5.2简单的轴对称图形（第3课时 认识角的轴对称性）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册 - 副本

该初中数学教学设计聚焦角的轴对称性及角平分线性质，通过生活中折扇、三角尺等对称实物导入，回顾轴对称图形定义，承接轴对称概念与线段轴对称性，为后续等腰三角形等几何学习搭建基础。 以“操作感知—猜想验证—归纳应用”为主线，通过折纸探究角的对称轴，尺规作图推导角平分线性质，培养几何直观与推理意识，规范几何语言表达，助力学生建立几何探究思路，帮助教师高效落实数学核心素养。

5.2 简单的轴对称图形（第3课时——认识角的轴对称性） （教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第五章《图形的轴对称》第二节《简单的轴对称图形》第3课时认识角的轴对称性，核心教学内容为：1. 探究角的轴对称性，明确角是轴对称图形，确定其对称轴；2. 通过折纸、作图、推理等活动，归纳角平分线的性质定理；3. 规范表述角平分线性质的几何语言，完成简单应用；4. 结合轴对称本质，理解性质的推导逻辑，初步建立“操作感知—猜想验证—归纳应用”的几何探究思路. 2.内容解析 本节课隶属于“图形的轴对称”单元核心探究环节，是继轴对称概念、线段的轴对称性之后，又一类基础简单轴对称图形的专题探究.承接本章第一节轴对称的定义与性质，是轴对称知识在具体几何图形中的落地应用；横向关联：为后续等腰三角形轴对称性、全等三角形证明、几何作图、角平分线判定及几何综合推理奠定图形认知、操作探究和规范表达的基础.七年级学生正式开启几何图形性质探究，本节课以动手操作+合情推理+演绎表达的模式，帮助学生完成从直观感知到理性论证的思维过渡，落实几何直观、逻辑推理、数学抽象的核心素养.七年级学生认知规律，弱化纯理论演绎，强化实验探究、直观感知、逐步抽象，以折纸操作切入，引导学生自主发现角的对称轴，进而提炼角平分线性质，降低几何定理的理解门槛，凸显“做中学、探中悟”的新课标理念.本节课不仅让学生掌握角的轴对称特征与角平分线性质，更重要的是培养学生几何探究的基本方法，建立图形对称与线段相等的关联，提升几何语言规范表达、动手作图与简单推理能力. 基于以上分析，本节课的教学重点为：角的轴对称性；角平分线的性质定理及几何语言表达；运用角平分线性质解决简单几何问题. 1. 教学目标 （1）理解角是轴对称图形，准确说出角的对称轴；掌握角平分线的性质定理，厘清定理的题设与结论；能规范书写几何语言，运用性质解决简单的线段相等、几何计算与说理问题；能通过折纸、作图操作，验证角的轴对称性与角平分线性质. （2）经历折纸观察、猜想归纳、推理验证的完整过程，积累几何图形性质的探究经验；体会轴对称在探究图形性质中的工具作用，感悟合情推理与演绎推理的结合；提升动手操作、观察分析、抽象概括与规范表达能力. （3）感受几何图形的对称美，激发几何学习兴趣；在自主探究、合作交流中获得成功体验，增强数学学习自信心；培养严谨求实的几何思维，养成规范书写、逻辑清晰的学习习惯. 2.目标分析 目标1全体学生能判断角是轴对称图形，牢记对称轴、角平分线性质的文字内容；多数学生能厘清性质的前提条件（角平分线上的点、两边垂线段），规范书写几何语言；部分学生能理解性质的轴对称推导逻辑，灵活运用性质解决简单几何综合问题. 目标2以动手操作激活直观感知，以合作探究完成猜想归纳，以规范应用实现知识内化，逐步完成直观感知→抽象概括→逻辑推理→实践应用的能力进阶，贴合七年级学生从具象到抽象的认知规律. 目标3通过折纸探究培育几何直观，通过性质推理发展逻辑推理，通过几何语言书写强化数学抽象，通过实际应用感悟模型观念，全方位落实数学核心素养. 学生已经学习轴对称、轴对称图形的定义，掌握线段的轴对称性，具备基本的几何识图、简单折纸作图、口头说理能力，对“对称决定图形性质”有初步感知，具备本节课的学习前提.七年级学生好奇心强，乐于动手操作，对折纸、合作探究类课堂活动参与度高，适合通过直观实验突破几何知识难点.学生易混淆“角平分线”与“角平分线所在直线”，无法准确表述对称轴；几何逻辑薄弱，只记忆性质结论，忽略“点在平分线上、垂线段”两大前提；几何语言表达不规范，文字语言、图形语言、符号语言无法灵活转化；对“性质的推导依据”理解浅显，难以建立轴对称与线段相等的关联. 教学中以动手操作降低理解难度，以问题串引导深度思考，以对比辨析突破易错点，以分层练习兼顾不同学情，逐步夯实几何思维与表达规范. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是理解“角的对称轴是角平分线所在直线”，而非角平分线本身；厘清角平分线性质的前提条件，避免忽略“垂直于角两边”直接得线段相等；实现性质从直观感知到逻辑验证的过渡，规范几何推理表达. 创设情景，引入新课 情景展示：生活中含角的对称实物：折扇、三角尺、五角星、剪纸角形图案. 提出问题：（1）这些图形中都含有哪种基本几何图形？（2）结合上节课所学，猜想角是不是轴对称图形？（3）如果是，它的对称轴在哪里？ 学生活动：观察图片、独立思考、举手发言，回顾轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形.引入课题. （设计意图：从生活实物切入，搭建生活与数学的桥梁，快速唤醒轴对称旧知，自然抛出本节课核心问题，激发探究欲望，明确本节课探究方向.） 探究点1：探究角的轴对称性 操作：在纸上任意画一个∠AOB，沿过顶点O的直线折叠，使角的两边OA、OB完全重合. 学生活动：动手折纸、观察重合现象，小组交流讨论. 追问1：折叠后，OA与OB能否完全重合？说明角是轴对称图形吗？ 角是轴对称图形. 追问2：折痕是什么几何图形？ 折痕是∠AOB的角平分线. 追问3：角的对称轴是这条折痕吗？准确说法是什么？ 对称轴是角平分线所在的直线，而非角平分线这条射线. 归纳结论：角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在的直线. 对比辨析：角平分线是射线，对称轴是直线，二者概念不同，不可混淆表述. （设计意图：让学生亲历折叠操作，用直观重合验证轴对称属性，变“被动听讲”为“主动探究”；通过问题串引导，突破“对称轴表述”的核心易错点，落实知识本质，培育几何直观.） 探究点2：角平分线的性质 尝试·思考 如图 ，OP是∠AOB的平分线，点C是 OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′,连接CD和CD′. 追问1：你认为线段CD和CD′之间有什么关系?说说你的理由. 在这个轴对称图形中，点C的对应点是点C本身，点D的对应点是点D′，线段CD的对应线段是CD′，因此CD=CD′。这说明，角平分线上的任意一点到角的两边上的一对对应点的距离相等. 追问2：当CD⊥OA时(如图）,CD′与 OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? 在这个轴对称图形中，点0的对应点是点0本身，点C的对应点是点C本身，点D的对应点是点D′，∠CDO的对应角是∠CD′O，因此∠CD′0=∠CD0=90°，即CD′⊥OB。此时，仍有CD=CD′。这实际上是问题(1)的特殊化，由此得到角平分线的一个重要性质. 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 条件拆解：定理二个条件一个结论：① 点在角平分线上；② 点到角两边的垂线段（条件）；③ 两条垂线段长度相等（结论）. 几何语言：已知：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E. 结论： PD = PE. （设计意图：遵循“操作→观察→猜想→验证→概括”的几何探究路径，由特殊点到任意点，培养合情推理能力；拆解定理条件、规范几何语言，破解本节课教学难点，完成从直观到理性的思维升华.） 探究点3：作角的平分线 作图任务：作出已知角的平分线 如图，已知∠AOB，如何作出它的角平分线? 假设∠AOB的角平分线已作出，请回答下列问题 (1)这条射线有什么特征? (2)如何确定这条射线除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢?与同伴进行交流。 需要决定的点是角的对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作，目的是从轴对称的角度探索用尺规作角平分线的方法。设计思路是:①先假设所要作的角平分线已作出，再观察这条角平分线的特征;②不限制工具，探索确定这条角平分线上另一个点的方法;③限用尺规，探索确定这条角平分线上两个点的方法。通过①，可知这条角平分线是已知角的对称轴;通过②，探索直观形象且学生易于想到的方法;通过③，打通直观操作与抽象画法之间的联系，明白作图过程无非就是从角两边“对称”地操作而已. 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线. 【分析】:所要找的这个点在角的对称轴上，因此就可以从角两边“对称”地操作. 【解答】作法:作法:1.在QA和OB上分别截取 OD，OE，使OD=OE. 2.分别以点 D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C. 3.作射线OC. 射线 OC就是∠AOB的平分线. 追问1：本例呈现了用尺规作一条线段的垂直平分线的规范作法.作图不要求学生写作法，但要保留作图痕迹.你能说出本作法的道理吗？ 学生可以从轴对称的角度直观说明，也可以利用全等三角形进行说明.例如，连接CD，CE，可判定△OCD≌△OCE，所以∠COD= ∠COE. 追问2：过直线上一点作已知直般的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?与同伴进行交流. 过直线I上一点P作直线的垂线，可以把直线和上的一点P看成以点 P为顶点的平角，过点P作直线的垂线其实就是作这个平角的平分线. （设计意图：让学生掌握教材要求的核心作图技能，通过分步拆解、追问依据，让学生“知其然更知其所以然”，避免机械照搬步骤；同时强化动手实操，落实几何作图核心能力.） 探究点4：回顾·反思 回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法?积累了哪些经验? 对等腰三角形、线段、角的研究，突显了轴对称的视角。例如:通过寻找对应点、对应线段、对应角，发现对应图形的数量关系;通过“对称”的操作，寻找作对称轴的方法。此外，在这一过程中还大量运用了推理。例如，依据概念判断图形的轴对称性，依据轴对称的性质说明有关相等关系，对图形性质由特殊到一般的归纳，对作图方法合理性的说明等. （设计意图：回顾、梳理本节研究图形的方法，反思自己在探究过程中所积累的活动经验，发展核心素养.） 典型例题 例1：如图，在中，，．    (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到的距离相等； (2)若，求点P到的距离． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）根据角平分线的性质只需要求出的长，先证明，再利用含度角的直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求；    （2）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴点P到的距离为2．    （设计意图：学完新知识后通过典型例题，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解） 课堂练习：课本Ｐ139随堂练习 参考答案：1.这是角平分线的性质的一个简单应用.DE与DC相等。理由:BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE和DC的长，根据角平分线的性质，可知 DE=DC.2.目的是练习用尺规作角平分线的方法. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；    ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．    【详解】①证明：∵， ∴，， ∵、的平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即； ②解：∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长：， 即的周长为； ③解：．理由如下： ∵， ∴，， ∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． （设计意图：强化对所学概念的拓展与延伸） 11．（2025•扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 【解答】解：∵点D在BC上， ∴∠ADB+∠ADC＝180°， ∵∠ADB＝∠ADC， ∴2∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， 故A不符合题意； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝∠C与点D所在的位置没有关系， ∴由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC， 故B符合题意； ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， 故C不符合题意； ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 故D不符合题意， 故选：B． 2.（2025•福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD． 【解答】证明：∵∠CBE＝∠CDF， ∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF， ∵∠ABC＝180°﹣∠CBE，∠ADC＝180°﹣∠CDF， ∴∠ABC＝∠ADC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AD． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结:（1）角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.（2）角平分线性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等.（3）性质应用核心：一找角平分线，二找垂线段，三证线段相等. 方法总结:（1）探究几何图形性质的通用方法：动手操作→观察猜想→验证归纳→规范应用.（2）几何学习核心思路：借助轴对称，探究图形特征，推导图形性质.（3）解题技巧：先定位定理条件，再得出结论，杜绝无依据推理. 易错提醒:（1）对称轴是直线，不是角平分线这条射线.（2）性质中必须是点到角两边的垂线段，普通线段不可直接相等.（3）几何推理要步步有据，不可省略前提条件直接写结论. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题5.2第3、4、9题. 探究性作业：教材习题5.2第10、11题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 5.2 简单的轴对称图形（第3课时) 探究点1：探究角的轴对称性 探究点2：角平分线的性质 探究点3：作角的平分线 探究点4：回顾·反思 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $