5.2简单的轴对称图形（第2课时 认识线段的轴对称性）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学教学设计聚焦线段的轴对称性，核心内容包括线段是轴对称图形、垂直平分线定义与性质、尺规作图及应用。通过复习轴对称概念与性质，以“线段是否为轴对称图形及对称轴位置”的问题驱动，搭建旧知到新知的学习支架。 资料特色在于遵循“直观操作—猜想归纳—推理验证—应用落实”的几何认知规律，如折纸探究线段轴对称性培养几何直观，性质定理推导强化推理能力，尺规作图结合全等说明依据规范数学语言。融入生活实例与中考真题，分层任务降低难度，既提升学生空间观念与应用意识，又为教师提供可操作性强的教学流程。

5.2 简单的轴对称图形（第2课时——认识线段的轴对称性） （教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第五章《图形的轴对称》第二节《简单的轴对称图形》第2课时认识线段的轴对称性，核心教学内容为：1. 探究线段的轴对称特征，明确线段是轴对称图形；2. 理解线段垂直平分线（中垂线）的定义；3. 探索并归纳线段垂直平分线的性质定理；4. 掌握线段垂直平分线的尺规作图方法；5. 运用线段垂直平分线的定义与性质，完成简单推理、计算和实际问题解决. 2.内容解析 本节课隶属于“图形的轴对称”章节核心课时，是学生在学习轴对称的基本概念、轴对称的性质之后，正式研究的第一种简单轴对称图形.线段是最基础的平面几何图形，其轴对称性是后续学习角的轴对称性、等腰三角形、垂直平分线判定、几何作图、最短路径等知识的重要铺垫，起到承上启下、夯实几何推理基础的关键作用.本节课遵循“直观操作—猜想归纳—推理验证—应用落实”的初中几何认知规律，摒弃直接灌输结论的模式，通过折纸操作、观察对比、逻辑证明、尺规作图、问题应用，层层递进落实知识生成，贴合七年级学生从形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知特点，同时强化几何语言表达、规范推理和动手作图能力的培养.通过动手操作、合作探究，发展学生空间观念、几何直观与逻辑推理能力；借助生活实例与作图应用，让学生感受几何知识的实用性，培养严谨求证、规范表达的数学学习习惯，渗透数形结合、转化归纳的数学思想. 基于以上分析，本节课的教学重点为：线段的轴对称性；线段垂直平分线的定义与性质定理；线段垂直平分线的尺规作图. 1. 教学目标 （1） 理解线段是轴对称图形，能准确找出其对称轴；掌握线段垂直平分线的定义，能用规范几何语言表述；理解并熟记线段垂直平分线的性质，能完成简单推理、计算与说理；熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，理解作图依据. （2） 经历“折纸感知—观察猜想—推理证明—总结应用”的探究过程，积累几何探究活动经验；通过动手操作、合作交流、规范说理，提升几何直观、逻辑推理和语言表达能力；体会数形结合、转化、从特殊到一般的数学思想. （3） 在自主探究中获得数学成功体验，激发几何学习兴趣；感受轴对称在生活中的应用价值，培养严谨治学、规范表达的数学素养. 2.目标分析 目标1所有学生能判断线段是轴对称图形，说出垂直平分线的定义，识记性质定理；多数学生能结合图形书写规范几何语言，完成基础证明与计算;部分学生能灵活运用性质解决综合作图、实际应用问题，理解尺规作图的原理. 目标2以学生动手操作为核心，教师引导完成“感知—探究—验证—应用”完整闭环，避免机械记忆，让学生真正理解知识的生成逻辑，落实核心素养中几何直观、推理能力的培养. 目标3依托生活化情境、小组合作、分层任务，降低几何入门难度，消除学生对几何推理的畏惧心理，逐步建立数学学习自信心. 学生已经学习轴对称、对称轴、全等三角形、线段中点、垂线等基础知识，具备简单的图形观察、动手操作和口头说理能力，为本节课探究学习奠定了知识基础.七年级学生好奇心强，乐于动手折纸、作图、小组合作，对直观化、活动化的课堂接受度高，适合采用操作探究式教学.学生学习中常出现：几何语言表达不规范，逻辑推理能力薄弱，易混淆“判定”与“性质”；抽象思维不足，难以快速从直观操作过渡到严谨证明；尺规作图步骤混乱，不理解作图背后的几何原理；易忽略“直线是无限延伸的”，误将线段中点当作对称轴.教学中要采用低起点、多活动、慢递进、强规范的教学策略，强化直观操作、分步引导、几何语言模板训练、易错点对比辨析，突破学习难点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：线段垂直平分线性质的逻辑推理证明；准确区分“性质的条件与结论”，规范使用几何语言说理；理解尺规作线段垂直平分线的理论依据，灵活运用性质解决实际问题. 创设情景，引入新课 复习提问：（1）什么是轴对称图形？（2）轴对称的核心性质是什么？ 问题驱动：给出线段AB，提出问题：线段是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴在哪里？引入课题. （设计意图：通过旧知回顾搭建知识衔接桥梁，用直白问题引发认知冲突，快速聚焦本节课核心探究对象，自然导入新课，同时明确本节课学习任务.） 探究点1：探究线段的轴对称性 动手折纸 让学生拿出画有线段AB的纸片，将线段沿某条直线对折，使线段两个端点A、B完全重合. 观察思考 （1）线段AB对折后能完全重合，说明线段是轴对称图形； （2）折痕与线段AB的位置关系：垂直且平分； （3）线段的对称轴：如下左图线段AB,垂直并且平分线段AB的直线是它的一条对称轴. 归纳结论：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 如下右图线段AB，线段本所在直线也是它的一条对称轴，我们通常研究垂直并且平分线段的这条对称轴. （设计意图：让学生通过亲手操作获得直观感知，替代教师直接讲授，遵循“直观感知→抽象概括”的认知规律，轻松突破“线段是轴对称图形”的核心认知，为后续概念学习做好铺垫.） 探究点2：线段垂直平分线 定义生成 结合折纸折痕特征，给出规范定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 几何符号解读 如果直线MN⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则直线MN是线段AB的垂直平分线. 关键词强调 垂直平分线是直线，不是射线、不是线段；必须同时满足垂直、平分两个条件. （设计意图：从直观折痕抽象出数学定义，强化关键词辨析，帮助学生精准理解概念本质，杜绝概念混淆，同时规范几何图形与符号表达，培养严谨的概念认知习惯.） 探究点3：探究垂直平分线的性质 尝试思考 如图，直线是线段AB的垂直平分线，点C是上的任意一点.在线段AB上画出以直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′. (1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系?说说你的理由. (2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置?此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? 归纳性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等. 规范几何语言：∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，∴ PA=PB. 逆向思考：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上（为后续学习埋下伏笔，不深入展开）. （设计意图：遵循“猜想→操作验证→逻辑证明”的几何探究路径，兼顾七年级学生的认知水平，先直观确认再严谨推理，既降低推理入门难度，又落实逻辑推理素养；同时规范几何语言书写，解决学生“不会说理、表达混乱”的痛点.） 探究点4：作线段的垂直平分线 作图任务：作出已知线段AB的垂直平分线 如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线? 假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题 (1)这条直线有什么特征? (2)如何确定这条直线上的两个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢?与同伴进行交流. 需要决定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作，目的是从轴对称的角度探索用尺规作线段垂直平分线的方法。设计思路是:①先假设所要作的垂直平分线已作出，再观察这条垂直平分线的特征;②不限制工具，探索确定这条垂直平分线上两个点的方法;③限用尺规，探索确定这条垂直平分线上两个点的方法。通过①，可知这条垂直平分线是已知线段的对称轴;通过②，探索直观形象且学生易于想到的方法;通过③，打通直观操作与抽象作法之间的联系，明白作图过程无非就是从线段两端“对称”地操作而已. 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线. 【分析】只要找到到AB距离相等的两点即可，分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，C和D两点为符合条件的点. 【解答】作法:1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D(如图) 2.作直线CD 线CD就是线段AB的垂直平分线. 问题：本例呈现了用尺规作一条线段的垂直平分线的规范作法.作图不要求学生写作法，但要保留作图痕迹. 你能说出本作法的道理吗？ 学生可以从对称的角度直观说明，也可以综合运用全等三角形的判定、等腰三角形的性质进行说明。例如:连接AC，AD，BC，BD，可判定△ACD≌△BCD，所以∠ACD=∠BCD;又因为△ACB是等腰三角形，所以CD垂直平分AB. （设计意图：让学生掌握教材要求的核心作图技能，通过分步拆解、追问依据，让学生“知其然更知其所以然”，避免机械照搬步骤；同时强化动手实操，落实几何作图核心能力.） 典型例题 例1：如图，已知直线和上的一点P，用尺规作的垂线，使它经过点P. 【分析】这个问题与作线段的垂直平分线的区别和联系，进而把问题转化为已经解决的问题加以解决. 【解答】作法:1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点A和点B. 2.作线段AB的垂直平分线m.直线m垂直于直线，且经过点P. 例2：如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．    【分析】利用等边对角及三角形内角和可得，再利用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． （设计意图：学完新知识后通过典型例题，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解） 课堂练习：课本Ｐ130随堂练习 参考答案：1.ED=7cm. 2.作线段PQ的垂直平分线. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，在中，．    (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的周长 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求；    （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长:， ∵， ∴的周长为：． （设计意图：强化对所学概念的拓展与延伸） 1．（2025·商洛校考）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）    【详解】解：如图,分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧交点作直线，与交于点P，点P即为所求.    2. （2025.江宁校考）如图所示，已知，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，要求：在边上确定一点，使得． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点P，则， ，如图所示，点P即为所求：    3.（2025.宁波校考）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【详解】解：如图，点C即为所求．    （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（1）线段是轴对称图形，一条对称轴是它的垂直平分线.（2）垂直平分线定义：垂直且平分线段的直线.（3）核心性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等.（4）会用尺规作线段的垂直平分线. 方法总结：（1）几何探究方法：动手操作→观察猜想→推理验证→归纳应用.（2）几何学习方法：抓定义、记性质、规范语言、数形结合.（3） 解题技巧：看到垂直平分线，直接联想线段相等，进行等量代换. 易错提醒：（1）垂直平分线是直线，不是线段、射线.（2）必须同时满足垂直、平分两个条件，缺一不可.（3）性质定理的条件和结论要清楚.（4）尺规作图时，画弧半径必须大于线段长的一半.（5）不能仅凭PA=PB，就判定点P是线段中点. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题5.2第2、7题. 探究性作业：教材习题5.2第8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 5.2 简单的轴对称图形（第2课时） 探究点1：探究线段的轴对称性 探究点2：线段垂直平分线 探究点3：探究垂直平分线的性质 探究点4：作线段的垂直平分线 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $