专题 5.3 问题解决策略——转化（将军饮马问题）（几何模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.3 问题解决策略——转化（将军饮马问题）（几何模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【模型一】将军饮马——“两定一动”型 1 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 2 【模型二】将军饮马——“两动一定”型 5 【题型 2】将军饮马——“两动一定”型 6 【模型三】将军饮马——“两定两动”型 10 【题型 3】将军饮马——“两定两动（选扯架桥）”型 10 【模型四】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 14 【题型 4】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 14 二.培优题型精析 18 【题型 5】将军饮马综合拓展 18 三.同步检测 26 （一）选择题（8题） 26 （二）填空题（8题） 26 （三）解答题（4题） 26 一.知识梳理与基础题型精析 将军饮马问题的核心数学思想是转化思想，通过轴对称变换，将折线最短问题转化为熟悉的“两点之间，线段最短”或“点线之间，垂线段最短”的基础模型；利用对称点等量替换线段，把不在同一直线上的折线路径，转化为两点间直线路径，以此求解最短路径、最小周长类问题，是几何中运用转化思想解决最值问题的典型题型。本专题结合轴对称性质梳理出六大几何模型，也称为“将军饮马”模型。 【模型一】将军饮马——“两定一动”型 条件 基本图形 原理 证明思路 异侧型 两点之间，线段最短 连接AB与直线交于点Q，P是直线上任意一点，在PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB>AB（当且仅当PQ重合时取=） 同侧型 两点之间，线段最短 作定点A关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所要找的点，这样就转化为异侧型，得当点与点重合时，AC+BC值最小。 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 【例题1】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____． 【答案】13 【分析】当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，最小值为AB+AC的长． 【详解】解：如图， ∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴△ACP的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC， ∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小， ∵AB=9，BC=7，AC=4， ∴△ACP的周长9+4=13， ∴△ACP的周长最小值为13， 故答案为13． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【模型二】将军饮马——“两动一定”型 条件 基本图形 原理 证明思路 在内部有一点A，在OM找一点B，在ON找一点C，使得BAC周长最短 两点之间，线段最短 作点A于OM对称点A'，作点A于ON对称点A''，连接A'A'',与OM、ON于点B、C， ABC为所求。 【题型 2】将军饮马——“两动一定”型 【例题2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 【答案】84 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 【变式1】（23-24八年级上·江苏泰州·月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 【答案】B 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N， 则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 _____． 【答案】4 【分析】本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键． 作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 【详解】解：作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴, 故答案为：4． 【变式3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 【模型三】将军饮马——“两定两动”型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 A、B两个定点，在定直线找两个动点MN，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N的左侧），使AM+MN+BN值最小 两点之间，线段最短 将点A右平移长度d到点A'，作A'关于直线对称点A''，连接A"B，交直线点N，将点N向左平移长度d得到点M，则AM+MN+BN为所求。 【题型 3】将军饮马——“两定两动（选扯架桥）”型 【例题3】（24-25八年级上·河南信阳·月考）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】的值最小，其中是定值，问题转化为最小，先作，使得，再作对称点，连接对称点和即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，作点关于的对称点，连接交于点，在上截取，连接，线路时，的值最小， 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【答案】见解析 【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可． 【详解】解：如图所示，   ， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 【模型四】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 点A是定点，OM、ON是定线，点B、C是OM、ON上的动点，是动点.求出AB+BC最小时动点B、C的位置。 垂线段最短 作法：作点A于OM对称点A',过点A'作A'CON于点C，交OM于点B，则B、C即为所求。 【题型 4】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 【例题4】（24-25八年级上·四川泸州·月考）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当时，最小，根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，则根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，进而根据△ADC的面积可进行求解． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，如图所示： ∴， 根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、等积法及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称的性质求最短路径问题是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短，角平分线的性质． 作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 二.培优题型精析 【题型 5】将军饮马综合拓展 【例题5】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（）利用轴对称性质，证得的两边相等且夹角为，判定其为等腰直角三角形； （）结合等腰直角三角形面积公式与垂线段最短，通过的面积求出到的距离，进而算出的最小面积； （）通过作点关于、的对称点、，利用轴对称性质将转化为(两点之间线段最短)，结合推出；再求出在上运动时OP的最值(最小值为斜边上的高，最大值为)，从而得到的范围为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 由轴对称的性质得：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由（）知，是等腰直角三角形， ∴面积， 根据垂线段最短，的最小值是点到直线的距离， ∵，，， ∴，即， ∴面积最小值为； （3）解：作点关于、的对称点、，则，， ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 三.同步检测 （一）选择题（8题） 1．（23-24七年级上·江苏南京·月考）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【答案】B 【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)， 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)， 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)， 当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)， 因为7000＜7050＜8800＜11900， 所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 5．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°， ∴∠ADC＝180°﹣32°， 由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣32°） ＝32°， ∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°， ∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′） ＝180°﹣32°-32° ＝116°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 8．（2021·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． （二）填空题（8题） 9．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 10．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，中，，于点D，点E、F分别在上运动，若的面积为6，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N， ∵，的面积为6， ∴， ∵F关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，轴对称——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能求出的长是解此题的关键，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 11．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，   ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 12．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 13．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 16．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． （三）解答题（4题） 17．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可得，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积， 故答案为：； （3）解：点即为所求： 18．（24-25七年级下·江苏南京·月考）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 19．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 20．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 问题解决策略——转化（将军饮马问题）（几何模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【模型一】将军饮马——“两定一动”型 1 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 2 【模型二】将军饮马——“两动一定”型 3 【题型 2】将军饮马——“两动一定”型 4 【模型三】将军饮马——“两定两动”型 5 【题型 3】将军饮马——“两定两动（选扯架桥）”型 5 【模型四】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 7 【题型 4】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 7 二.培优题型精析 8 【题型 5】将军饮马综合拓展 8 三.同步检测 11 （一）选择题（8题） 11 （二）填空题（8题） 13 （三）解答题（4题） 15 一.知识梳理与基础题型精析 将军饮马问题的核心数学思想是转化思想，通过轴对称变换，将折线最短问题转化为熟悉的“两点之间，线段最短”或“点线之间，垂线段最短”的基础模型；利用对称点等量替换线段，把不在同一直线上的折线路径，转化为两点间直线路径，以此求解最短路径、最小周长类问题，是几何中运用转化思想解决最值问题的典型题型。本专题结合轴对称性质梳理出六大几何模型，也称为“将军饮马”模型。 【模型一】将军饮马——“两定一动”型 条件 基本图形 原理 证明思路 异侧型 两点之间，线段最短 连接AB与直线交于点Q，P是直线上任意一点，在PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB>AB（当且仅当PQ重合时取=） 同侧型 两点之间，线段最短 作定点A关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所要找的点，这样就转化为异侧型，得当点与点重合时，AC+BC值最小。 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 【例题1】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【模型二】将军饮马——“两动一定”型 条件 基本图形 原理 证明思路 在内部有一点A，在OM找一点B，在ON找一点C，使得BAC周长最短 两点之间，线段最短 作点A于OM对称点A'，作点A于ON对称点A''，连接A'A'',与OM、ON于点B、C， ABC为所求。 【题型 2】将军饮马——“两动一定”型 【例题2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 【变式1】（23-24八年级上·江苏泰州·月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 _____． 【变式3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【模型三】将军饮马——“两定两动”型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 A、B两个定点，在定直线找两个动点MN，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N的左侧），使AM+MN+BN值最小 两点之间，线段最短 将点A右平移长度d到点A'，作A'关于直线对称点A''，连接A"B，交直线点N，将点N向左平移长度d得到点M，则AM+MN+BN为所求。 【题型 3】将军饮马——“两定两动（选扯架桥）”型 【例题3】（24-25八年级上·河南信阳·月考）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【模型四】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 点A是定点，OM、ON是定线，点B、C是OM、ON上的动点，是动点.求出AB+BC最小时动点B、C的位置。 垂线段最短 作法：作点A于OM对称点A',过点A'作A'CON于点C，交OM于点B，则B、C即为所求。 【题型 4】将军饮马——“一定两动（垂线段最短）”型 【例题4】（24-25八年级上·四川泸州·月考）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【变式2】（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为______． 【变式3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 二.培优题型精析 【题型 5】将军饮马综合拓展 【例题5】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 三.同步检测 （一）选择题（8题） 1．（23-24七年级上·江苏南京·月考）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 2．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 8．（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 （二）填空题（8题） 9．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________． 10．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，中，，于点D，点E、F分别在上运动，若的面积为6，则的最小值为______． 11．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    12．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 13．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 16．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． （三）解答题（4题） 17．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 18．（24-25七年级下·江苏南京·月考）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 19．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 20．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $