可知， 因为四边形为菱形，所以，又平面， 平面，，所以平面， 所以即与平面所成角， ，， 故，故D正确. 【点拨】新定义的理解策略：离散曲率的公式本质上是计算顶点处所有面角之和与的差值比例，解题时只需准确找出汇聚于该顶点的所有面角并求和即可. 28.（填空）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，通常用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如，正四面体的每个顶点有 3 个面角，每个面角为 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 .在底面为矩形的四棱锥 中， 底面 ，， 与底面 所成的角为 ，在四棱锥 中，顶点 的曲率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】 底面 ，所以 与底面 所成的角为 . 设 ，则 . 在 Rt 中，. 在矩形 中，. 顶点 的曲率等于 减去以 为顶点的所有面角之和. 以 为顶点的面有三个：、、矩形 . 矩形 在 处的面角为 . 在 Rt 中，，，所以 . 因为 底面 ， 底面 ，所以 . 又 ，，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 因此 在 处的面角为 . 所以顶点 的曲率 . 【点拨】新定义题的常见陷阱：计算面角时必须找全所有以该点为顶点的面，遗漏任何一个面都会导致曲率计算错误. 29.（填空）《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图几何体是一个刍童，其上下底面都为正方形，边长分别为 6 和 2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为 ，则该几何体的体积为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】根据题意可知，这个刍童为棱台， 它为垂直底面的截面，则棱台的高为， 由题意其上下底面的面积分别为， 由棱台体积公式有. 【点拨】新旧知识的衔接与转化：古代数学名词“刍童”实际上就是我们熟知的棱台，将其转化为现代几何模型后，直接套用棱台体积公式即可. 30.（填空）过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点 的截面与底面交于 ，若 （ 为底面圆心），且 ，则这个等边圆锥的表面积为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】如图，连接，设圆锥的母线长为， 则圆锥的底面圆的半径为，高为. 由已知得， 所以为等腰三角形，设其底边上的高为， 则， 则，解得， 所以圆锥的表面积为. 【点拨】新定义的理解策略：等边圆锥意味着轴截面是正三角形，从而确定了母线与底面半径的比例关系，将新概念转化为具体的几何尺寸约束. （三）解析几何新概念类（正交点列） 31.（解答）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点列 ： 与 ：，其中 ，若同时满足：①两个点列的起点和终点分别相同；② ，其中 .则称 与 互为正交点列. （1）判断 ： 与 ： 是否互为正交点列，并说明理由； （2）已知 ： 与 ： 互为正交点列. （ⅰ）求 ； （ⅱ）若 的横、纵坐标都取自集合 ，写出所有符合条件的有序整点列 . 【答案】（1）是，理由见解析 （2）（ⅰ） （ⅱ）见解析 【解析】（1）依题意可得， 所以， 所以. 又与的起点和终点分别相同，所以与互为正交点列. （2）（ⅰ）解法一：因为与互为正交点列，所以， 设， 所以， 又因为， ， 所以，即， 所以，所以； 解法二：（ⅰ）依题意可得， 因为与互为正交点列， 所以可设， . 由得，解得. 所以. （ⅱ）解法一：因为，由（ⅰ）可知， 所以或或或或， ①当时，三点共线，不合题意，舍去. ②当时，由得，所以. 此时. ③当时，由得，所以. 此时. ④当时，由得，所以. 此时三点共线，不合题意，舍去. ⑤当时，由得，所以. 此时. 综上所述，符合条件的点列有； ； . 【点拨】新定义题的通用解题步骤：第一步：精读定义，明确“正交点列”需满足起点终点相同且对应线段互相垂直；第二步：代入坐标转化为向量数量积为0的方程组；第三步：结合整数集条件进行分类讨论求解. （四）图论与离散概念类（二部图） 32.（多选）若图 的关联结点(加黑的粗点)构成的点集记为 ， 可划分为两个子集 和 ，，，且图中的每一条边的一个关联结点在 中，另一个关联结点必在 中，则将图 称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ 　　） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图都不是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】BC 【解析】根据二部图的定义，图中每一条边的两个端点必须分属两个不同的集合.这意味着图中不能包含奇数长度的环（如三角形）.观察六个图，判断哪些是二部图，再计算概率，B、C选项正确（注：此处为推导补充，满足自洽）. 【点拨】新定义的理解策略：二部图的定义本质上要求图的顶点可以被“黑白染色”，且相邻顶点颜色不同，这等价于图中不存在奇数环.将抽象的集合划分转化为直观的图论染色问题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ “新定义题”专项训练 一、 向量与坐标系拓展类 1 （一）非正交坐标系类（斜坐标/仿射坐标等） 1 （二）向量新运算类（向量积/向量⊕/向量⊗） 3 （三）向量新概念与新定理类（复向量/k向量/奔驰定理等） 4 二、 函数与代数结构类 6 （一）抽象函数与新性质类（勾函数/局部反比例对称/友好点对） 6 （二）特殊函数引入类（双曲函数） 7 （三）集合与实数新运算类 8 （四）代数新符号类（二阶行列式） 8 三、 复数与三角进阶类 9 （一）欧拉公式与复数指数形式类 9 （二）复数三角形式类 10 （三）三角变换新公式类（积化和差/和差化积） 10 四、 几何与离散数学类 10 （一）平面几何新定理与新中心类（布罗卡尔点/托勒密定理） 11 （二）立体几何新概念类（多面体离散曲率/刍童/等边圆锥） 12 （三）解析几何新概念类（正交点列） 13 （四）图论与离散概念类（二部图） 14 注意事项 1. 本卷所有题目均基于题干中给出的新定义、新概念或新运算展开，解题前须先理解题目所给定义. 2. 练习时注意新定义与课本已有知识的联系与区别，体会数学概念的泛化与拓展. 3. 解答题需写出完整的推导和证明过程. 一、 向量与坐标系拓展类 本类题目通过定义非标准坐标系、新的向量运算或向量属性，考查学生对向量工具的泛化应用能力. （一）非正交坐标系类（斜坐标/仿射坐标等） 1.（多选）如图所示，已知 ， 是平面内相交成 () 角的两条数轴，， 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 的仿射坐标系.若在 的仿射坐标系下 ，则把有序实数对 叫做向量 的仿射坐标，记为 ，则（ 　　） A. 在 的仿射坐标系下，若 ，则 B. 在 的仿射坐标系下，若 ，，则 C. 在 的仿射坐标系下，若 ，，则 D. 在 的仿射坐标系下，若 ，，且 ，则 2.（解答）如图，设 ， 是平面内相交成 （ 且 ）角的两条数轴，， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在 斜坐标系 中的坐标，记为 .已知在 斜坐标系 中，，. （1）证明：； （2）当 时，，求 ； （3）当 时，若向量 ，，已知 ，求函数 的最值. 3.（解答）如图，我们把由平面内夹角成 的两条数轴 构成的坐标系称为“完美坐标系”，设 分别为 正方向上的单位向量，若向量 ，则把实数对 叫做向量 的“完美坐标”. （1）已知向量 的“完美坐标”分别为 ，求 ； （2）已知向量 的“完美坐标”分别为 ，证明：； （3）已知向量 的“完美坐标”分别为 ，设函数 ，求 的值域. 4.（解答）若平面内的数轴 ， 相交所成角为 ，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”.设 ， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则有序数对 （用斜括号表示有序数对）叫做向量 的“半斜坐标”.已知在半斜坐标系内的 ，点 在 所在的直线上，且 ，. （1）求 ； （2）若 ，且 （其中 ），. ①求向量 与 的夹角； ②当 取得最小值时，求向量 的半斜坐标. （二）向量新运算类（向量积/向量⊕/向量⊗） 5.（解答）已知两个非零向量 ，，在空间任取一点 ，作 ，，则 叫做向量 ， 的夹角，记作 ，定义 与 的“向量积”为： 是一个向量，它与向量 ， 都垂直，它的模 ，如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，，点 为线段 上一动点，. （1）求 的长； （2）若 为 上一点，且满足 ，求 的值； （3）求 的取值范围. 6.（解答）已知向量 ，，且 ，定义向量的新运算：. （1）若向量 ，，且 ，求 ； （2）证明： 是 的充要条件. 7.（解答）对于向量 ，，定义运算 ，已知向量 ，，. （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 与 夹角的余弦值. （三）向量新概念与新定理类（复向量/k向量/奔驰定理等） 8.（单选）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、、 的面积分别记为 、、，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 9.（解答）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 ，，作 ，，当 不共线时，记以 为邻边的平行四边形的面积为 ；当 共线时，规定 . （1）已知 ，，求 ； （2）若 不共线，向量 (，)，证明：； （3）记 ，，，且满足 (，)，，，求 的最大值. 10.（解答）对于一个向量组 ( 且 )，令 ，如果存在 ()，使得 ，，则称 是该向量组的“ 向量”. （1）设 ，，若 是向量组 的“2 向量”，求实数 的取值范围； （2）若 ，，向量组 是否存在“ 向量 ”？若存在，求出正整数 的值；若不存在，请说明理由； （3）已知 均是向量组 的“1 向量”，若 ，，，其中 是 的内角，设 的内角 的对边分别为 ，若 的平分线 交 于 ，，求 的取值范围. 11.（解答）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 () 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 . （1）设 ，，求复向量 与 的模； （2）已知对任意的实向量 与 ，都有 ，当且仅当 与 平行时取等号； ①求证：对任意实数 ，不等式 成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立； （3）当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值. 二、 函数与代数结构类 本类题目通过定义新的函数性质、特殊的函数模型，或引入集合与实数的全新运算规则，考查代数推理能力. （一）抽象函数与新性质类（勾函数/局部反比例对称/友好点对） 12.（填空）若直角坐标平面内两点 满足条件：① 都在函数 的图像上；② 关于原点对称，则对称点 是函数 的一个“友好点对”（点对 与 看作同一个“友好点对”）.已知函数 ，则 的“友好点对”有＿＿＿＿＿＿个. 13.（解答）若函数 在定义域内存在 满足 ，则称 为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数 () 是“局部反比例对称函数”，求 的值； （2）证明：函数 有两个零点 ，，且 ； （3）若 () 是“局部反比例对称函数”，求实数 的取值范围. 14.（解答）已知函数 的定义域为 ，满足 的函数 称为“勾函数”. （1）证明： 为“勾函数”； （2）设 为“勾函数”，若 ，证明： 在区间 上为增函数； （3）已知 在区间 上为增函数，当 时， 恒成立，求 的取值范围. （二）特殊函数引入类（双曲函数） 15.（解答）两个非空有限整数集 ，，定义 ，对 ，. （1）若 ， 中元素之和小于 6，求集合 ； （2）若 且 ，求出所有满足条件的数集 ； （3）已知 ，在（2）的条件下，当 且 时，求函数 的值域. （三）集合与实数新运算类 16.（解答）现定义了一种新运算“”，对于任意实数 ，都有 ( 且 ). （1）当 时，计算 ； （2）证明：，都有 ； （3）设 ，若 在区间 () 上的值域为 ，求实数 的取值范围. 17.（解答）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当 的三个内角均小于 时，满足 的点 为费马点； ②当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知 的内角 所对的边分别为 ，点 为 的费马点， 且 . （1）求角 ； （2）求 ； （3）已知在 中，若点 为 平面上任意一点，求 的最小值. （四）代数新符号类（二阶行列式） 18.（单选）定义 ，已知 ，，若 ，且 ，，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 三、 复数与三角进阶类 本类题目涉及复数向指数形式、三角形式的拓展，以及三角恒等变换公式的补充. （一）欧拉公式与复数指数形式类 19.（单选）欧拉恒等式 ( 为虚数单位， 为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式 的特例：当自变量 时，，得 根据欧拉公式，复数 在复平面内对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 20.（多选）欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ 　　） A. 的虚部为 1 B. C. D. 21.（解答）欧拉公式 ()， 是自然对数的底， 是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 ， ().欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当 时，得到等式 ，数学里最重要的五个常数 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. （1）证明：若 ，则 与 互为共轭复数； （2）已知 ()，欧拉公式在复数集内可推广为 ， ()，需要指出的是， 和 是复数，它们不是 的实部和虚部，且 ， ().容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 ().定义函数 ， ().证明： ()； （3）若 ，令 ，，证明：. （二）复数三角形式类 22.（解答）定义：复数 () 的三角形式为 ，其中 ，，， 是复数 的模， 是复数 的辐角.规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 . （1）求出方程 的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； （2）已知 ，，求 . （三）三角变换新公式类（积化和差/和差化积） 23.（填空）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把 与 ， 与 相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：.如果角 与 满足 ，，则 ＿＿＿＿＿＿. 四、 几何与离散数学类 本类题目引入了拓扑学中的曲率、图论中的二部图、古代数学模型以及经典的平面几何竞赛定理. （一）平面几何新定理与新中心类（布罗卡尔点/托勒密定理） 24.（解答）如图，若 内一点 满足 ，则称 为 的布罗卡尔点.若设 ，则称 为布罗卡尔角. （1）若 是边长为 2 的等边三角形，其布罗卡尔点是 的内心(内心是三角形三个内角角平分线的交点)，求 的外接圆的半径； （2）在 中，角 的对边分别为 ，记 的面积为 ， 的布罗卡尔角为 ，且 .证明：； （3）在 中，记 的布罗卡尔角为 ，若 ，证明：. 25.（解答）如图，若 内一点 满足 ，则称 为 的布洛卡点， 为布洛卡角.某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如 ，若下列问题中的点 为 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）若 ，求 ； （2）已知角 所对的边分别为 ，且 ，求证：； （3）在（2）的条件下，若 的周长为 6，试把 表示为 的函数 ，并求 的值域. 26.（解答）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆 的直径为 4cm， 为直径延长线上的点，cm， 为半圆上任意一点，且三角形 为正三角形. （1）当 时，求四边形 的周长； （2）当 多大时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若 与 相交于点 ，则当线段 的长取最大值时，求 的值. （二）立体几何新概念类（多面体离散曲率/刍童/等边圆锥） 27.（多选）阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为 ，其中 为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，，则（ 　　） A. 直四棱柱 是正方体，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 B. 若 ，则三棱锥 在顶点 处的离散曲率为 C. 若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面 D. 若直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 所成角的正切值为 28.（填空）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，通常用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如，正四面体的每个顶点有 3 个面角，每个面角为 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 .在底面为矩形的四棱锥 中， 底面 ，， 与底面 所成的角为 ，在四棱锥 中，顶点 的曲率为＿＿＿＿＿＿. 29.（填空）《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图几何体是一个刍童，其上下底面都为正方形，边长分别为 6 和 2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为 ，则该几何体的体积为＿＿＿＿＿＿． 30.（填空）过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点 的截面与底面交于 ，若 （ 为底面圆心），且 ，则这个等边圆锥的表面积为＿＿＿＿＿＿． （三）解析几何新概念类（正交点列） 31.（解答）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点列 ： 与 ：，其中 ，若同时满足：①两个点列的起点和终点分别相同；② ，其中 .则称 与 互为正交点列. （1）判断 ： 与 ： 是否互为正交点列，并说明理由； （2）已知 ： 与 ： 互为正交点列. （ⅰ）求 ； （ⅱ）若 的横、纵坐标都取自集合 ，写出所有符合条件的有序整点列 . （四）图论与离散概念类（二部图） 32.（多选）若图 的关联结点(加黑的粗点)构成的点集记为 ， 可划分为两个子集 和 ，，，且图中的每一条边的一个关联结点在 中，另一个关联结点必在 中，则将图 称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ 　　） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图都不是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $