第10章 分式 单元复习（5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第10章 分式 知识点1：分式的概念 定义：形如（、为整式，中含字母，且）的式子。 分式有意义：分母≠0；分式无意义：分母=0。 分式值为0：分子=0且分母≠0（两个条件必须同时满足）。 知识点2：分式的基本性质 项目 内容 易错警示 基本性质 （） 乘除的整式不能为0 符号法则 变号要整体变 约分 约去分子分母公因式，化为最简分式 先因式分解再约分 通分 化为同分母，依据最简公分母 分母先分解再定公分母 知识点3：分式的运算 1.乘除：；。 2.加减：同分母；异分母先通分再加减。 3.混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 4.整数指数幂：；。 知识点4：分式方程 1.定义：分母中含未知数的方程。 2.解法：去分母→解整式方程→检验（验根是必备步骤）。 3.增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的根。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解都是增根。 知识点5：分式的实际应用 步骤：审题→设未知数→列分式方程→解方程→双检验（方程+实际）→作答。 常见模型：工程问题、行程问题、销售问题、平均量问题。 【易错题型】 【题型1】分式值为0与分式方程增根混淆题 1.易错点总结 分式值为0：只记分子=0，忘记分母≠0。 解分式方程：求出解后不检验，把增根当作有效根。 含参方程：把增根与无解等同，分类讨论不全。 2.纠错技巧 分式值为0：先分子为0，再分母不为0，两步缺一不可。 分式方程：解完必检验，代入最简公分母判断是否为0。 含参问题：先找增根，再代入整式方程求参，最后验证。 【例题1】.（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·福建福州·月考）若分式的值为零，则x的值是______． 【变式题1-2】.（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【基础题型】 【题型2】分式有/无意义及值为0的判断 1.核心考点 分式定义、有意义条件、值为0的双条件。 2.解题技巧 有意义：分母≠0；值为0：分子=0且分母≠0。 分母是多项式先因式分解，每个因式≠0。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）若要分式有意义，则需满足的条件是________． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏南京·月考）当______时，分式值为零． 【题型3】分式的基本性质与符号变形 1.核心考点 分式性质、变号法则、系数化整、约分通分。 2.解题技巧 分子分母同乘除非零整式，遇负同步变号。 系数化整：乘分母最小公倍数；化简先分解因式。 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·重庆·月考）下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【题型4】分式的四则混合运算 1.核心考点 分式乘除、加减、乘方及混合运算顺序。 2.解题技巧 先分解因式，能约分先约分；除法变乘法。 混合运算：先乘方→再乘除→后加减。 【例题4】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【变式题4-2】.（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【变式题4-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5】分式化简求值（常规/整体代入） 1.核心考点 分式化简、因式分解、整体代入求值。 2.解题技巧 先化最简，再代入；条件复杂用整体代换。 取值代入时必须保证原式有意义。 【例题5】.（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 【变式题5-1】.（2026·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 【变式题5-2】.（2026·山东枣庄·一模）先化简，再求值：，其中 【变式题5-3】.（2026·湖南益阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心考点 去分母化整式方程、求解、验根。 2.解题技巧 找最简公分母去分母；解后必检验。 注意符号与漏乘常数项。 【例题6】.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）解方程 (1)； (2)． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏淮安·期中）解方程： (1) (2) 【提升题型】 【题型7】含参数分式方程 1.核心考点 用参数表示解、根据解的范围列不等式、排除增根。 2.解题技巧 解方程得含参式子→列不等式→排除使分母为0的参值。 整数解：解为整数且分母≠0。 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·期中）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【变式题7-1】.（2026·山东淄博·一模）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为__________． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 【题型8】分式方程的增根与无解问题 1.核心考点 增根产生原因、无解两种情况、求参数值。 2.解题技巧 增根：最简公分母=0→代入整式方程求参。 无解：①整式方程无解；②解都是增根，分类讨论。 【例题8】.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·山东济南·月考）解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【培优题型】 【题型9】工程/行程/销售类分式方程应用题 1.核心考点 实际情境建模、列分式方程、双检验、最优方案。 2.解题技巧 抓公式：工作量=效率×时间；路程=速度×时间。 牢记双检验：方程根+实际意义。 【例题9】.（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． (1)求甲、乙速度； (2)甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【变式题9-1】.（2026·山西晋中·一模）某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？ 【变式题9-2】.（2026·重庆南岸·模拟预测）上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． (1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ (2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 【变式题9-3】.（2026·四川成都·二模）2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． (1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ (2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 【题型10】规律探究与新定义运算分式综合 1.核心考点 分式序列规律、新定义运算、转化为常规分式问题。 2.解题技巧 找分子、分母、符号三项规律，写第n项表达式。 新定义：严格按规则列式，注意定义域限制。 【例题10】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【易错重难点总结】 1.核心易错点 分式值为0：漏分母≠0；分式运算：符号错误、不先分解因式。 分式方程：不验根、把增根当有效解。 含参问题：增根与无解混淆、未排除使分母为0的参数。 应用题：只验方程不验实际意义。 2.本章重难点 重点：分式性质、分式运算、分式方程解法与检验。 重点：分式方程实际应用、双检验。 难点：含参数分式方程（增根、无解、解的范围）。 难点：分式化简求值（整体代入、变形技巧）。 3.解题通用步骤 分式运算：因式分解→约分→定符号→按序运算→化最简。 分式方程：去分母→解整式→验根→作答。 含参问题：用参表示解→列不等关系→排除增根→定范围。 应用题：建模→列方程→解方程→双检验→作答。 4.高分必备技巧 分式计算：先分解，再约分，后计算。 分式方程：解完必检验，增根果断舍去。 含参问题：先找增根，再定范围，分类不重不漏。 化简求值：能整体代入不硬算，简化计算。 应用题：抓关键词，套公式，验合理性。 5.素养提升关键 强化转化思想：分式化整式、陌生化熟悉。 落实运算素养：严谨、规范、每步有据。 树立模型观念：用分式/分式方程解决实际问题。 培养分类讨论：含参问题全面考虑，不丢情况。 注重严谨性：分母不为0、验根、实际限制全落实。 【同步练习】 一、单选题 1．函数的自变量的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 4．化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题 5．若分式有意义，则x的取值范围是______． 6．已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 7．如果，那么___________． 8．已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 三、解答题 9．解方程： (1)； (2)． 10．先化简，再求值：，其中． 11．中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 12．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 13．综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 知识点1：分式的概念 定义：形如（、为整式，中含字母，且）的式子。 分式有意义：分母≠0；分式无意义：分母=0。 分式值为0：分子=0且分母≠0（两个条件必须同时满足）。 知识点2：分式的基本性质 项目 内容 易错警示 基本性质 （） 乘除的整式不能为0 符号法则 变号要整体变 约分 约去分子分母公因式，化为最简分式 先因式分解再约分 通分 化为同分母，依据最简公分母 分母先分解再定公分母 知识点3：分式的运算 1.乘除：；。 2.加减：同分母；异分母先通分再加减。 3.混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 4.整数指数幂：；。 知识点4：分式方程 1.定义：分母中含未知数的方程。 2.解法：去分母→解整式方程→检验（验根是必备步骤）。 3.增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的根。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解都是增根。 知识点5：分式的实际应用 步骤：审题→设未知数→列分式方程→解方程→双检验（方程+实际）→作答。 常见模型：工程问题、行程问题、销售问题、平均量问题。 【易错题型】 【题型1】分式值为0与分式方程增根混淆题 1.易错点总结 分式值为0：只记分子=0，忘记分母≠0。 解分式方程：求出解后不检验，把增根当作有效根。 含参方程：把增根与无解等同，分类讨论不全。 2.纠错技巧 分式值为0：先分子为0，再分母不为0，两步缺一不可。 分式方程：解完必检验，代入最简公分母判断是否为0。 含参问题：先找增根，再代入整式方程求参，最后验证。 【例题1】.（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·福建福州·月考）若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 【变式题1-2】.（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【基础题型】 【题型2】分式有/无意义及值为0的判断 1.核心考点 分式定义、有意义条件、值为0的双条件。 2.解题技巧 有意义：分母≠0；值为0：分子=0且分母≠0。 分母是多项式先因式分解，每个因式≠0。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）若要分式有意义，则需满足的条件是________． 【答案】 【详解】解：若要分式有意义， 则， 解得． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可． 【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0， 选项，，的分子分别为，，，均恒不为， 这三个选项的分式的值不可能为， 对选项：令分子，解得， 当时，分母， 当时，该分式的值为，满足条件， 故选：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏南京·月考）当______时，分式值为零． 【答案】 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 【题型3】分式的基本性质与符号变形 1.核心考点 分式性质、变号法则、系数化整、约分通分。 2.解题技巧 分子分母同乘除非零整式，遇负同步变号。 系数化整：乘分母最小公倍数；化简先分解因式。 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·重庆·月考）下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 【题型4】分式的四则混合运算 1.核心考点 分式乘除、加减、乘方及混合运算顺序。 2.解题技巧 先分解因式，能约分先约分；除法变乘法。 混合运算：先乘方→再乘除→后加减。 【例题4】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-2】.（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【变式题4-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型5】分式化简求值（常规/整体代入） 1.核心考点 分式化简、因式分解、整体代入求值。 2.解题技巧 先化最简，再代入；条件复杂用整体代换。 取值代入时必须保证原式有意义。 【例题5】.（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 【变式题5-1】.（2026·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】对代数式的分子进行化简，运用整式的运算规则展开并合并同类项。对代数式的分母进行因式分解，运用完全平方公式．将化简后的分子分母进行约分，再代入 的值计算． 【详解】， ∵， ∴， 代入化简结果： ． 【变式题5-2】.（2026·山东枣庄·一模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ． 把代入，得． 【变式题5-3】.（2026·湖南益阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【答案】(1)② (2)化简过程见解析，化简结果为，分式的值为． 【分析】（1）第②步计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：观察可知，第②步出现错误，错误原因是计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）解：原式 ， 当时，原式． 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心考点 去分母化整式方程、求解、验根。 2.解题技巧 找最简公分母去分母；解后必检验。 注意符号与漏乘常数项。 【例题6】.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． （2）解：原方程可化为． 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏淮安·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】（1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 【提升题型】 【题型7】含参数分式方程 1.核心考点 用参数表示解、根据解的范围列不等式、排除增根。 2.解题技巧 解方程得含参式子→列不等式→排除使分母为0的参值。 整数解：解为整数且分母≠0。 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·期中）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 【变式题7-1】.（2026·山东淄博·一模）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】2 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再解分式方程得出，再根据方程有整数解，且，，从而求出符合条件的所有整数，然后再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组有且只有4个奇数解， ， 解得：； ， 解得：， 方程有整数解，且，， 符合题意的整数的值为，4， 符合条件的所有整数的和是． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有三个整数解确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解且分母不为零确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件整数的和． 【详解】解：， 解不等式①：得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至少有三个整数解，大于的前三个整数为，，， 是不等式组的解， ， 解得：， 解分式方程：， 方程变形为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 分式方程有非负整数解， 是的非负整数倍， 且（时分母为零，是增根，需舍去）， ，且， ①当时，，符合条件； ②当时，，符合条件； ③当时，，不符合条件，舍去； ④当时，，符合条件； ⑤当时，，不符合条件，舍去． 综上所述，符合条件的整数为，，， 所有满足条件的值的和为． 【题型8】分式方程的增根与无解问题 1.核心考点 增根产生原因、无解两种情况、求参数值。 2.解题技巧 增根：最简公分母=0→代入整式方程求参。 无解：①整式方程无解；②解都是增根，分类讨论。 【例题8】.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·山东济南·月考）解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘最简公分母去分母，得：， 将增根代入整式方程，得：， 解得． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 【培优题型】 【题型9】工程/行程/销售类分式方程应用题 1.核心考点 实际情境建模、列分式方程、双检验、最优方案。 2.解题技巧 抓公式：工作量=效率×时间；路程=速度×时间。 牢记双检验：方程根+实际意义。 【例题9】.（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． (1)求甲、乙速度； (2)甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【答案】(1)甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时 (2)乙5分钟追上 【分析】（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据“乙比甲早40分钟到达”列分式方程求解； （2）设乙出发t小时追上，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴（千米/时） 答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时； （2）解：设乙出发t小时追上， 根据题意得，， 解得小时分钟， 答：乙5分钟追上． 【变式题9-1】.（2026·山西晋中·一模）某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？ 【答案】20份 【分析】设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务． 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：智能体乙平均每小时能完成20份日常办公任务． 【变式题9-2】.（2026·重庆南岸·模拟预测）上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． (1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ (2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 【答案】(1) 购买黄瓜25千克，茄子15千克 (2) 本周购买黄瓜80千克 【分析】（1）设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意列出二元一次方程组，求出解； （2）设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意列出分式方程，求出解，再检验得出答案． 【详解】（1）解：设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意，得 ， 解得， 所以上周购买的黄瓜25千克，茄子15千克； （2）解：设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 所以本周购买黄瓜为80千克． 【变式题9-3】.（2026·四川成都·二模）2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． (1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ (2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 【答案】(1)20千克 (2)3台 【分析】（1）设熟练采摘工人每小时采摘量为未知数，根据采摘600千克的时间差列分式方程求解即可； （2）设小番茄采摘机器人的数量为未知数，根据4小时总采摘量不低于920千克列一元一次不等式，结合数量为正整数求出最小值即可． 【详解】（1）解：设一名熟练采摘工人每小时采摘千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄； （2）解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名， 由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克）， 根据题意列不等式得 ， 解得， 因为为正整数，所以的最小值为3． 答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人． 【题型10】规律探究与新定义运算分式综合 1.核心考点 分式序列规律、新定义运算、转化为常规分式问题。 2.解题技巧 找分子、分母、符号三项规律，写第n项表达式。 新定义：严格按规则列式，注意定义域限制。 【例题10】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 【答案】 （）：③ （）： （）： 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （）根据为的“差整分式”，“差整值”，列出等式求出整式； （）根据题意，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【详解】解：（），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非，故③正确； 故答案为：③； （）解：∵为的“差整分式”，“差整值”， ∴，即， 方程两边同时乘以得：， 展开得：， 移项得：， 故整式， （）解：根据题意， 即 通分合并分子得： 展开左边： 展开右边： 比较系数得方程组： 解得： ． 答：． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 分式值为0：漏分母≠0；分式运算：符号错误、不先分解因式。 分式方程：不验根、把增根当有效解。 含参问题：增根与无解混淆、未排除使分母为0的参数。 应用题：只验方程不验实际意义。 2.本章重难点 重点：分式性质、分式运算、分式方程解法与检验。 重点：分式方程实际应用、双检验。 难点：含参数分式方程（增根、无解、解的范围）。 难点：分式化简求值（整体代入、变形技巧）。 3.解题通用步骤 分式运算：因式分解→约分→定符号→按序运算→化最简。 分式方程：去分母→解整式→验根→作答。 含参问题：用参表示解→列不等关系→排除增根→定范围。 应用题：建模→列方程→解方程→双检验→作答。 4.高分必备技巧 分式计算：先分解，再约分，后计算。 分式方程：解完必检验，增根果断舍去。 含参问题：先找增根，再定范围，分类不重不漏。 化简求值：能整体代入不硬算，简化计算。 应用题：抓关键词，套公式，验合理性。 5.素养提升关键 强化转化思想：分式化整式、陌生化熟悉。 落实运算素养：严谨、规范、每步有据。 树立模型观念：用分式/分式方程解决实际问题。 培养分类讨论：含参问题全面考虑，不丢情况。 注重严谨性：分母不为0、验根、实际限制全落实。 【同步练习】 一、单选题 1．函数的自变量的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零的条件列不等式求解即可得到结果. 【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为， ∴， 解得. 2．下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式要求分母含有字母，据此逐一分析各选项即可得到结果． 【详解】解：A：分母为常数，属于整式，不是分式； B：中分母含有字母，符合分式的定义，是分式； C：中是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式； D：分母为常数，属于整式，不是分式． 3．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 4．化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】按照同分母分式减法法则计算后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 二、填空题 5．若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：若分式有意义，则分母满足， 解得． 6．已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 7．如果，那么___________． 【答案】 【详解】解：． 8．已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 三、解答题 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 11．中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【答案】取得满分，见解析 【分析】设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒，根据“第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍”建立分式方程求解，再求出甲同学第二次模拟测试的时间即可． 【详解】解：能取得满分，理由如下： 设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 那么第二次模拟测试用时秒，而3分50秒秒， 由于， 故甲同学第二次模拟测试取得满分成绩， 答：甲同学第二次模拟测试取得满分成绩． 12．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； （2）解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 13．综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【分析】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $