10.4分式方程寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学.（知识点归纳+题型精讲+巩固训练）

10.4分式方程寒假预习讲义（苏科版） ❤预习内容概览 1课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3. 聚焦考点★专项训练 4.强化巩固★能力提升 ☘课前预习★目标 ◆理解分式方程的定义，能准确识别分式方程，明确其与整式方程的本质区别（分母中含有未知数）； ◆掌握分式方程的基本解法思路，知晓 “转化思想”—— 将分式方程转化为整式方程求解，核心步骤为去分母； ◆初步学会确定分式方程各分母的最简公分母，能通过去分母将简单分式方程转化为一元一次方程； ◆在预习简单例题的过程中，总结解分式方程的基本步骤，形成初步的解题规范意识； ◆认识到检验步骤的重要性，培养严谨、细致的数学学习习惯，树立 “步步有据” 的解题态度• ❇重点知识★梳理归纳 【知识点1】分式方程 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【重点提醒】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2分式方程的解法】 解分式方程的核心思路：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： 找最简公分母：确定方程中所有分母的最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）； 去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去分母，将分式方程转化为整式方程（注意：每一项都要乘，包括常数项）； 解整式方程：按照解整式方程（一元一次方程）的方法，求出未知数的值； 检验：将整式方程的解代入最简公分母，判断是否为 0： (1)若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； （2）若最简公分母 = 0，该解是增根，原分式方程无解。 【知识点3】解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【重点提示】 （1） 去分母时，方程两边每一项都要乘最简公分母，含常数项的项不可漏乘； （2） 验根不可省略，增根仅存在于分式方程，整式方程无需验根； （3） 若解出的根均为增根，说明原分式方程无解. 【知识点4】分式方程的应用 列分式方程解应用题按下列步骤进行： ① 审：审题，明确已知量、未知量及等量关系； ② 设：设未知数（直接设或间接设）； ③ 列：根据等量关系列出分式方程； ④ 解：解分式方程； ⑤ 验：双重检验 —— 先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义； ⑥ 答：写出答案。 【常见类型】：行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作总量 = 工作效率 × 工作时间）、销售问题（总价 = 单价 × 数量）等。 ✏聚焦考点★专项训练 【题型1分式方程的定义】 【例1】．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【变式1】．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键． 由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得： ，， ， 故答案为：． 【变式2】．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 【题型2解分式方程（化为一元一次）】 【例2】．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． 【变式1】．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得． 检验，当时，． ∴是原方程的解． 故答案为：． 【变式2】．下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并解决问题． 解方程：． 解：方程两边同乘，得，第一步 解得．第二步 检验：当时，．第三步 故原分式方程的根为．第四步 (1)上面的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)请写出正确且完整的解题过程． 【答案】(1)一，常数项漏乘最简公分母 (2)，见解析 【分析】本题考查了分式方程的解法与错误辨析，掌握去分母时方程两边的每一项都必须乘最简公分母，不能漏乘常数项以及解分式方程必须检验的原则是解题的关键． （1）观察解题步骤，检查去分母时每一项是否都乘了最简公分母，从而定位错误； （2）按照分式方程的标准解法，先正确去分母，解整式方程后再检验． 【详解】（1）解：一；常数项漏乘最简公分母． （2）解：方程两边同乘，得． 整理，得． 系数化为，得． 经检验，是原分式方程的根． 【题型3根据分式方程接的情况求值】 【例3】．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的特殊解．首先求得分式方程的解为,再根据解为正数得且，,从而求得m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选：C． 【变式1】．小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 【变式2】．当m为何值时，关于x的方程的解为非正数？ 【答案】当且时，关于x的方程的解为非正数 【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数取值．先把分式方程转化成整式方程，根据解整式方程，可得方程的解，根据方程的解是非正数，以及分式方程有意义条件，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解： 方程的两边都乘以，得， 化简，得， 解得， 由方程的解为非正数，得，解得． ∵ ∴，， ∴，， ∴当且时，关于x的方程的解为非正数． 【题型4分式方程无解问题】 【例4】．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解：先将分式方程化简，利用分母关系合并分式，然后求解方程，当解为增根（分母为零）时方程无解． 【详解】解： ， ∴． 当解为增根时，方程无解，即， ∴，解得． 故选：A． 【变式1】．已知分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解问题，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解需考虑整式方程的解使分母为零的情况，通过求解整式方程，并令解为分母为零的值，即可得解． 【详解】解： 两边同乘，得， 即， ， 解得， 分式方程无解， ，即， ， 解得． 故答案为：． 【变式2】．若方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 将分式方程去分母后，将，代入求出k值即可． 【详解】解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 【题型5列分式方程】 【例5】．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的长度比原计划增加，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列分式方程． 根据题意，实际每天修建速度比原计划快，则实际每天修建道路为米，原计划天数减去实际天数等于提前的2天，由此列方程即可． 【详解】解：设原计划每天修建道路米，则实际每天修建道路为米， ∴原计划所需天数为天，实际所需天数为天， ∵提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 【变式1】．小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设小王每分钟做道题，则小张每分钟做道题；根据相同时间内做题量，利用时间相等列出方程． 【详解】解：设小王每分钟做道题，则小张每分钟做道题． 依题意，小王做60道题所需时间为分钟，小张做40道题所需时间为分钟． ∵时间相同， ∴， 故答案为：． 【变式2】．年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 【答案】元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或不等式是解本题的关键．设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元，根据第一次购进的吉祥物比第二次购进吉祥物的数量多个的数量关系列分式方程，化简求解后并检验，最终得出第一次购进的单价． 【详解】解：设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元． 【题型6分式方程的行程问题】 【例6】．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 【变式1】．甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 甲先出发30分钟，乙后出发同时到达，即甲所用时间比乙多0.5小时，根据速度和时间关系列方程 【详解】解：∵甲的速度为 ，乙的速度比甲的速度快， ∴乙的速度为 ， ∴甲行驶所用时间为 小时，乙行驶所用时间为 小时， ∵由于甲先出发30分钟（即0.5小时），且两人同时到达， ∴甲所用时间比乙多0.5小时， 根据题意可列方程： ． 故答案为：． 【变式2】．【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 (1)设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． (2)请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 【答案】(1)①；②, (2)16千米/时 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验．（1）①设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，可得出答案；②用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间分别为；，； （2）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间-乘汽车同学所用时间=30分钟，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：①设骑车学生的速度为x千米/小时， 根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，得出汽车的速度为千米/小时， 故答案为：； ②根据题意，可得骑车学生总共用的时间为小时， 乘汽车的学生总共用的时间为小时． 故答案为：，； （2）解： 由题意得：， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， ∴原方程的解为． 答：骑车同学的速度为16千米/小时． 【题型7分式方程的工程问题】 【例7】．学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（   ） A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量 C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 通过对比实际情境与方程结构，可知方程中的表示原计划每小时整理图书的数量． 【详解】解：设原计划每小时整理图书的数量为，则原计划所需时间为， ∵实际每小时整理数量增加， ∴实际每小时整理数量为，实际所需时间为， ∵提前完成， ∴， 该方程与小禾所列方程一致， ∴表示原计划每小时整理图书的数量， 故选：B． 【变式1】．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解且符合题意． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 【变式2】．某扶贫车间生产一批手工艺品，若单独由甲组生产，需要10天完成；单独由乙组生产，需要15天完成．现两组合作生产，中途甲组因有其他任务停工2天，完成这批手工艺品一共用了多少天？ 【答案】完成这批手工艺品一共用了天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设完成这批手工艺品一共用了x天，则甲组生产了天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，结合两组的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】解：设完成这批手工艺品一共用了x天，则甲组生产了天 由题意得，， 解得， 答：完成这批手工艺品一共用了天． 【题型8分式方程的经济问题】 【例8】．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 【变式1】．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设B型号毛笔单价为x元/支，则A型号毛笔单价为元/支；根据总花费和单价，可求出A、B型号毛笔的数量，再根据总数量为500支列方程． 【详解】解：A型号毛笔数量为，B型号毛笔数量为，总数量为500支， 故列分式方程为． 故答案为：． 【变式2】．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某超市销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共个作为员工新年礼物，总费用不超过元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)最多可以采购个乙型玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系或不等关系建立方程与不等式的方法是解题的关键． （1）通过设甲型玩偶的单价为未知数，根据“用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个”这一数量关系，列出分式方程求解单价． （2）通过设乙型玩偶的采购数量为未知数，根据“总费用不超过元”的限制条件，列出一元一次不等式求解采购数量的最大值． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得： ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶，根据题意得： ， 解得． 答：最多可以采购个乙型玩偶． 【题型9分式方程和差倍问题】 【例9】．时代，不仅仅是“更快”的网络时代，更是一个“连接万物、赋能万业”的智能时代．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快360秒．若设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据， 由题意得：． 故选：A． 【变式1】．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 【变式2】．某公司购买A，B两种哪吒主题文创产品作为“公司评星”活动的奖品，A种文创产品的单价比B种贵40元，现用2000元资金采购，其中600元购买A种文创产品，剩余资金购买B种文创产品，且A种文创产品的购买数量是B种的．设B种文创产品的单价为元． 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 ______________ ______________ B种文创产品 ______________ ______________ (1)请根据信息填表（用含有的式子表示）； (2)根据题意列出关于的分式方程，并求出A，B两种文创产品的单价． 【答案】(1)见解析 (2)分式方程为，A种文创产品单价为96元，B种文创产品单价为56元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据A种文创产品的单价比B种贵40元可求出A种文创产品的单价，根据总资金为2000元可求出用于购买B的资金，再根据数量等于购买资金除以单价可确定对应的购买数量； （2）根据A种文创产品的购买数量是B种的可列出方程，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设B种文创产品的单价为元，则A种文创产品的单价为元 由题意得，购买B种文创产品的资金为元， ∴A种文创产品的购买数量为件，B种文创产品的购买数量为件， 填表如下： 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 B种文创产品 1400 （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴A种文创产品单价为96元，B种文创产品单价为56元． 【题型10分式方程的其它实际问题】 【例10】．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解. 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴ 估计袋中红球个数为6， 故选：D 【变式1】．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解决本题的关键． 先根据题意可得机器每天移栽幼苗株，再根据总幼苗为4000株，分别表示人工和机器所需天数，最后根据人工移栽比机器移栽多用3天列方程即可． 【详解】解：∵人工每天移栽幼苗株， ∴机器每天移栽幼苗株， ∵总幼苗数为4000株， ∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天， 根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天， ∴， 故答案为：． 【变式2】．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题． 【详解】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元， 因此可列方程， 解得，经检验，是分式方程的解， 则圆珠笔的数量为， ∵圆珠笔的数量一定是整数， ∴不符合题意． 故嘉嘉搞错了． ✍强化巩固★能力提升 一、单选题 1．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 2．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定公分母，去分母，将分式方程转化为整式方程即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 公分母为 ， 方程两边同乘 ： 左边：， 右边：， ∴ 整式方程为 ， 故选：C． 3．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程的解求参数，理解题意，掌握解分式方程是关键． 解分式方程得到，由题意为负整数且 ，故 为10的负约数，且为整数，逐一验证即可． 【详解】解：， 两边乘公分母 得：， 化简得：， 即 ， ∴， ∵为负整数，且，， ∴，即， 又为10的约数，且为负， ∴可能为：， 当时，，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，，符合； 当时，，非整数，不符合. ∴整数有和共2个， 故选：B． 4．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 5．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1．求一个农民每小时收割多少公顷小麦？设一个农民每小时收割公顷小麦，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用； 根据题意，机器收割10公顷所需时间比100个农民收割少1小时，因此100个农民时间减去机器时间等于1小时． 【详解】解：设一个农民每小时收割x公顷，则100个农民每小时收割公顷， ∴100个农民收割10公顷时间为； ∵机器工作效率为农民的150倍，即每小时收割公顷， ∴机器收割10公顷时间为； 又∵机器时间比100个农民时间少1小时， ∴ ， 即， 故选：D． 6．科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时，利用时间关系列分式方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时， 根据题意得：， ∴， 故选：． 7．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 8．某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 9．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 10．端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 二、填空题 11．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 12．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 将分式方程两边通分后交叉相乘，化为整式方程求解，并检验分母是否为零． 【详解】解： ， ， ， ， ， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为：． 13．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 14．关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为两种情况：原方程化为整式方程后整式长无解；分式方程有增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，分为两种情况，整式方程本身无解；分式方程产生增根，确定出的值，即可解题． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得， 整理得． 当整式方程无解时，，解得； 当分式方程有增根时，，即，代入整式方程得，解得． 故答案为：或． 15．魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，分式方程的行程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时；根据距离相等，甲比乙早到1小时，即乙所用时间比甲多1小时，列出方程． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 16．一组学生去春游，统计共需要费用240元，后来又有一组学生参加进来，总费用不变，每人可以少分摊6元．如果两组学生的人数相等，那么每组学生的人数为 ． 【答案】20人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每组学生人数为，根据又有一组学生参加进来，总费用不变，而每人却可以少分摊元，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设每组学生人数为人，根据题意得： 解这个方程得： 经检验：为原方程的解． 故答案为：人 ． 17．某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 利用每罐的价格优惠后每罐的价格元，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：； 故答案为： 三、解答题 18．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)分式方程无解． 【分析】（）先将分式方程两边乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）解：， ， ， 检验：时，， ∴原分式方程无解． 19．已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 因为分式方程有增根，得到，即， 将代入整式方程得，， 即， 解得，； （2）解：由（1）知 ：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，， 化系数为1，解得， 根据分式方程的解为正数，得到，且1， 解得：且． 20．2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 【答案】甲种春联的单价为6元，乙种春联的单价为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元，利用数量总价单价，结合用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每副甲种春联的单价），再将其代入中，即可求出每副乙种春联的单价． 【详解】解：设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每副甲种春联的单价是6元，每副乙种春联的单价是8元． 21．用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等．假设两车一直都是匀速行驶． (1)求“和谐号”的平均速度； (2)比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛？请说明理由． 【答案】(1)“和谐号”的平均速度为7米/秒 (2)“和谐号”能赢得比赛，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，则“畅想号”的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）分别求出“和谐号”和“畅想号”到终点需要的时间，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设“和谐号”的平均速度为x米/秒，则“畅想号”的平均速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故“和谐号”的平均速度为7米/秒； （2）解： “和谐号”能赢得比赛，理由如下： 2秒后“和谐号”离终点还有（米）， ∴“和谐号”到终点还需（秒）， 而“畅想号”到终点需（秒），且， ∴“和谐号”能赢得比赛． 22．政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙工程队各需要6天，12天 (2)乙至少施工4天 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程即可解答； （2）设乙工程队施工a天，则甲需施工天，由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程得： 解得： 经检验是原方程的解， 则乙：（天） 答：甲、乙工程队单独完成这项工程各需要6天，12天； （2）解：设乙工程队施工a天，则甲需施工天， 由题意得， 解得：， 答：乙工程队至少施工4天． 23．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 24．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 【答案】(1)每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶 (2)名 【分析】（）设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名， 由题意得，， 解得， 答：最少安排名熟练采茶工人． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4分式方程寒假预习讲义（苏科版） ❤预习内容概览 1课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3. 聚焦考点★专项训练 4.强化巩固★能力提升 ☘课前预习★目标 ◆理解分式方程的定义，能准确识别分式方程，明确其与整式方程的本质区别（分母中含有未知数）； ◆掌握分式方程的基本解法思路，知晓 “转化思想”—— 将分式方程转化为整式方程求解，核心步骤为去分母； ◆初步学会确定分式方程各分母的最简公分母，能通过去分母将简单分式方程转化为一元一次方程； ◆在预习简单例题的过程中，总结解分式方程的基本步骤，形成初步的解题规范意识； ◆认识到检验步骤的重要性，培养严谨、细致的数学学习习惯，树立 “步步有据” 的解题态度• ❇重点知识★梳理归纳 【知识点1】分式方程 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【重点提醒】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2分式方程的解法】 解分式方程的核心思路：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： 找最简公分母：确定方程中所有分母的最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）； 去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去分母，将分式方程转化为整式方程（注意：每一项都要乘，包括常数项）； 解整式方程：按照解整式方程（一元一次方程）的方法，求出未知数的值； 检验：将整式方程的解代入最简公分母，判断是否为 0： (1)若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； （2）若最简公分母 = 0，该解是增根，原分式方程无解。 【知识点3】解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【重点提示】 （1） 去分母时，方程两边每一项都要乘最简公分母，含常数项的项不可漏乘； （2） 验根不可省略，增根仅存在于分式方程，整式方程无需验根； （3） 若解出的根均为增根，说明原分式方程无解. 【知识点4】分式方程的应用 列分式方程解应用题按下列步骤进行： ① 审：审题，明确已知量、未知量及等量关系； ② 设：设未知数（直接设或间接设）； ③ 列：根据等量关系列出分式方程； ④ 解：解分式方程； ⑤ 验：双重检验 —— 先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义； ⑥ 答：写出答案。 【常见类型】：行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作总量 = 工作效率 × 工作时间）、销售问题（总价 = 单价 × 数量）等。 ✏聚焦考点★专项训练 【题型1分式方程的定义】 【例1】．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【变式2】．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【题型2解分式方程（化为一元一次）】 【例2】．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．方程的解为 ． 【变式2】．下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并解决问题． 解方程：． 解：方程两边同乘，得，第一步 解得．第二步 检验：当时，．第三步 故原分式方程的根为．第四步 (1)上面的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)请写出正确且完整的解题过程． 【题型3根据分式方程接的情况求值】 【例3】．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】．小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 【变式2】．当m为何值时，关于x的方程的解为非正数？ 【题型4分式方程无解问题】 【例4】．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】．已知分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【变式2】．若方程有增根，求的值． 【题型5列分式方程】 【例5】．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的长度比原计划增加，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程 ． 【变式2】．年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 【题型6分式方程的行程问题】 【例6】．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程 ． 【变式2】．【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 (1)设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． (2)请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 【题型7分式方程的工程问题】 【例7】．学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（   ） A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量 C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间 【变式1】．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 【变式2】．某扶贫车间生产一批手工艺品，若单独由甲组生产，需要10天完成；单独由乙组生产，需要15天完成．现两组合作生产，中途甲组因有其他任务停工2天，完成这批手工艺品一共用了多少天？ 【题型8分式方程的经济问题】 【例8】．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式1】．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为 ． 【变式2】．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某超市销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共个作为员工新年礼物，总费用不超过元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【题型9分式方程和差倍问题】 【例9】．时代，不仅仅是“更快”的网络时代，更是一个“连接万物、赋能万业”的智能时代．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快360秒．若设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ． 【变式2】．某公司购买A，B两种哪吒主题文创产品作为“公司评星”活动的奖品，A种文创产品的单价比B种贵40元，现用2000元资金采购，其中600元购买A种文创产品，剩余资金购买B种文创产品，且A种文创产品的购买数量是B种的．设B种文创产品的单价为元． 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 ______________ ______________ B种文创产品 ______________ ______________ (1)请根据信息填表（用含有的式子表示）； (2)根据题意列出关于的分式方程，并求出A，B两种文创产品的单价． 【题型10分式方程的其它实际问题】 【例10】．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 ． 【变式2】．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ ✍强化巩固★能力提升 一、单选题 1．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1．求一个农民每小时收割多少公顷小麦？设一个农民每小时收割公顷小麦，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 6．科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 7．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 10．端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 12．分式方程的解是 ． 13．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 14．关于的方程无解，则的值为 ． 15．魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 16．一组学生去春游，统计共需要费用240元，后来又有一组学生参加进来，总费用不变，每人可以少分摊6元．如果两组学生的人数相等，那么每组学生的人数为 ． 17．某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 三、解答题 18．解方程： (1)； (2) 19．已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 20．2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 21．用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等．假设两车一直都是匀速行驶． (1)求“和谐号”的平均速度； (2)比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛？请说明理由． 22．政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 23．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 24．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 学科网（北京）股份有限公司 $